【金版学案，同步备课】2014-2015学年高中数学（人教必修五）配套课时训练：第一章　解三角形（7份）

数学·必修5(人教A版)
正、余弦定理综合
?基础达标
1．在△ABC中，若＝，则角B的值为(　　)
A．30°　　　 B．45°　 　　C．60°　 　　D．90°
解析：由＝及正弦定理得：
＝，
∴＝1，tan B＝1.又∵0°∴B＝45°，故选B.
答案：B
2．已知三角形的三边长分别是a，b，，则此三角形中最大的角是(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
解析：∵>a，>b，∴最大边是，设其所对的角为θ，则cos θ＝＝－，θ＝120°.
答案：C
3．在△ABC中，下列关系式(　　)
①asin B＝bsin A　②a＝bcos C＋ccos B　③a2＋b2－c2＝2abcos C　④b＝csin A＋asin C
一定成立的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：C
4.△ABC中，cos A＝－sin A，则A的值为(　　)
A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.或 
解析：解法一：代入检验，故选D.
解法二：由cos A＝－sin A?cos A＋sin A＝?sin A＋cos A＝，∴sin (A＋30°)＝，
∵30°∴A＋30°＝60°或120°，故A＝30°或90°，选D.
答案：D
5．(2013·天津卷)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝(　　)
A. B. C. D.
答案：C
?巩固提高
6．锐角三角形ABC中，sin A和cos B的大小关系是(　　)
A．sin A＝cos B B．sin A＜cos B
C．sin A＞cos B D．不能确定
解析：在锐角三角形ABC中，A＋B＞90°，
∴A＞90°－B，
∴sin A＞sin(90°－B)＝cos B．故选C.
答案：C
7．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定是(　　)
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析：因为B＝60°，b2＝ac，由余弦定理b2＝a2＋c2－2acos B，得ac＝a2＋c2－ac，所以(a－c)2＝0，所以a＝c.所以△ABC是等边三角形．
答案：D
8．在△ABC中，已知＝＝，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰或直角三角形
解析：由正弦定理得：＝＝＝2R，
所以a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C
由已知得：＝＝，所以＝＝，所以tan A＝tan B＝tan C，可得A＝B＝C，即三角形为等边三角形．
答案：C
9．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝asin C－ccos A.
(1)求A;
解析：由c＝asin C－ccos A及正弦定理得
sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0.
由于sin C≠0，所以sin＝.
又0(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.
解析：△ABC的面积S＝bcsin A＝，故bc＝4.
而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8.
解得b＝c＝2.
10．在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，
AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．
解析：在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得cos∠ADC＝＝＝－.
∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°，
在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，
由正弦定理得＝.
∴AB＝＝＝＝5.
1．正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具，正确选择适合试题特点的公式极为重要，当使用一个定理无法解决问题时，要及时考虑另外一个定理．
2．三角函数中的公式在解决三角形问题时是不可或缺的，应该养成应用三角公式列式化简的习惯．
3．注意A＋B＋C＝π式的运用，sin A＝sin(B＋C).

数学·必修5(人教A版)
空间距离问题
?基础达标
1．江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部侧得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距(　　)
A．10米　　　 B．100米
B．20米 D．30米
解析：
设炮台顶部为A，两条船分别为B、C，炮台底部为D，如图，可知∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，∠BDC＝30°，AD＝30.
分别在Rt△ADB，Rt△ADC中，求得DB＝30，DC＝30.
在△DBC中，由余弦定理得
BC2＝DB2＋DC2－2DB·DCcos 30°，
解得BC＝30.
答案：D
2.飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面固定目标C的俯角为30°，向前飞行10 000米，到达B处，此时测得正前下方地面目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为(　　)
A．2500(＋1)米 B．2500(－1)米
C.4000米 D．4000 米
解析：如下图所示，CD为AB边上的高，
BD即为飞机与目标C的水平距离．
由外角定理，∠ACB＝75°－30°＝45°.
在△ABC中，由正弦定理得：＝，
∴BC＝5 000.
又在Rt△ACD中，BD＝BC·cos 75°＝
5 000·(－)＝2 500(－1)．
[注：cos 75°＝(－)]
答案：B
3．在200 m的山顶上，测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为(　　)
A. m B. m
C. m D. m
解析：如下图所示，由题意知∠PBC＝60°，
∴∠ABP＝90°－60°＝30°，又∠BPA＝60°－30°＝30°，
∴AB＝PA.又在Rt△PBC中，BC＝200·tan 30°，
∴在Rt△PAD中，PA＝＝.
∵PA＝AB，∴AB＝.故选A.
答案：A
4．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°视角，则B、C间的距离是(　　)
A．10海里 B.海里
C．5海里 D．5海里
解析：在△ABC中，∠C＝180°－60°－75°＝45°，
由正弦定理得：＝，
∴BC＝5.故选D.
答案：D
5．在一座20 m高的观测台测得对面一水塔塔顶的仰角为60°，塔底的俯角为45°，观测台底部与塔底在同一地平面，那么这座水塔的高度是________m.
答案：20(1＋)
?巩固提高
6．
如右图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树梢的仰角为30°、45°，且A、B两点之间的距离为60 m，则树的高度h为(　　)
A．(30＋30)m B．(30＋15)m
C．(15＋30)m D．(15＋3)m
答案：A
7．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行可回到它的出发点，那么x＝________cm.
解析：如下图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝10，
∠ABC＝180°－105°＝75°，
∠BCA＝180°－135°＝45°.
∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°.由正弦定理得：
＝，∴x＝.
答案：
8．(2013·陕西卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形　 B．直角三角形
C．钝角三角形　 D．不确定
解析：因为bcos C＋ccos B＝asin A，所以sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin Asin A，又sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A．联立两式得sin A＝sin Asin A.
所以sin A＝1，A＝，选B.
答案：B
9．为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距30 m的楼的楼顶C处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为多少米？
解析：如下图所示，依题意∠ACE＝30°，∠ECB＝45°，DB＝30，所以CE＝30，
BE＝30，AE＝10，所以AB＝(30＋10)米．
10.
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如右图所示)的东偏南θ方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时间有多少小时？
解析：设经过t小时台风中心移动到Q点时，台风边沿恰经过O城，由题意可得：
OP＝300，PQ＝20t，OQ＝r(t)＝60＋10t，∠OPQ＝α.因为cos θ＝，α＝θ－45°，
所以sin θ＝，cos α＝，
由余弦定理可得：
OQ2＝OP2＋PQ2－2·OP·PQ·cos α，
即(60＋10t)2＝3002＋(20t)2－2×300×20t×，
即t2－36t＋288＝0，解得：
t1＝12，t2＝24，t2－t1＝12，
答：12小时后该城市开始受到台风侵袭，受到台风侵袭的时间有12小时．
1.利用正弦定理和余弦定理来解空间距离问题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．
2．测量高度的一般方法是选择能观察到测量物体的两点，分别测量仰角或俯角，同时测量出两个观测点的距离，再利用解三角形的方法进行计算.

数学·必修5(人教A版)
面积问题
?基础达标
1．在△ABC中，a＝， b＝，C＝45°，则三角形的面积为(　　)
A.　　 　B.　 　　C. 　　　D.
解析：S△ABC＝absin C＝××＝.
答案：A
2．在△ABC中，a＝5，c＝7，C＝120°，则三角形的面积为(　　)
A. B. C. D.
解析：由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，即
72＝52＋b2＋5b，
∴b＝3或b＝－8(舍去)，
∴S△ABC＝absin C＝.
答案：C
3.已知三边的长分别为a＝5，b＝7，c＝8，则三角形的面积为(　　)
A．15 B．10 C．5 D．10
解析：由余弦定理得：cos C＝＝，
∴sin C＝，∴S△ABC＝absin C＝10.选B.
答案：B
4.△ABC中，下述表达式：①sin(A＋B)＋sin C；②cos(B＋C)＋cos A表示常数的是(　　)
A．①和② B．①
C．② D．不存在
解析：①sin (A＋B)＋sin C＝sin (π－C)＋sin C＝2sin C，不是常数；
②cos (B＋C)＋cos A＝cos (π－A)＋cos A＝0，是常数．
答案：C
5．在△ABC中，b＝2，c＝，△ABC的面积为，则角A＝________.
解析：由面积公式S＝bcsin A，得
×2×·sin A＝，
∴sin A＝，A＝60°或120°.
答案：60°或120°
6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos A＝，若b＝2，△ABC的面积为3，则边长a＝________.
解析：∵cos A＝，∴sin A＝.由面积公式S＝bcsin A得：·2·c·＝3，∴c＝5.
由余弦定理得：a2＝22＋52－2×2×5×＝13，
∴a＝.
答案：
?巩固提高
7．若三角形的一个内角α满足sin α＋cos α＝，则这个三角形一定是(　　)
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．以上三种情况都可能
解析：∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝，
即：1＋2sin αcos α＝，
即：2sin αcos α＝－(<0)．
∵sin α>0，∴cos α<0.∴α为钝角．
答案：A
8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若B＝120°，b＝，a＋c＝4，则△ABC的面积为________．
解析：由余弦定理得：
b2＝c2＋a2－2accos B，
所以(a＋c)2－ac＝13，ac＝3，所以三角形ABC面积为S＝acsin 120°＝.
答案：
9．在△ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积S＝，求角C.
解析：由余弦定理得：
S＝(a2＋b2－c2)＝·2abcos C，
即：absin C＝·2abcos C.
∴tan C＝1.∴C＝.
10.
在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求S四边形ABCD.
解析：过点A作AE⊥BD于E，在Rt△ADE中，AD＝10，∠BDA＝60°，∴DE＝5，AE＝5.
在Rt△ABE中，BE＝＝11.
∴BD＝DE＋BE＝5＋11＝16.
∵AD⊥CD，∠BDA＝60°，∴∠BDC＝30°.
又∵∠BCD＝135°，
∴∠CBD＝15°.
在△BCD中，＝，
∴CD＝8(－1)．
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×16×5＋×16×8(－1)×sin 30°＝72－32.
1.求三角形的面积的问题，先观察已知什么，尚缺什么，用正弦定理、余弦定理求出需要的元素，就可以求出三角形的面积．
2．利用正弦定理、余弦定理、面积公式将已知条件转化为方程组是解决复杂问题的常见思路，将方程化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系．
3．许多试题既可用正弦定理也可用余弦定理解决，甚至可以两者兼用，当用一个公式求解受阻时要及时考虑其他公式列式．
4．若试题有单位，回答时要注意书写单位．

数学·必修5(人教A版)
本章概述
课标导读
1.正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
2.应用
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
要点点击
1.边长a、b、c对应角分别为A、B、C，非特殊要求不能改变．
2.注意使用三角形内角和为180°.
3.建立边角关系一般使用正弦定理和余弦定理．
4.多边形和多面体的计算一般通过解三角形来完成．
5.解测量问题时，一般把问题抽象成平面多边形或空间多面体问题，再利用解三角形方法求解.
网络构建
1.1 正弦定理和余弦定理
1．1.1 正弦定理
?基础达标
1．在△ABC中，已知2B＝A＋C，则B＝(　　)

A．30° B．45° C．60° D．90°

解析：由2B＝A＋C?3B＝A＋B＋C＝180°，
即B＝60°，故选C.
答案：C
2.在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝(　　)
A．4 B．2 C. D.
解析：利用正弦定理解三角形．
在△ABC中，＝，
∴AC＝＝＝2.
答案：B
3．在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝(　　)
A．1∶2∶3 B．3∶2∶1
C．1∶∶2 D．2∶∶1
解析：设A＝k，B＝2k，C＝3k，由A＋B＋C＝180°，
得6k＝180°，k＝30°，∴A＝30°，B＝60° ，C＝90°，
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶∶2.
C
答案：C
4．(2013·湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B＝b，则角A等于(　　)
A. B. C. D.
解析：∵＝，∴sin A＝，∵△ABC是钝角三角形，∴A＝.
答案：D
5．在△ABC中，若b＝2，B＝30°，C＝135°，则a＝________.
解析：∵B＝30°，C＝135°，
∴A＝180°－30°－135°＝15°.
由正弦定理，＝得：
a＝＝＝4sin 15°.
又sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝－，
∴a＝－.
答案：－
?巩固提高
6．在△ABC中，如果B＝31°，a＝20，b＝10，则此三角形(　　)
A．有两解 B．有一解
C．无解 D．有无穷多解
解析：∵asin B＞b，∴无解．
答案：C
7．在△ABC中，若a＝3，b＝，∠A＝，则∠C的大小为________．
解析：利用正弦定理及三角形内角和性质求解．
在△ABC中，由正弦定理可知＝，
即sin B＝＝＝.
又∵a>b，∴∠B＝.
∴∠C＝π－∠A－∠B＝.
答案：
8．在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，则AB边上的高是________．
解析：由正弦定理，＝，
∴sin C＝＝＝，
∴C＝60°或120°，
①当C＝60°时，A＝90°，AB边上的高为2；
②当C＝120°时，A＝30°，AB边上的高为2sin 30°＝1.
答案：1或2
9．已知：在△ABC中，A＝45°，c＝，a＝2，解此三角形．
解析：＝?sin C＝＝＝，
当C＝60°时，B＝75°，∴b＝＝＋1.
当C＝120°时，B＝15°，∴b＝＝－1.
10．在△ABC中，若acos A＝bcos B，试判断△ABC的形状．
解析：由正弦定理得，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，由acos A＝bcos B得，sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，
∵2A、2B∈(0,2π)，∴2A＝2B或2A＋2B＝π.
即A＝B或A＋B＝，
∴△ABC为等腰或直角三角形．
1．正弦定理可建立边角关系，角的正弦值越大所对的边就越长．
2．由正弦值得出角的大小时特别要注意的是一个解还是两个解．一般地，已知a，b，A解三角形时，只有当A为锐角且bsin A＜a＜b时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．
3．利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题．
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角．
4．特别强调：把a＝2Rsin A，b＝2Rsin B代入已知等式，可将边角关系全部转化为三角函数关系．

数学·必修5(人教A版)
余弦定理
?基础达标
1．△ABC中，若a＝3，c＝7，∠C＝60°，则边长b为(　　)
A．5　　　　　 B．8
C．5或－8 D．－5或8
解析：由余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴49＝9＋b2－3b?(b－8)(b＋5)＝0.
∵b＞0，∴b＝8.选B.
答案：B
2．在△ABC中，已知三边a＝3，b＝5，c＝7，则三角形ABC是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
解析：何种三角形取决于最大的角．最长的边所对的角最大，由余弦定理知：
cos C＝＝－＜0，
所以C为钝角，故选C.
答案：C
3．在△ABC中，有下列结论：
①若a2＞b2＋c2，则△ABC为钝角三角形；
②若a2＝b2＋c2＋bc，则∠A为60°；
③若a2＋b2＞c2，则△ABC为锐角三角形；
④若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝1∶2∶3.其中正确的个数为(　　)
A．1　　　　B．2　　 　C．3　　　　D．4
解析：①cos A＝＜0，∴A为钝角，正确；
②cos A＝＝－，∴A＝120°，错误；
③cos C＝＞0，∴C为锐角，但A或B不一定为锐角，错误；
④A＝30°，B＝60°，C＝90°，a∶b∶c＝1∶∶2，错误．故选A.
答案：A
4．在△ABC中，a＝7，b＝8，cos C＝，则最大角的余弦值是(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C＝9，
所以c＝3，因为b＞a＞c，所以角B最大，
cos B＝＝－，故选C.
答案：C
5．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则·的值为(　　)
A．－　　 　B．－　　　 C.　　 　D.
解析：由余弦定理得：cos ∠CAB＝＝，所以·＝3×2×＝.
答案：D
?巩固提高
6．已知在△ABC中，＝，则此三角形为(　　)
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
解析：由＝知＝，化简得b＝c.
答案：C
7．在锐角ABC中，若a＝3，b＝3，则边长c的取值范围是________．
解析：因为b＞a，所以只要∠B，∠C为锐角即可，
只要cos B＞0，cos C＞0.
答案：
8．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边长之比为8∶5，则这个三角形的面积是________．
解析：设另两边长分别为8x,5x(x>0)，则cos 60°＝，解得x＝2或x＝－2(舍去)．故另两边长分别是16,10.
所以这个三角形的面积S＝×16×10·sin 60°＝40.
答案：40
9．在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝sin Asin C，求B的度数．
解析：因为sin2B－sin2C－sin2A＝sin Asin C，
由正弦定理得：b2－c2－a2＝ac，
由余弦定理得：cos B＝＝－，
又0°＜B＜180°，∴B＝150°.
10．已知△ABC的顶点为A(1，)，B(－2,2)，C(0,0)，求∠ACB.
解析：由两点间距离公式得：
AB＝＝，
AC＝＝2，
BC＝＝4.
在△ABC中由余弦定理得：
cos∠ACB＝＝.
∴∠ACB＝60°.
1．余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例．
2．余弦定理的应用范围是：
(1)已知三边求三角；(2)已知两边及一个内角，求第三边．
3．已知两边及其中一边所对角用余弦定理时可能有两个解，注意用三边长度关系特点进行取舍.

数学·必修5(人教A版)
1.2　应用举例
1．2.1　平面距离问题
?基础达标
1．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改成10°，则斜坡长为(　　)
A．1 B．2sin 10° C．2cos 10° D．cos 20°
解析：原来的斜坡、覆盖的地平线及新的斜坡构成等腰三角形，这个等腰三角形的底边长就是所求．
答案：C
2．甲船在岛B的正南A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是(　　)
A.分钟 B.小时
C．21.5分钟 D．2.15分钟
答案：A
3．如图，已知A，B，C三地，其中A，C两地被一个湖隔开，测得AB＝3 km，B＝45°，C＝30°，则A、C两地的距离为(　　)
A．3 km B．3 km
C．6 km D．3 km
解析：根据题意，由正弦定理可得＝，代入数值得＝，解得AC＝3.故选A.
答案：A
4．在△ABC中，若C＝90°，a＝6，c＝10，则AB边上的高等于(　　)
A. B. C. D.
解析：如下图所示，Rt△ABC中，b＝＝8，AB边上的高h＝＝.故选D.
答案：D
5.等腰三角形一腰上的高是，底边长为2，则这条高与底边的夹角为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．75°

解析：如下图所示，等腰三角形ABC的腰AB边上的高CH＝，而底边BC＝2，
∴cos ∠BCH＝＝，
∵0°<∠HCB<90°，∴∠HCB＝60°.故选C.
答案：C
6.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在河岸边选定一点C，测出AC的距离是100 m，∠BAC＝60°，∠ACB＝30°，则A、B两点的距离为(　　)
A．40 m B．50 m C．60 m D．70 m
解析：如下图所示，△ABC是Rt△，AB＝AC，
∴AB＝50 m．故选B.
答案：B
?巩固提高
7．两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于2 km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为(　　)
A．2 km B．3 km C．4 km D．5 km
解析：如下图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC＝2，
在△ABC中由勾股定理得：
AB＝＝＝4.故选C.
答案：C
8.
如右图所示，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，在河岸边选定两点C、D，测得CD＝100 m，并且在C、D两点分别测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，则A、B两点的距离为(　　)
A．50 m B．100 m
C．100 m D．100 m
答案：A
9.
如右图所示，某船在海上航行中不幸遇险，并发出呼救信号，我海上救生艇在A处获悉后，立即测出该船的方位角为45°，与之相距10 海里的C处，还测得该船正沿方位角105°的方向以每小时9 海里的速度向一小岛靠近，我海上救生艇立即以每小时21 海里的速度前往营救，试求出该海上救生艇的航向及与呼救船相遇所需时间．
解析：设所需时间为t小时，在点B处相遇，
在△ABC中，AC＝10，AB＝21t，BC＝9t，
∠ACB＝360°－135°－105°＝120°.
由余弦定理：
(21t)2＝102＋(9t)2－2×10×9t×cos 120°，
整理得：36t2－9t－10＝0，
解得：t1＝，t2＝－(舍去)，
由正弦定理得：
＝?
sin ∠CAB＝＝，
∴∠CAB＝21°47′，
答：该海上救生艇的航向为北偏东66°47′，与呼救船相遇所需时间为小时．
10．
如右图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援， 同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1°)?
解析：连接BC，由余弦定理得：
BC2＝202＋102－2×20×10cos 120°＝700.
于是，BC＝10.
∵＝，∴sin ∠ACB＝，
∵∠ACB＜90°，∴∠ACB＝41°.
∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援．
1．解决实际测量问题一般要充分理解题意，正确作出图形，从中抽象出一个或几个三角形把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，然后解三角形，得到实际问题的解．
2．解斜三角形应用题的一般步骤．
(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．
(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．
(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．
(4)检验：检验上述所求的解是否有实际意义，从而得出实际问题的解．
3．平面上两点的距离测量问题一般有如下几类情况：
(1)A、B两点在河的两岸，一点可到达，另一点不可到达．方法是在可到达一侧再找一点进行测量．
(2)A、B两点都在河的对岸(不可到达)．方法是在可到达一侧找两点进行测量．
(3)A、B两点不可到达(如隔着一座山或建筑)．方法是找一点可同时到达A、B两点进行测量.

数学·必修5(人教A版)
一、本章的中心内容是如何解三角形．正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上．通过本章的学习应当达到以下学习目标：
1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
2．能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际生活问题．
3．本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论．在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等，那么这两个三角形全等”．
“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”的边角关系．我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢？在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形”．我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题．
4．在此内容之前我们已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．
5．勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理是勾股定理的推广．
二、学数学的最终目的是应用数学．能把实际问题抽象成数学问题，把所学的数学知识应用到实际问题中去，通过观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题，确定解决问题的科学思维方法，学会把数学知识应用于实际．
1．正弦定理可建立边角关系，角的正弦越大所对的边就越长．
2．由正弦值得出角的大小时特别要注意是一个解还是两个解．一般地，解三角形时，只有当A为锐角且bsin A＜a＜b时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．
3．利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题．
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角．
4．把a＝ksin A，b＝ksin B代入已知等式可将边角关系全部转化为三角函数关系．
5．余弦定理是三角形边角之间的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例．
6．余弦定理的应用范围是：①已知三边，求三角；②已知两边及一个内角，求第三边．
7．已知两边及其中一边所对的角用余弦定理时可能有两个解，注意用三边特点取舍．
解决实际测量问题一般要充分理解题意，正确作出图形，从中抽象出一个或几个三角形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，然后解三角形，得到实际问题的解．
8．解斜三角形应用题的一般步骤．
(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．
(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．
(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．
(4)检验：检验上述所求的解是否有实际意义，从而得出实际问题的解．
9．平面上两点的距离测量问题一般有如下几类情况：
(1)A、B两点都在河的两岸，一点可到达，另一点不可到达．方法是可到达一侧再找一点进行测量．
(2)A、B两点都在河的对岸(不可到达)．方法是在可到达一侧找两点进行测量．
(3)A、B两点不可到达(如隔着一座山或建筑)．方法是找一点可同时到达A、B两点进行测量．
10．利用正弦定理和余弦定理来解高度问题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．
11．测量高度的一般方法是选择能观察到测量物体的两点，分别测量仰角或俯角，同时测量出两个观测点的距离，再利用解三角形的方法进行计算．
12．求三角形的面积的问题，先观察已知什么，尚缺什么，用正弦定理、余弦定理求出需要的元素，就可以求出三角形的面积．
13．利用正弦定理、余弦定理、面积公式将已知条件转化为方程组是解决复杂问题的常见思路，将方程化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系．
14．许多试题既可用正弦定理也可用余弦定理解决，甚至可以两者兼用，当一个公式求解受阻时要及时考虑其他公式列式．
15．本章问题的高考要求不高，学习时要立足基本问题，熟练掌握测量的一般技巧，正确使用定理列方程求解，无须过多延伸与拓广．
题型1　利用正、余弦定理解三角形
解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程，三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径)，解三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积．
解斜三角形包括四种类型：(1)已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求角或用正弦定理求边)；(2)已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边)；(3)已知三边(先用余弦定理求角)；(4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数)．
　在△ABC中，c＝4，b＝7，BC边上的中线AD长为，求a.
解析：如图，设CD＝DB＝x，
在△ACD中，cos C＝，
在△ACB中，cos C＝，
所以＝.
解得x＝.
所以a＝2x＝2×＝9.
　
如图，四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于________．
解析：由余弦定理得
BD2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，
∴BD＝2.
∵BC＝CD＝2，C＝120°，
∴∠CBD＝30°，∴∠ABD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD
＝×4×2sin 90°＋×2×2×sin 120°＝5.
答案：5
题型2　利用正、余弦定理判定三角形的形状
判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理化边为角，如a＝2Rsin A，a2＋b2－c2＝2abcos C等，再利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断，此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A＝sin B?A＝B，sin(A－B)＝0?A＝B，sin 2A＝sin 2B?A＝B或A＋B＝等；二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝，cos A＝等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．
　在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．
解析：解法一：由正弦定理可得2sin B＝sin A＋sin C，
∵B＝60°，∴A＋C＝120°，A＝120°－C，
将其代入上式，得2sin 60°＝sin(120°－C)＋sin C，
展开整理，得sin C＋cos C＝1，
∴sin(C＋30°)＝1，∴C＋30°＝90°.
∴C＝60°，故A＝60°，
∴△ABC是正三角形．
解法二：由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B，
∵B＝60°，b＝，
∴2＝a2＋c2－2accos 60°.
∴(a－c)2＝0，∴a＝c，
∴a＝b＝c，∴△ABC为正三角形．
题型3　三角形解的个数的确定
(1)利用正弦定理讨论：若已知a，b，A，由正弦定理＝，得sin B＝.若sin B＞1，则无解；若sin B＝1，则有一解；若sin B＜1，则可能有两解．
(2)利用余弦定理讨论：已知a，b，A，由余弦定理a2＝c2＋b2－2cbcos A，即c2－(2bcos A)c＋b2－a2＝0.若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形有一解；若方程有两个不同正数解，则三角形有两解．
　在△ABC中，若a＝2，A＝30°，则b为何值时，三角形有一解，两解，无解？
解析：由正弦定理＝得：
①当bsin A＜a＜b时，有两解，此时2＜b＜4；
②当a≥b时或B为90°(b为斜边)时，有一解，此时b≤2或b＝4；
③当a＜bsin A时无解，此时b＞4.
题型4　正、余弦定理在实际问题中的应用
　
如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，求∠DEF的余弦值．
解析：如下图，作DM∥AC交BE于N，交CF于M，
DF＝＝＝10，
DE＝＝＝130，
EF＝＝＝150.
在△DEF中，由余弦定理得：
cos∠DEF＝
＝＝.