数学·必修1(人教A版)
一、集合
1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合．
(1)集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作a∈A；若b不是集合A的元素，记作b?A.
(2)集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性．
确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．
互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素．
无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关．
(3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法．
列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号{ }内．
描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
特别关注：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．
(4)常用数集及其记法．
非负整数集(或自然数集)，记作N；
正整数集，记作N*或N＋；
整数集，记作Z；
有理数集，记作Q；
实数集，记作R.
2．集合的包含关系．
(1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集(或B包含A)，记作A?B(或B?A)．
集合相等：构成两个集合的元素完全一样．若A?B且B?A，则称A等于B，记作A＝B；若A?B且A≠B，则称A是B的真子集，记作AB.
(2)简单性质：①A?A；②??A；③若A?B，B?C，则A?C；④若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集(其中2n－1个真子集)．
3．全集与补集．
(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U.
(2)若S是一个集合，A?S，则?SA＝{x|x∈S且x?A}称S中子集A的补集．
(3)简单性质：
①?S(?SA)＝A；②?SS＝?；③?S?＝S.
4．交集与并集．
(1)一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集．交集A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．
(2)一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集．并集A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
特别关注：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法．
5．集合的简单性质．
(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A；
(2)A∪?＝A，A∪B＝B∪A；
(3)(A∩B)?(A∪B)；
(4)A?B?A∩B＝A；A?B?A∪B＝B；
(5)?S(A∩B)＝(?SA)∪(?SB)，
?S(A∪B)＝(?SA)∩(?SB)．
二、函数
1．函数的概念．
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
特别关注：(1)“y＝f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y＝g(x)”；
(2)函数符号“y＝f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x.
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
(1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：
①自然型．指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围(如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，等等)．
②限制型．指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中的重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误．
③实际型．解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考查自变量x的实际意义．
(2)求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题：①配方法(将函数转化为二次函数)；②判别式法(将函数转化为二次方程)；③不等式法(运用不等式的各种性质)；④函数法(运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等)．
3．两个函数的相等．
函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定．因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．
4．区间．
(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
(2)无穷区间；
(3)区间的数轴表示．
5．映射的概念．
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．记作“f：A→B”．
函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这样的对应就叫映射．
特别关注：(1)这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．
(2)“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：一是必有一个，二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．
6．常用的函数表示法．
(1)解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式．
(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系．
(3)图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．
7．分段函数．
若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数．
8．复合函数．
若y＝f(u)，u＝g(x)，x∈(a，b)，u∈(m，n)，那么y＝f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域．
三、函数性质
1．奇偶性．
(1)定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)＝f(x)，则称f(x)为偶函数．
如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性．如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数．
特别关注：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)．
(2)利用定义判断函数奇偶性的步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称．
②确定f(－x)与f(x)的关系．
③作出相应结论：
若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数；
若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．
(3)简单性质．
①图象的对称性质：一个函数是奇函数则它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数则它的图象关于y轴对称．
②设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：
奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，
偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．单调性．
(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)[f(x1)＞f(x2)]，那么就说f(x)在区间D上是增函数(减函数)．
特别关注：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质．
②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，总有f(x1)＜f(x2)[f(x1)＞f(x2)]．
(2)如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
(3)设复合函数y＝f[g(x)]，其中u＝g(x)，A是y＝f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g：x→u＝g(x)的象集：
①若u＝g(x)在A上是增(或减)函数，y＝f(u)在B上也是增(或减)函数，则函数y＝f[g(x)]在A上是增函数．
②若u＝g(x)在A上是增(或减)函数，而y＝f(u)在B上是减(或增)函数，则函数y＝f[g(x)]在A上是减函数．
(4)判断函数单调性的方法步骤．
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f(x1)－f(x2)；
③变形(通常是因式分解和配方)；
④定号[即判断差f(x1)－f(x2)的正负]；
⑤下结论[即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性]．
(5)简单性质．
①奇函数在其对称区间上的单调性相同．
②偶函数在其对称区间上的单调性相反．
③在公共定义域内：
增函数f(x)＋增函数g(x)是增函数；
减函数f(x)＋减函数g(x)是减函数；
增函数f(x)－减函数g(x)是增函数；
减函数f(x)－增函数g(x)是减函数．
3．最值．
(1)定义．
最大值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)是最小值．
特别关注：①函数最大(小)首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
②函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M[f(x)≥M]．
(2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法．
①利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值．
②利用图象求函数的最大(小)值．
③利用函数的单调性判断函数的最大(小)值：
如果函数y＝f(x)，x∈[a，c]在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)在x＝b处有最大值f(b)．
如果函数y＝f(x)，x∈[a，c]在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)在x＝b处有最小值f(b)．
设card(X)表示有限集X所含元素的个数，则
①card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，
特别地，当A∩B＝?时，card(A∪B)＝card(A)＋card(B)；
②card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)．
某班有36名同学分别参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．
解析：由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学课外探究小组，设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，则card(A∩B∩C)＝0，card(A∩B)＝6，card(B∩C)＝4.
由公式：card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)，
知36＝26＋15＋13－6－4－card(A∩C)，
故card(A∩C)＝8.
即同时参加数学和化学小组的有8人．
答案：8
?跟踪训练
1．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(?UA)∪(?UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为( )
A．mn个 B．m＋n个
C．n－m个 D．m－n个
解析：因为A∩B＝(A∪B)－(?UA)∪(?UB)，所以A∩B共有m－n个元素，选D.
答案：D
2．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为______人．
解析：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有(15－x)人，只喜爱乒乓球的有(10－x)人，由此可得(15－x)＋(10－x)＋x＋8＝30，解得x＝3，所以15－x＝12.即所求人数为12人．
答案：12
1．若a∈A，则a??UA；若a∈?UA，则a?A.
2．若a∈A∩B，则a∈A且a∈B.
3．设a 已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(?UB)∩A＝{9}，则A＝( )
A．{1,3} B．{3,7,9}
C．{3,5,9} D．{3,9}
解析：∵A∩B＝{3}，∩A＝{9}，且B∪＝U，∴A＝{3,9}．选D.
本题也可以用Venn图(如下图)帮助理解并解决问题．
答案：D
?跟踪训练
3．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.
解析：∵3∈A∩B，∴3∈B.又a2＋4>3，故由a＋2＝3, 解得
a＝1.
答案：1
有关集合的新定义问题，高考中常见的有两类题型：一是定义集合的新概念，二是定义集合的新运算．
一、定义集合的新概念
对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下(阴影区域及其边界)：其中为凸集的是_____________(写出所有凸集相应图形的序号)．
解析：由题中凸集的定义，观察所给图形知，①④不是凸集，而②③满足条件，是凸集．
答案：②③
二、定义集合的新运算
在集合{a，b，c，d}上定义两种运算和如下：
?
a
b
c
d
a
a
b
c
d
b
b
b
b
b
c
c
b
c
b
d
d
b
b
d
a
b
c
d
a
a
a
a
A
b
a
b
c
D
c
a
c
c
A
d
a
d
a
D
那么( )
A．a B．b
C．c D．d
解析：由上表可知：(a?c)＝c，故d(a?c)＝dc＝a，选A.
答案：A
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4．设P是一个数集，且至少含有两个数．若对任意a，b∈P，都有a＋b、a－b，ab、∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域．有下列结论：
①数域必含有0,1两个数；
②整数集是数域；
③若有理数集Q?M，则M必为数域；
④数域必为无限集．
其中正确的结论的序号是__________(把你认为正确结论的序号都填上)．
解析：设a，b∈数域P，按照定义得∈P，∈P，从而·＝1∈P.又a，b∈P，则a＋b∈P，a－b∈P，b－a∈P，从而0＝(a－b)＋(b－a)∈P，于是数域必含有0,1两个数；因此①正确；以此类推下去，可知数域必为无限集，④正确．②对除法如?Z不满足，所以排除；③取M＝Q∪，1，∈M，但对除法?M. 所以①④正确．
答案： ①④
设集合M有N个元素，那么集合M的所有子集共有2n个，集合M的所有真子集共有2n－1个，集合M的所有非空真子集共有2n－2个．
若集合M＝?，显然M的所有子集共有1个；若集合M只有一个元素，即M＝{a1}，M的所有子集分别是?和M＝{a1}，所有子集共有2个；设集合M含有n－1个元素， M的所有子集共有Mn－1个，当集合M含有n个元素时，不妨设M＝{a1，a2，a3，…，an－1，an}，M的所有子集共分为两类：一类是不含an的子集，即{a1，a2，a3，…，an－1}的子集，共有Mn－1个，另一类是含an的子集，只需将an添加到{a1，a2，a3，…，an－1}的所有子集中去，便得到含an的所有子集，显然也有Mn－1个，故Mn＝2 Mn－1.由此可知， M1＝2 M0＝2, M2＝2 M1＝4, M3＝2 M2＝8，…，Mn＝2 Mn－1＝2n.
设M为非空的数集，M?{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有( )
A．6个 B．5个
C．4个 D．3个
解析：集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8个，集合{2}的所有子集共有2个，故满足要求的集合M共有8－2＝6个．
答案：A
满足{0,1,2}?A?{0,1,2,3,4,5}的集合A的个数是________个．
解析：集合{3,4,5}的所有非空真子集共有23－1＝7个，满足要求的集合A就是这7个真子集与集合{0,1,2}的并集，故满足要求的集合A共有7个．
答案：7
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5．已知集合A＝{1,2,3,4}，那么A的真子集的个数是( )
A．3个 B．4个 C．15个 D．16个
答案：C
6．已知集合M＝{0,1}，则满足M∪N＝{0,1,2}的集合N的个数是( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．8个
答案：C
对于函数的概念及其表示要注意：
1．函数的三要素：定义域、值域、对应关系．
2．定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．
3．求抽象函数定义域的方法：
(1)已知f(x)的定义域为[a，b]，求f[g(x)]的定义域，就是求不等式a≤g(x)≤b的解集；
(2)已知f[g(x)]的定义域为[a，b]，求f(x)的定义域，就是求当x∈[a，b]时，g(x)的值域．
4．求函数解析式的常用方法：
(1)凑配法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)构造法．
5．求函数值域的方法：
(1)配方法；(2)分离常数法；(3)换元法．
随着学习的深入，我们会有更多的求值域的方法．
设x≥0时，f(x)＝2，x＜0时，f(x)＝1，又规定g(x)＝(x＞0)，试写出y＝g(x)的表达式，画出其图象．
分析：对于x＞0的不同区间，讨论x－1与x－2的符号可求出g(x)的表达式．
解析：当0＜x＜1时，x－1＜0，x－2＜0，
∴g(x)＝＝1；
当1≤x＜2时，x－1≥0，x－2＜0，
∴g(x)＝＝；
当x≥2时，x－1＞0，x－2≥0.
∴g(x)＝＝2.
故g(x)＝
其图象如右图所示．
点评：此题要注意分类讨论，做题时要分段求解析式．画图要注意端点的取舍．
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7．求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝x＋；
解析：(1)∵x－1≠0，∴x≠1，
∴函数的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)．
(2)f(x)＝；
解析：∵∴
∴函数的定义域是(－∞，1)∪(1,4]．
(3)f(x)＝＋；
解析：∵∴
∴x＝1，∴函数的定义域是{1}．
(4)f(x)＝＋.
解析：∵x2＋x＋1的判别式Δ＝12－4×1×1＝－3＜0，
∴x2＋x＋1＞0对一切x∈R恒成立，
∴函数的定义域由x2－2x＋1≠0确定，
由x2－2x＋1≠0，得x≠1.
∴函数的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)．
点评：求函数的定义域要注意使函数解析式中每个式子都有意义，有时需解不等式组．
1．判断函数单调性的步骤：
(1)任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
(2)作差f(x1)－f(x2)；
(3)变形(通分、配方、因式分解)；
(4)判断差的符号，下结论．
2．求函数单调性要先确定函数的定义域．
3．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数．
4．复合函数y＝f[g(x)]的单调性遵循“同增异减”的原则．
5．奇函数的性质：
(1)图象关于原点对称；
(2)在关于原点对称的区间上单调性相同；
(3)若在x＝0处有定义，则有f(0)＝0.
6．偶函数的性质：
(1)图象关于y轴对称；
(2)在关于原点对称的区间上单调性相反；
(3)f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
7．若奇函数f(x)在[a，b]上有最大值M，则在区间[－b，－a]上有最小值－M.
已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x|x－2|，求f(x)在R上的表达式．
解析：(1)当x＝0时，∵f(x)是奇函数，
∴f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.
(2)当x＜0时，－x＞0.
∴f(－x)＝－x|－x－2|＝－x|x＋2|.
又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x|x＋2|，
∴f(x)＝x|x＋2|.
综上可知，f(x)在R上的表达式为
f(x)＝
点评：解决本题的关键在于通过区间的过渡，将(－∞，0)上的变量转换到(0，＋∞)上，从而利用函数的奇偶性和函数在(0，＋∞)上的解析式求出函数在(－∞，0)上的解析式，但不要忘记f(x)为奇函数且x∈R时，f(0)＝0.
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8．设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．
(1)证明：f(x)是偶函数；
解析：(1)证明：∵f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，即f(－x)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；
解析：当x≥0时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2；当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2.
∴f(x)＝
根据二次函数的作图方法，可得函数图象，如下图所示．
函数f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．f(x)在区间[－3，－1)，[0,1)上为减函数，在[－1,0)，[1,3]上为增函数
(3)求函数的值域．
解析：由图象可知，函数值域为[－2,2]．
点评：利用函数的奇偶性，可以作出相应的图象．
9．若f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(3)＝0，则xf(x)＜0的解集是( )
A．{x|－3＜x＜0或x＞3}
B．{x|x＜－3或0＜x＜3}
C．{x|x＜－3或x＞3}
D．{x|－3＜x＜0或0＜x＜3}
解析：因为f(x)在(0，＋∞)内是增函数，f(3)＝0，所以当0＜x＜3时，f(x)＜0；当x＞3时，f(x)＞0，又因f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以当－3＜x＜0时，f(x)＞0；当x＜3时，f(x)＜0，可见xf(x)＜0的解集是{x|－3＜x＜0或0＜x＜3}．
答案：D
分段函数是指在定义域的不同子集上解析式不同的函数．在求分段函数的有关问题时，要根据自变量的所在范围，选择相应的解析式进行研究．
分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各解析式的取值范围的并集．
分段函数的性质往往要结合函数图象进行判断研究．
分段函数解析式的确定一定要分类讨论，根据不同情形分别确定．
某旅行社组团去风景旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到每张降为450元为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数．
(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解析：(1)设旅行团人数为x人，由题知0y＝
即y＝
(2)设旅行社获利为S元，
则S＝
即S＝
因此，当x＝60时，旅行社可获得最大利润．
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10．函数f(x)＝若f[f(x)]＝1，求x的取值范围．
解析：f[f(x)]＝1等价于①f(x)∈[0,1]或②3－f(x)＝1.
①式又等价于x∈[0,1]
或
②式又等价于3－x＝2.
解得x的取值范围是[0,1]∪[2,3]．
11．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力，x表示提出概念和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式：
f(x)＝
(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？
解析：易知在前10分钟学生的接受能力一直增强，所以开讲后10分钟学生的接受能力最强，此时达到59；而从16分钟后开始，学生的接受能力一直从59下降，故能维持6分钟．
(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？
解析：因为开讲后5分钟学生的接受能力为－0.1×25＋13＋43＝53.5，开讲后20分钟学生的接受能力为－3×20＋107＝47，所以学生在开讲后5分钟接受能力强一些．
(3)一个数学难题需要55的接受能力以及13分钟时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？
解析：因为易求得从第6分钟开始学生的接受能力开始达到55，一直维持到第分钟时开始从55下降，所以能保持接受能力为55的时间为－6＝<13，因为讲这个数学难题需要55的接受能力和13分钟，因此老师不能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题是函数内容的难点之一，其性质常常是隐而不漏，但一般情况下大多是以常见函数为背景，通过代数表述给出函数性质．
处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段．也是解决这类问题的主要方法．
已知定义域为R ＋ 的函数f(x)，同时满足下列条件：
①f(2)＝ 1，f(6)＝；
②f(x·y)＝f(x)＋f(y)．
求f(3)、f(9)的值．
解析：取x ＝ 2，y ＝ 3，得f(6)＝f(2)＋f(3)，
∵f(2)＝ 1，f(6)＝，∴f(3)＝－.
又取x ＝ y ＝ 3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝－.
点评：通过观察已知与未知的联系，巧妙地取x＝2，y＝3，这样便把已知条件f(2)＝ 1，f(6)＝与欲求的f(3)沟通了起来．这是解此类问题的常用技巧．
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12．已知定义域为R的函数f(x)满足f[f(x)－x2＋x]＝f(x)－x2＋x.
(1)若f(2)＝3，求f(1)；又若f(0)＝a，求f(a)；
解析：因为对任意x∈R，
有f[f(x)－x2＋x]＝f(x)－x2＋x，
所以f[f(2)－22＋2]＝f(2)－22＋2.
又由f(2)＝3得f(3－22＋2)＝3－22＋2，
即f(1)＝ 1.
若f(0)＝a，则f(a－02＋0)＝a－02＋0，
即f(a)＝ a.
(2)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，求函数f(x)的解析表达式．
解析：因为对任意x∈R，有f[f(x)－x2＋x]＝f(x)－x2＋x，
又因为有且只有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，所以，对任意x∈R，有f(x)－x2＋x＝x0，
在上式中令x ＝x0，有f(x0)－x20＋x0＝x0，
又因为f(x0)＝x0，所以x0－x20＝ 0，故x0＝ 0或x0＝1.
若x0＝ 0，则f(x)－x2＋x＝ 0，即f(x)＝x2－x.
但方程x2－x ＝ x有两个不同实根，与题设矛盾，故x0≠0.
若x0＝ 1，则有f(x)－x2＋x＝ 1，即f(x)＝x2－x＋1.
易验证该函数满足题设条件．
综上可知，所求函数为f(x)＝x2－x＋1(x∈R)．
二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中有三个参数a，b，c. 解题时常常需要通过三个独立条件“确定”这三个参数.
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等. 结合这些图象特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易，形象直观．
二次函数的图象关于直线x＝－对称， 设二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2，则x1＋x2＝－也反映了二次函数的一种对称性．
将二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)进行配方可得二次函数的顶点式：y＝a2＋，由此可知函数的对称轴、最值及判别式．
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c在区间和区间上分别单调，所以二次函数f在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得．
某公司有价值a万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值．假设附加值y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：
①y与a－x和x的乘积成正比；
②x＝时y＝a2；
③0≤≤t，其中t为常数，且t∈[0,1]．
(1)设y＝f(x)，求出f(x)的表达式，并求出y＝f(x)的定义域；
(2)求出附加值y的最大值，并求出此时的技术改造投入的x的值．
解析：(1)设y＝k(a－x)x，由x＝时y＝a2，可得k＝4，∴y＝4(a－x)x.
∴定义域为，t为常数，t∈[0,1]．
(2)y＝4(a－x)x＝－42＋a2，
当≥时，即≤t≤1，x＝时，ymax＝a2；
当<时，即0≤t≤时，y＝4(a－x)x在上为增函数．
∴当x＝时，ymax＝ .
∴当≤t≤1时，投入x＝时，附加值y最大为a2万元；
当0≤t<时，投入x＝时，附加值y最大为万元．
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13．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－，于是－＝1?m＝－2.
答案：A
14．设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
解析：当a＞0时，b、c同号，C、D两图中c＜0，故b＜0，－＞0，选项D符合．当a<0时，同理可排除A、B.
答案：D
点评：根据二次函数图象开口向上或向下，分a>0或a<0两种情况分类考虑．另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等．
15．函数y＝ax2－2(a－1)x＋2 (a≠0)在区间(－∞， 4]上递增，那么实数a的取值范围是( )
A．a≥－ B．－≤a<0
C．a≤－ D．a<0
答案：B
16．函数f (x)＝(a－1)x2＋2ax＋3为偶函数，那么f(x)在(－5, －2)上是( )
A．增函数 B．减函数
C．先减后增 D．先增后减
答案：A
17．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形．要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为________．
解析：设正方形周长为x，则圆的周长为1－x，半径r＝.
∴S正＝2＝，S圆＝π·.
∴S正＋S圆＝(0＜x＜1)．
∴当x＝时有最小值．
答案：
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本章概述
学习内容
1.集合
(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．
(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
(3)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
(4)在具体情境中，了解全集与空集的含义．
(5)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
(6)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
(7)能使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算．
2.函数概念
(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
(3)了解简单的分段函数，并能简单应用．
(4)理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
(5)会运用函数图象理解和研究函数的性质
知识结构
1.1 集 合
1．1.1 集合的含义与表示
?基础达标
1．集合{x∈N*|x<5}的另一种表示法是( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
答案：B
2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是( )
A．{x|－3B．{x|－3C．{x|－3D．{x|－3答案：D
3．下列各个集合是有限集的是( )
A．{小于10 000的自然数}
B．{x|0＜x＜1}
C．{小于10 000的整数}
D．{x|x＜1}
答案：A
4．下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R ②?Q ③0∈N* ④|－4|?N*
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：∵π是实数，是无理数，∴①②正确，又∵N*表示正整数集，而0不是正整数，故③不正确；又|－4|是正整数，故④不正确，∴正确的共有2个．
答案：B
5．已知集合A＝{2,4，x2－x}，若6∈A，则x＝______.
答案：3或－2
6．用“∈”或“?”填空．
(1)A＝{x|x2－x＝0}，则1____A，－2____A.
答案：∈ ?
(2)B＝{x|1≤x≤5，x∈N}，则1____B，1.5____B.
答案：∈ ?
(3)C＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}，则0.2____C，3____C.
答案：? ?
7．在数轴上画出下列集合所表示的范围：
(1){x|x＞－1}；
(2){x|－1＜x≤3}；
(3){x|x≥2或x＜－1}．
答案：作图如下：
(1)
(2)
(3)
?巩固提高
8．已知集合A＝{一条边长为2，一个角为30°的等腰三角形}，则A中元素的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．无数个
解析：两腰为2，底角为30°；或两腰为2，顶角为30°；或底边为2，底角为30°；或底边为2，顶角为30°.共4个元素．故选C.
答案：C
9．已知1∈ x2－3x＋a＝，则实数a＝______.
答案：2
10．用列举法表示下列集合：
(1){x∈N|x是15的约数}；
(2){(x，y)|x∈{1,2}，y∈{1,2}}；
(3){(x，y)}；
(4){x|x＝(－1)n，n∈N}；
(5){(x，y)|3x＋2y＝16，x∈N，y∈N}；
(6){(x，y)|x，y分别是4的正整数约数}．
解析：(1){1,3,5,15}
(2) {(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}
(3)
(4) {－1,1} (5){(0,8)，(2,5)，(4,2)}
(6) {(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)}
1．理解集合的含义需把握三个关键词：(1)指定；(2)对象；(3)集在一起．把“指定的对象” 集在一起就构成了一个集合，所有被“指定的对象”都是这个集合的元素，没有被“指定的对象”都不是这个集合的元素．
2．要理解和认识给定的集合需抓住“元素”，明确其元素是什么，有何性质．集合中的元素必须是确定的，不能含混不清、模棱两可；集合中的元素必须是互不相同的，相同的元素在集合中只能算一个．
3．用列举法表示集合时要注意集合中的元素不重不漏； 用描述法表示集合时应注意集合与它的代表元素所采用的字母名称无关，而与代表元素的形式以及所具有的性质相关．有时要把用描述法表示的集合用列举法、图示法来表示，使抽象问题具体化、形象化．
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集合的基本运算
?基础达标
1．若集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x＝0}，则M∩N＝( )
A．{3} B．{0} C．{0,2} D．{0,3}
答案：B
2．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3} ，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝( )
A．{1,2,3} B．{1,2,4}
C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}
答案：D
3．满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：由于{1,3}∪A＝{1,3,5}，所以A?{1,3,5}且A中至少有一个元素为5，从而A中其余的元素可以是集合{1,3}的子集的元素，而{1,3}有4个子集，因此满足条件的A的个数是4，它们分别是{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．
答案：D
4．设全集U＝，集合M＝，N＝，则N∩＝( )
A．{1,3} B．{1,5} C．{3,5} D．{4,5}
解析：?UM＝，N＝，则N∩＝∩＝.
答案：C
5．设集合M＝{1,2,4,8}，N＝{x|x是2的倍数}，则M∩N＝( )
A．{2,4} B．{1,2,4}
C．{2,4,8} D．{1,2,8}
解析：因为N＝{x|x是2的倍数}＝{…，0,2,4,6，8，…}，故M∩N＝，选C.
答案：C
6．设集合M＝{x|0＜x＜1}，N＝{x|－2＜x＜2}，则( )
A．M∩N＝? B．M∩N＝M
C．M∪N＝M D．M∪N＝R
解析：画数轴表示集合：
∴M∩N＝M.
答案：B
?巩固提高
7．设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是( )
A．1个 B．3个 C．4个 D．8个
解析：A＝{1,2}，A∪B＝{1,2,3}，则集合B中必有元素3，即此题可转化为求集合A＝{1,2}的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有22＝4个，故选择答案C.
答案：C
8．下列各式中，正确的是( )
A．2?{x|x≤2}
B．{x|y＝x＋1}＝{(x，y)|y＝x＋1}
C．{x|x＝4k±1，k∈Z}≠{x|x＝2k＋1，k∈Z}
D．{x|x＝3k＋1，k∈Z}＝{x|x＝3k－2，k∈Z}
答案：D
9．已知A＝{2,5}，B＝{x|x2＋px＋q＝0}，A∪B＝A，A∩B＝{5}，求p、q的值．
分析：由A∪B＝A知B?A.又A∩B＝{5}，可判断出B中的元素，解出p、q.
解析：∵A∪B＝A，∴B?A.
又A∩B＝{5}，且A＝{2,5}，
∴5∈B，且2∈/B，∴B＝{5}．
即解得
10．设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，?UA＝{5}，求实数a的值．
解析：∵?UA＝{5}，∴5∈U，且5?A.
∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2，或a＝－4.
当a＝2时，|2a－1|＝3≠5，
这时A＝{3,2}，U＝{2,3,5}．
满足?UA＝{5}适合题意，∴a＝2.
当a＝－4时，|2a－1|＝9，这时A＝{9,2}，U＝{2,3,5}，AU.
∴a＝－4不合题意，舍去．
综上可知：a＝2.
1．求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法．
2．集合并、交、补运算有下列运算特征：
(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A；
(2)A∪?＝A，A∪B＝B∪A；
(3)A∩B?(A∪B)；
(3)A?B?A∩B＝A；A?B?A∪B＝B.1.1.4 集合的综合问题
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1.1.4 集合的综合问题
?基础达标
1．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－1＜x＜1}，则( )
解析：直接判断集合间的关系．
∵A＝{x，B＝{x，∴B?A.
答案：B
2．下列五个关系式：①{0}＝?；②?＝0；③{0}??；
④0∈?；⑤?≠{0}，其中正确的个数( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：B
3．下列语句：
(1)0与{0}表示同一个集合；
(2)由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；
(3)方程(x－1)2(x－2)2＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；
(4)集合{x|4＜x＜5}是有限集．
正确的是( )
A．只有(1)和(4) B．只有(2)和(3)
C．只有(2) D．以上语句都不对
答案：C
4．(2013·重庆卷)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则?U(A∪B)＝( )
A．{1,3,4} B．{3,4}
C．{3} D．{4}
答案：D
5．设方程x2－px－q＝0的解集为A，方程x2＋qx－p＝0的解集为B，若A∩B＝{1}，则p＋q＝( )
A．2 B．0 C．1 D．－1
答案：C
6．(2013·广东卷)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝( )
A．{0} B．{0,2}
C．{－2,0} D．{－2,0,2}
答案：D
?巩固提高
7．设集合P＝{3,4,5}，Q＝{4,5,6,7}，定义P※Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则P※Q中元素的个数为( )
A．3个 B．4个 C．7个 D．12个
8．已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|a≤x≤a＋3}，若A?B，则实数a的取值范围是________．
答案：[0,1]
9．已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}, 若A∩B＝{－3}，求实数a的值．
解析：∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B.
若a－3＝－3则a＝0，
此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}．
∵A∩B＝{－3,1}与题设A∩B＝{－3}不符合，
∴a≠0.
若2a－1＝－3则a＝－1，
此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}．
A∩B＝{－3}符合，∴a＝－1.
若a2＋1＝－3，则a2＝－4无解．
综上知：a＝－1.
10．已知集合A＝{x|3≤x≤7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜a}．
(1)求A∪B；
解析：(1)借助数轴可知：A∪B＝{x|2＜x＜10}．
(2)求(?RA)∩B；
解析：?RA＝{x|x＜3或x＞7}．
∴借助数轴可知，(?RA)∩B＝{x|2＜x＜3或7＜x＜10}．
(3)若A∩C＝A，求a的取值范围．
解析：∵A∩C＝A，∴A?C，结合数轴可知a＞7.
1．集合的元素要分清是数还是数组，甚至集合也可做元素．
2．对于无明确元素的集合选择题可考虑将集合特殊化再分析．
3．一个式子有多种运算应先内后外、先交后并的顺序进行．
4．关于二次方程问题一定注意方程无解的情况．
5．?S(A∩B)＝(?SA)∪(?SB)，
?S(A∪B)＝(?SA)∩(?SB).1.2 函数及其表示
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集合间的基本关系
?基础达标
1．下列关系：①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③??{0,1,2}；④{0,1,2}?{0,1,2}；⑤{0,1,2}＝{2,0,1}．其中错误的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：只有②不正确．故选A.
答案：A
2．集合M＝{2,4,6}的真子集的个数为( )
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
答案：B
3．用Venn图画出下列两个集合的关系：
(1)A＝{0,1,2}，B＝{1,2,4}；
(2)A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,3}．
答案：
4．已知集合A＝{1,2，x}，B＝{1,2，x2}且A＝B，求实数x的值．
解析：因为A＝B，所以x＝x2，
当x＝1时A＝{1,2,1}不符合元素互异性，舍去；
当x＝0时A＝B＝{1,2,0}．故x＝0.
5．写出满足{a，b}?A?{a，b，c，d，e}的所有集合A.
解析：满足{a，b}?A?{a，b，c，d，e}的集合分别为：{a，b，c}；{a，b，d}；{a，b，e}；{a，b，c，d}；{a，b，c，e}；{a，b，d，e}；{a，b，c，d，e}．
6．(1)写出集合{1,2,3}的所有真子集．
答案：集合{1,2,3}的所有真子集分别是：?；{1}；{2}；{3}；{1,2}；{1,3}；{2,3}
(2)集合{1,2,3}的子集有：________个，真子集有________个，非空真子集有________个．
答案：(2)8 7 6
?巩固提高
7．已知集合A＝，B＝x|x＝，k∈Z则( )
A．A?B B．B?A
C．A＝B D．A与B关系不确定
解析：对B集合中，x＝，k∈Z，当k＝2m时，x＝，m∈Z；当k＝2m－1时，x＝－，m∈Z，故按子集的定义，必有AB.
答案：A
8．已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}，P＝{(x，y)|x<0，y<0}，则M，P的关系是________．
答案：M＝P
9．集合A＝{1,3，a}，B＝{a2}，且B?A，求实数a的取值的集合．
解析：由于B＝{a2}?A＝{1,3，a}，
∴①a2＝1，得a＝1(不合题意，舍去)或a＝－1，
10．已知集合：A＝{x|－1＜x≤5}，B＝{x|m－5≤x≤2m＋3}且A?B，求实数m的取值范围．
1．元素与集合之间是属于与不属于的关系，集合与集合之间是包含与不包含的关系．
2．集合相等必须元素全部相同，但顺序和表达方式可以不同．
3．空集是任何集合的子集，任何集合是它自己的子集．
4．Venn图是表达非确定集合关系的直观方法．
5．无限集大多可用数轴表示．一般n个元素的集合有2n个子集，其中2n－1个真子集．非空子集：2n－1个非空真子集为：2n－2个.
数学·必修1(人教A版)
1.2 函数及其表示法
1．2.1 函数的概念
?基础达标
1．函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)
C．[－1，＋∞) D．(－1，＋∞)
答案：D
2．设函数f(x)＝x2－3x＋1，则f(a)－f(－a)＝( )
A．0 B．－6a
C．2a2＋2 D．2a2－6a＋2
答案：B
3．下列用表给出的函数关系中，当x＝6时，对应的函数值y等于( )
x
0＜x≤1
1＜x≤5
5＜x≤10
x＞10
y
1
2
3
4
A.2 B．3
C．4 D．无法确定
答案：B
4．函数y＝－3x＋1，x∈[－1,1]的值域为________．
答案：[－2,4]
5．函数y＝的定义域为________．
解析：利用解不等式组的方法求解．
要使函数有意义，需解得
∴原函数的定义域为{x|x≥－1且x≠0}．
答案：{x|x≥－1且x≠0}
6．已知f(x)＝则f[f(－3)]的值为________．
解析：f(－3)＝－3＋4＝1，f(f(－3))＝f(1)＝1－4＝－3.
答案：－3
?巩固提高
7．已知集合P＝{x|－4≤x≤4}，Q＝{y|－2≤y≤2}，下列函数不表示从P到Q的函数的是( )
A．2y＝x B．y2＝(x＋4)
C．y＝x2－2 D．x2＝－8y
答案：B
8．已知函数f(x)＝x2＋2x＋a，f(bx)＝9x2－6x＋2，其中x∈R，a，b为常数，则方程f(ax＋b)＝0的解集为____________．
解析：f(bx)＝(bx)2＋2bx＋a＝9x2－6x＋2? ?
∴f(2x－3)＝(2x－3)2＋2(2x－3)＋2, f(ax＋b)＝0，即为4x2－8x＋5＝0，而Δ<0，故方程f(ax＋b)＝0的解集为?.
答案：?
9．求下列函数的值域：
(1)y＝x＋1，x∈{2,3,4,5,6}；
(2)y＝＋1；
(3)y＝x2－4x＋6.
解析：(1){3,4,5,6,7}．
(2)∵≥0，∴y≥1，故值域为{y|y≥1}．
(3)∵y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，
而(x－2)2≥0，∴y≥2，故值域为{y|y≥2}．
10．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值；
(2)求证f(x)＋f是定值；
(3)求f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 012)＋f的值．
解析：(1)∵f(x)＝，
∴f(2)＋f＝＋＝1，
f(3)＋f＝＋＝1.
(2)证明：f(x)＋f＝＋＝＋
＝＝1.
(3)由(2)知，f(x)＋f＝1，
∴f(2)＋f＝1，
f(3)＋f＝1，
f(4)＋f＝1，
…
f(2 012)＋f＝1，
∴f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 012)＋f＝2 011.
1．“y＝f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y＝g(x)”．
2．函数符合“y＝f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，f(x)是一个数，而不是f乘x.
3．构成函数的三要素是：定义域、对应关系和值域．
4．函数中的自变量可以在定义域范围内任意取值，包括变成其他字母，这是函数抽象的重要原因．
5．函数的定义域包含三种形式：
(1)自然型．指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围(如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，等等)．
(2)限制型．指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误．
(3)实际型．解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考查自变量x的实际意义．
6．求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学目前只要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题，如二次函数．
7．定义域习惯上用区间表示．
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函数的表示法
?基础达标
1．y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为( )
A．y＝ B．y＝－
C．y＝ D．y＝－
解析：∵y＝，∴1＝，k＝2，
∴y＝.
答案：C
2．若f(x＋1)＝2x＋3，则f(3)的大小为( )
A．9 B．7 C．11 D．12
解析：取x＝2，则由f(x＋1)＝2x＋3，
得f(3)＝7.
答案：B
3．设f(x)＝则f{f[f(－1)]}＝( )
A．π＋1 B．0 C．π D．－1
解析：f{f[f(－1)]}＝f{f[0]}＝f(π)＝π＋1.
答案：A
4．(2013·大纲卷)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x－1)的定义域为( )
A．(－1,1) B.
C．(－1,0) D.
答案：B
5．已知函数f(x)＝若f(x)＝10，则x＝________.
解析：若x≤0，则f(x)＝x2＋1＝10，即x＝－3.
若x＞0，则f(x)＝－2x＝10，
即x＝－5与x＞0矛盾，故舍去，故x＝－3.
答案：－3
6．下列各个对应不是映射的是( )
答案：A
?巩固提高
7．函数y＝x|x|的图象大致是( )
答案：A
8．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：
x
1
2
3
f(x)
2
3
1
x
1
2
3
g(x)
1
3
2
填写下列g[f(x)]的表格，其三个数依次为( )
x
1
2
3
g[f(x)]
A.3,1,2 B．2,1,3
C．1,2,3 D．3,2,1
答案：D
9．已知函数f(x)＝(a，b为常数)，且方程f(x)－x＋12＝0有两个实根为x1＝3，x2＝4，求函数f(x)的解析式．
解析：将x1、x2代入方程－x＋12＝0得
得所以f(x)＝(x≠2)．
10．求下列函数的解析式：
(1)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)；
解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝2，得c＝2.
由f(x＋1)－f(x)＝x－1，
得恒等式2ax＋a＋b＝x－1，
得a＝，b＝－.故所求函数的表达式为
f(x)＝x2－x＋2.
(2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)，f(x＋1)，f(x2)．
解析：∵f(＋1)＝x＋2
＝()2＋2＋1－1
＝(＋1)2－1，
又∵≥0，＋1≥1，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)，
f(x＋1)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x(x≥0)，
f(x2)＝(x2)2－1＝x4－1(x≤－1或x≥1)．
1．常用的函数表示法有：(1)解析法．就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式．(2)列表法．就是列出表格来表示两个变量的函数关系；图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．
2．不同表示法有时侯可以转化．
3．分段函数是解析法的重要表达方式，且理解难度较大，必须重点学习．
4．常规函数如正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，常使用待定系数法求表达式．
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1.3 函数的基本性质
1．3.1 函数的单调性
?基础达标
1．使一次函数f(x)＝kx＋b为增函数的一个条件是( )
A．k＜0 B．k≤0
C．k＞0 D．k≥0
答案：C
2．下列说法正确的是( )
A．反比例函数y＝在区间(0，＋∞)上是减函数
B．二次函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上
C．反比例函数y＝是R上的减函数
D．一次函数f(x)＝－2x＋b是R上的减函数
答案：D
3．如果二次函数y＝5x2－nx－10在区间(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，则n的值是( )
A．1 B．－1
C．10 D．－10
答案：C
4．函数y＝的大致图象只能是( )
答案：B
5．函数f(x)图象如下图所示，函数的单调递减区间是________．
答案：[－5，－2]和[1,3]
6．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )
A．y＝|x| B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋4
答案：A
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7．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论不正确的是( )
A.>0
B．(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]>0
C．f(a)D.>0
解析：由增函数的定义知x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，∴A，B，D都正确，故选C.
答案：C
8．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是( )
A．(－∞，40] B．[40,64]
C．(－∞，40]∪[64，＋∞) D．[64，＋∞)
解析：只需f(x)＝4x2－kx－8的对称轴x＝相应值在区间[5,8]外面，即≤5或≥8，
∴k≤40或k≥64.
答案：C
9．已知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，判断f(a2－a＋1)与f的大小关系．
解析：∵a2－a＋1＝2＋≥，且f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(a2－a＋1)≤f.
10．证明函数f(x)＝x＋在(，＋∞)上是增函数．
证明：任取x1，x2∈(，＋∞)，且x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝－
＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2)
＝(x1－x2)，
∵＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞2，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
∴函数f(x)在(，＋∞)上是增函数.
1．增(减)函数定义．
2．单调性，单调区间定义．
3．判断函数单调性的方法．方法一：画图观察；方法二：根据实际意义确定；方法三：利用定义证明．
4．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
(1)任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
(2)作差f(x1)－f(x2)；
(3)变形(通常是因式分解和配方)；
(4)定号[即判断差f(x1)－f(x2)的正负]；
(5)下结论[即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性].
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1.3.3 函数的奇偶性
?基础达标
1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．无法确定
解析：∵f(x)为R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.
答案：B
2．(2013·山东卷)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝( )
A．－2 B．0 C．1 D．2
答案：A
3．如果偶函数在区间[a，b]上有最大值，那么该函数在区间[－b，－a]上( )
A．有最大值 B．有最小值
C．没有最大值 D．没有最小值
解析：∵偶函数图象关于y轴对称，由偶函数在区间[a，b]上具有最大值，∴在区间[－b，－a]上有最大值．
答案：A
4．已知f(x)＝ax3＋bx＋5，其中a，b为常数，若f(－7)＝－7，则f(7)＝( )
A．7 B．－7 C．12 D．17
解析：∵f(－7)＝－7，
∴a(－7)3＋b(－7)＋5＝－7，
∴73a＋7b＝12.
∴f(7)＝73a＋7b＋5＝12＋5＝17.
答案：D
5．若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的递减区间是________．
解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴k－1＝0，∴k＝1，
∴f(x)＝－x2＋3的递减区间为[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
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6．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )
A．f(x)f(－x)是奇函数
B．f(x)|f(－x)|是奇函数
C．f(x)－f(－x)是偶函数
D．f(x)＋f(－x)是偶函数
解析：取f(x)＝x，则f(x)f(－x)＝－x2是偶函数，A错，f(x)|f(－x)|＝x2是偶函数，B错；f(x)－f(－x)＝2x是奇函数，C错．故选D.
答案：D
7．已知定义在R上的偶函数f(x)的单调递减区间为[0，＋∞)，则使f(x)＜f(2)成立的自变量取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－2,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析：∵f(x)是偶函数且在[0，＋∞)为减区间，示意图如下：
由图示可知：f(x)＜f(2)成立的自变量的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
答案：D
8．设函数f(x)满足：①函数在(－∞，－1)上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值．则f(x)可以是：____________.
答案：f(x)＝x2(答案不唯一)
9．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x2.求当x∈(－∞，＋∞)时，f(x)的表达式．
解析：当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)，
因为x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x2，
所以f(－x)＝(－x)－(－x)2，
因为f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝x＋x2.
综上，x∈(－∞，＋∞)时，
f(x)＝
10．已知函数f(x)＝－x3＋3x.求证：
(1)函数f(x)是奇函数；
证明：显然f(x)的定义域是R.
设任意x∈R，
∵f(－x)＝－(－x)3＋3(－x)＝－(－x3＋3x)＝－f(x)，
∴函数f(x)是奇函数．
(2)函数f(x)在区间(－1,1)上是增函数．
证明：在区间(－1,1)上任取x1，x2，且x1＜x2.
f(x2)－f(x1)
＝－(x2－x1)(x＋x2x1＋x)＋3(x2－x1)
＝(x2－x1)(3－x－x2x1－x)．
因为－1＜x1＜x2＜1，所以(x2－x1)＞0，
(3－x－x2x1－x)＞0，
所以f(x2)＞f(x1)．
所以函数f(x)＝－x3＋3x在区间(－1,1)上是增函数．
1．利用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称．
(2)确定f(－x)与f(x)的关系．
(3)作出相应结论．
2．若f(－x)＝f(x)或 f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数．
3．若f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．
4．函数是奇函数或是偶函数称为函数有奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质．
5．由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)．
6．奇函数在其对称区间上的单调性相同、函数值相反．
7．偶函数在其对称区间上的单调性相反、函数值相同．
8．设f(x)，g(x)有公共的定义域，那么在它们的公共定义域上：
奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，
偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
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1.3.2 函数的最大（小）值
?基础达标
1．函数y＝在[2,3]上的最小值为( )
A．2 B. C. D．－
答案：B
2．函数f(x)＝的最大值是( )
A. B. C. D.
答案：D
3．已知函数f(x)＝x2－2，其中x∈[0,2]，这个函数的最大值和最小值分别为( )
A．－2和1 B．2和－2
C．2和－1 D．－1和2
解析：∵f(x)＝x2－2，x∈[0,2]是单调递增函数，
∴ymax＝f(2)＝2，ymin＝f(0)＝－2.
答案：B
4．函数y＝(x－1)2，x∈(－1,5)的最小值为______．
答案：0
5．已知f(x＋4)＝4x2＋4x＋3(x∈R)，那么函数f(x)的最小值为________．
解析：∵f(x＋4)＝4x2＋4x＋3，
设x＋4＝t，则x＝t－4，
∴f(t)＝4(t－4)2＋4(t－4)＋3＝4t2－28t＋51.
∴f(x)＝4x2－28x＋51＝42＋2，
∴f(x)min＝2.
答案：2
6．已知0＜t≤，那么－t的最小值是( )
A. B. C．2 D．－2
解析：∵y＝－t在上为减函数，
∴t＝时有最小值.
答案：A
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7．函数y＝x2＋x(－1≤x≤3)的值域是( )
A．[0,12] B.
C. D.
解析：画y＝x2＋x在[－1,3]部分的图象知
ymin＝－，ymax＝12.
即所求值域为.
答案：B
8．已知函数f(x)＝x2－4x，x∈[1,5)，则此函数的值域为( )
A．[－4，＋∞) B．[－3,5)
C．[－4,5] D．[－4,5)
答案：D
9．设函数f(x)＝x2－2x＋2(x∈[t，t＋1])的最小值为g(t)．求g(t)的表达式．
解析：∵f(x)＝(x－1)2＋1，
①当t＋1≤1，即t≤0时，由图1知截取了减区间上的一段g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1.
②当1＜t＋1≤2，即0＜t≤1时，正巧将顶点截取在内，g(t)＝f(1)＝1(图2)．
③当t＋1＞2，即t＞1时，由图3知截取了增区间上一段g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.
综上知，g(t)＝
10．已知函数f(x)＝求f(x)的值域．
解析：f(x)＝
作出f(x)的图象(如下图)．
由图可知，f(x)的值域为(－3,8]．
1．函数最大(小)首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
2．函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M[f(x)≥M]．
3．判断函数的最大(小)值的方法：
①利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值；
②利用图象求函数的最大(小)值；
③利用函数单调性判断函数的最大(小)值．
4．如果函数y＝f(x)(x∈[a，c])在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)在x＝b处有最大值f(b)．
5．如果函数y＝f(x)(x∈[a，c])在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)在x＝b处有最小值f(b).
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．3.4 函数的综合问题
?基础达标
1．如果f(x)是定义在R上的偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，那么下述式子中正确的是( )
A．f≤f(a2－a＋1)
B．f≥f(a2－a＋1)
C．f＝f(a2－a＋1)
D．以上关系均不确定
答案：B
2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：∵f(x)为R上奇函数，∴f(0)＝0.
∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(6)＝f(4＋2)＝－f(4)＝－f(2＋2)＝f(2)＝－f(0)＝0.
答案：B
3．下列四个命题中，其中正确的是( )
A．f(x)＝＋有意义
B．函数是其定义域到值域的映射
C．函数y＝2x(x∈N)的图象是一直线
D．函数y＝的图象是抛物线
答案：B
4．下列三个函数：①y＝3－x；②y＝；③y＝x2＋2x－10.其中值域为R的函数有 ( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案：B
5．奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)＝________.
解析：由题意知f(3)＝－1，f(6)＝8，
又∵f(x)为奇函数，
∴2f(－6)＋f(－3)＝－2f (6)－f(3)＝－15.
答案：－15
?巩固提高
6．若任取x1、x2∈[a，b]，且x1≠x2，都有f＞成立，则称f(x)是[a，b]上的凸函数．试问：在下列图象中，是凸函数图象的为( )
答案：C
7．(2013·考陕卷)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )
A．[15,20] B．[12,25]
C．[10,30] D．[20,30]
答案：C
8．已知函数f(x)＝ 若f(f(0))＝4a，则实数a＝____.
解析：f(0)＝2，f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，所以a＝2.
答案：2
9．某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系式近似满足
P＝
商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系式近似满足Q＝－t＋40(1≤t≤30，t∈N)．求这种商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中第几天．
解析：设日销售金额为y元，则y＝P·Q，所以
y＝
即y＝
当1≤t≤24时，t＝10，ymax＝900；当25≤t≤30时，t＝25，ymax＝1 125.
所以，该商品日销售金额的最大值为1 125元，且近30天中第25天销售金额最大．
10．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数且在(－∞，0]上为增函数．
(1)试比较f与f(1)的大小；
解析：∵f(x)是偶函数，∴f(1)＝f(－1)．
又f(x)在(－∞，0]上为增函数且－1<－，
∴f(－1)(2)试判断y＝f(x)在(0，＋∞)上的单调性．
解析：设x1>x2>0，则－x1<－x2<0，
∵f(x)在(－∞，0]上为增函数，
∴f(－x1)又f(x)是偶函数，∴f(x1)∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
1．函数是数学的核心内容，构造函数是应用函数知识的关键，大多数函数均可找到函数表达式．
2．函数的定义域是函数的第一要素，一般研究任何函数从研究定义域开始，最终结果也要符合定义域的要求，实际问题中定义域要根据实际情况确定．
3．大多数函数均要考察函数的单调性，非常规函数的单调性需要利用定义证明．
4．函数的图象是获取函数性质的捷径，一般做函数题在可能的情况下尽量画出函数图象．
5．注意单调性、函数值、奇偶性的图形特征和综合应用．
