3.3.1指数函数的概念2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册（word 教案）

指数运算与指数函数
3.3.1 指数函数的概念
(1)知识目标：
掌握指数函数的定义；通过指数函数的图象，归纳出指数函数的性质；利用指数函数的性质在不等式、方程问题中的应用.
(2)核心素养目标：
通过指数函数概念、图象和性质的学习，使学生掌握研究函数的一般方法，提高学生的数学抽象和逻辑推理能力.
重难点：
(1) 指数函数的概念；
(2) 指数函数的图象和性质；
(3) 指数函数性质以及利用指数函数的单调性比较实数大小、解不等式等方面的应用.
PPT课件
一、指数函数概念探究
曾经有人断言，一张A4纸，不可能将其对折超过8次，是不是这样呢？
让我们来计算一下，一张标准A4纸，规格为长29.7cm，宽21cm，厚度大约0.01cm，折叠8次，纸的长度变为29.7×cm，厚度变为0.01×cm，这时纸的长度已经小于厚度了，无法再折叠了。
问题1:假设一张厚度0.01cm的A4纸可以无限折叠下去，那么折叠30次的高度大约是多少？折叠50次呢？
师生活动：小组合作讨论，通过对折白纸得出对折次数与所得层数的关系；通过观察绳子的变化，得出剪的次数与剩下的绳长之间的关系.
预设的答案：折叠30次，厚度为0.01×km，大约是12个珠穆朗玛峰的高度了；折叠50次，厚度为0.01×km，约为1.13亿km，地球与太阳的距离约1.5亿km，已接近地球与太阳的距离了。
设计意图：通过探究折纸问题与剪绳问题，导入新课.
问题2:
(1)上面的两个关系式是我们之前学过的某一函数吗？
(2)那它们是函数吗？
(3)有何共同特征？
师生活动：思考问题2，并回答问题,教师引入指数函数的定义,对于给定正数，且时，对于任意的实数，都有唯一确定的与之对应.因此是一个定义在实数集上的函数,称为指数函数.其中是自变量，且.指数函数的定义域为,值域为.
预设的答案：(1)不是学过的函数;(2)是函数，为自变量，为因变量，随的变化而变化;(3)函数解析式都是指数形式，底数为定值，且自变量在指数位置.
设计意图：通过对这三个问题的思考，抽象出指数函数的概念，体现了数学抽象与直观想象的核心素养.
问题3：知道了指数函数的定义，我们能够判断出怎样的函数叫做指数函数吗？
师生活动：教师引导学生从形式定义入手，由指数函数的定义(且)可知，在形式上需从指数，底数，系数三方面说明，学生思考判断函数为指数函数的依据，并发表自己的见解.
预设的答案：
1.指数为单一的
2.大于0且不等于1
3.系数为1，且不含其它项
设计意图：学生通过对形式定义的理解，思考判断函数为指数函数的依据.
问题4：判断下列函数哪些为指数函数？
师生活动：学生独立完成，教师强调判断技巧，判断某些函数是否为指数函数，要看它等价化简之后的形式.
预设的答案: 是指数函数.其它都不是.
设计意图：加深对指数函数的定义的理解，运用判断依据判断哪些函数为指数函数，再次强调判断依据.
问题5：为什么规定底数且？
师生活动：学生思考，以四人为一组讨论，并进行分享.
预设的答案: 若，中不能取像这样的数，此时，函数图象不连续，若，则函数即为，图象过于简单，没有研究的价值.
设计意图：培养学生合作探究以及逻辑推理的能力.
指数函数(且)的图象和性质探究
问题6：如何讨论一个函数的性质，用什么方法？从什么角度？
预设的答案:（用华罗庚的名言“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休”引出数形结合法研究函数的性质）
教师：指数函数的图象是怎样的？有怎样的性质呢？首先让我们研究一下底数大于1的情形。
动手实践1：作出指数函数、的图象.
列表、描点、连线得函数的图象如图
… …
… …
同理可作出指数函数的图象
预设的答案:
问题7：两个函数图象有什么共同特征？
师生活动：学生合作讨论，小组代表回答，教师点拨补充.
预设的答案: 定义域为,值域为;图象过点,函数在上是增函数，当时，当时；当时，；当时， ，当时， .
设计意图：从特殊到一般，为引入指数函数性质作铺垫，培养学生的观察能力 .
规律总结：一般的，指数函数，当时
①定义域为，值域为，图象过定点；
②函数在上是增函数，当时，当时；
③对于指数函数和（），当时,;当时;当时.
动手实践2：作出指数函数的图象.
列表、描点、连线得函数的图象如图
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… …
同理可作出指数函数的图象
问题8：这两个函数图象有什么共同特征？
师生活动：学生合作讨论，小组代表回答，教师点拨补充.
预设的答案: 定义域为,值域为;图象过点,函数在上是减函数，当时，当时；当时，；当时， ，当时， .
设计意图：从特殊到一般，为引入指数函数性质作铺垫，培养学生的观察能力 .
规律总结：一般的，指数函数，当时
①定义域为，值域为，图象过定点；
②函数在上是增函数，当时，当时；
③对于指数函数和（），当时当时,;当时;
三、初步应用
例1.比较下列各题中两个数的大小：
（1）; （2）；
师生活动：教师点拨补充,PPT演示解答过程.
预设的答案:由指数函数，当时，函数在上单增
(1)，∴
(2)，∴
设计意图：熟悉指数函数的性质应用.
例2.（1）求使不等式成立的实数的集合；
（2）已知方程，求实数的值；
师生活动：教师点拨补充,PPT演示解答过程.
预设的答案:
（1）不等式，即，由函数在上单增，得，所以实数的集合为；
（2）方程，即，得，所以.
设计意图：指数函数的性质的灵活应用.
例3.比较下列各题中两个数的大小：
（1） （2）；
师生活动：学生类比例1的做法，独立完成，由学生代表上台展示.
预设的答案:由指数函数，当时，函数在上单调递减
设计意图：熟悉指数函数的性质应用.
课堂练习
【课堂练习一】
解不等式；
【课堂练习二】
(2)已知函数（为常数，且）的图象经过点,.
① 求函数的解析式；
②若函数，求的值域.
师生活动：学生独立完成，学生代表在黑板完成解答，教师做出评价.
预设的答案:
(1) 不等式，即
∵函数为增函数，∴，解得
不等式的解集为．
(2) ①图象经过点，得，解得
函数的解析式为
②
，，∴
所以.
设计意图：充分掌握指数函数的性质应用.
四、归纳小结，布置作业
问题10：本节课我们主要学习了哪些内容
师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.
预设的答案：
指数函数的定义及特征；指数函数的性质应用.
教材P89，习题3-3：A组第3、4、5、6，B组第1、2、3题.
五、目标检测设计
1．函数，且，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
设计意图：考查指数函数求值.
2．函数则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
设计意图：考查分段函数中的指数函数求值.
3．函数是指数函数，则a的取值范围是________．
4．已知是指数函数，则实数m的值是___________．
设计意图：3,4考查根据指数函数的形式特征求参数的值.
5．指数函数图像经过点，
（1）求函数的解析式；
（2）解不等式.
设计意图：考查指数函数的定义和简单性质.
参考答案：
1.B
2．C
3．
4．3
5．（1）；（2）；
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