相似三角形的判定课件
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课件56张PPT。相似三角形的判定新课导入∠A =∠A1，∠B =∠B1，∠C =∠C1，AB : A1B1 =BC : B1C1 =CD : C1D1 = k当时，则△ABC 与△A1B1C1 相似，记作△ABC ∽ △A1B1C1。 要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上。注意相似三角形 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 相似的表示方法符号：∽ 读作：相似于 相似比AB : A1B1 =BC : B1C1 =CD : C1D1 = k时，则△ABC 与△A1B1C1 的相似比为 k .
或△A1B1C1 与△ABC 的相似比为 .这两个风筝图形相似，观察并思考：ABAA1B1C1大胆猜想，那么，
若已知AB∥A1B1，
能否得出△ABC1 ∽ △A1B1C1AB∥A1B1 除了根据相似三角形的定义来判断是否相似，还有其它的方法吗？教学目标 理解相似三角形的判定方法．知识与能力 以问题的形式，创设一个有利于学生动手和探究的情境，达到学会本节课所学的相似三角形的判定方法．过程与方法 培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值． 情感态度与价值观教学重难点 会应用相似三角形的两个判定方法。
怎样选择合格的判定方法来判定两个三角形相似。
抓住判定方法的条件，通过已知条件的分析，把握图形的结构特点。 已知：DE//BC，且D是边AB的中点，DE交AC于E .
猜想：△ADE与△ABC有什么关系?并证明。证明:且 ∠A= ∠A∵ DE // BC∴∠1 =∠B，∠2 =∠C∴ △ADE与△ABC的对应角相等相似。12三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似，相似比 。 ∴ 四边形DBFE是平行四边形∴ DE=BF , DB= EF∴ △ADE ∽ △ABCF过E作EF//AB交BC于F 又∵ DE // BC又∵ AD = DB∴ AD = EF∵ ∠A =∠3，∠2 =∠C∴ △ADE≌△EFC∴ DE = FC =BF，∴∴ ∴ △ADE与△ABC的对应边成比例23AE=EC已知：DE//BC，△ADE与△ABC有什么关系?
猜想：△ADE与△ABC有什么关系?相似。ABCDEF当点D在AB上任意一点时，上面的结论还成立吗？12你能证明吗？平行于三角形一边的定理即：
在△ABC中，
如果DE∥BC，
那么△ADE∽△ABCA型 你还能画出其他图形吗？ 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。延伸即：
如果DE∥BC，
那么△ADE∽△ABC你能证明吗？X型 平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例。推论即：
在△ABC中，
如果DE∥BC，
那么（上比全，
全比上）（上比下，下比上）（下比全，全比下）相似具有传递性△ADE∽△ABCMN 如果再作 MN∥DE ，共有多少对相似三角形？△AMN∽△ADE△AMN∽△ABC共有三对相似三角形。回顾并思考三角、三边对应相等的两个三角形全等三角对应相等, 三边对应成比例的两个三角形相似 角边角A
S
A角角边A
A
S边边边S
S
S边角边S
A
S斜边与直角边H
L 判定三角形相似，是不是也有这么多种方法呢？已知：△ABC∽△A1B1C1.求证：有效利用判定定理一去求证。 证明：在线段 （或它的延长线）上截取 ，过点D作 ，交 于点E根据前面的定理可得 .DE∴又DE∴∴∴（SSS）∵∴ 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。判定三角形相似的定理之一△ABC∽△A1B1C1.即：
如果
那么 三边对应成比例，两三角形相似。√求证：∠BAD=∠CAE。∴ΔABC∽ΔADE
∴∠BAC=∠DAE
∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC
即∠BAD=∠CAE小练习已知：解：∵已知：△ABC∽△A1B1C1.求证：∠B =∠B1 .你能证明吗？ 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。判定三角形相似的定理之二两边对应成比例，且夹角相等，
两三角形相似。√△ABC∽△A1B1C1.即：
如果∠B =∠B1 .那么 大家一起画一个三角形 ，三个角分别为60°、45°、75°，大家画出的三角形相似吗?同桌的同学，通过测量对应边的长度进行比较。即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形_______。相似一定需要三个角吗？已知：△ABC∽△A1B1C1.求证：∠A =∠A1，∠B =∠B1 .你能证明吗？ 如果两个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。判定三角形相似的定理之三两角对应相等，两三角形相似。△ABC∽△A1B1C1.即：
如果那么√∠A =∠A1，∠B =∠B1 . 如果两个三角形有一个内角对应相等，那么这两个三角形一定相似吗？一角对应相等的两个三角形不一定相似。常用的成比例的线段：常用的相等的角：
∠A =∠DCB ；∠B =∠ACD已知：DE∥BC，EF∥AB.
求证：△ADE∽△EFC. 解: ∵ DE∥BC，EF∥AB（已知） ∴∠ADE＝∠B＝∠EFC （两直线平行，同位角相等）∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等） ∴ △ADE∽△EFC
（两个角分别对应相等的两个三角形相似）相似三角形对应高的比等于相似比 ∵△ ABC∽ △ A1B1C1
∴∠B = ∠B1
又∵∠ADB = ∠ A1D1B1 =900
∴△ ADB∽△ A1D1B1（角角）DD1证明：∴相似三角形对应角平分线的比等于相似比∵ △ ABC∽ △ A1B1C1
∴ ∠B = ∠B1，∠BAC = ∠B1A1C1
∵ AD，A1D1分别是∠BAC和∠B1A1C1的角平分线
∴ ∠BAD = ∠B1A1D1
∴ △ ADB∽△ A1D1B1（角角）DD1证明：∴相似三角形对应中线的比等于相似比DD1已知：△ABC∽△A1B1C1.求证：你能证明吗？Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1. 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。判定三角形相似的定理之四△ABC∽△A1B1C1.即：
如果那么√Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1.课堂小结1. 相似图形三角形的判定方法： 通过定义
平行于三角形一边的直线
三边对应成比例
两边对应成比例且夹角相等
两角对应相等
两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例（三边对应成比例，三角相等）（SSS）（AA）（SAS）（HL） 对应角相等。
对应边成比例。
对应高的比等于相似比。
对应中线的比等于相似比。
对应角平分线的比等于相似比。2. 相似三角形的性质：（1）所有的等腰三角形都相似。
（2）所有的等腰直角三角形都相似。
（3）所有的等边三角形都相似。
（4）所有的直角三角形都相似。
（5）有一个角是100 °的两个等腰三角形都相似。
（6）有一个角是70 °的两个等腰三角形都相似。
（7）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。
（8）相似的两个三角形一定大小不等。1. 判断下列说法是否正确？并说明理由。√×√×√×√×随堂练习 2. AD⊥BC于点D， CE⊥AB于点 E ，且交AD于F，你能从中找出几对相似三角形？
50°30°100°30°30°3. 下面两组图形中的两个三角形是否相似？为什么？ACBA1C1B1DEFABC60°相似相似 4. 过△ABC(∠C>∠B)的边AB上一点D 作一条直线与另一边AC相交，截得的小三角形与△ABC相似，这样的直线有几条？CD ●ＡＢBCADEEBCAD△ ADE∽ △ABC△ AED∽ △ABC∠A=∠A
∠AED=∠C∠A=∠A
∠AED=∠B作DE，使∠AED=∠C作DE，使∠AED=∠B这样的直线有两条： 5. 已知：如图，AB∥EF ∥CD，图中共有___对相似三角形。3△EOF∽△COD AB∥EF△AOB∽ △FOE AB∥CDEF∥CD△AOB ∽△DOC 6. 如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形________。
7. 若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB=3 cm，A′B′=4 cm，那么△A′B′C′与△ABC的相似比是________。
8. 若△ABC的三条边长的比为3cm、5cm、6cm,与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12 cm，那么A′B′C′的最大边长是________。全等4︰324cm 9. 如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，
（1）请找出图中所有的相似三角形；
（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____。△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC1:4解: （1）∵ DE ∥ BC∴ △ADE∽△ABC∵∠AED =∠C = 400在△ADE中，∠ADE =180°-40°-45°= 95°10. 已知：DE∥BC，AE=50cm，EC=30cm，
BC=70cm，∠BAC=45°，∠ACB=40°
求：（1）∠AED和∠ADE的大小。
（2）求DE的长。（2） ∵△ADE∽△ABC∴
或△A1B1C1 与△ABC 的相似比为 .这两个风筝图形相似，观察并思考：ABAA1B1C1大胆猜想，那么，
若已知AB∥A1B1，
能否得出△ABC1 ∽ △A1B1C1AB∥A1B1 除了根据相似三角形的定义来判断是否相似，还有其它的方法吗？教学目标 理解相似三角形的判定方法．知识与能力 以问题的形式，创设一个有利于学生动手和探究的情境，达到学会本节课所学的相似三角形的判定方法．过程与方法 培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值． 情感态度与价值观教学重难点 会应用相似三角形的两个判定方法。
怎样选择合格的判定方法来判定两个三角形相似。
抓住判定方法的条件，通过已知条件的分析，把握图形的结构特点。 已知：DE//BC，且D是边AB的中点，DE交AC于E .
猜想：△ADE与△ABC有什么关系?并证明。证明:且 ∠A= ∠A∵ DE // BC∴∠1 =∠B，∠2 =∠C∴ △ADE与△ABC的对应角相等相似。12三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似，相似比 。 ∴ 四边形DBFE是平行四边形∴ DE=BF , DB= EF∴ △ADE ∽ △ABCF过E作EF//AB交BC于F 又∵ DE // BC又∵ AD = DB∴ AD = EF∵ ∠A =∠3，∠2 =∠C∴ △ADE≌△EFC∴ DE = FC =BF，∴∴ ∴ △ADE与△ABC的对应边成比例23AE=EC已知：DE//BC，△ADE与△ABC有什么关系?
猜想：△ADE与△ABC有什么关系?相似。ABCDEF当点D在AB上任意一点时，上面的结论还成立吗？12你能证明吗？平行于三角形一边的定理即：
在△ABC中，
如果DE∥BC，
那么△ADE∽△ABCA型 你还能画出其他图形吗？ 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。延伸即：
如果DE∥BC，
那么△ADE∽△ABC你能证明吗？X型 平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例。推论即：
在△ABC中，
如果DE∥BC，
那么（上比全，
全比上）（上比下，下比上）（下比全，全比下）相似具有传递性△ADE∽△ABCMN 如果再作 MN∥DE ，共有多少对相似三角形？△AMN∽△ADE△AMN∽△ABC共有三对相似三角形。回顾并思考三角、三边对应相等的两个三角形全等三角对应相等, 三边对应成比例的两个三角形相似 角边角A
S
A角角边A
A
S边边边S
S
S边角边S
A
S斜边与直角边H
L 判定三角形相似，是不是也有这么多种方法呢？已知：△ABC∽△A1B1C1.求证：有效利用判定定理一去求证。 证明：在线段 （或它的延长线）上截取 ，过点D作 ，交 于点E根据前面的定理可得 .DE∴又DE∴∴∴（SSS）∵∴ 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。判定三角形相似的定理之一△ABC∽△A1B1C1.即：
如果
那么 三边对应成比例，两三角形相似。√求证：∠BAD=∠CAE。∴ΔABC∽ΔADE
∴∠BAC=∠DAE
∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC
即∠BAD=∠CAE小练习已知：解：∵已知：△ABC∽△A1B1C1.求证：∠B =∠B1 .你能证明吗？ 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。判定三角形相似的定理之二两边对应成比例，且夹角相等，
两三角形相似。√△ABC∽△A1B1C1.即：
如果∠B =∠B1 .那么 大家一起画一个三角形 ，三个角分别为60°、45°、75°，大家画出的三角形相似吗?同桌的同学，通过测量对应边的长度进行比较。即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形_______。相似一定需要三个角吗？已知：△ABC∽△A1B1C1.求证：∠A =∠A1，∠B =∠B1 .你能证明吗？ 如果两个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。判定三角形相似的定理之三两角对应相等，两三角形相似。△ABC∽△A1B1C1.即：
如果那么√∠A =∠A1，∠B =∠B1 . 如果两个三角形有一个内角对应相等，那么这两个三角形一定相似吗？一角对应相等的两个三角形不一定相似。常用的成比例的线段：常用的相等的角：
∠A =∠DCB ；∠B =∠ACD已知：DE∥BC，EF∥AB.
求证：△ADE∽△EFC. 解: ∵ DE∥BC，EF∥AB（已知） ∴∠ADE＝∠B＝∠EFC （两直线平行，同位角相等）∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等） ∴ △ADE∽△EFC
（两个角分别对应相等的两个三角形相似）相似三角形对应高的比等于相似比 ∵△ ABC∽ △ A1B1C1
∴∠B = ∠B1
又∵∠ADB = ∠ A1D1B1 =900
∴△ ADB∽△ A1D1B1（角角）DD1证明：∴相似三角形对应角平分线的比等于相似比∵ △ ABC∽ △ A1B1C1
∴ ∠B = ∠B1，∠BAC = ∠B1A1C1
∵ AD，A1D1分别是∠BAC和∠B1A1C1的角平分线
∴ ∠BAD = ∠B1A1D1
∴ △ ADB∽△ A1D1B1（角角）DD1证明：∴相似三角形对应中线的比等于相似比DD1已知：△ABC∽△A1B1C1.求证：你能证明吗？Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1. 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。判定三角形相似的定理之四△ABC∽△A1B1C1.即：
如果那么√Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1.课堂小结1. 相似图形三角形的判定方法： 通过定义
平行于三角形一边的直线
三边对应成比例
两边对应成比例且夹角相等
两角对应相等
两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例（三边对应成比例，三角相等）（SSS）（AA）（SAS）（HL） 对应角相等。
对应边成比例。
对应高的比等于相似比。
对应中线的比等于相似比。
对应角平分线的比等于相似比。2. 相似三角形的性质：（1）所有的等腰三角形都相似。
（2）所有的等腰直角三角形都相似。
（3）所有的等边三角形都相似。
（4）所有的直角三角形都相似。
（5）有一个角是100 °的两个等腰三角形都相似。
（6）有一个角是70 °的两个等腰三角形都相似。
（7）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。
（8）相似的两个三角形一定大小不等。1. 判断下列说法是否正确？并说明理由。√×√×√×√×随堂练习 2. AD⊥BC于点D， CE⊥AB于点 E ，且交AD于F，你能从中找出几对相似三角形？
50°30°100°30°30°3. 下面两组图形中的两个三角形是否相似？为什么？ACBA1C1B1DEFABC60°相似相似 4. 过△ABC(∠C>∠B)的边AB上一点D 作一条直线与另一边AC相交，截得的小三角形与△ABC相似，这样的直线有几条？CD ●ＡＢBCADEEBCAD△ ADE∽ △ABC△ AED∽ △ABC∠A=∠A
∠AED=∠C∠A=∠A
∠AED=∠B作DE，使∠AED=∠C作DE，使∠AED=∠B这样的直线有两条： 5. 已知：如图，AB∥EF ∥CD，图中共有___对相似三角形。3△EOF∽△COD AB∥EF△AOB∽ △FOE AB∥CDEF∥CD△AOB ∽△DOC 6. 如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形________。
7. 若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB=3 cm，A′B′=4 cm，那么△A′B′C′与△ABC的相似比是________。
8. 若△ABC的三条边长的比为3cm、5cm、6cm,与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12 cm，那么A′B′C′的最大边长是________。全等4︰324cm 9. 如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，
（1）请找出图中所有的相似三角形；
（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____。△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC1:4解: （1）∵ DE ∥ BC∴ △ADE∽△ABC∵∠AED =∠C = 400在△ADE中，∠ADE =180°-40°-45°= 95°10. 已知：DE∥BC，AE=50cm，EC=30cm，
BC=70cm，∠BAC=45°，∠ACB=40°
求：（1）∠AED和∠ADE的大小。
（2）求DE的长。（2） ∵△ADE∽△ABC∴