数学·必修5(人教A版)
本章概述
课标导读
1.数列的概念和简单表示法
通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数．
2.等差数列、等比数列
(1)通过实例，理解等差数列、等比数列的概念．
(2)探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式．
(3)能在具体的问题情境中发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．
(4)体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系．
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1.等差数列和等比数列有着广泛的应用，学习时应重视通过具体实例(如教育贷款、购房贷款、放射性物质的衰变、人口增长等)理解这两种数列模型的作用，培养我们从实际问题中抽象出数列模型的能力．
2.在数列的学习中，应保证基本技能的训练，通过必要的练习，掌握数列中各量之间的基本关系，但训练要控制难度和复杂程度.
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数列的概念与简单表示法
?基础达标
1．数列1,3,7,15,31，…的一个通项公式为( )
A．an＝2 n B．an＝2n＋1
C．an＝2n －1 D．an＝2n－1
解析：代入检验，选C，另法：将数列的每一项都加1，得到的数列是2,4,8,16,32，…，通项为2n.故原数列的通项为2n－1.
答案：C
2．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(1个分裂为2个)．经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成( )
A．511个 B．512个
C．1 023个 D．1 024个
解析：3小时含9个20分钟，分裂9次后细菌个数为29＝512.
答案：B
3．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )
A．1，，，，…
B．－1，－2，－3，－4，…
C．－1，－，－，－，…
D．1，，，…
答案：C
4．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋2＝an＋1＋，则a5＝ ________.
解析：a3＝a2＋＝4，a4＝a3＋＝，
a5＝a4＋＝.
答案：
5．数列{an}的通项公式是an＝2n＋1(n∈N*)，则37是这个数列的第 __________项．
解析：由2n＋1＝37?n＝18.
答案：18
6．写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)，，，；
(2)－，，－，；
(3)1－，－，－，－.
解析：(1)an＝ (2)an＝(－1)n
(3)an＝－
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7．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝.写出若干项，并归纳出通项公式an＝________.
解析：a2＝＝，a3＝＝，
a4＝＝，a5＝，猜想：an＝.
答案：
8．已知数列满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*, 则a2 010＝________；a2 011＝________.
解析：本题主要考查周期数列等基础知识．属于创新题型．
依题意，得a2010＝a2×1005＝a1005＝a4×252－3＝1.
a2 011＝a4×503－1＝0.
答案：1 0
9．已知数列an＝则a1＋a100＝__________，a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________.
解析：a1＝0，a100＝100，∴a1＋a100＝100；
又a1＝0，a3＝2，a5＝4，…，a99＝98，
而a2＝2，a4＝4，a6＝6，…，a98＝98，a100＝100.
∴a1＋a2＋a3＋…＋a100＝2×(2＋4＋…＋98)＋100＝4 900＋100＝5 000.
答案：100 5 000
10．(1)设数列{an}满足写出这个数列的前5项．
(2)求数列{－2n2＋9n＋3}(n∈N*)的最大项．
解析：(1)由题意可知：
a1＝1，
a2＝1＋＝1＋＝2，
a3＝1＋＝1＋＝，
a4＝1＋＝1＋＝，
a5＝1＋＝1＋＝.
(2)令an＝－2n2＋9n＋3，所以an与n构成二次函数关系．因为an＝－2n2＋9n＋3＝－2＋，且n为正整数，所以当n取2时，an取到最大值13，所以数列{－2n2＋9n＋3}的最大项为13.
1．数列的通项公式不唯一．
例如：an＝与an＝(－1)n表示同一个数列；另外，有些数列可能没有通项公式，如2011年9月1日24时整点时广东平均气温就是一个数列，但它不能用通项公式表示．
2．已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要．
3．注意用观察法求数列通项的一些技巧．如：平方数数列、自然数数列、偶数列、奇数列等要记清．另对分式数列，注意分式分子或分母是否有规律，再看分子与分母是否有联系．
4．注意通项公式的反用，如知项求项数问题或判断一个具体数是不是该数列中的项．
5．注意用函数观点看数列，如求数列最大(小)项及判断数列是否有单调性等.
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等比数列的性质
?基础达标
1.＋1与－1，两数的等比中项是( )
A．1 B．－1 C．±1 D.
解析：设等比中项为b，则b2＝(＋1)·(－1)＝1，∴b＝±1，故选C.
答案：C
2．一个各项都为正数的等比数列，且任何项都等于它后面两项的和，则公比是( )
A. B．－ C. D.
解析：设其中三项为an，an＋1，an＋2(n∈N*)，公比为q，则有an＝an＋1＋an＋2，即an＝anq＋anq2，
∴q2＋q－1＝0.∴q＝.
∵各项都为正数，∴q＝.
答案：D
3．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，….则此数列( )
A．是公比为q的等比数列
B．是公比为q2的等比数列
C．是公比为q3的等比数列
D．不一定是等比数列
答案：B
4．已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1,2…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1的值为( )
A．n(2n－1) B．(n＋1)2
C．n2 D．(n－1)2
解析：由a5·a2n－5＝22n(n≥3)得a2n＝22n，an＞0，则 an＝2n，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2，选C.
答案：C
5．等比数列{an}中，a1＜0，{an}是递增数列，则满足条件的q的取值范围是______．
解析：由an＋1＞an?a1qn＞a1qn－1.
∵a1＜0，
∴qn＜qn－1?qn＜0对任意正整数n都成立．
∴q＞0且1－＜0解得：0＜q＜1.
答案：0＜q＜1
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6．等比数列{an}中，an∈R＋，a4·a5＝32，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a8的值为( )
A．10 B．20 C．36 D．128
解析：log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝log2(a1·a2·a3·…·a8)＝log2(a4a5)4＝4log232＝20.故选B.
答案：B
7．若等比数列{an}满足a2a4＝，则a1aa5＝________.
解析：利用等比数列的性质求解．
∵数列{an}为等比数列，
∴a2·a4＝a＝，a1·a5＝a.
∴a1aa5＝a＝.
答案：
8．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3 (n≥1)，则该数列的通项an＝________.
解析：由a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，∴an＋1＋3＝2(an＋3)(n≥1)，即{an＋3}是以a1＋3＝4为首项，2为公比的等比数列，
an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，所以该数列的通项an＝2n＋1－3.
答案：2n＋1－3
9．设数列{an}是由正数组成的等比数列，公比为2，a1·a2·a3·…·a30＝230，求a3·a6·a9·…·a30的值．
解析：解法一：∵a1a30＝a2a29＝a3a28＝…＝a15a16，
a1a2a3…a30＝230，
∴(a15a16)15＝230，∴a15a16＝4.
∵a3a30＝a6a27＝a9a24＝a12a21＝a15a18，
∴a3a6a9…a30＝(a15a18)5＝(a15a16q2)5＝220.
解法二：设a3a6a9…a30＝x，①
∴a1q2·a4q2·a7q2…a28q2＝x.
∴a1a4a7…a28＝.②
同理a2q·a5q·a8q…a29q＝x，
∴a2·a5·a8…a29＝.③
由①×②×③得
∴a1a2a3…a30＝··x＝230，
∴x3＝260，∴x＝220，
∴a3a6a9…a30＝220.
10．某厂生产微机，原计划第一季度每月增加台数相同，在生产过程中，实际上2月份比原计划多生产10台，3月份比原计划多生产25台，这样三个月产量成等比数列，而第三个月的产量比原计划第一季度总产量的一半少10台，问该厂第一季度实际生产微机多少台？
解析：设原计划第一个月生产a台，公差为d，
∴
?a＝d＋70代入得：d2＋15d－250＝0.
∴d＝10或d＝－25(舍去)，∴a＝80.
∴实际上三个月产量分别为80台，100台和125台，∴该厂第一季度实际生产微机305台．
1．准确掌握等比数列的通项公式与定义，由此得出一些等比数列的性质，掌握推导性质的方法比记忆性质更重要．
2．适当记忆一些性质，利用性质提高解题速度与解题的正确率，如用等比数列的性质：若m＋n＝p＋k，则aman＝apak，可以解决许多相关问题．
3．等比数列的一些项组成的新的等比数列也经常遇到，要准确判断用好定义与通项公式．
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2.2 等差数列
2．2.1 等差数列的概念与通项公式
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1．有穷等差数列5,8,11，…，3n＋11(n∈N*)的项数是( )
A．n B．3n＋11
C．n＋4 D．n＋3
解析：在3n＋11中令n＝1，结果为14，它是这个数列的第4项，前面还有5,8,11三项，故这个数列的项数为n＋3.故选D.
答案：D
2．若{an}是等差数列，则由下列关系确定的数列{bn}也一定是等差数列的是( )
A．bn＝a B．bn＝an＋n2
C．bn＝an＋an＋1 D．bn＝nan
解析：{an}是等差数列，设an＋1－an＝d，则数列bn＝an＋an＋1满足：
bn＋1－bn＝(an＋1＋an＋2)－(an＋an＋1)＝an＋2－an＝2d.
故选C.
答案：C
3．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为( )
A. B. C. D.
解析：a，b的等差中项为
×＝×(－＋＋)＝.
答案：A
4．下面数列中，是等差数列的有( )
①4,5,6,7,8… ②3,0，－3,0，－6，… ③0,0,0,0… ④，，，，…
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案：C
5．已知一个等差数列的第8,9,10项分别为b－1，b＋1，2b＋3，则通项公式an等于( )
A．2n－5 B．2n－9
C．2n－13 D．2n－17
解析：d＝a9－a8＝(b＋1)－(b－1)＝2，
∴a10－a9＝(2b＋3)－(b＋1)＝b＋2＝2，∴b＝0，
∴a8＝－1，an＝a8＋(n－8)d＝－1＋2(n－8)＝2n－17.
答案：D
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6．若x≠y，且两个数列：x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各成等差数列，那么＝( )
A. B.
C. D．不能确定
解析：a2－a1＝(y－x)，b2－b1＝(y－x)，
∴＝.故选B.
答案：B
7．已知函数f(x)＝2x，等差数列{an}的公差为2.若f(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝4，则log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)]＝________.
解析：∵f(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝2a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝4，∴a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝2.
又∵a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝(a2－d)＋(a4－d)＋…＋(a10－d)＝2－5d＝－8，∴a1＋a2＋…＋a10＝2＋(－8)＝－6.
∴log2[f(a1)·f(a2)·…·f(a10)]＝log2(2a1＋a2＋…＋a10)＝a1＋a2＋…＋a10＝－6.
答案：－6
8．已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a－4，则an＝________.
解析：利用等差数列的通项公式求解．
设等差数列公差为d，则由a3＝a－4，得1＋2d＝(1＋d)2－4，
∴d2＝4，∴d＝±2.由于该数列为递增数列，∴d＝2.
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
答案：2n－1
9．有四个数成等差数列，它们的平方和等于276，第一个数与第四个数之积比第二个数与第三个数之积少32，求这四个数．
解析：设四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，
∴
∴∴a＝±7，d＝±2.
∴所求的四个数依次为：1,5,9,13或13,9,5,1或－13，－9，－5，－1或－1，－5，－9，－13.
10．若等差数列的第1,2,3项依次为，，，求这个等差数列的第101项．
解析：由已知得方程：2×＝＋，解得x＝2.
∵a1＝，d＝，∴a101＝＋100×＝8.
1．用好等差数列的定义与掌握好等差数列的通项公式是关键，写数列通项公式时注意n的取值范围．
2．注意等差数列与一次函数间的关系，如自测自评中第3题．
3．题设中有三个数成等差数列时，一般设这三个数为a－d、a、a＋d.若五个数成等差一般设为a－2d、a－d、a、a＋d、a＋2d.有时也直接设为等差数的通项形式，具体问题具体分析，设的目的是便于计算，要灵活选择设的方法．
4．等差中项有广泛应用，要准确理解其含义．
5．证明数列为等差数列的方法有：定义法、通项公式法、等差中项法．
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等差数列的性质
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1．如果数列{an}是等差数列，则下列式子一定成立的有( )
A．a1＋a8＜a4＋a5 B．a1＋a8＝a4＋a5
C．a1＋a8＞a4＋a5 D．a1a8＝a4a5
解析：由等差数列的性质有a1＋a8＝a4＋a5，故选B.
答案：B
2．在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为( )
A．30 B．27 C．24 D．21
解析：设b1＝39，b2＝33，b3＝a3＋a6＋a9，
则b1，b2，b3成等差数列．
∴39＋b3＝2b2＝66，b3＝66－39＝27.故选B.
答案：B
3．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
解析：设a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15，
a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30，
两式相减得5d＝15，∴d＝3，故选C.
答案：C
4．在等差数列－5，－3，－2，－，…的每相邻两项插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则新的数列的通项为( )
A．an＝n－ B．an＝－5－(n－1)
C．an＝－5－(n－1) D．an＝n2－3n
解析：新数列的公差d＝＝，
∴an＝－5＋(n－1)·＝n－.故选A.
答案：A
5．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么由an＋bn所组成的数列的第37项的值为( )
A．0 B．37 C．100 D．－37
解析：设cn＝an＋bn，则c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，故d＝c2－c1＝0，故cn＝100(n∈N*)，从而c37＝100.
答案：C
6．(2013·广东卷)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.
解析：∵3a5＋a7＝2a5＋2a6＝2(a5＋a6)，
又∵a3＋a8＝a5＋a6＝10，
∴3a5＋a7＝20.
答案：20
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7．(2013·辽宁卷)下面是关于公差d>0的等差数列(an)的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列； p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列是递增数列； p4：数列{an＋3nd}是递增数列；
其中的真命题为( )
A．p1，p2 B．p3，p4
C．p2，p3 D．p1，p4
答案：D
8．在△ABC中，若三内角成等差数列，则最大内角与最小内角之和为________．
解析：设三内角A、B、C成等差数列，则A＋C＝2B，又A＋C＋B＝180°，
∴3B＝180°，B＝60°，A＋C＝2B＝120°.
答案：120°
9．已知a，b，c依次成等差数列，求证：a2－bc，b2－ac，c2－ab依次成等差数列．
分析：要证三个数a2－bc，b2－ac，c2－ab成等差数列，只需证明等式：(b2－ac)－(a2－bc)＝(c2－ab)－(b2－ac)，即证2(b2－ac)＝(a2－bc)＋(c2－ab)成立．
证明：∵a，b，c成等差数列，
∴b－a＝c－b＝d，
c－a＝2d(设其公差为d)，
∴(a2－bc)＋(c2－ab)＝(a2－ab)＋(c2－bc)
＝a(a－b)＋c(c－b)＝－ad＋cd＝d(c－a)
＝d·2d＝2d2，
又b2－ac＝b2－(b－d)(b＋d)＝b2－(b2－d2)＝d2，
∴(a2－bc)＋(c2－ab)＝2(b2－ac)，
∴a2－bc，b2－ac，c2－ab成等差数列．
点评：本题实质上是一个条件等式的证明，关键是条件如何使用．这种证法引入了一个新字母，使条件与结论中的字母减少，关系明朗．此题证法很多，不再一一列举．
10．设{an}是等差数列，bn＝，且b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝.求等差数列的通项an.
分析：求{an}通项公式，关键是要确定数列的首项与公差．可设首项为a1，公差为d，运用方程思想，列两个方程，解方程组即可．
解析：设首项为a1，公差为d，由已知得
由第二个方程，化简为＝，解得a1＋d＝1，所以a1＝1－d，代入第一个方程得＋＋＝，即＋＝，化简得－＋＝0，解得＝4或＝，所以d＝－2或d＝2，故an＝5－2n或an＝2n－3.
点评：方程的思想是指把数学问题所反映的数量关系用解析式的形式表示出来，再把解析式归结为方程，通过解方程的手段或对方程进行研究使问题得以解决．设未知数、列方程、解方程是用方程的思想解数列问题的重要环节．
1．在做等差数列题时，注意利用结论(若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq)来提高解题速度．因这个结论来源于通项公式，故直接用通项公式也可做出，但所用时间相差很远．
2．解题中注意充分利用等差数列的性质，结合已知条件，观察已知与求解间的联系，寻找适当的方法．
3．注意一个数列的变式为等差数列的应用，如一个数列的倒数，一个数列加一个数组成一个等差数列，一个数列开方等．
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2．3 等差数列的前n项和
2．3.1 数列前n项和与等差数列的前n项和
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1．已知a1，a2，a3，a4成等差数列，若S4＝32，a2∶a3＝1∶3，则公差d为( )
A．8 B．16 C．4 D．0
解析：S4＝32?2(a2＋a3)＝32，
∴a2＋a3＝16，
又＝，a3＝3a2，
∴a2＝4，a3＝12，∴d＝a3－a2＝8.故选A.
答案：A
2．设a1，a2，…和b1，b2，…都是等差数列，其中a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，则数列{an＋bn}前100项之和为( )
A．0 B．100 C．10 000 D．50 500
解析：S100＝×100＝10 000.故选C.
答案：C
3．已知等差数列{an}中，前15项之和为S15＝90，则a8等于( )
A．6 B. C．12 D.
解析：∵S15＝×15＝×15＝15a8＝90，
∴a8＝6，故选A.
答案：A
4．已知等差数列共有2n＋1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为( )
A．30 B．29 C．28 D．27
解析：奇数项共有n＋1项，其和为
×(n＋1)＝·(n＋1)＝290，
∴(n＋1)an＋1＝290，偶数项共有n项，其和为
×n＝·n＝nan＋1＝261，
∴an＋1＝290－261＝29.故选B.
答案：B
5．(2013·上海卷)若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和Sn＝________.
答案：n2－n
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6．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则的值为( )
A. B. C. D.
解析：S2n－1＝(2n－1)·
＝(2n－1)·＝(2n－1)an.
同理T2n－1＝(2n－1)bn.
∴＝＝.
令n＝11得＝＝＝.故选C.
答案：C
7．已知lg x＋lg x3＋lg x5＋…＋lg x21＝11，则x＝___________.
解析：由条件得lg(x·x3·x5·…·x21)＝11
?lg x1＋3＋5＋…＋21＝11
?121lg x＝11，lg x＝，x＝10.
答案：
8．已知数列{an}的前n项和Sn＝4n2＋2(n∈N*)，则an＝______________________.
解析：n＝1时，a1＝S1＝6；n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝4n2－4(n－1)2＝8n－4.
∴an＝
答案：
9．已知一个等差数列{an}的前四项和为21，末四项和为67，前n项和为77，求项数n的值．
解析：由已知得a1＋a2＋a3＋a4＝21.
an＋an－1＋an－2＋an－3＝67，
∵a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，
∴a1＋an＝＝22，
∴Sn＝＝11n＝77，∴n＝7.
10．已知等差数列{an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13.
(1)求公差d的值；
(2)求数列{an}的前n项和Sn的最小值．
解析：(1)由11a5＝5a8－13，得
11(a1＋4d)＝5(a1＋7d)－13.
∵a1＝－3，∴d＝.
(2)an＝a1＋(n－1)d＝－3＋(n－1)×，
令an≤0，得n≤.
∴a1＜a2＜…＜a6＜0＜a7＜….
∴Sn的最小值为S6＝6a1＋＝
6×(－3)＋15×＝－.
1．记清等差数列的前n项和公式的两种形式并能正确地选用，具备三个条件n，a1，an选用Sn＝，具备三个条件n，a1，d选用Sn＝na1＋.
2．基本量原则：注意在五个基本量n，a1，d，an，Sn中知三个量利用等差数列的通项公式与前n项和公式可以求其他两个量．
3．注意把实际问题化为等差数列的问题研究．
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等差数列的前n项和(习题课)
?基础达标
1．一个等差数列共有2n＋1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项为( )
A．30 B．31 C．32 D．33
解析：中间项为an＋1.
S奇＝·(n＋1)＝(n＋1)an＋1＝512.
S偶＝·n＝n·an＋1＝480.
∴an＋1＝S奇－S偶＝512－480＝32.故选C.
答案：C
2．等差数列{an}的公差d＝且S100＝145，则a1＋a3＋a5＋…＋a99的值为( )
A．52.5 B．72.5 C．60 D．85
解析：设a1＋a3＋a5＋…＋a99＝x，a2＋a4＋…＋a100＝y，则x＋y＝S100＝145，y－x＝50d＝25.
解得x＝60，y＝85.故选C.
答案：C
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则为( )
A. B. C. D.
解析：S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，构成一个新的等差数列，∵S3＝1，S6－S3＝3－1＝2，∴S9－S6＝3，S12－S9＝4.∴S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝1＋2＋3＋4＝10.∴＝.
答案：A
4．等差数列{an}中，公差d≠0，a1≠d，若前20项的和S20＝10M，则M的值为( )
A．a3＋a5 B．a2＋2a10 C．a20＋d D．a12＋a9
解析：∵S20＝×20＝10(a1＋a20)，
∴M＝a1＋a20＝a12＋a9.故选D.
答案：D
5．在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝15，an＋an－1＋an－2＝78，Sn＝155，则n＝________.
解析：(a1＋a2＋a3)＋(an＋an－1＋an－2)
＝3(a1＋an)＝15＋78，∴a1＋an＝31.
又Sn＝＝155，∴＝155?n＝10.
答案：10
?巩固提高
6．给定数列1,2＋3＋4,5＋6＋7＋8＋9,10＋11＋12＋13＋14＋15＋16，…，则这个数列的一个通项公式是( )
A．an＝2n2＋3n－1 B．an＝n2＋5n－5
C．an＝2n3－3n2＋3n－1 D．an＝2n3－n2＋n－2
解析：当n＝1时，a1＝1，排除A、D.当n＝3时，
a3＝5＋6＋7＋8＋9＝35.
而B中，a3＝32＋5×3－5＝19.故选C.
答案：C
7. 等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝100，S100＝10，则S110＝________.
解析：成等差数列，又＝10，＝，
∴的公差为－
∴＝＋10×＝－1，
∴S110＝－110.
答案：－110
8．把正整数以下列方法分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，…，其中每组都比它的前一组多一个数，设Sn表示第n组中所有各数的和，那么S21等于( )
A．1 113 B．4 641
C．5 082 D．53 361
分析：第21组共有21个数，构成一个等差数列，公差为1，首项比第20组的最后一个数大1，所以先求前20组一共有多少个数．
解析：因为第n组有n个数，所以前20组一共有1＋2＋3＋…＋20＝210个数，于是第21组的第一个数为211，这组一共有21个数，S21＝21×211＋×1＝4641，故选B.
答案：B
9．在等差数列{an}中， 已知S8＝48，S12＝168，求a1和d.
解析：?a1＝－8，d＝4.
10．(1)已知{an}的首项a1＝1，an＋1＝an＋2n(n∈N*)，求{an}的通项公式．
(2)已知{an}中，an＋1＝an，且a1＝2，求数列{an}的通项公式．
解析：(1)an－an－1＝2(n－1)，
an－1－an－2＝2(n－2)，
an－2－an－3＝2(n－3)，
…
a3－a2＝2×2，
a2－a1＝2×1.将上述式子相加，可得
an－a1＝2[1＋2＋…＋(n－1)]＝n2－n，
所以an＝n2－n＋1，当n＝1时也成立．
(2)∵an＋1＝an，
∴＝，∴＝，…
∴an＝···…···a1
＝····…····2
＝(n∈N*)．
1．等差数列的前n项和的性质：
(1)等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，组成公差为k2d的等差数列．
(2)数列{an}是等差数列?Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．
(3)若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)且S偶－S奇＝nd.＝.
若等差数列的项数为2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an且S奇－S偶＝an，＝.
(4)若Sn为数列{an}的前n项和，则{an}为等差数列等价于为等差数列．
2．求等差数列的前n项和Sn的最值有两种方法：
(1)由二次函数的最值特征得解．
Sn＝na1＋d＝n2＋n
＝－
＝－(－)2 .
由二次函数的最大值、最小值知识及n∈N*知，当n取最接近
－的正整数时，Sn取到最大值(或最小值)．值得注意的是最接近
－的正整数有时是1个，有时是2个．
(2)根据项的正负来定．
若a1＞0，d＜0，则数列的所有正数项之和最大；
若a1＜0，d＞0，则数列的所有负数项之和最小．
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2.4 等比数列
2．4.1 等比数列的概念与通项公式
?基础达标
1．在数列{an}中，对任意n∈N*，都有an＋1－2an＝0，则的值为( )
A. B. C. D．1
解析：a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，a4＝8a1，
∴＝＝.故选A.
答案：A
2．在等比数列中，a1＝，an＝，q＝，则项数n为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：由a1qn－1＝an?·＝?n＝4.
答案：B
3．等差数列{an}的首项a1＝1，公差d≠0，如果a1，a2，a5成等比数列，那么d等于( )
A．3 B．2 C．－2 D．2或－2
解析：由a＝a1a5?(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)?
(1＋d)2＝1＋4d?d＝2.故选B.
答案：B
4．(2013·江西卷)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( )
A．－24 B．0 C．12 D．24
答案：A
5．等比数列{an}中，若an＋2＝an，则公比q＝________；若an＝an＋3，则公比q＝________.
答案：±1 1
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6．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为2的等比数列，则a6等于( )
A．31.5 B．160 C．79.5 D．159.5
解析：1＋2an＝(1＋2a1)·2n－1，∴1＋2a6＝5·25.∴a6＝＝79.5.
答案：C
7．三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，则这三个数是________或________．
解析：设三数为，a，aq，则＋a＋aq＝14，
·a·aq＝64，
即a＝14，a3＝64，
解得：a＝4，q＝或2.
故所求三数为8,4,2或2,4,8.
答案：8,4,2 2,4,8
8．(1)方程x2－17x＋16＝0的两根的等差中项是______，两根的等比中项是______．
(2)在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________．
解析：(1)∵x2－17x＋16＝0的二根的x1＝1，x2＝16.
∴x1与x2等差中项为等比中项为±4.
(2)设插入的三数为a，b，c则b2＝ac＝×＝36.又b与第一项同号，∴b＝6，∴插入的三数之积abc＝b3＝216.
答案：(1) ±4 (2)216
9．等比数列{an}中a2＋a7＝66，a3a6＝128，求等比数列的通项公式an.
分析：求等比数列的首项为a1，q两个参数即可．
解析：解法一：设等比数列的首项为a1，公比为q，由题意
?
以下求解a1，q不易找到思路．
转换思路，利用等比数列的性质，不难得以下解法．
解法二：设等比数列的首项为a1，公比为d，由题意
??或.
∴q5＝＝25或，q＝2或.
∴an＝a2qn－2＝2n－1或.
∴数列的通项公式为an＝2n－1或an＝28－n.
点评：在解决等比数列的有关问题时，除了直接把题意翻译成数列之外，如果能合理地利用等比数列的性质，往往可以更简单地得到答案．
10．已知等比数列{an}中，a1＝1，公比为q(q≠1且q≠0)，且bn＝an＋1－an.
(1)判断数列{bn}是否为等比数列？说明理由．
(2)求数列{bn}的通项公式．
解析：(1)∵等比数列{an}中，a1＝1，公比为q，
∴an＝a1qn－1＝qn－1(q≠0且q≠1)，
由于＝＝＝＝q，
∴{bn}是首项为b1＝a2－a1＝q－1，公比为q的等比数列．
(2)由(1)可知，bn＝b1qn－1＝(q－1)·qn－1，
∴bn＝(q－1)qn－1(q≠0且q≠1)．
1．要注意利用等比数列的定义解题．在很多时候紧扣定义是解决问题的关键．
2．注意基本量法：在用等比数列通项公式时，以首项a1，公比d为基本量，其他量用这两个量表示出来，再寻求条件与结论的联系，往往使很多问题容易解决．
3．若已知三个数成等比数列，一般设为：aq－1，a，aq；
若已知五个数成等比数列，一般设为：aq－2，aq－1，a，aq，aq2；
若前三个数成等差数列、后三个数成等比数列，设四个数分别为a－d，a，a＋d，，或2aq－1－a，aq－1，a，aq.
具体设法，要视题设条件不同而选择，以便于运算为目的．
4．等比中项概念要掌握好，在题目中经常出现.
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2．5 等比数列的前n项和
2．5.1 等比数列前n项和的求解
?基础达标
1．等比数列{an}的通项公式是an＝，则前3项和S3的值为( )
A. B. C. D.
解析：S3＝a1＋a2＋a3＝＋＋＝.故选C.
答案：C
2．1和4的等差中项和等比中项分别是( )
A．5,2 B．5，－2 C.，4 D.，±2
解析：1和4的等差中项为＝，等比中项为±＝±2.故选D.
答案：D
3．(2013·大纲全国卷)已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于( )
A. －6(1－3－10) B.(1－3－10)
C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)
答案：C
4．(2013·新课标全国Ⅱ卷)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )
A. B．－ C. D．－
答案：C
5．记等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝1，S8＝17，求{an}的通项公式．
解析：设{an}的公比为q，由S4＝1，S8＝17知q≠1，
所以得＝1，①
＝17.②
由①、②式得＝17，整理得q4＋1＝17，
解得q4＝16.所以q＝2或q＝－2.将q＝2代入①式得a1＝，所以an＝；
将q＝－2代入①式得a1＝－，
所以an＝.
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6．等比数列{an}中，已知对任意正整数n，a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋a＋…＋a等于( )
A．(2n－1)2 B.(2n－1)
C．4n－1 D.(4n－1)
解析：令n＝1得a1＝1；当n≥2时，由a1＋a2＋…＋an＝2n－1，得a1＋a2＋…＋an－1＝2n－1－1，
两式相减得an＝2n－2n－1＝2n－1.
∴an＝2n－1，a＝4n－1
∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．故选D.
答案：D
7．设f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋10(n∈N)，则f(n)等于( )
A.(8n－1) B.(8n＋1－1)
C.(8n＋3－1) D.(8n＋4－1)
解析：依题意，f(n)为首项为2，公比为8的数列的前n＋4项求和，根据等比数列的求和公式可得D.
答案：D
8．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…前n项和等于________．
解析：数列通项公式为an＝＝2n－1.
答案：2n＋1－n－2
9．(2013·新课标全国Ⅰ卷)若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an＝________.
答案：(－2)n－1
10．已知等差数列{an}及等比数列{bn}，其中b1＝1，公比q<0，且数列{an＋bn}的前三项分别为2、1、4.
(1)求an及q；
(2)求数列{an＋bn}的前n项和Pn.
解析：(1)设{an}的首项为a1，公差为d，∵a1＋b1＝2，a2＋b2＝1，a3＋b3＝4，∴a1＋1＝2，a1＋d＋q＝1，a1＋2d＋q2＝4.解得：a1＝1，q＝－1或3，∵q<0，∴q＝－1，d＝1.
∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)＝n.
(2)记数列{an}及{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，
则Sn＝na1＋d＝n(n＋1)，
Tn＝＝＝.
当n为偶数时，Tn＝0；当n为奇数时，Tn＝1，故当n为偶数时，Pn＝Sn＝n(n＋1)＝n2＋n；
当n为奇数时，Pn＝Sn＋1＝n(n＋1)＋1＝n2＋n＋1.
1．在等比数列中，有五个元素：a1，q，n，an，Sn，其中a1与q是两个基本的量，数列中其他各项可以用a1与q表示，由通项公式、前n项和公式及已知条件列出方程及方程组是解决这一类问题的基本方法．
2．等比数列求和时小心分公比q＝1与q≠1讨论．
3．研究数列时很多时候需要从通项上入手，从第n项是什么着手，这种方法对于解决问题很有好处．
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等差、等比数列的综合应用
?基础达标
1．数列an＝，其前n项之和为，则项数n为( )
A．12 B．11 C．10 D．9
答案：D
2. 已知等比数列{an}的首项为1，公比为q，前n项和为Sn，则数列的前n项和为( )
A. B．Snqn－1 C．Snq1－n D.
解析：数列的首项为1，公比为，它的前n项和为Tn＝＝，又Sn＝，
∴Tn＝·Sn＝q1－n·Sn.故选C.
答案：C
3．数列{an}的通项公式an＝，则该数列的前____项之和等于9.( )
A．99 B．98 C．97 D．96
解析：an＝
＝＝－，
∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝(－)＋(－)＋…＋(－)
＝－1.
令－1＝9?n＋1＝100，∴n＝99.故选A.
答案：A
4．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S4等于( )
A. B. C. D.
答案：A
5. 求和：1＋3＋5＋…＋＝________.
解析：Sn＋1＝＋(＋＋…＋)＝n2＋2n＋2－.
答案：n2＋2n＋2－
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6．已知数列{an}的通项公式为an＝log2(n2＋3)－2，那么log23是这个数列的第________项．
解析：令an＝log23?log2(n2＋3)－2＝log23?n2＋3＝12，
∴n2＝9，n＝3.
答案：3
7．下列命题中正确命题为________．
①常数列一定是等比数列；②等比数列前n项和Sn＝(其中a1为首项，q为公比)；③前n项和Sn为n的二次函数的数列一定是等差数列；④0不可能是任何等比数列的一项．
解析：对①举反例：an＝0；②q≠1；③为等差数列，要求让Sn无常数项．
答案：④
8．已知数列{an}中，a1＝－1，an＋1·an＝an＋1－an，则数列通项an＝________.
解析：由an＋1·an＝an＋1－an?1＝－
?－＝－1.
∴数列是首项为－1，公差为－1的等差数列，
＝－1＋(n－1)(－1)＝－n，
∴an＝－.
答案：－
9．已知数列{an}的通项公式an＝lg，试问：该数列的前多少项之和最大？求出这个最大的和．(lg 2取0.3)
解析：由题设知：an＋1－an
＝lg－lg
＝lg sin＝－lg 2，
∴数列{an}是等差数列，a1＝2，
an＝2－(n－1)lg 2，
当an＝2－(n－1)lg 2＜0时可解得n＞14.3，
即n≥15时，an＜0
∴当n＝14时，S14最大且S14＝28－lg 2.
10. 已知数列{an}的通项公式为an＝求Sn.
解析：①当n为奇数时，
Sn＝[1＋13＋…＋(6n－5)]＋(42＋44＋…＋4n－1)
＝·＋
＝＋
＝＋.
②当n为偶数时，
Sn＝[1＋13＋…＋(6n－11)]＋(42＋44＋…＋4n－1＋4n)＝＋.
1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．
2．等差、等比数列中，a1、an、n、d(q)、Sn“知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．
3．求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．
4．数列求和的基本方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法、拆项法、裂项法、累加法、等价转化等.
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一、等差数列
1．定义：an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n∈N*，n≥2)．
2．通项公式：an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)．
3．如果数列{an}的通项公式是 an＝An＋B(A、B是与n无关的常数)，那么数列{an}一定是等差数列．
4．等差数列前n项和公式：Sn＝，
Sn＝na1＋d.
5．如果数列{an}的通项公式是 Sn＝An2＋Bn(A、B是与n无关的常数)，那么数列{an}一定是等差数列．
6.a、b、c成等差数列{an}?b为a、c 的等差中项?2b＝a＋c.
7．在等差数列{an}中，an＝am＋(n－m)d(n∈N*)．
8．在等差数列{an}中，由m＋n＝p＋q?am＋an＝ap＋aq，若m＋n＝2p?am＋an＝2ap.
9.在等差数列{an}中，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k构成等差数列?2(S2k－Sk )＝Sk＋( S3k－S2k)．
10．已知{an} 、{bn}为等差数列，则{an－c}，{can}，{an＋bn}，{an＋kbn}(其中c为常数，k∈N*)仍是等差数列．
11．已知{an} 为等差数列，若k1，k2，k3，…，kn为等差数列，则ak1，ak2，ak3，…，akn仍是等差数列．
12.若三个数成等差数列，则设这三个数为a－d，a，a＋d，可简化计算．
13．证明等差数列的两种方法．
(1)定义：an＋1－an＝d(n∈N*)．
(2)等差中项2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)．
二、等比数列
1．定义：＝q(n∈N*)或＝q(n∈N*，n≥2)．
2．通项公式：an＝a1qn－1(n∈N*)．
3．等比数列前n项和：Sn＝＝(q≠1)；
Sn＝na1(q＝1)．
4．a，b，c成等比数列?b为a、c 的等比中项?b2＝ac.
5．在等比数列{an}中，an＝am×qn－m(n∈N*)．
6．在等比数列{an}中，由m＋n＝p＋q?aman＝apaq，
若m＋n＝2p?aman＝a.
7.在等比数列{an}中，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k 构成等比数列?( S2k－Sk)2＝Sk(S3k －S2k)(Sk≠0)．
8．已知{an} 、{bn}为等比数列，则{can}，{anbn}，(其中c为不为0的常数，k∈N*)仍是等比数列．
9．已知{an} 为等比数列，若k1，k2，k3，…，kn为等差数列，则ak1，ak2，ak3，…，akn仍是等比数列．
10．若三个数成等比数列，则设这三个数为，a，aq，可简化计算．
11．证明等比数列的两种方法．
(1)定义：＝q或＝q(n∈N*，n≥2)
(2)等比中项：a＝an－1an＋1(n∈N*，n≥2)．
三、通项公式的求法
数列的通项公式是数列的重要内容之一，它把数列各项的性质集于一身．常用的求通项的方法有观察法、公式法、累加法、累乘法、前n项和作差法、辅助数列法．
累加法：数列的基本形式为an＋1－an＝f(n)(n∈N*)的解析式，而f(1)＋f(2)＋……＋f(n)的和可求出．
累乘法：数列的基本形式为＝f(n)(n∈N*)的解析关系，而f(1)·f(2)·…·f(n)的积可求出．
前n项和作差法：利用an＝，能合则合．
待定系数法：数列有形如an＋1＝kan＋b(k≠1)的关系，可用待定系数法求得(an＋t)为等比数列，再求得an.
四、特殊数列的前n项和
利用等差、等比数列求和公式是最基本最重要的方法．数列的求和除记住一些公式外，还应注重对通项公式的分析与整理，根据其特征求和，常用的方法技巧有分组求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等．
分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，但如果将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，那么就可以分别求和，再将其合并即可．
倒序相加法：这是在推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个a1＋an.
错位相减法：这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差和等比数列．
裂项相消法：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用．裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．
题型1 求数列的通项公式
(一)观察法
就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式．
数列1，3，5，7，…的通项公式为( )
A．an＝(2n－1)·
B．an＝(2n－1)＋
C．an＝(2n＋1)＋
D．an＝
解析：1＝1＋，3＝3＋，5＝5＋，…，
∴an＝(2n－1)＋.
答案：B
(二)公式法
等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列，所谓公式法就是先分析后项与前项的差或比是否符合等差、等比数列的定义，然后用等差、等比数列的通项公式表示它．
已知数列{an}为无穷数列，若an－1＋an＋1＝2an(n≥2且n∈N*)，且a2＝4，a6＝8，求通项an.
解析：∵an－1＋an＋1＝2an，
∴an－1，an，an＋1成等差数列．
又∵n≥2且n∈N*，
∴数列{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d.
由可得
∴通项an＝3＋(n－1)×1＝n＋2.
(三)利用an与Sn的关系
前n项和关系式有两种形式：一种是Sn与n的关系式，记为Sn＝f(n)，它可由公式an＝直接求出通项an，但要注意n＝1与n≥2两种情况能否统一；另一种是Sn与an的关系式，记为f(an，Sn)＝0，求它的通项公式an.
已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝5Sn－3，求数列{an}的通项公式．
解析：当n＝1时，∵a1＝5a1－3，∴a1＝，
当n≥2时，∵an＝5Sn－3，∴an－1＝5Sn－1－3，
∴an－an－1＝5(Sn－Sn－1)．
即an－an－1＝5an，
＝－，
∴{an}是首项a1＝，公比q＝－的等比数列．
∴an＝a1qn－1＝(n∈N*)．
(四)累加法、累乘法
有些数列，虽然不是等差数列或等比数列，但是它的后项与前项的差或商具有一定的规律性，这时，可考虑利用累加或累乘法，结合等差、等比数列的知识解决．
已知a1＝1，＝，求an.
解析：当n≥2时，an＝a1···…·
＝1××××…×
＝.
而a1＝1也适合上式．
故{an}的通项公式an＝n(n＋1)．
(五)构造法
有些数列直观上不符合以上各种形式，这时，可对其结构进行适当变形，以利于使用以上各类方法．
设数列{an}是首项为1的正项数列，且an＋1－an＋an＋1·an＝0(n∈N*)，求{an}的通项．
解析：∵an＋1－an＋an＋1·an＝0.
∴－＝1.
又＝1，∴是首项为1，公差为1的等差数列，
故＝n，∴an＝.
(六)形如：已知a1，an＋1＝pan＋q(p、q为常数)形式均可用构造等比数列法，即an＋1＋x＝p(an＋x)，{an＋x}为等比数列，或an＋2－an＋1＝p(an＋1－an)，{an＋1－an}为等比数列．
若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋1，求an.
分析：根据递推公式求出前几项，再观察规律，猜想通项公式，有时比较困难．可变换递推公式，利用构造等差或等比数列的技巧，从而求通项公式．
解析：解法一：∵an＋1＝an＋1，
∴an＋2＝an＋1＋1，
两式相减得：an＋2－an＋1＝(an＋1－an)，
令bn＝an＋1－an(n＝1,2,3，…)，
则b1＝a2－a1＝－1＝，bn＋1＝bn，
∴数列{bn}是以为首项，为公比的等比数列．
∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝a1＋b1＋b2＋…＋bn－1
＝1＋＝2－.
解法二：设an＋1－A＝(an－A)，
则an＋1＝an－A＋A，
根据an＋1＝an＋1可得：－A＋A＝1，即A＝2，
∴an＋1－2＝(an－2)．
令bn＝an－2，则b1＝a1－2＝－1，bn＋1＝bn，
∴数列{bn}是以－1为首项，为公比的等比数列．
∵bn＝b1·qn－1＝(－1)·n－1，
∴an＝2＋bn＝2－.
题型2 数列求和的方法
数列中求前n项和是数列运算的重要内容，高考题中涉及此部分与通项的综合问题，对于等差数列与等比数列可依据公式求其和，对于某些具有特殊结构的非等差、等比数列可转化为利用等差或等比数列前n项和公式能求和的形式，常用方法有公式法、分组法、裂项法、错位相减法等．要对通项进行深入研究，找出规律，确定恰当的解题方法．
等差数列{an}中，a1＝3，公差d＝2，Sn为前n项和，求＋＋…＋.
解析：∵等差数列{an}的首项a1＝3，公差d＝2，
∴前n项和Sn＝na1＋d＝3n＋×2
＝n2＋2n(n∈N*)，
∴＝＝＝，
∴＋＋…＋
＝［1－＋－＋－＋…＋－＋－］
＝－.
设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
解析：(1)∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，①
∴当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，②
由①－②得3n－1an＝，∴an＝，
在①中，令n＝1，得a1＝，
∴数列{an}的通项公式an＝.
(2)∵bn＝＝n·3n，
∴Sn＝3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，③
∴3Sn＝32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1.④
由④－③得2Sn＝n×3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)
＝n×3n＋1－，
∴Sn＝＋.
题型3 数列的应用问题
(2013·广东卷)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，
＝an＋1－n2－n－，n∈N*.
(1)求a2的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋＜.
(1)解析：依题意，2S1＝a2－－1－，又S1＝a1＝1，所以a2＝4；
(2)解析：当n≥2时，2Sn＝nan＋1－n3－n2－n，
2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)，
两式相减得2an＝nan＋1－(n－1)an－(3n2－3n＋1)－(2n－1)－，
整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)，即－＝1，又－＝1，
故数列是首项为＝1，公差为1的等差数列，所以＝1＋(n－1)×1＝n，
所以an＝n2(n∈N*)．
(3)证明：当n＝1时，＝1＜；当n＝2时，＋＝1＋＝＜；
当n≥3时，＝＜＝－，
此时，＋＋…＋＝1＋＋＋＋…＋＜1＋＋＋＋…＋＝1＋＋－＝－＜，
综上，对一切正整数n，有＋＋…＋＜.
夏季高山上的温度从山脚起，每升高100 m，降低0.7 ℃，已知山顶处的温度是14.8 ℃，山脚处的温度是26 ℃，问此山相对于山脚处的高度是多少？
解析：∵每升高100 m温度降低0.7 ℃，
∴该处温度的变化是一个等差数列问题．
设山脚温度为首项a1＝26，山顶温度为末项an＝14.8，
∴26＋(n－1)(－0.7)＝14.8，解得n＝17.
此山的高度为(17－1)×100＝1 600(m)．
答：此山相对于山脚处的高度是1 600 m.
