指数运算与指数函数
3.3.2 指数函数的图象和性质
(1)知识目标:
进一步掌握指数函数的图象和性质;掌握指数型函数的图象变换方法;利用指数函数的性质解决简单的复合函数问题。
(2)核心素养目标:
通过指数函数图象和性质的应用,使学生感悟函数思想方法在解决相关数学问题中的重要作用,提高学生的数学抽象和逻辑推理能力。
重难点:
(1) 指数函数的图象和性质的综合应用;
(2) 指数型函数的图象变换、简单的复合函数问题。
PPT课件
一、复习回顾
问题1:指数函数解析式有什么特征?
预设的答案:
1.指数为单一的
2.大于0且不等于1
3.系数为1,且不含其它项
问题2:从函数的定义域、值域、单调性等方面说一下指数函数有哪些性质?
预设的答案:
图象
性质 (1)定义域:
(2)值域:
(3)过定点
(4)当时 当时 (4)当时 当时
(5)在上是增函数, 当时, 当时 (5)在上是减函数, 当时, 当时
设计意图:复习回顾指数函数的图象和性质,为本节课利用函数性质解决问题做好铺垫.
新课探究
问题3:对于底数互为倒数的两个指数函数图象有什么关系,请通过具体实例做出规律总结.
动手实践:在同一坐标系中作出与两个函数的图象,并思考两个图象间的关系.
师生活动:学生独立完成作图,交流讨论,教师巡视指导.最后师生共同总结出图象变换的规律.
预设的答案:在同一坐标系中作出两个函数的图象,如图:
函数与函数的图象关于轴对称,即函数与函数的图象关于轴对称。
师生总结:
常见的几种函数图象变换:
①函数的图象函数的图象
函数的图象函数的图象;
②函数与函数的图象关于轴对称
函数与函数的图象关于轴对称;
③函数的图象是函数的图象原轴上方的部分不变,将轴下方的部分对称到轴上方,
函数的图象是函数的图象原轴右侧的部分不变,去掉原轴左侧的部分,再将原轴右侧的部分对称到轴左侧.
设计意图:加强学生对指数函数图象的认识.
三、初步应用
例4.求下列函数的值域:
(1); (2);
师生活动:学生思考,教师点拨,并在黑板展示解答的详细过程.
预设的答案: (1) 指数函数在上单增,,∴函数的值域
(2) 指数函数在上单减,∵,∴,
∴函数当时,值域.
设计意图:加强学生对指数函数性质的应用.
例5.比较下列各题中两个数的大小:
(1) (2),;
师生活动:教师提问点拨,PPT演示解答过程.师生共同总结做题规律:指数式的大小比较,一般先将底数(或指数)变成相同,再利用指数函数的单调性进行比较,如果无法同底数或同指数,一般通过中间式或中间量(如0、1等)进行比较。
预设的答案: (1)由指数函数的性质,底数,,即
底数,,即,∴
(2) 由指数函数的性质,底数,
底数,,,∴:
设计意图:考查利用指数函数的性质研究不同底数指数幂的比较大小.
例6.已知,比较和的大小,并说明理由.
师生活动:教师提问点拨,强调注意事项,学生交流回答.
预设的答案::设函数
若,则函数单增,,则
若,
若,则函数单减,,则
设计意图:当指数函数底数不确定时,引导学生要有讨论的意识.
课堂练习
【课堂练习一】
求函数在区间上的值域;
【课堂练习二】
已知函数.
①若函数的图象如图1,求的值;
②若函数的图象如图2,求的取值范围;
③在①中,若有且仅有一个实数解,求的取值范围.
预设的答案::(1)函数即为
设,∵∴,
函数,
当即时,,当即时,
所以函数的值域为.
(2) ①由图知,函数图象过点
得,即;
②由图知,函数单减,故
又,得,即;
③由①得函数的图象如图,则有且仅有一个实数解
得或.
四、归纳小结,布置作业
问题4:本节课我们主要学习了哪些内容
师生活动:学生尝试总结,老师适当补充.
预设的答案:
指数函数的图象变换;指数函数的性质应用:不同底数指数幂比较大小;指数函数值域.
设计意图:对指数函数有整体的认识.对指数函数的性质有充分的理解.
教材P89,习题3-3:A组第1、2、7,B组第4、5、6题.
五、目标检测设计
参考答案:
1.函数的定义域是( )
A. B. C. D.
设计意图:考查指数不等式的解法.
2.设a=21.2,b=30.3,c=40.5,则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.b<c<a
设计意图:考查指数函数单调性,找到中间量比较不同底数指数幂的大小.
3.函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
设计意图:考查指数函数的图象,并能对 进行分情况说明.
4.直线与函数且的图像有两个公共点,则的取值范围是________
设计意图:考查图象变换,加强学生的讨论意识.
设函数,则________;函数在区间的最大值为_________.
设计意图:考查换元法求函数值域.
参考答案:
1.B
2. D.
3.D
4.
5.
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