3.1.1指数幂的拓展2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册（word 教案）

指数运算与指数函数
3.1.1 指数幂的拓展
(1)知识目标：
掌握有理数指数幂的含义和运算；掌握根式运算与指数运算的内在联系；正确进行有理数指数幂的运算；理解实数指数幂的含义。
(2)核心素养目标：
通过实数指数幂的扩充和相关运算，使学生了解指数运算的发展过程，提高学生数学运算的核心素养。
重点：理解分数指数幂的概念；
难点：用有理数指数幂逼近无理数指数幂.
PPT课件
教学过程
一、复习回顾
在初中，学习了整数指数幂的运算及性质
（个）
师生活动：教师引导学生回忆、整理，与此同时，教师对学生的活动给予评价.
设计意图：回顾整数指数幂的概念及其性质为引入有理数指数幂做准备工作.
二、探索新知
问题背景
薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地的面积(单位hm2)与年数（年）的关系式为
其中为侵害面积的初始值.
问题1：如果求10年后侵害的面积，则；如果求15.5年后侵害的面积，就需要计算，这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢？
预设的答案：指数是分数.
设计意图：通过实际问题让学生体会引入分数指数幂的必要性.
问题2：对于分数指数幂，该如何运算呢？如
师生活动：学生能用自己的语言说清楚即可，之后教师进行点评和补充.
预设的答案：，又，可见.
给定正数和正整数(且互素)，若存在唯一的正数，使得，则称为的次幂.记作，这就是正分数指数幂.
例如：，则；，则
设计意图：帮助学生理解抽象的概念.
教师强调：教学中要让学生反复理解正分数指数幂的意义，由正整数指数幂拓展到正有理数指数幂时，为了使指数有意义，教材反复强调.
问题3：与类似，当底数时，，其中读作“次根号下”，也叫根式运算.请尝试将、化为根式.
师生活动：学生自己写出结果，教师来回巡视指导.由学生代表到黑板写出解答过程.
预设的答案：，；
设计意图：掌握根式与分数指数的相互转化，为引入根式运算做准备.
问题4：是不是所有的根式都可以写成分数指数幂的形式？请举例说明.
师生活动： 小组合作讨论，学生代表回答.
预设的答案：不能写成
设计意图：充分了解正分数指数幂的意义，根据分数指数幂的定义，分数指数幂的条件是：底数.
教师讲评：类似负整数指数幂的定义，给定，正整数，定义
.
问题5：由于整数指数幂、分数指数幂都有意义，因此有理整数幂也是有意义的，那么无理指数幂呢？若,是一个无理数，则该如何理解？为了理解这个问题，请学生阅读教材第75,76页，并在阅读后陈述如何理解？
师生活动：学生自己阅读，在教师的点拨下，用计算器算出结果，深刻体会无理指数幂的内涵.
预设的答案：以为例说明如下
因为，所以
上式左边的数称为的不足近似值，右边的数称为的过剩近似值
借助计算器，可算出越来越趋近于同一个数，即
一般的，给定正数，对任意无理数，都是一个确定的实数.同理
这样，指数运算的指数已经扩充到全体实数了.
问题6：是实数吗？
设计意图：帮助学生特别关注指数幂拓展的逻辑关系.
问题6：给定一个正数，对任意实数，指数幂取值有什么特征？
师生活动：教师提问，学生口头回答.
预设的答案：给定一个正数，对任意实数，指数幂都大于0即.
问题7：0的指数幂应该怎样定义？
师生活动：小组合作讨论，学生代表回答.
预设的答案：0的任意正实数幂都等于0；0的0指数幂和负实数指数幂都没有意义.
三、初步应用
例1.把下列各式中的正数写成正分数指数幂的形式：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
师生活动：学生独立思考，展示解答过程．当学生出现错误时，教师及时加以纠正.
预设的答案：
(1)； (2)；
(3)； (4)
例2.计算：
(1)； (2)； (3).
预设的答案：(1)；
(2)；
(3)
【课堂练习一】
计算下列各式：
①；②.
师生活动：学生独立思考，展示解答过程．
预设的答案： ①.
②【课堂练习二】
2用分数指数幂表示下列各式（字母均表示正实数）.
① ②
预设的答案：① .
②
四、归纳小结，布置作业
本节课我们主要学习了哪些内容 做题过程中注意什么问题？
师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.
预设的答案：
指数幂拓展的过程；
正分数指数幂的概念形成及实数指数幂的概念形成有什么区别？
注意的问题
（1）负数的分数指数幂，在某些情况下是没有意义的，如，但却是有意义的，避免情况过于复杂，所以对分数指数幂的底数统一要求为正数，这也是后面指数函数底数要求为正数的原因。
（2）为了便于指数幂的运算，一般都将根式化成分数指数进行运算，这样便于利用指数运算律进行指数幂的运算.
作业布置
教材P77，习题3-1：A组第1、2、3，B组第1题.
五、目标检测设计
1．若有意义，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
设计意图：考查根式与分数指数幂的转化.
2．下列各等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
设计意图：根据分数指数幂的定义判断．
3．运算的结果是（ ）
A．2 B．－2 C．±2 D．不确定
设计意图：考查根式的计算．
4．计算_________．
设计意图：考查根式与分数指数幂的转化及指数幂的运算性质.
5． 的值为________．
设计意图：利用根式的性质求解.
参考答案
A
B
A
8