人教A版（2019）必修二 10.1.3 古典概型 (课件29张)

(共29张PPT)
10.1.3古典概型
学习目标
1.结合具体实例，理解古典概型;
2.能计算古典概型中简单随机事件的概率.
重点难点
重点：古典概型及应用.
难点：(1)对于各种不同背景的随机试验，用符号表示试验的可能结果，列举试验的样本空间；
(2)在计算古典概型相关事件的概率时，样本点等可能性的判断.
学科素养
数学抽象：对随机试验，用符号(字母、数字或数对)表示试验的可能结果，抽象出样本点、样本空间，由事件发生的意义抽象出“随机事件”是样本空间的子集；建立概率模型；从两个事件的发生互相不影响，抽象事件的独立性等，都是数学抽象的体现.
逻辑推理：本章中运用了类比、归纳等思想.例如，类比函数的研究，确定概率的研究路径，发现概率的性质；类比集合的关系和运算理解事件关系与运算的含义；对概率基本性质的研究采用由特殊到一般的归纳的方式；等.
数学建模：对古典概型的教学，重点应放在通过解决实际问题，了解构建概率模型的一般方法，理解事件概率的意义，渗透模型化思想，不要把重点放在计数上.
引 入
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 A B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 AUB或A+B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=Φ
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B=Φ,AUB=Ω
事件的关系与运算
探究新知
研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小.
对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率. 事件A的概率记为: P(A)
我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计，但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值.
能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢？
1.事件的概率
探究新知
2.古典概型
问题1 在10.1.1节,我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验. 它们的共同特征有哪些
共同特征：（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个;
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
考察这些试验的共同特征,就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性.可以发现，它们具有如下共同特征：
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
练习1 向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意. 点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？为什么？
探究新知
有限性
等可能性
练习2 某同学随机向一靶心进行射击，这一试验的结果有“命中10环”“命中9环”“命中8环”,“命中7环”“命中6环”“命中5环”和“不中环”，这是古典概型吗？为什么？
10
9
9
9
9
8
8
8
8
7
7
7
7
6
6
6
6
5
5
5
5
有限性
等可能性
探究新知
判断下列概率模型是否是古典概型：
(1)从1~10中任取一个整数，求取到1的概率；
(2)从区间[1,10]中任取一个数，求取到1的概率；
(3)在一次掷骰子的试验中，求事件“出现的点数是2的倍数”的概率.
是
不是
是
概念辨析
（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个;
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
判断一个试验是不是古典概型抓住两个要点：
一是样本点个数有限性； 二是每个样本点发生是等可能的．
2.古典概型
探究新知
（4）一个班级中有18名男生、22名女生。采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A= “抽到男生”.
（5）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B= “恰好一次正面朝上”.
分析：（4）从班级40名学生中选择一名学生，即样本点是有限个；随机选取，所以选到每个学生的可能性都相等，这是一个古典概型。
（5）1→正面朝上，0→反面朝上，样本空间Ω={(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 0)}, 共有8个样本点，且每个样本点是等可能发生的，这是一个古典概型。
问题2 对于以上两个随机试验，如何度量事件A和B发生的可能性大小
探究新知
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率
其中， 和 分别表示事件A和样本空间 包含的样本点个数。
3.古典概型的概率计算公式
探究新知
例1 单选题是标准化考试的常用题型，一般是从A、B、C、D四个选项中选择一个正确答案。若考生掌握了考察的内容，就能选择唯一正确的答案。假设考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少？
Ω={A,B,C,D}
考生随机地选择一个答案，每个样本点发生的可能性是相等的，这是一个古典概型
设M=“选中正确答案”，因正确答案是唯一的，所以n(M)=1,所以，考生随机选择一个答案，答对的概率
探究新知
问题3 在标准化的考试中也有多选题，多选题是从A、B、C、D四个选项中选出所有正确答案（四个选项中至少有一个选项是正确的），你认为单选题和多选题哪种更难选对？为什么？
正确答案的所有可能的结果：
①若有1个对，则有A，B，C，D，4种
②若有2个对，则正解可以是AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种
③若有3个对，则正解可以是ABC，ABD，ACD，BCD，共4种
④若4个都对，则正解只有ABCD 1种
正确答案的所有可能结果有4＋6＋4＋1＝15种，从这15种答案中任选一种的可能性只有1/15，因此更难猜对。
探究新知
例2 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子 分别可能出现的基本结果.（1）写出此试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
样本空间Ω={(m，n)|m，n∈{1,2,3,4,5,6}}. 共有36个样本点.
由于骰子的质地均匀，所有各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.
m \ n
用m表示Ⅰ号出现的点数为m，用n表示Ⅱ号出现的点数为n
则用（m，n）表示这个实验的一个样本点
例题讲解
树状图:
1
2
3
4
5
6
1
2
2
3
4
5
6
1
3
2
3
4
5
6
1
4
2
3
4
5
6
1
5
2
3
4
5
6
1
6
2
3
4
5
6
1
m \ n
列表:
例题讲解
（2）求下列事件的概率：
A=“两个点数之和是5”
B=“两个点数相等”
C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ 号骰子的点数”
解：
m \ n
m \ n
例题讲解
（2）求下列事件的概率：
A=“两个点数之和是5”
B=“两个点数相等”
C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ 号骰子的点数”
解：
m \ n
例题讲解
（2）求下列事件的概率：
A=“两个点数之和是5”
B=“两个点数相等”
C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ 号骰子的点数”
解：
探究新知
问题4 在上例中，为什么要把两枚骰子标上记号？如果不给两枚骰子标记号，会出现什么情况 你能解释其中的原因吗
不记号，则不能区分抛掷出的两个点数分别属于哪枚骰子，如 (1,2)和(2,1)的结果将无法区别.
不记号时，试验的样本空间Ω1={(m，n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6},且m≤n}，则n(Ω1)=21. 其中，事件A =“两个点数之和是5”的结果变为A={(1,4),(2,3)}，这时
m \ n
探究新知
问题5 同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢
36个结果都是等可能的
合并为21个可能结果时，(1,1)和(1,2)发生的可能性大小不等，这不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式计算概率
因此 是错误的。
例题讲解
求解古典概型问题的一般思路:
（1）明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字、数组等）表示试验的可能结果（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果）；
（2）根据实际问题情境判断样本点的等可能性；
（3）计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率.
【归纳小结】
例题讲解
例3 袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率:
（1）A = “第一次摸到红球”；
（2）B= “第二次摸到红球”；
（3）AB = “两次都摸到红球”.
解：将两个红球编号为1、2，三个黄球编号为3、4、5. 第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时有4种等可能的结果. 将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，用下表表示.
例题讲解
第一次 第二次 1 2 3 4 5
1 × (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)
2 (2,1) × (2,3) (2,4) (2,5)
3 (3,1) (3,2) × (3,4) (3,5)
4 (4,1) (4,2) (4,3) × (4,5)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) ×
如果同时摸出2个球,那么事件AB的概率是多少
书本p237
（1）A = “第一次摸到红球”；
（2）B= “第二次摸到红球”；
（3）AB = “两次都摸到红球”.
探究新知
例4 从两名男生(记为B1和B2)、两名女生（记为G1和G2）中任意抽取两人.
（1）分别写出有放回简单随机抽样，不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.
（2）在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率.
例题讲解
不放回简单随机抽样的样本空间
Ω2= ｛（B1,B2）,（B1,G1）,（B1,G2）, （B2,B1）, （B2,G1）,（B2,G2）, （G1,B1）,（G1,B2）,（G1,G2）, （G2,B1）,（G2,B2）,（G2,G1）｝
按性别等比例分层抽样，先从男生中抽取一人，再从女生中抽取一人，其样本空间： Ω3= ｛(B1,G1),(B1,G2), (B2,G1), (B2,G2)｝.
设第一次抽取的人记为X1第二次抽取的人记为X2,则可用数组（X1,X2）表示样本点.
有放回简单随机抽样的样本空间
Ω1= ｛（B1,B1）,（B1,B2）, （B1,G1）, （B1,G2）, （B2,B1）,（B2,B2）, （B2,G1）, （B2,G2）, （G1,B1）,（G1,B2）,（G1,G1）, （G1,G2）, （G2,B1）,（G2,B2）,（G2,G1）, （G2,G2）｝
例题讲解
对于不放回简单随机抽样，A=｛(B1,B2), （B2,B1）｝,
且这是古典概型，因此
对于有放回简单随机抽样， A=｛(B1,B1)，(B1,B2)，(B2,B1)，(B2,B2)｝
且这是古典概型，因此
（2）设事件A= “抽到两名男生”，则
按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，所以
A= ，因此 P(A)=0.
例题讲解
问题6 通过例4，对于不同的抽样方法有什么区别？
例4表明，同一个事件A= “抽到两名男生” 发生的概率，在按性别等比例分层抽样时最小，在不放回简单随机抽样时次之，在有放回简单随机抽样时最大.
因此，抽样方法不同，则样本空间不同，某个事件发生的概率也可能不.
课堂练习
【2022年全国甲卷】从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.【详解】从6张卡片中无放回抽取2张，共有
15种情况，其中数字之积为4的倍数的有
6种情况，故概率为
课堂练习
课堂练习
B
课堂练习
（17-国2）从分别写有1,2,3,4,5 的5 张卡片中随机抽取1 张，放回后再随机抽取1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
D
课堂小结
1. 古典概型： (1)有限性; (2)等可能性.
其中，n(A) 和 n(Ω)分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.
2. 古典概型概率计算公式：
3. 求解古典概型问题的一般思路:
（1）明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号表示试验的可能结果
（2）根据实际问题情境判断样本点的等可能性；
（3）计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率.