数学·必修5(人教A版)
3．2 一元二次不等式及其解法
3.2.2 含参数的一元二次不等式的解法
?基础达标
1．不等式<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(0，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－1,0)
D．(－∞，－1)
答案：D
2．设m＋n＞0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)＞0的解是( )
A．x＜－n或x＞m B．－n＜x＜m
C．x＜－m或x＞n D．－m＜x＜n
解析：方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n，
∵m＋n＞0，∴m＞－n，结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象，得原不等式的解是－n＜x＜m.故选B.
答案：B
3．已知2a＋1＜0，关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解集是( )
A．{x|x＜5a或x＞－a} B．{x|x＞5a或x＜－a}
C．{x|－a＜x＜5a} D．{x|5a＜x＜－a}
解析：方程x2－4ax－5a2＝0的两根为－a,5a，
∵2a＋1＜0，∴a＜－.
∴－a＞5a，结合y＝x2－4ax－5a2的图象，得原不等式的解集是{x|x＜5a或x＞－a}．故选A.
答案：A
4．不等式x2＋mx＋>0恒成立的条件是________．
答案：0
5．若函数y＝(k为常数)的定义域为R，则k的取值范围是________．
解析：函数y＝的定义域为R，即kx2－6kx＋(k＋8)≥0对一切x∈R恒成立．当k＝0时，显然8>0恒成立；当k≠0时，则k满足即
解之得0答案：[0,1]
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6．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是________．
解析：从表中取三组数据(－1，－4)、(0，－6)、(1，－6)分别代入函数表达式得
解得
∴二次函数表达式为y＝x2－x－6.
由x2－x－6>0得(x－3)(x＋2)>0，
∴x<－2或x>3.
答案：{x|x<－2或x>3}
7．关于x的不等式x(x－a2－1)≤0的解集是________．
解析：方程x(x－a2－1)＝0的两根为0，a2＋1，且
a2＋1＞0，故不等式x(x－a2－1)≤0的解集是
{x|0≤x≤a2＋1}．
答案：{x|0≤x≤a2＋1}
8. 若关于x的不等式＞0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝________.
解析：注意到等价于(x－a)(x＋1)＞0，而解集为x＜－1或x＞4，从而a＝4.
答案：4
9．已知实数a满足不等式－3＜a＜3，解关于x的不等式：
(x－a)(x＋1)＞ 0.
解析：方程(x－a)(x＋1)＝0的两根为－1，a.
①当a＜－1即－3＜a＜－1时，原不等式的解集为{x|x＜a或x＞－1}；
②当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；
③当a＞－1即－1＜a＜3时，原不等式的解集为
{x|x＜－1或x＞a}．
10．解关于x的不等式：x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a＞0)．
解析：将不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0变形为(x－a)(x－a2)＞0，
当0＜a＜1时，有a＞a2，所以不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；
当a＝1时，a＝a2＝1，所以不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；
当a＞1时，有a＜a2，所以不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}．
1．解含参数的不等式是高中数学中的一类较为重要的题型，解决这类问题的难点在于对参数进行恰当分类．分类相当于增加了题设条件，便于将问题分而治之．在解题过程中，经常会出现分类难以入手或者分类不完备的现象．强化分类意识，选择恰当的解题切入点，掌握一些基本的分类方法，善于借助直观图形找出分类的界值，是解决此类问题的关键．
2．分类标准如何确定？看后面的结果不唯一的原因是什么．一般来讲，先讨论二次项的系数，再对判别式进行讨论，最后对根的大小进行讨论.
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3．2 一元二次不等式及其解法
3.2.3 一元二次不等式的解法(习题课)
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1．不等式4x2≥4x－1的解是( )
A．全体实数 B．?
C．x≠ D．x＝
解析：4x2≥4x－1?4x2－4x＋1≥0?(2x－1)2≥0?x∈R.故选A.
答案：A
2．不等式f(x)＝ax2－x－c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则有( )
A．a＞0且函数y＝f(－x)的零点为－2,1
B．a＞0且函数y＝f(－x)的零点为2，－1
C．a＜0且函数y＝f(－x)的零点为－2,1
D．a＜0且函数y＝f(－x)的零点为2，－1
解析：∵f(x)＝ax2－x－c＞0的解集为
{x|－2＜x＜1}，
结合f(x)的图象知a＜0，且－2,1是f(x)的两个零点．
又y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，
∴f(－x)的两个零点是2 ，－1.故选D.
答案：D
3．不等式＞0的解集是( )
A．(－2,1) B．(2，＋∞)
C．(－2,1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析：＞0?(x－1)(x2－4)＞0?
(x－1)(x－2)(x＋2)＞0，
设f(x)＝(x－1)(x－2)(x＋2)，则f(x)的三个零点是－2,1,2.
其示意图为：
故原不等式的解集为{x|－2＜x＜1或x＞2}．故选C.
答案：C
4．不等式≥1的解集是( )
A. B.
C. D．{x|x＜2}
解析：≥1?－1≥0?≥0?
≤0?解得：≤x<2.故选B.
答案：B
5．(2013·安徽卷)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1或x>}，则f(10x)>0的解集为( )
A．{x|x<－1或x>lg 2} B．{x|－1C．{x|x>－lg 2} D．{x|x<－lg 2}
解析：利用一元二次不等式及指数不等式的解法求解．
由题意知，一元二次不等式f(x)＞0的解集为.
而f(10x)＞0，∴－1＜10x＜，解得x＜lg ，即x＜－lg 2.
答案：D
6．设f(x)＝则不等式f(x)＞2的解集为( )
A．(1,2)∪(3，＋∞) B．(1,2)∪(，＋∞)
C．(，＋∞) D．(1,2)
解析：∵f(x)＝
∴不等式f(x)＞2等价于不等式组
① 或 ②
解①得1＜x＜2；解②得x＞，故选B.
答案：B
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7．设x满足不等式组则点P(x＋2，x－2)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：原不等式组可变形为
∴原不等式组的解集为(－∞，－6)．∴x＋2＜0且x－2＜0，∴点P(x＋2，x－2)在第三象限．
答案：C
8．若x∈R，不等式ax2＋4x＋4≥－2x2＋1恒成立，则实数a的范围是________．
解析：不等式ax2＋4x＋4≥－2x2＋1恒成立，
?(a＋2)x2＋4x＋3≥0恒成立．
??a≥－，
故所求实数a的取值范围是.
答案：
9．已知一元二次不等式(m－2)x2＋2(m－2)x＋4>0的解集为R，求m的取值范围．
解析：∵y＝(m－2)x2＋2(m－2)x＋4为二次函数，∴m≠2.
∵二次函数的值恒大于零，即(m－2)x2＋2(m－2)x＋4>0的解集为R.
∴即
解得：
∴m的取值范围为{m|210．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋3，解关于a的不等式f(1)≥0.
解析：f(1)＝－3＋a(6－a)＋3＝a(6－a)，
∵f(1)≥0，∴a(6－a)≥0，a(a－6)≤0，
方程a(a－6)＝0有两个不等实根 a1＝0，a2＝6，
由y＝a(a－6)的图象，得不等式f(1)≥0的解集为{a|0≤a≤6}．
1．解题中要充分利用一元二次不等式的解集是实数集R和空集?的几何意义，准确把握一元二次不等式的解集与相应一元二次方程的根及二次函数图象之间的内在联系．
2．解不等式的关键在于保证变形转化的等价性．简单分式不等式可化为整式不等式求解：先通过移项、通分等变形手段将原不等式化为右边为0的形式，然后通过符号法则转化为整式不等式求解．转化为求不等式组的解时，应注意区别“且”、“或”，涉及最后几个不等式的解集是“交”，还是“并”．
3．在解决实际问题时，先要从实际问题中抽象出数学模型，并寻找出该数学模型中已知量与未知量，再建立数学关系式，然后用适当的方法解决问题．
4．不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0，它的解集为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为?的条件为
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3．3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
3.3.2 简单的线性规划问题
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1．(2013·湖南卷)若变量x，y满足约束条件，则x＋2y的最大值是( )
A．－ B．0 C. D.
答案：C
2．变量x、y满足下列条件：
则使得z＝3x＋2y的值最小的(x，y)是( )
A．(4,5) B．(3,6)
C．(9,2) D．(6,4)
分析：
本题考查直线线性规划的基础知识，作出直线包纳范围，画出可行域，求解．
解析：画出如图所示的可行域，将z＝3x＋2y平移到点M(3，6)有最小值．故选B.
答案：B
3．已知非负实数x、y同时满足2x＋y－4≤0，x＋y－1≥0，则目标函数z＝x2＋(y＋2)2的最小值是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：不等式组(x，y≥0)表示的平面区域如下图所示：
又表示区域内的点到点B(0，－2)的距离，当点(x，y)在点A(1,0)处时，
()min＝，∴z＝x2＋(y＋2)2的最小值为5.
答案：B
4．不等式组所确定的平面区域记为D.若点(x，y)是区域D上的点，则2x＋y的最大值是______；若圆O：x2＋y2＝r2上的所有点都在区域D上，则圆O的面积的最大值是________．
解析：区域D如下图所示：
当直线2x＋y＝z过点A(4,6)时，zmax＝14.
又圆x2＋y2＝r2在区域D上，故半径r的最大值是原点O到直线2x－y－2＝0的距离d＝＝，
∴圆O的面积的最大值为π.
答案：14 π
5．在条件下，z＝(x－1)2＋(y－1)2的取值范围是________．
解析：不等式组所表示的平面区域如下图所示：
z表示区域内的点P(x，y)到点A(1,1)距离的平方，又|PA|min就是点A到直线x－y＝1的距离，|PA|max就是点A到点(2,0)的距离，∴≤z≤2，即z的取值范围是.
答案：
6．预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数量尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍．问桌子和椅子各购买多少？
解析：设桌椅分别买x，y张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为
由解得：
∴A点的坐标为.
由解得：
∴B点的坐标为.
所以满足约束条件的可行域是以A，B，O(0,0)为顶点的三角形区域(如上图)．观察图形可知，目标函数z＝x＋y在可行域内的最优解为，但注意到x∈N*，y∈N*，故取y＝37.
故买桌子25张，椅子37张是最好选择．
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7．若则z＝2y－2x＋4的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：作出可行域，当直线z＝2y－2x＋4过可行域上点B时，直线在y轴上的截距最小，z最小，又点B(1,1)，∴zmin＝2×1－2×1＋4＝4.
答案：C
8．将大小不同的两种钢板截成A、B两种规格的成品，每张钢板可同时截得这两种规格的成品的块数如下表所示．若现在需要A、B两种规格的成品分别为12块和10块，则至少需要这两种钢板共______张.
规格类型
钢板类型
A规格
B规格
第一种钢板
2
1
第二种钢板
1
3
解析：设这两种钢板分别需要x，y张，依题意有：
且x，y∈N，
可行域如下图所示：
目标函数z＝x＋y，
由?
∵x、y∈N，∴当x＝5，y＝2时，zmin＝7，
即当直线x＋y＝z过点(5,2)时，z取最小值7.
答案：7
9．实数x、y满足不等式组：则k＝的取值范围为________．
解析：不等式所表示的平面区域如下图所示．
k表示区域内的点与点M(－1,3)连线的斜率．由下图可知：kMO≤k≤kMA
又kMO＝－3，kMA＝－，∴－3≤k≤－.
故k的取值范围是.
答案：
10．某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各生产量不少于15吨．已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个．甲产品每1吨利润7万元，乙产品每1吨利润12万元，但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个．问每天各生产甲、乙两种产品多少，能使利润总额达到最大？
分析：将已知数据列成表，如下表所示.
产品
消耗量
资源
甲产品
乙产品
资源限额
煤/吨
9
4
300
电力/千瓦时
4
5
200
劳力/个
3
10
300
利润/万元
7
12
设出未知量，根据资源限额建立约束条件，由利润建立目标函数．
解析：设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元，那么
z＝7x＋12y.
作出以上不等式组的可行域，如下图所示．
目标函数为z＝7x＋12y，变为y＝－x＋，得到斜率为－，在y轴上截距为，且随z变化的一簇平行直线．由图可以得到，当直线经过可行域上点A时，截距最大，z最大．
解方程组得点A坐标为(20,24)．
所以zmax＝7×20＋12×24＝428(万元)．
答：生产甲、乙两种产品分别为20吨，24吨时，利润最大，最大值为428万元．
解简单线性规划问题的基本步骤：
1．画图．画出线性约束条件所表示的平面区域，即可行域．
2．定线．令z＝0，得一过原点的直线．
3．平移．在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．
4．求最优解．通过解方程组求出最优解．
5．求最值．求出线性目标函数的最大或最大值．
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本章概述
课标导读
1.不等关系
通过具体情境感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．
2.一元二次不等式
(1)经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程．
(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图．
3.二元一次不等式组与简单线性规划问题
(1)从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．
(3)从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
4.基本不等式
(1)探索并了解基本不等式的证明过程．
(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
要点点击
1.在一元二次不等式的学习中，应了解一元二次不等式的实际背景．求解一元二次不等式，首先可求出相应方程的根，然后根据相应函数的图象求出不等式的解；也可以运用代数的方法求解．力求设计求解一元二次不等式的程序框图．
2.不等式有丰富的实际背景，是刻画区域的重要工具．刻画区域是解决线性规划问题的一个基本步骤，要学会从实际背景中抽象出二元一次不等式组．
3.线性规划是优化的具体模型之一．在本模块的学习中，要体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题.
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3.1 不等关系与不等式
3．1.1 不等关系与不等式的性质
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1．判断下列结论是否正确(对的打“√”，错的打“×”)：
(1)a＞b，c＝d?ac＞bd( )
(2)＞?a＞b( )
(3)a＞b，ab＜0?＜( )
(4)a＜b＜0，c＜d＜0?ac＞bd( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是( )
A．a＋c≥b－c B．ac＞bc
C.＞0 D．(a－b)c2≥0
解析：当c＜0时，A、B选项都错；当c＝0时，C错．故选D.事实上，a＞b?a－b＞0，又c2≥0，
∴(a－b)·c2≥0.
答案：D
3．若a＞b，则一定有( )
A．a2＞b2 B.＞1
C．2a＞2b D.＜
解析：∵a＞b，又y＝2x是R上增函数，∴2a＞2b.选C.取a＝1，b＝－2，否定A，B，D.
答案：C
4．若x＞1，y＞2，则
(1)2x＋y＞______；(2)xy＞______.
解析：(1)x＞1?2x＞2，∴2x＋y＞2＋2＝4；
(2)xy＞2.
答案：(1)4 (2)2
5．下列不等式：①a2＋3>2a；②a2＋b2>2(a－b－1)；③x2＋y2>xy.其中恒成立的不等式的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：∵a2＋3－2a＝(a－1)2＋2>0，
∴a2＋3>2a，即①正确．
∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，即②错误．
∵x2＋y2－xy＝≥0，即③错误，选B.
答案：B
6．△ABC的三边长分别为a，b,1，则a，b满足的不等关系是 ________________.
解析：由三边长的关系得，a＋b＞1，且b＋1＞a，
且a＋1＞b.
答案：
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7．用“＞”“＜”或“＝”填空：
(1)已知a＜b＜c＜0，则ac______bc；______；
______.
(2)已知x∈R，则x2＋2______2x.
解析：(1)∵a＜b，c＜0，∴ac＞bc.
又a＜b＜0?0＞＞，c＜0，∴＜.
再由a＜b＜0?－a＞－b＞0?＞?>.
(2)∵x2＋2－2x＝(x－1)2＋1＞0，∴x2＋2＞2x.
答案：(1)＞ ＜ ＞ (2)＞
8．已知a＞b，则不等式①a2＞b2；②＜；③＞中不能成立的有________(填序号)．
解析：由a＞b?a2＞b2，反例：a＝1，b＝－2时有a2＜b2，①错；
由a＞b?＜，反例：a＝1，b＝－2时有＞，②错；
由a＞b?＞，反例：a＝1，b＝－2时有＜，③错．
答案：①②③
9．(1)比较x2＋3与3x的大小；
解析：(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝＋≥＞0，
∴x2＋3＞3x.
(2)已知a、b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．
解析：(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2
＝a2(a－b)－b2(a－b)
＝(a－b)(a2－b2)
＝(a－b)2(a＋b)．
∵a＞0，b＞0，且a≠b，
∴(a－b)2＞0，a＋b＞0，
∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＞0，
即a3＋b3＞a2b＋ab2.
10．设a＞0，且a≠1，比较loga(a3＋1)与loga(a2＋1)的大小．
解析：(a3＋1)－(a2＋1 )＝a2(a－1)，
(1)当0＜a＜1时a3＋1＜a2＋1.
∴loga(a3＋1)＞loga(a2＋1)．
(2)当a＞1时a3＋1＞a2＋1，
∴loga(a3＋1)＞loga(a2＋1)．
∴总有loga(a3＋1)＞loga(a2＋1)．
1．用不等式(组)来描述不等关系，是研究不等关系的数学工具，要能从不等关系中正确列不等式．
2．不等式的基本性质是解不等式与证明不等式的理论依据，要注意同向不等式可相加，也可相乘，但相乘时，两个不等式都需大于零．
3．处理分式不等式时，不要随便将不等式两边乘以含有字母的式子，如果需要去分母，需要考虑所乘的代数式的正负．
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3.1 不等关系与不等式
3．1.2 不等式的性质及应用
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1．已知a ＞b，判断下列不等式的正确性(对的打“√”，错的打“×”)：
(1)＜( )
(2)ac2＞bc2(c≠0)( )
(3)lg(a－b)＞0( )
(4)a－c＞b－c( )
解析：(1)取a＝1，b＝－2知＞，(1)错；
(2)∵c≠0，∴c2＞0，又a＞b，∴ac2＞bc2.(2)对；
(3)当a－b∈(0,1]时，lg(a－b)≤0.(3)错；
(4)∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－c)．(4)对．
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．已知＜＜0，判断下列不等式的正确性(对的打“√”，错的打“×”)：
(1)a2＜b2( )
(2)ab＜b2( )
(3)＋＞2( )
(4)|a|＋|b|＞|a＋b|( )
解析：∵＜＜0，∴a＜0，b＜0且－＜0，
即＜0，∴b－a＜0，即b＜a＜0.
(1)由b＜a＜0?－b＞－a＞0?b2＞a2，(1)对；
(2)由b＜a＜0，又b＜0?b2＞ab，(2)对；
(3)＋－2＝＝＞0，(3)对；
(4)由a＜0，b＜0?|a＋b|＝|a|＋|b|，(4)错．
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
3．如下图，y＝f(x)反映了某公司的销售收入y与销量x之间的函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系．当销量x满足下列哪个条件时，该公司盈利( )
A．x>a B．xC．x≥a D．0≤x≤a
解析：当xa时，f(x)>g(x)，选A.
答案：A
4．若a，b，m∈R＋，a＜b，将a克食盐加入b－a克水中，所得溶液的盐的质量分数为P1，将a＋m克食盐加入b－a克水中，所得溶液的质量分数为P2，对P1 、P2的大小判断正确的是( )
A．P1＜P2 B．P1＝P2
C．P1＞P2 D．P1与P2大小不确定
解析：P1＝＝，P2＝＝
，P1－P2＝－＝，
又∵a＜b，m，a，b∈R＋，
∴P1－P2＜0，即P1＜P2.故选A.
答案：A
5．设x>1，－1答案：y<－y?巩固提高
6．若0＜a＜1,0＜b＜1，把a＋b,2，2ab中最大与最小者分别记为M和m，则( )
A．M＝a＋b，m＝2ab
B．M＝2ab，m＝2
C．M＝a＋b，m＝2
D．M＝2，m＝2ab
解析：a＋b－2＝(－)2≥0，
∴a＋b≥2.
又0＜a＜1,0＜b＜1，
∴0＜ab＜1，∴＞ab.
∴2＞2ab，∴M＝a＋b，m＝2ab.故选A.
答案：A
7．已知0＜a＜1,2＜b＜4，则b－2a的取值范围是________．
解析：由0＜a＜1?0＜2a＜2?－2＜－2a＜0.
又2＜b＜4，两式相加得：0＜b－2a＜4.
答案：(0,4)
8．已知x＞0，则－____－ (填“＞”“＜”或者“＝”)
解析：－＝，
－＝，
又＋＞＋＞0，
∴＜ .
答案：＜
9．已知a＞b＞0，比较下列各组两式的大小：
(1)a＋与b＋；(2)与.
解析：(1)∵a＞b＞0 ，∴＞，
∴a＋＞b＋.
(2)∵－＝＝＜0，
∴＞.
10．已知0＜x＜1,0＜a＜1，试比较|loga(1－x)|和|loga(1＋x)|的大小．
解析：解法一：|loga(1－x)|2－|loga(1＋x)|2
＝[loga(1－x)＋loga(1＋x)]·[loga(1－x)－loga(1＋x)]
＝loga(1－x2)loga.
∵0＜1－x2＜1,0＜＜1，
∴loga(1－x2)loga＞0.
∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.
解法二： ＝|log1＋x(1－x)|
＝－log1＋x(1－x)＝log1＋x
＝log1＋x＝1－log1＋x(1－x2)
∵0＜1－x2＜1,1＋x＞1，
∴log1＋x(1－x2)<0.
∴1－log1＋x(1－x2)＞1.
∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.
解法三：∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1,1＜1＋x＜2，
∴loga(1－x)＞0，loga(1＋x)＜0.
∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|
＝loga(1－x)＋loga(1＋x)
＝loga(1－x2)．
∵0＜1－x2＜1，且0＜a＜1，
∴loga(1－x2)＞0.
∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.
1．作差比较中常用的变形手段有：通分、因式分解、配方等．比较含字母的量的大小时，若不能确定差的符号，可对字母进行分类讨论．
2．对于某些多项式，可将条件中的式子当作一个整体，把待求式用整体表示出来，再用不等式的性质．
3．证明不等式时，可结合条件先进行适当分析转化．
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3．2 一元二次不等式及其解法
3．2.1 一元二次不等式的概念及解集
?基础达标
1．已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1A．A?B B．B?A
C．A＝B D．A∩B＝?
解析：化简集合后，直接判断集合间的关系．
∵A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1B＝{x|－1答案：B
2．不等式x2≤4的解集是________．
答案：[－2,2]
3．不等式9－x2＞0的解集是________．
解析：由9－x2＞0?x2－9＜0，方程x2－9＝0的两根为－3,3，结合y＝x2－9的图象得原不等式的解集是{x|－3＜x＜3}．用区间表示为：(－3,3)．
答案：(－3,3)
4．不等式x2－4x＋4≤0的解集是________．
解析：方程x2－4x＋4＝0有两个相等的实根
x1＝x2＝2.结合y＝x2－4x＋4的图象得原不等式的解集是{2}．
答案：{2}
5．不等式x2＞2的解集是________．
答案：(－∞，－)∪(，＋∞)
6．不等式x(4－x)≤5的解集是______．
解析：由x(4－x)≤5?x2－4x＋5≥0，
∵Δ＝(－4)2－4×5＜0，∴方程x2－4x＋5＝0无实根，结合y＝x2－4x＋5的图象得原不等式的解集为实数集R.
答案：R
?巩固提高
7．下面四个不等式解集为R的是( )
A．－x2＋x＋1≥0
B．x2－2x＋5>0
C．x2＋6x＋10>0
D．2x2－3x＋4<0
解析：利用“Δ”判断，在不等式x2＋6x＋10>0中，Δ＝62－40<0，∴不等式x2＋6x＋10＝0的解集为R，选C.
答案：C
8．不等式x(3－x)≥x(x＋2)＋1的解集是____．
解析：由x(3－x)≥x(x＋2)＋1?2x2－x＋1≤0.
∵Δ＝(－1)2－4×2×1＜0，
∴方程2x2－x＋1＝0无实根，结合y＝2x2－x＋1的图象得原不等式的解集为?.
答案：?
9．解下列不等式．
(1)4x2＋4x＋1＞0；
(2)x2＋25≤10x；
(3)－3x2＋6x＞2；
(4)2x2－4x＋7≥0.
解析：(1)因为4x2＋4x＋1＝(2x＋1)2＞0，
所以原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为x2－10x＋25≤0，
即(x－5)2≤0，故原不等式的解集为{x|x＝5}．
(3)原不等式可化为3x2－6x＋2＜0，
∵Δ＝12＞0，方程3x2－6x＋2＝0的两根是x1＝1－，x2＝1＋，
∴原不等式的解集为.
(4)因为Δ＝－40＜0，所以方程2x2－4x＋7＝0无实根，而函数y＝2x2－4x＋7的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.
10．解不等式组：
－1解析：原不等式组等价于
即
由①得x(x＋2)>0，所以x<－2或x>0；
由②得(x＋3)(x－1)≤0，所以－3≤x≤1.
∴原不等式组的解集为
{x|－3≤x<－2或01．解一元二次不等式常用数形结合法，基本步骤如下：
(1)先将一元二次不等式化成标准的形式．(2)计算判别式并求出相应的一元二次方程的实数解．(3)再画出相应的二次函数的图象．(4)最后根据图象和不等式的方向写出一元二次不等式的解集．
2．设相应的二次函数的图象开口向上，并与x轴相交，则有口诀：大于取两边；小于取中间．
3．分式不等式的同解变形：
分式不等式
同解不等式
＞0
①与或同解；
②与f(x)g(x)＞0同解
＜0
①与或同解；
②与f(x)g(x)＜0同解
＞a(a≠0)
①与＞0同解；
②与g(x)[f(x)－ag(x)]＞0同解
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3．3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
?基础达标
1．不等式x－2y＋6＞0表示的平面区域在直线x－2y＋6＝0的( )
A．右上方 B．右下方 C．左上方 D．左下方
解析：不等式x－2y＋6＞0即2y＜x＋6，y＜x＋3，
它所表示的平面区域在直线y＝x＋3的右下方，故选B.
答案：B
2．如下图所示的平面区域(阴影部分)，用不等式表示为( )
A．3x－y＋3<0 B．3x＋y－3<0
C．y－3x－3<0 D．y－3x＋3<0
答案：C
3．直线y＝3x－1左上侧的点(x0，y0)满足的不等式为______________．
解析：∵点(x0，y0)在直线y＝3x－1的左上侧，
∴y0＞3x0－1.
答案：y0＞3x0－1
4．直线y＝3x－1右下侧的点(x0，y0)满足的不等式为________________．
解析：∵点(x0，y0)在直线y＝3x－1的右下侧，
∴y0＜3x0－1.
答案：y0＜3x0－1
5．若不等式2x＋y＋m＜3 表示的平面区域包括点(0,0)和(1,1)，则m的取值范围是__________．
解析：将(0,0)和(1,1)分别代入不等式得
?m＜0.故m的取值范围是{m|m＜0}．
答案：(－∞，0)
6．画不等式组表示的平面区域．
解析：不等式组表示的平面区域是图中的阴影部分．
?巩固提高
7．已知x，y∈Z，则满足不等式组的点(x，y)的个数为( )
A．9个 B．10个 C．11个 D．12个
解析：先画出不等式组所表示的平面区域：
区域内的整数点分别是：(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(5,0)．故选D.
答案：D
8．若点(1,3)和(－4,2)在直线2x＋y＋m＝0的两侧，则m的取值范围是______________．
解析：∵(1,3)和(－4,2)在直线2x＋y＋m＝0的两侧，∴(2×1＋3＋m)[2×(－4)＋2＋m]＜0，
即(m＋5)(m－6)＜0，解得：－5＜m＜6.
故m的取值范围是{m|－5＜m＜6}．
答案：{m|－5＜m＜6}
9．设a>0，点集S中的(x，y)满足下列所有条件：
(1)≤x≤2a；(2)≤y≤2a；(3)x＋y≥a；(4)x－y＋a≥0；(5)x－y≤a.
那么S的边界是一个边数为________的多边形．
答案：六
10．某人上午7时，乘摩托艇以匀速v海里/时(4≤v≤20)从A港出发到距50海里的B港去，然后乘汽车以w千米/时(30≤w≤100)自B港向距300千米的C市驶去，应该在同一天下午4至9点到达C市．设汽车、摩托艇所需的时间分别是x、y小时．作图表示满足上述条件x、y的范围．
解析：由题意得：v＝，w＝，4≤v≤20,30≤w ≤100，
∴3≤x≤10，≤y≤，①
由于汽车、摩托艇所要的时间和x＋y应在9至14小时之间，即9≤x＋y≤14，②
因此满足①②的点(x，y)的存在范围是图中阴影部分(包括边界)．
不等式Ax＋By＋C＞0(＜0)所表示的平面区域的判定方法：
1．选特殊点(若C≠0，选原点)代入．
2．若原不等式化为y＞kx＋b，则不等式所表示的平面区域为直线的上方区域．
3．若原不等式化为y＜kx＋b，则不等式所表示的平面区域为直线的下方区域．
4．用平面区域表示变量取值范围的基本步骤：(1)设两个变量；(2)列出变量满足的不等式组；(3)画出不等式组表示的相应区域．
5．画出不等式组表示的相应区域时，要注意：(1)边界线是实线还是虚线；(2)变量的取值是实数还是整数；(3)区域是在直线的上方还是在直线的下方．
6．所列不等式与题设条件要确保等价.
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3．3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
3．3.3 简单的线性规划(习题课)
?基础达标
1．设x，y满足条件：则的取值范围是( )
A．[1,5] B．[2,6] C．[2,10] D．[3,11]
解析：＝1＋2·，令＝k，则k表示两点
P(x，y)和A(－1，－1)连线的斜率．不等式组所表示的平面区域如图所示：
由图可知：1≤k≤5，∴3≤1＋2k≤11.故选D.
答案：D
2．不等式组表示的平面区域是( )
解析：注意直线的虚实，知选C.
答案：C
3．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)＜0表示的平面区域是( )
解析：将(0,0)代入知不等式成立，又区域不含边界，故选C.
答案：C
4.
给出平面区域(包括边界)如下图中的阴影部分，若使目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为( )
A. B.
C．4 D.
解析：目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，说明当z取到最大值时，对应的直线与边界重合，此时对应的直线与直线AC重合，求出直线AC的斜率为－，故a＝.
答案：B
5．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )
A. B. C．1 D．2
解析：本题可先画出可行域，然后根据图形确定出最小值进行解答．
作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．
易知直线z＝2x＋y过交点A时，z取最小值，
由
得
∴zmin＝2－2a＝1，
解得a＝，故选B.
答案：B
?巩固提高
6．当x，y满足条件|x|＋|y|＜1时，变量u＝的取值范围是( )
A．(－3,3) B.
C. D.∪
解析：
不等式|x|＋|y|＜1表示的平面区域如右图所示：
令k＝，则k表示区域内的点P(x，y)与A(0，3)的连线的斜率，|k|＞3，＜.
又x＝0时，u＝0，∵|u|＜?－＜u＜.故选B.
答案：B
7．不等式组表示的平面区域内横、纵坐标都为整数的整点共有________．
解析：不等式所表示的平面区域如右图所示：区域内的整点为(0,0)，(1,0)，(－1,0)，(0,1)，(0，－1)共有5个．
答案：5个
8．设动点坐标(x，y)满足则x2＋y2的最小值为( )
A. B. C. D．10
答案：D
9．某商场为使销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对即将出售的空调和冰箱相关数据进行调查，得出下表：
资金
每台空调或
冰箱所需资金/百元
月资金供应数量
/百元
空调
冰箱
成本
30
20
300
工人工资
5
10
110
每台利润
6
8
问：该商场怎样确定空调或冰箱的月供应量，才能使总利润最大？最大利润是多少？
解析：设空调和冰箱的月供应量分别为x，y台，月总利润为z百元，则
z＝6x＋8y，作出可行域(如下图)．
∵y＝－x＋，表示纵截距为，斜率为k＝－的直线，当z最大时最大，此时，直线y＝－x＋必过四边形区域的顶点．
由得交点(4,9)，所以x，y分别为4,9 时，z＝6x＋8y＝96(百元)．
∴空调和冰箱的月供应量分别为4台、9台时，月总利润最大，最大值为9 600元．
10．某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大？
解析：将已知数据列成下表，设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，
产品
消耗量
资源
甲种棉纱
(1吨)
乙种棉纱(1吨)
资源限额(吨)
一级子棉/吨
2
1
300
二级子棉/吨
1
2
250
利润/元
600
900
那么 z＝600x＋900y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如下图)，即可行域．
作直线l：600x＋900y＝0，即直线l：2x＋3y＝0，把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z＝600x＋900y取最大值．解方程组得M的坐标为x＝≈117，y＝≈67.
答：应生产甲种棉纱117吨，乙种棉纱67吨，能使利润总额达到最大．
要完成一项确定的任务，如何统筹安排，尽量做到用最少的资源去完成它，这是线性规划中最常见的问题之一；资源数量一定，如何安排使用它们，使得效益最好，这是线性规划中常见的问题之二．解决这类问题的思路和方法为：
1．准确建立数学模型，根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，应分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关，并列出正确的不等式组．
2．由二元一次不等式表示的平面区域画出可行域．
3．在可行域内求目标函数的最优解．
4．根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解．
另外，线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得，也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个．要准确理解z的几何意义.
数学·必修5(人教A版)
3.4 基本不等式：≤
基本不等式(一)
?基础达标
1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是( )
A．x＋ B．x2－1＋
C．2x＋2－x D．x(1－x)
答案：C
2．已知a、b∈R，且ab≠0，则在①≥ab；②＋≥2；③ab≤2；④2≤这四个不等式中，恒成立的个数有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案：C
3．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则( )
A．x＝ B．x≤
C．x＞ D．x≥
解析：依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，
∴1＋x＝≤[(1＋a)＋(1＋b)]
＝1＋∴x≤.故选B.
答案：B
4．若x，y∈R＋，且x＋4y＝20，则x·y的最大值是_______________________________________________________．
解析：∵20＝x＋4y≥2＝4，
∴≤5?xy≤25.等号成立的条件是x＝4y＝10.即x＝10，y＝.
∴xy的最大值是25.
答案：25
5．已知a，b∈R＋，如果ab＝1，那么a＋b的最小值为________；如果a＋b＝1，那么ab的最大值为__________．
解析：∵a，b∈R＋，
∴≥，
∴a＋b≥2＝2.
故当ab＝1时，a＋b取最小值2，此时a＝b＝1.
又当a＋b＝1时，≤＝，
∴ab≤.
故当a＝b＝时，ab取最大值.
答案：2
6．已知a，b，c都是正数，求证：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc.
证明：∵a，b，c都是正数，
∴a＋b≥2＞0，b＋c≥2＞0，c＋a≥2＞0，
∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2·2·2＝8abc，即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，当且仅当a＝b＝c时等号成立．
?巩固提高
7．已知x、y＞0且x＋y＝1，则p＝x＋＋y＋的最小值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：此题很容易出错，认为x＋≥2，y＋≥2，
∴p≥4，错选B，错误的原因是x、y不能同时取到1.
正确解法：x＋＋y＋＝3＋＋≥3＋2＝5.
答案：C
8．设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是( )
A．6 B．4 C．2 D．8
解析：2a＋2b≥2＝2＝2＝4，等号成立，当且仅当2a＝2b.
即a＝b＝，故选B.
答案：B
9．下列不等式的证明过程正确的是( )
A．若a，b∈R，则＋≥2＝2
B．若x>0，则cos x＋≥2＝2
C．若x<0，则x＋≤2＝4
D．若a，b∈R，且ab<0，则＋＝－＋≤－2＝－2
答案：D
10．求函数y＝(x>－1)的最小值．
解析：∵x>－1，∴x＋1>0.
∴y＝＝＝(x＋1)＋＋5≥2＋5＝9.
当且仅当x＋1＝，即x＝1时，等号成立．
∴当x＝1时，函数y＝(x>－1)取得最小值为9.
1．基本不等式的左式为和结构，右式为积的形式，该不等式表明两正数a，b的和与两正数a，b的积之间的大小关系，运用该不等式可作和与积之间的不等变换．
2．“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义．
(1)当a＝b时等号成立的含意是：a＝b?＝ ；
(2)仅当a＝b时等号成立的含意是：＝?a＝b ；
综合起来，其含意是： ＝?a＝b.
3．设a，b∈R，不等式a2＋b2≥2ab?ab≤?
ab≤2.
4．基本不等式的几种变式：设a＞0，b＞0，则a＋≥2，＋≥2，≥2a－b.
数学·必修5(人教A版)
3.4 基本不等式：≤
3．4.2 基本不等式(二)
?基础达标
1．若x>0，则函数y＝－x－( )
A．有最大值－2 B．有最小值－2
C．有最大值2 D．有最小值2
解析：∵x>0，∴x＋≥2.∴－x－≤－2.当且仅当x＝1时，等号成立，故函数y＝－x－有最大值－2.
答案：A
2．数列{an}的通项公式an＝，则数列{an}中的最大项是( )
A．第9项 B．第8项和第9项
C．第10项 D．第9项和第10项
解析：an＝＝
∵n＋≥2，且n∈N*，
∴当n＝9或10时，n＋最小，an取最大值．故选D.
答案：D
3．lg 9lg 11与1的大小关系是( )
A．lg 9·lg 11＞1 B．lg 9·lg 11 ＝1
C．lg 9·lg 11＜1 D．不能确定
解析：lg 9×lg 11≤＝＜＝＝1，故选C.
答案：C
4．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则ab＋的最小值为( )
A．2 B.
C. D．不存在
解析：∵a，b∈R＋，a＋b＝1，∴≤＝，
∴0＜ab≤.
令t＝ab，则f(t)＝t＋在上单调递减，
∴f(t)的最小值为f＝＋4＝，故选C.
答案：C
5．某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金，某顾客要购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客，然后又将5 g的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金( )
A．大于10 g B．小于10 g
C．大于等于10 g D．小于等于10 g
解析：设两臂长分别为a，b，两次放入的黄金数是x，y，
依题意有ax＝5b，by＝5a，∴xy＝25.
∵≥，∴x＋y≥10，又a≠b，∴x≠y.
∴x＋y＞10.即两次所得黄金数大于10克，故选A.
答案：A
6．函数f(x)＝的最大值为( )
A. B. C. D．1
解析：当x＝0时，f(0)＝0；当x＞0时，x＋1≥2＞0，∴f(x)≤＝，当且仅当x＝1时等号成立．故函数f(x)＝的最大值为.
答案：B
?巩固提高
7．某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0A．18 B．27 C．20 D．16
答案：A
8．函数y＝3x2＋(x>0)的最小值是( )
A．3－3 B．－3
C．6 D．6－3
答案：D
9．(1)求函数y＝＋x(x＞3)的最小值；
解析：∵x＞3，
∴y＝＋x＝＋(x－3)＋3≥5，
当且仅当x－3＝，即x＝4时取等号．
∴ymin＝5.
(2)求函数y＝x(a－2x)(x＞0，a为大于2x的常数)的最大值；
解析：∵x＞0，a＞2x，
∴y＝x(a－2x)＝·2x·(a－2x)≤
·＝，
当且仅当x＝时，取等号，
∴ymax＝.
(3)已知x＞0，y＞0,2x＋5y＝20，求μ＝lg x＋lg y的最大值．
解析：∵x＞0，y＞0,2x＋5y＝20，
∴2x·5y≤2＝2＝100，
∴xy≤10，
∴μ＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1，
当且仅当2x＝5y＝10，
即x＝5，y＝2时上式取等号，
∴当x＝5，y＝2时，
μ＝lg x＋lg y取最大值，最大值为1.
10．
围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如右上图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．
(1)将y表示为x的函数；
解析：如图所示，设矩形的另一边长为a m，
则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.
由已知xa＝360，得a＝.
所以y＝225x＋－360(x＞0)．
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
解析：∵x＞0，∴225x＋≥2＝10 800.
∴y＝225x＋－360≥10 440.
当且仅当225x＝时，等号成立．
即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．
1．用基本不等式≤求最值时的三个要点：
(1)式中各项均为正数；
(2)含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
(3)等号能成立．
以上三点可简记为：“一正、二定、三相等”．
2．用基本不等式解决实际问题时应按如下步骤进行：
(1)理解题意，设好变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定义为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题转化、抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)结合实际意义求出正确的答案，回答实际问题．
数学·必修5(人教A版)
一、本章概述
不等关系是中学数学中最基本、最广泛、最普遍的关系．
不等关系起源于实数的性质，产生了实数的大小关系、简单不等式、不等式的基本性质，如果赋予不等式中变量以特定的值、特定的关系，又产生了重要不等式、基本不等式等．
不等式是永恒的吗？显然不是，由此又产生了解不等式与证明不等式两个极为重要的问题．解不等式即寻求不等式成立时变量应满足的范围或条件，不同类型的不等式又有不同的解法．不等式证明则是推理性问题或探索性问题．推理性即在特定条件下，阐述论证过程，揭示内在规律，基本方法有比较法、综合法、分析法；探索性问题大多是与自然数n有关的证明问题，常采用观察—归纳—猜想—证明的思路，以数学归纳法完成证明．另外，不等式的证明方法还有换元法、放缩法、反证法、构造法等．不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程．
不等式的知识渗透在数学中的各个分支，相互之间有着千丝万缕的联系，因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其他问题，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，以及三角、数列、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，这些问题无一不与不等式有着密切的联系．不等式还可以解决现实世界中反映出来的数学问题，许多问题最终归结为不等式的求解或证明．
解决这类综合问题的一般思维方法是：引参，建立不等关系，解某一主元的不等式(实为分离变元)，适时活用基本不等式．其中建立不等关系的常用途径是：①根据题设条件；②判别式法；③基本不等式法；④依据某些变量(如sin x，cos x)的有界性等．
不等式的应用体现了一定的综合性、灵活多样性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用不等式解应用题的基本步骤：①审题；②建立不等式模型；③解决数学问题；④作答．
本章中，不等式的证明是难点，解不等式是重点，含参数的不等式综合题是高考命题的热点．掌握不等式的意义和实数的符号法则，是分散难点和解决难点的关键．如能熟悉不等式的性质，认清基本不等式的特点，灵活运用比较、分析、综合等基本方法，认真进行思考和探索，是不难找到解题途径的．要善于进行转化变形，即化无理为有理、化分式为整式、化高次为低次、化绝对值为非绝对值等等，以突破解证不等式这一难关．
通过本章的学习达到以下基本目标：
1．会用不等式(组)表示不等关系；
2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小；
3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；
4．会作二元一次不等式(组)表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；
5．明确基本不等式及其成立条件，会灵活应用基本不等式证明或求解最值．
二、主干知识
1．不等式与不等关系．
不等式的性质刻画了在一定条件下两个量的不等关系．不等式的性质包括“单向性”和“双向性”．单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的基础．因为解不等式要求的是同解变形．要正确理解不等式的性质，必须先弄清每一性质的条件和结论、注意条件和结论的放宽和加强，以及条件与结论之间的相互联系．
双向性主要有：
(1)不等式的基本性质：这是比较两个实数的大小的依据；
(2)a>b ?b(3)a>b ?a＋c>b＋c.
单向性主要有：
(1)a>b，b>c?a>c；
(2)a>b，c>d?a＋c>b＋d；
(3)a>b，c>0(c < 0)?ac>bc(ac(4)a>b>0，c>d>0?ac>bd；
(5)a>b>0,0 (6)a>b>0，m∈N*?am>bm；
(7)a>b>0，n∈N*，n>1?>.
特别提醒：(1)同向不等式可以相加，异向不等式可以相减．即：
若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d；
若a＞b，c＜d，则a－c＞b－d.
但异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减．
(2)左右同正不等式，同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘．即：
若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；
若a＞b＞0,0＜c＜d，则＞.
(3)左右同正不等式，两边可以同时乘方或开方．即：
若a＞b＞0，n∈N*，n>1，则an＞bn或＞.
(4)若ab＞0，a＞b，则＜；若ab＜0，a＞b，则＞.
如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论．
2．一元二次不等式及其解法
解一元二次不等式常用数形结合法，基本步骤如下：①将一元二次不等式化成ax2＋bx＋c＞0的形式，②计算判别式并求出相应的一元二次方程的实数解，③画出相应的二次函数的图象，④根据图象和不等式的方向写出一元二次不等式的解集．
设相应二次函数的图象开口向上，并与x轴相交，则有口诀：大于取两边，小于取中间．
解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”．要注意对字母参数的讨论，如果遇到下述情况则一般需要讨论：
(1)在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时要分析Δ)，比较两个根的大小，设根为x1，x2，要分x1＞x2、x1＝x2、x1＜x2讨论．
(2)不等式两端乘或除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正负．
(3)求解过程中，需用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论．
注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”．若按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；若按未知数讨论，最后应求并集．
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集：设相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两根为x1、x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，则不等式的解的各种情况如下表所示：
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
ax2＋bx＋c
＞0(a＞0)
的解集
ax2＋bx＋c
＜0(a＞0)
的解集
Δ＞0
有两相异实根
x1，x2(x1{x|x或x>x2}
{x|x1＜
x＜x2}
Δ＝0
有两相等实根
x1＝x2＝－
{x|x≠
－}
?
Δ＜0
无实根
R
?
特别提醒：(1)解题中要充分利用一元二次不等式的解集是实数集R和空集?的几何意义，准确把握一元二次不等式的解集与相应一元二次方程的根及二次函数图象之间的内在联系．
(2)解不等式的关键在于保证变形转化的等价性．简单分式不等式可化为整式不等式求解：先通过移项、通分等变形手段将原不等式化为右边为0的形式，然后通过符号法则转化为整式不等式求解．转化为求不等式组的解时，应注意区别“且”、“或”，涉及最后几个不等式的解集是“交”，还是“并”．注意：不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值．
(3)在解决实际问题时，先要从实际问题中抽象出数学模型，并寻找出该数学模型中已知量与未知量，再建立数学关系式，然后用适当的方法解决问题．
(4)解含参数的不等式是高中数学中的一类较为重要的题型，解决这类问题的难点在于对参数进行恰当分类．分类相当于增加了题设条件，便于将问题分而治之．在解题过程中，经常会出现分类难以入手或者分类不完全的现象．强化分类意识，选择恰当的解题切入点，掌握一些基本的分类方法，善于借助直观图形找出分类的界值是解决此类问题的关键．
3．二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题．
(1)确定二元一次不等式表示的区域的步骤：
①在平面直角坐标系中作出直线Ax＋By＋C＝0；
②在直线的一侧任取一点P(x0，y0)，当C≠0时，常把原点作为特殊点；
③将P(x0，y0)代入Ax＋By＋C求值：
若Ax0＋By0＋C＞0，则包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C＞0所表示的平面区域，不包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C＜0所表示的平面区域．也可采用：把二元一次不等式改写成y＞kx＋b或y＜kx＋b的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域．
(2)线性规划的有关概念：
①满足关于x，y的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件；
②关于变量x，y的解析式叫目标函数，关于变量x，y一次式的目标函数叫线性目标函数；
③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；
④满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；
⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解．
(3)解简单线性规划问题的基本步骤：
①根据实际问题的约束条件列出不等式；②作出可行域，写出目标函数；③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解．具体来讲有以下5步：
a．画图：画出线性约束条件所表示的平面区域即可行域；
b．定线：令z＝0，得一过原点的直线；
c．平移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；
d．求最优解：通过解方程组求出最优解；
e．求最值：求出线性目标函数的最大或最小值．
特别提醒：(1)画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，区域包括边界线，因此，将边界直线画成实线；无等号时区域不包括边界线，用虚线表示不包含直线l.
(2)Ax＋By＋C＞0表示在直线Ax＋By＋C＝0(B>0)的上方，Ax＋By＋C＜0表示在直线Ax＋By＋C＝0(B>0)的下方．
(3)设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l：Ax＋By＋C＝0，若Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C同号，则P，Q在直线l的同侧，异号则在直线l的异侧．
(4)在求解线性规划问题时要注意：①将目标函数改成斜截式方程；②寻找最优解时注意作图规范．
4．基本不等式≤.
(1)基本不等式：设a，b是任意两个正数，那么≤.当且仅当a＝b时，等号成立．
①基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
②如果把看做是正数a，b的等差中项，看做是正数a，b的等比中项，那么基本不等式也可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．
③基本不等式≤几何意义是“半径不小于半弦”．
(2)对基本不等式的理解：
①基本不等式的左式为和结构，右式为积的形式，该不等式表明两正数a，b的和与两正数a，b的积之间的大小关系，运用该不等式可作和与积之间的不等变换．
②“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义：
a．当a＝b时等号成立的含意是：a＝b?＝；
b．仅当a＝b时等号成立的含意是：＝?a＝b；
综合起来，其含意是：＝?a＝b.
(3)设a，b∈R，不等式a2＋b2≥2ab?ab≤?ab≤2.
(4)基本不等式的几种变式：设a＞0，b＞0，则a＋≥2，＋≥2，≥2a－b.
(5)常用的几个不等式：
① ≥≥≥(根据目标不等式左右的运算结构选用)；
②设a，b，c∈R，则a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(当且仅当a＝b＝c时，取等号)；
③真分数的性质：若a＞b＞0，m＞0，则＜(糖水的浓度问题)．
特别提醒：(1)用基本不等式求函数的最值时，要特别注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针．常用的方法为：拆、凑、平方．
(2)用基本不等式证明不等式时，应重视对所证不等式的分析和化归，应观察不等式左右两边的结构，注意识别轮换对称式，此时可先证一部分，其他同理可证，然后再累加或累乘．
题型1 恒成立问题
(1)若不等式f(x)＞A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)min＞A；
(2)若不等式f(x)＜B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)max＜B.
设函数f(x)＝，g(x) ＝x＋a(a>0)，若x∈[1,4]时不等式≤1恒成立，求a的取值范围．
解析：由≤1?－1≤≤1，得0≤≤2，
即≤2在x∈[1,4]上恒成立，也就是ax＋a2≤2在x∈[1,4]上恒成立．
令t＝，则t≥0，且x＝t2，由此可得 at2－2t＋a2≤0在t∈[1,2]上恒成立，设g(t) ＝ at2－2t＋a2，则只需?解得 0题型2 能成立问题
(1)若在区间D上存在实数x使不等式f(x)＞A成立，则等价于在区间D上的f(x)max＞A；
(2)若在区间D上存在实数x使不等式f(x)＜B成立，则等价于在区间D上的f(x)min＜B.
若存在x∈R，使不等式|x－4|＋|x－3|＜a成立，求实数a的取值范围．
解析：设f(x)＝|x－4|＋|x－3|，依题意f(x)的最小值＜a.又f(x)＝|x－4|＋|x－3|≥|(x－4)－(x－3)|＝1(等号成立的条件是3≤x≤4)．故f(x)的最小值为1，∴a＞1.即实数a的取值范围是(1，＋∞)．
题型3 恰成立问题
(1)若不等式f(x)＞A在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)＞A的解集为D；
(2)若不等式f(x)＜B在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)＜B的解集为D.
已知函数y＝的最小值为1，求实数a的取值集合．
解析：由y≥1即≥1?x2－(a＋4)x＋4≥0恒成立，∴Δ＝(a＋4)2－16≤0，解得－8≤a≤0(必要条件)．再由y＝1有解，即＝1有解，?x2－(a＋4)x＋4＝0有解，得：Δ＝(a＋4)2－16≥0，解得a≤－8或a≥0.
综上即知a＝－8或a＝0时，ymin＝1，故所求实数a的取值集合是{－8,0}．
题型4 利用基本不等式求最值
基本不等式通常用来求最值问题：一般用a＋b≥2(a＞0，b＞0)解“定积求和，和最小”问题，用ab≤2求“定和求积，积最大”问题，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”，特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等方法，构造定值条件的方法，和对等号能否成立的验证．
若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值，还要注意运用基本不等式解决实际问题．
已知0＜x＜2，求函数y＝x(8－3x)的最大值．
解析：∵0＜x＜2，∴0＜3x＜6,8－3x＞0，
∴y＝x(8－3x)＝·3x·(8－3x)≤
＝，
当且仅当3x＝8－3x，即x＝时，取等号，
∴当x＝时，y＝x(8－3x)有最大值为.
设函数f(x)＝x＋，x∈[0，＋∞)．
求函数f(x)的最小值．
解析：f(x)＝x＋＝(x＋1)＋－1，
∵x∈[0，＋∞)，∴x＋1＞0，＞0，
∴x＋1＋≥2.当且仅当x＋1＝，
即x＝－1时，f(x)取最小值．
此时f(x)min＝2－1.
题型5 简单线性规划问题
求目标函数在约束条件下的最优解，一般步骤为：一是寻求约束条件和目标函数，二是作出可行域，三是在可行域内求目标函数的最优解，特别注意目标函数z＝ax＋by＋c在直线ax＋by＝0平移过程中变化的规律和图中直线斜率关系．简单的线性规划应用题在现实生活中的广泛应用也是高考的热点．
若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是( )
A. B. C. D.
解析：不等式组表示的平面区域如图所示：
由于直线y＝kx＋过定点，因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋能平分平面区域，因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点M.当y＝kx＋过点时，＝＋，所以k＝.
答案：A
题型6 三个二次(二次函数、二次不等式、二次方程)问题
一元二次方程、一元二次不等式与二次函数三者之间形成一个关系密切、互为关联、互为利用的知识体系．
将二次函数看作主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零(零点)和不为零的两种情况，一般讨论二次函数主要是将其通过一元二次方程和一元二次不等式来讨论，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象揭示解(集)的几何特征．
当m为何值时，方程2x2＋4mx＋3m－1＝0有两个负根？
解析：方程2x2＋4mx＋3m－1＝0有两个负根，则有
即
∴当m∈时，原方程有两个负根．
题型7 不等式与函数的综合问题
定义在(－1,1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数，且f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数 a的取值范围．
解析：∵f(x)的定义域为(－1,1)，
∴
∴
∴0＜a＜，①
原不等式变形为f(1－a)＜－f(1－a2)．
由于f(x)为奇函数，有－f(1－a2)＝f(a2－1)，
∴f(1－a)＜f(a2－1)．
又f(x)在(－1,1)上是减函数，
∴1－a＞a2－1，解得－2＜a＜1.②
由①②可得0＜a＜1，
∴a的取值范围是(0,1)．
题型8 求分式函数的最值
求函数y＝的最小值．
解析：y＝＝(x2＋1)＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x2＋1＝，即x2＋1＝1，即x＝0时等号成立．
