人教A版（2019）必修二 10.1.2 事件的关系和运算( 课件21张)

(共21张PPT)
10.1.2 事件的关系和运算
册 别：必修第二册
学 科：高中数学（人教版）
（1）正确理解交事件、并事件、互斥事件、
对立事件的含义；
（2）逐渐掌握简单随机事件的运算.
学习目标
例如
Ci＝“点数为i”， i＝1，2，3，4，5，6；
D1＝“点数不大于3”；D2＝“点数大于3”；
E1＝“点数为1或2”； E2＝“点数为2或3”；
F ＝“点数为偶数”； G＝“点数为奇数”
……………
(1)用集合的形式表示这些事件；
引例：在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件,
C1＝{1}
C2＝{2}
C3＝{3}
C4＝{4}
C6＝{6}
C5＝{5}
D1＝ {1,2,3}
D2＝{4,5,6}
E1＝{1,2} E2＝{2,3}
F＝{2,4,6} G＝{1,3,5}
(2)借助集合与集合的关系和运算，探究这些事件之间的联系.
引例
一般地，若事件A发生则必有事件B发生，则称事件B包含事件A
(或称事件A包含于事件B)， 记为B A(或A B)．
事件C1="点数为1"={1} 事件G="点数为奇数"={1，3，5}
事件关系：如果事件C1发生，那么事件G一定发生．
集合表示：{1} {1，3，5}，即C1 G．这时我们说事件G包含事件C1．
（3） 特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，
即B A且A B，则称事件A与事件B相等，记作A=B．
如H＝“点数大于6”
如I＝“点数小于7”
1.包含
2.并事件（和事件）
一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)记作A∪B(或A＋B)．
事件D1＝“点数不大于3”={1，2，3}
事件E1＝“点数为1或2”＝{1，2} 事件E2＝“点数为2或3”＝{2，3}
事件关系：事件E1和事件E2至少有一个发生，相当于事件D1发生．
集合表示：{1，2}∪{2，3}={1，2，3}，
即E1∪E2＝D1，这时我们称事件D1为事件E1和事件E2的并事件．
图形表示：绿色区域和黄色区域
3.交事件（积事件）
一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点在事件A中，也在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，
记作A∩B(或AB)．
事件C2＝“点数为2”={2}
事件E1＝“点数为1或2”＝{1，2} 事件E2＝“点数为2或3”＝{2，3}
事件关系：事件E1和事件E2同时发生，相当于事件C2发生．
集合表示：{1，2}∩{2，3}={2}，
即E1∩E2＝C2，这时我们称事件C2为事件E1和事件E2的交事件．
图形表示：蓝色区域
4.互斥（互不相容）
事件C3＝“点数为3”，事件C4＝“点数为4”，
事件关系：事件C3和事件C4不可能同时发生，
图形表示：
即C3∩C4＝ ，这时我们称事件C3和事件C4互斥．
一般地，事件A与事件B不可能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B= ，我们称事件A与事件B互斥(或互不相容)．
集合表示：{3}∩{4}= ，
用集合的形式表示：C3={3}，C4＝{4}．
5.互为对立
事件F＝“点数为偶数”={2，4，6} G＝“点数为奇数”＝{1，3，5}
事件关系：在一次试验中，事件F和事件G两者只能发生其中之一，而且也必然发生其中一个．
即F∪G＝ Ω ，F ∩G＝ ，此时我们称事件F和事件G互为对立事件．
集合表示：{2，4，6}∪{1，3，5}={1，2，3，4，5，6}，
{2，4，6}∩{1，3，5}= ，
图形表示：
一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω，且A∩B= ，那么称事件A与事件B互为对立．
事件A的对立事件记为
互斥事件与对立事件的区别与联系
联系：都是两个事件的关系
区别：互斥事件： 不同时发生，但并非至少有一个发生;
对立事件： 两个事件不同时发生，必有一个发生
对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况
但互斥事件不一定是对立事件
例如:D={出现4点}, F={出现6点},
M={出现的点数为偶数},N={出现的点数为奇数}
则有：事件D与事件F互斥;
则有：M与N互为对立事件.
6.归纳小结
事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示
包含
并事件(和事件)
交事件(积事件)
互斥(互不相容)
互为对立
事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示：
A与B至少一个发生
A B或B A
A发生导致B发生
A∪B或A＋B
A与B同时发生
A∩B或AB
A与B不能同时发生
A∩B=
A与B有且只有
一个发生
A∪B= Ω
A∩B=
类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件．
例如，对于三个事件A，B，C，
A∪B∪C (或A＋B+C)发生,当且仅当A，B，C中至少一个发生，A∩B∩C (或ABC)发生,当且仅当 A，B，C同时发生．
解：（1）分别用x1，x2表示甲，乙两个元件的可能状态，
例5 如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效. 设事件A=“甲元件正常”，B=“乙元件正常”.
(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；
乙
甲
则可用(x1，x2)表示这个并联电路的状态．
用1表示元件正常，用0表示元件失效，
则样本空间Ω={(0，0)，(1，0)，(0，1)，(1，1)}．
典例分析
教材P231页
例5 如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效. 设事件A=“甲元件正常”，B=“乙元件正常”.
(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；
解：（2）根据题意，可得
(1)样本空间Ω={(0，0)，(1，0)，(0，1)，(1，1)}．
乙
甲
典例分析
例6 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”．
（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
解：(1)所有的试验结果如右图，
用数组(x1，x2)表示可能的结果，
则试验的样本空间Ω ={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，
(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)， (3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3) }．
X1是第1次摸到的球的标号，
x2是第2次摸到的球的标号，
典例分析
教材P232页
例6 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”．
（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
同理，R ={(1，2)，(2，1)}；
事件R1=“第一次摸到红球”,即x1=1或2，
R2={(2，1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2) }；
R1
R2
G
R
R1={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4) }；
事件R2=“第二次摸到红球”,即x2=1或2，
G={(3，4)，(4，3)}；
M={(1，2)，(2，1)，(3，4)，(4，3)}；
N={(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}．
M
N
典例分析
例6 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”．
（2）事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？
（2）因为R R1，所以事件R1包含事件R；
R1
R
G
因为M∩N= ，M∪N=Ω，
所以事件M与事件N互为对立事件.
因为R∩G= ， R∪G≠Ω，所以事件R与事件G互斥；
知识应用
M
N
典例分析
R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”．
（3）事件R与G的并事件与事件M有什么关系？
事件R1与R2的交事件与事件R有什么关系？
（3）因为R∪G=M，
所以事件M是事件R与事件G的并事件；
因为R1∩R2=R，
所以事件R是事件R1与事件R2的交事件．
R
G
R1
R2
R
M
典例分析
1.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
至多有一次中靶 B. 两次都中靶
C. 只有一次中靶 D. 两次都不中靶
2.从1,2,3,…,9中任取两数,其中：①恰有一个偶数和恰有一个
奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇
数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数.
在上述事件中，是对立事件的是（ ）
A．① B．②④ C．③ D．①③
C
D
练习
课堂练习
教材P233页
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练习
课堂练习
6.归纳小结
事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示
包含
并事件(和事件)
交事件(积事件)
互斥(互不相容)
互为对立
事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示：
A与B至少一个发生
A B或B A
A发生导致B发生
A∪B或A＋B
A与B同时发生
A∩B或AB
A与B不能同时发生
A∩B=
A与B有且只有
一个发生
A∪B= Ω
A∩B=
两个随机事件关系（互斥、对立）的判断方法:
1.直观法：互斥事件是事件A与B不能同时发生；
对立事件是事件A与B有且只有一个发生.
2.定义法:
(2)几何：利用Venn图，数形结合，直观形象.
(1)列举：列举出试验所有可能出现的结果以及事件的
所有结果，类比集合关系，进行事件间关系的判断.
课堂小结