安徽省蚌埠市龙子湖区三校2022-2023学年八年级下学期5月质检考试数学试题(含解析)

2022-2023学年八年级下学期5月质检试卷
数 学
一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项。）
1. 如果，那么的算术平方根是( )
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 如果非零实数是一元二次方程的一个根，是方程的一个根，那么的值等于( )
A. B. C. D.
4. 用直接开方法解下列方程，其中无解的是( )
A. B. C. D.
5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( )
A. 且 B. 且 C. 且 D.
6. 已知直角三角形两边长、满足，则第三边长为( )
A. B.
C. 或 D. ，或
7. 如图，有四个三角形，各有一边长为，一边长为，若第三边分别为，，，，则面积最大的三角形是( )
A. B.
C. D.
8. 如图，，，，是五边形的外角，且，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
9. 下列说法正确的是：( )
四条边相等的四边形一定是菱形
顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形
对角线相等的四边形一定是矩形
经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分
A. B. C. D.
10. 用正三角形和正六边形铺地板，在一个顶点处三角形、六边形的个数比为( )
A. ： B. ： C. ：或： D. ：
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11. 当时，化简的结果为______．
12. 设、是方程的两个实数根，则的值为______．
13. 九章算术中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部尺远．问：原处还有多高的竹子？丈尺答：原处的竹子还有______尺高．
14. 如图，的对角线，相交于点，且，，，则的面积为________．
三、解答题（本大题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 分计算：．
16. 分解方程：．
17. 分一条东西走向的公路上有，两个站点视为直线上的两点相距，，为两村庄视为两个点，于点，于点如图，已知，，现在要在公路上建一个土特产储藏仓库，使得，两村庄到储藏仓库的直线距离相等，请求出储藏仓库到站点的距离精确到
18. 分如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图．
在图中，画一个正方形，使它的面积为；
在图中，西一个三角形，使它的三边长分别为，，；
请写出图中所画的面积为______ 直接写出结果
19. 分已知关于的方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
设方程的两个根分别为，，若，求的值及方程的根．
20. 分先阅读材料，然后回答问题．
小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为______；
请根据你从上述材料中得到的启发，化简．
21. 分如图，在中，是边的中点，于点，交于点，且，
试说明：；
若，，求的长．
22. 分为响应政府低碳生活，绿色出行的号召，某公交公司决定购买一批节能环保的新能源公交车，计划购买型和型两种公交车，其中每台的价格、年载客量如表：
型 型
价格万元台
年载客量万人年
若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元．
求，的值；
计划购买型和型两种公交车共辆，如果该公司购买型和型公交车的总费用不超过万元，且确保这辆公交车在该线路的年均载客总和不少于万人次问有哪几种购买方案？
在的条件下，哪种方案使得购车总费用最少？最少费用是多少万元？
23. 分如图，在正方形中，点是边上的一动点，点是上一点，且，、相交于点．
求证：≌；
求的度数
若，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意得，，，
解得，，
，
则，
的算术平方根是．
故选：．
根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，求出、的值，根据算术平方根的概念解答即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数和算术平方根的概念是解题的关键．
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
把代入方程，得，把代入方程方程，得，再将，即可求出的值．
【解答】
解：非零实数是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，
，，
，得，
，
．
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，正确化简方程是解题关键．根据一元二次方程，可以用直接开平方法求解，且有两个实数根，得出．
【解答】
解：、由原方程得到，所以该方程有解．故本选项不符合题意；
B、由原方程得到，所以该方程有解．故本选项不符合题意；
C、由原方程得到，所以该方程无解．故本选项符合题意；
D、，所以该方程有解．故本选项不符合题意；
故选：．
5.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
解得：且．
故选：．
根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是绝对值的非负性，算术平方根的非负性，勾股定理的有关知识，根据非负数的性质列出方程求出、的值，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】
解：，
，，
或舍去，或，
当直角三角形两边长为和时，
当两直角边是，时，三角形是直角三角形，则斜边的长为：
当为斜边时，第三边长为，
当直角三角形两边长为和时，
当两直角边是，时，三角形是直角三角形，则斜边的长为：
当为斜边时，第三边长为，
综上所述第三边为，或，
故选D．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了三角形的面积以及勾股定理的逆定理，关键在于正确的表示出斜边、直角边的长度，熟练运用勾股定理的逆定理进行分析．过作于，依据，，可得，进而得到当与重合时，最长为，此时，，的面积最大．
【解答】
解：如图，过作于，
，，
，
当与重合时，最长为，
此时，，的面积最大，
，
，
四个三角形中面积最大的三角形的三边长分别为，，，
故选C．
8.【答案】
【解析】解：根据多边形外角和定理得到：，
，
．
故选：．
根据多边形的外角和定理即可求得与相邻的外角，从而求解．
本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和等于．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的中位线性质、平行四边形的性质、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识点，能熟记定理的内容是解此题的关键．
【解答】
解：四边相等的四边形一定是菱形，正确；
顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，错误；
对角线相等的平行四边形才是矩形，错误；
经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，正确；
其中正确的有个，
故选C．

10.【答案】
【解析】分析
本题考查平面密铺的知识，运用了分类讨论思想，解答本题的关键是根据二元一次方程知识结合平面密铺的条件进行解答．根据正六边形的角度为，正三角形的内角为，根据平面密铺的条件列出方程，讨论可得出答案．
解答
解：正六边形的角度为，正三角形的内角为，
，
当时，，即正三角形和正六边形的个数之比为：；
当时，，即正三角形和正六边形的个数之比为：．
故选C．
11.【答案】
【解析】解：，
，
，
故答案为：．
根据二次根式的性质进行化简即可．
本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：、是方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：．
根据根与系数的关系可得出，，将其代入中即可得出结论．
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：，
解得：．
故答案是：．
竹子折断后可构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺．利用勾股定理解题即可．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、平行四边形面积的计算方法；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由平行四边形的性质求出、，由勾股定理的逆定理得出， 的面积，即可得出结果．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
的面积；
故答案为
15.【答案】解：原式
．
【解析】直接利用完全平方公式以及二次根式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
16.【答案】解：，
方程可化为：，
配方，得，
，
根据平方根的意义，得，
即或．
【解析】利用配方法求解即可．
本题考查了解一元二次方程，掌握配方解一元二次方程是解题的关键．
17.【答案】解：、两村到储藏仓库的直线距离相等，
，
，，
，
在和中，由勾股定理得：，，
，
设，则，
，
解得：，
答：储藏仓库到站点的距离约为．
【解析】由题意得，再由勾股定理得，设为，则，得方程，解方程即可．
本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：如图，正方形即为所求作．
如图，即为所求作．
，
故答案为：．
根据要求作出图形即可．
根据要求作出图形即可．
利用三角形的面积公式计算即可．
本题考查作图应用与设计作图，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】解：方程有两个不相等的实数根，
，即，
解得；
，
，
由根与系数的关系可得，，
即，
解得，
方程为，
因式分解得：，
解得，．
【解析】由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围；
利用根与系数的关系，用表示出和的值，由条件可得到关于的方程，则可求得的值．
本题有要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
20.【答案】；
原式
．
【解析】解：在化简过程中步出现了错误，化简的正确结果是．
故答案是：，；
见答案．
根据二次根式的性质即可进行判断；
把被开方数化成完全平方的形式，然后利用二次根式的性质即可化简求解．
本题考查了二次根式的化简，正确把被开方数化成完全平方的形式是本题的关键．
21.【答案】解：如图所示，连接，
是边的中点，于点，
垂直平分，
，
又，
，
是直角三角形，且；
在中，，
，
设，则，而，
在中，，
在中，，
，
解得，
．
【解析】连接，依据垂直平分，即可得到，再根据，可得，进而得到是直角三角形；
依据勾股定理可得的长为，再根据勾股定理即可得到方程，解方程即可得出的长．
本题主要考查了勾股定理及其逆定理，以及线段垂直平分线的性质的运用，关键是掌握：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
22.【答案】解：依题意得：，
解得：，
答：的值为，的值为；
设购买型公交车辆，则购买型公交车辆，
依题意得：，
解得：，
又为整数，
可以为，，
有两种购买方案，
方案一：购买型公交车辆，购买型公交车辆；
方案二：购买型公交车辆，购买型公交车辆；
设购车总费用为万元，
则，
，且为整数，
当时，最小，最小值为元，
购车总费用最少的方案是购买型公交车辆，购买型公交车辆，购车总费用为万元．
【解析】利用总价单价数量，结合“购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
根据购买型公交车辆，型公交车辆，设购买型公交车辆，则购买型公交车辆，根据“购买型和型公交车的总费用不超过万元，且确保这辆公交车在该线路的年均载客总和不少于万人次”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数，即可得出的值，得出购买方案；
设购车总费用为万元，根据总费用购买两种公交车费用之和列出函数解析式，由函数的性质得出最值．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用和一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；正确列出函数解析式．
23.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
解：由得≌，
，
，
，
，
过点作于，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
，
．
【解析】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和性质，正确得出≌是解题关键．
直接利用正方形的性质结合全等三角形的判定方法得出答案；
利用全等三角形的性质，得，再根据三角形的内角和可得结果；
利用全等三角形的判定和性质得出≌，即可得出的值．