数学·必修1(人教A版)
一、零点
1．零点定义：对于函数y＝f(x)，我们把使得方程f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
特别关注：零点不是点，而是实数．
2．函数零点与方程根之间的等价关系：
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
3．函数零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
特别关注：正确理解函数零点存在性定理．
若函数y＝f(x)图象在[a，b]上是连续的，
A．f(a)·f(b)<0，则y＝f(x)在(a，b)内有零点？
对
B．f(a)·f(b)>0，则y＝f(x)在(a，b)内有零点？
不一定
C．f(a)·f(b)<0，则y＝f(x)在(a，b)内只有一个零点？
不一定
D．y＝f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0?
不一定
得出结论：(1)函数零点的存在性定理，只是判断函数在某区间有零点的其中一种方法，不是唯一方法，且不能确定零点的个数有多少．(2)不能由存在性定理的结论反推出条件．
4．判断函数零点个数的求法：
方法一，解对应方程的实根；
方法二，画出函数图象，图象与x轴的交点个数即为函数的零点个数；
方法三，对于超越方程，则可以将超越方程分解为两个基本的初等函数，两个初等函数的交点个数，即为原函数零点的个数．
方法四，若是单调函数，则可以利用函数零点存在性定理，判断出原函数只有一个零点．
二、二分法
1．二分法定义：对于区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2．利用二分法求近似解的解题步骤：
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε.
(2)求区间(a，b)的中点c.
(3)计算f(c)：
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
②若f(a)· f(c)<0，则令b＝ c[此时零点x0∈(a, c)]；
③若f(c)· f(b)<0，则令a＝ c[此时零点x0∈( c, b)]．
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．
特别关注：首先要注意判断函数是否可用二分法求零点；其次，用二分法求零点时要根据函数性质尽可能地找到含有零点的更小的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少运算量．
三、函数模型及应用
1．几类不同增长的函数模型．
(1)一次函数模型：y＝ax＋b；
(2)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(3)指数函数模型：y＝ax(a>0，且a≠1)；
(4)对数函数模型：y＝logax(a>0，且a≠1)；
(5)幂函数模型：y＝xα；
(6)分段函数模型．
特别关注：指数增长模型是爆炸性增长模型，其增长速度非常惊人．
2．指数函数、对数函数、幂函数的增长速度比较．
(1)在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和
y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大， y＝ ax (a>1)，增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝ xn(n>0)的增长速度，而y＝logax (a>1)的增长速度越来越慢．因此总存在一个x0，当x>x0时，就有logax
(2)在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ ax (0 x0时，就有logax3．解决应用问题的基本步骤：
(1)实际应用题 → 明确题意，找出题设与结论的数学关系——数量关系和空间位置关系；
(2)在分析联想的基础上，转化为数学问题，抽象构建成一个或几个数学模型来解；
(3)阅读、分析、联想、转化、抽象；
(4)建立数学模型；
(5)运用数学知识作为工具；
(6)解答数学问题；
(7)解决实际问题(作答)．
1．函数零点存在性定理：若函数y＝f(x)的零点在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．
2．求曲线和x轴的交点的横坐标，就是求函数的零点，即求方程的根．
已知函数f(x)＝3x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有没有实数根？为什么？
解析：∵f(－1)＝3－1－(－1)2＝－＜0，
f(0)＝30－0＝1＞0，函数f(x)＝3x－x2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间[－1,0]内有实数根．
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1．设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：令g(x)＝x3－22－x，则有g(0)＜0，g(1)＜0，g(2)＞0，g(3)＞0，g(4)＞0.故函数g(x)的零点所在区间为(1,2)．选B.
答案：B
2．已知f＝2＋log3x，判断函数g＝f2＋f有无零点，并说明理由．
解析：∵log3x在区间[1,9]上为增函数，且g(x)＝f2(x)＋f(x2)．
∴1≤x2≤9.
∴1≤x≤3.故g(x)的定义域为[1,3]．
g(x)＝f2(x)＋f(x2)
＝4＋4log3x＋(log3x)2＋2＋log3x2
＝6＋6log3x＋(log3x)2.
在区间[1,3]上，g(x)也为增函数．
所以g(x)＞g(1)＝6，所以g(x)无零点．
对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)<0的函数
y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2．给定精确度ε，用二分法求函数零点近似值的步骤：
(1)确定初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε.
(2)求区间(a，b)的中点x1（将称为区间[a，b]的中点）．
(3)计算f(x1)：
①若f(x1)＝0，则x1是函数的零点；
②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1[此时零点x0∈(a，x1)]；
③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1[此时零点x0∈(x1，b)]．
(4)判断是否达到精确度ε，即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)步骤．
用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确度0.1).
解析：由于f(1)＝1－1－1＝－1<0，f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875>0，
∴f(x)在区间[1,1.5]上存在零点，
取区间[1,1.5]作为计算的初始区间，
用二分法逐次计算列表如下：
端(中)点
坐标
中点函数值
符号
零点所
在区间
|an－bn|
0.5
1.25
f(1.25)＜0
0.25
1.375
f(1.375)＞0
0.125
1.312 5
f(1.312 5)＜0
0.062 5
∵|1.375－1.312 5|＝0.062 5<0.1，
∴函数的零点落在区间长度小于0.1的区间[1.312 5，1.375]内，故函数零点的近似值为1.3.
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3．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：
x
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…
y＝2x
1.149
1.516
2.0
2.639
3.482
4.595
6.063
8.0
10.556
…
y＝x2
0.04
0.36
1.0
1.96
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56
…
那么方程2x＝x2的一个根位于下列区间的( )
A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)
C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)
解析：由f(0.6)＝1.516－0.36＞0，f(1.0)＝2.0－1.0＞0，故排除A；
由f(1.4)＝2.639－1.96＞0，f(1.8)＝3.482－3.24＞0，故排除B；
由f(1.8)＝3.482－3.24＞0，f(2.2)＝4.595－4.84＜0，故可确定方程2x＝x2的一个根位于下列区间(1.8,2.2)，选C.
答案：C
在没有给出具体模型的问题中，要根据题目中的有关数据描绘出基本草图，然后根据直观性，去和已学过的有关函数图象对照、比较，由此猜测函数模型．在解此类问题的过程中，首先需要在实际的情境中去理解、分析所给的一系列数据，舍弃与解题无关的因素，抽象转化为数学模型．
某县2005—2010年财政收入情况如下：
年份
2005
2006
2007
2008
2009
2010
收入/万元
25 899
30 504
37 997
48 898
66 800
85 000
(1)请建立一个数学模型，预测该县以后几年的财政收入情况；
(2)计算该县财政收入的平均增长率，并结合(1)分别预测2011年该县财政收入，并讨论哪一种预测结果更具有可行性．
解析：(1)利用描点法，过A(1,2.59)，B(2，3.05)，C(3,3.80)，D(4,4.89)，E(5,6.68)，F(6，8.50)画一条光滑的曲线，如下图所示，其中年份第一年为2005年，第二年为2006年，其他依次类推．
通过直观判断函数图象，它可以和前面已学过的两种函数模型进行比较：
模型一：设f(x)＝ ax＋b (a＞0，a≠1 )，
将A、B、C三点的坐标代入，得
?
∴f(x)＝ 1.35x＋1.25.
计算得f(4)≈4.57，f(5)≈5.73，f(6)≈7.30，它们与实际的误差分别为0.32,0.95,1.20.
模型二：设g(x)＝ ax2＋bx＋c (a≠0，x≥1)，
将A、B、C三点的坐标代入，得
?
∴g(x)＝ 0.145x2＋0.025x＋2.42.
计算得g(4)≈4.84，g(5)≈6. 17，g(6)≈7.79，
它们与实际的误差分别为0.05,0.51,0.71.
对两个函数模型进行对比，发现g(x)与实际的误差较小，
所以用函数模型g(x)＝ 0.145x2＋0.025x＋2.42 (x≥1)较好．
(2)设年财政收入平均增长率为a，由2005年和2010年财政收入，则有
2．59(1＋a)5＝ 8.5，解得a≈26.83%.
从增长率的角度再建立一个财政收入的数学模型：
h(x)＝ 2.59(1＋26.83%)x－1.
用g(x)和h(x)分别预测2011年的财政收入是：
g(7)＝ 9.7(亿元)，h(7)＝ 10.78(亿元)．
从该县经济发展趋势看，两种预测都有可能，但是选择g(x)模型比较稳妥．
点评：在没有给出具体模型的问题中，首先要由已知数据描绘出函数草图，然后联想熟悉的函数图象，通过检测所求函数模型与实际误差的大小，探求相近的数学关系，预测函数的可能模型．
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4．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
身高/cm
60
70
80
90
100
110
体重/kg
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
身高/cm
120
130
140
150
160
170
体重/kg
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？
解析：以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出由离散点构成的草图，如下图所示．
根据点的分布情况，结合以前学过的指数函数图象特征，可猜测以y ＝ abx(b＞0，b≠1 )为男性的体重与身高关系的函数模型．
把点(70,7.90)、(160,47.25)代入函数以y ＝ abx中，得使用计算器可求得
所以，函数模型为y ＝ 2×1.02x.
用计算器验证其他点与模拟函数的关系，发现拟和程度相符．
再将x ＝175代入函数式y ＝ 2×1.02x，即y ＝ 2×1.02175，用计算器求得y≈63.98.
因为≈1.22＞1.2，所以，这个男生偏胖．
数形结合的思想方法是根据数量与图形的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的一种思想方法．转化与化归的思想方法则是将问题不断转化，直到转化为比较容易解决或已经解决的问题．而分类讨论的核心是通过增强条件来分情况逐一研究，使问题易于解决．
一、数形结合思想
二次函数y＝x2＋(a－3)x＋1的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1、x2，且x1＜2，x2＞2，如图所示，则a的取值范围是( )
A．a＜1或a＞5 B．a＜
C．a＜－或a＞5 D．－＜a＜1
解析：由题意可得f(2)＜0，即4＋(a－3)×2＋1＜0，解得a＜.
答案：B
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5．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(其中a＜b)，且α、β是方程f(x)＝0的两根(α＜β)，则实数a、b、α、β的大小关系为( )
A．α＜a＜b＜β B．α＜a＜β＜b
C．a＜α＜b＜β D．a＜α＜β＜b
解析：a，b是方程g(x)＝(x－a)(x－b)＝0的两根，在同一坐标系中作出函数f(x)、g(x)的图象(如下图所示)，知α＜a＜b＜β.选A.
答案：A
6．函数f(x)＝x2－4|x|＋5－m恰有三个零点，则实数m的取值集合为________．
解析：函数f(x)＝x2－4|x|＋5－m恰有三个零点，等价于函数
y1＝x2－4|x|＋5与y2＝m的图象恰有三个公共点(如下图)．知m＝5.
答案：{5}
二、函数与方程思想
一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米 / 秒2的加速度匀加速开走，那么( )
A．人可在7米内追上汽车
B．人可在10米内追上汽车
C．人追不上汽车，其距离最近为5米
D．人追不上汽车，其距离最近为7米
解析：若经t秒人刚好追上汽车，则s＋25＝6 t，由s＝ t2，得
t2－6t＋25＝0?t2－12t＋50＝0.
因为Δ＜0，所以人追不上汽车．
考虑距离差
d＝－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7，
故当t ＝ 6时，d 有最小值7 , 即人与汽车最少相距7米， 故选D.
答案：D
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7．函数f(x)＝a|x|－x－a恰有两个零点，则实数a的取值范围是：________.
解析：函数f(x)＝a|x|－x－a恰有两个零点等价于函数y＝a|x|与y＝x＋a的图象恰有两个公共点．画出y＝a|x|与y＝x＋a的图象如下：
情形1： ?a>1.
情形2： ?a<－1.
答案：
8．某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t的变化规律是
μ＝μ0e－λt，其中μ0、λ是正常数．经检测，当t＝2时，μ＝0.09μ0，则当稳定系数降为0.50μ0时，该种汽车的使用年数为_____年(结果精确到1，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)．
解析： 由0.90μ0＝μ0(e－λ)2，得e－λ＝，
于是0.50μ0＝μ0(e－λ)t?＝()t，
两边取常用对数，lg＝lg 0.90，解得t＝＝＝13.1.
答案：13
三、分类讨论思想
如下图，三个机器人M1，M2，M3和检测台M位于一条直线上．三个机器人需把各自生产的零件送交M处进行检测，送检程序规定：当M1把零件送达M处时，M2即刻自动出发送检，当M2把零件送达M处时，M3即刻自动出发送检．设M2的送检速度为v，且送检速度是M1的2倍、M3的3倍．
(1)求三台机器人M1，M2，M3把各自生产的零件送达检测台M处的时间总和；
(2)现要求M1，M2，M3送检时间总和必须最短，请你设计出检测台M在该直线上的位置(M与M1，M2，M3均不能重合)．
解析：借助数轴构建分段函数模型使抽象问题具体化．
(1)由题设条件知，检测台M的位置坐标为0，机器人与检测台的距离分别为2,1,3.
故机器人M1，M2，M3按程序把各自的生产零件送达检测台M处的时间总和为y＝＋＋＝.
(2)设x为检测台M的位置坐标，则机器人M1，M2，M3与检测台M的距离分别为|x－(－2)|，|x－1|和|x－3|，于是机器人送交检测台M的时间的总和为
y＝＋＋
＝(2|x＋2|＋|x－1|＋3|x－3|)．只要求
f(x)＝2|x＋2|＋|x－1|＋3|x－3|取最小值．
∵f(x)＝ 由其图象可知，x∈[1,3]时，所对应的f(x)均取最小值12，
即送检时间总和最短为. 依题意，检测台M与M1，M2，M3均不能重合，故可将检测台M设置在直线上机器人M2与M3之间的任何位置(不含M2、M3的位置)，都能使各机器人M1，M2，M3的送检时间总和最短．
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9．若函数f(x)＝mx2－2x＋3只有一个零点，求实数m的取值范围．
解析：(1)当m＝0时，f(x)＝－2x＋3与x轴只有一个交点，此时函数f(x)只有一个零点．
(2)当m≠0时，要使得f(x)＝mx2－2x＋3只有一个零点，则Δ＝(－2)2－4×3×m＝0，此时m＝.
综上所述，当m＝0或m＝时，函数f(x)＝mx2－2x＋3只有一个零点．
一、关系分析法
即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型的方法．
进货价为80元的商品共400个，按90元一个售出时，可全部卖出．已知这种商品每涨价1元，其销售数量就减少20个，问销售价为多少时所获得的利润最大？
分析：题中显示“利润最大”的语句，因此，应从构造利润的函数关系入手．(利润＝销售额－成本)
解析：设销售价为90＋x元时利润为y，此时销售数量为400－20x.
∴y＝(90＋x)(400－20x)－(400－20x)×80
＝－20(x－5)2＋4 500，
∴当x＝5时，ymax＝4 500(元)．
答：销售价为95元时所获得的利润最大，其最大值为4 500元．
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10．某公司生产一种产品每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测知，市场对这种产品的年需求量为500件，且当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5t－t2 (万元)．
(1)若该公司这种产品的年产量为x(单位：百件，x>0)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为当年产量x的函数；
(2)当该公司的年产量多大时，当年所得利润最大？
二、列表分析法
即通过列表的方式探求问题的数学模型的方法．
?例题分析
某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台．现销售给A地10台，B地8台．已知从甲地调运1台至A地、B地的运费分别为400元和800元，从乙地调运1台至A地、B地的运费分别为300元和500元．
(1)设从乙地调运x台至A地，求总运费y关于x的函数关系式．
(2)若总运费不超过9 000元，共有几种调运方案？
(3)求出总运费最低的调运方案及最低的运费．
分析：本题数量关系较多，利用列表法将数量关系明朗化，有利于函数关系的确立．由甲、乙两地调运至A地、B地的机器台数及运费如下表所示：
调出地
甲地
乙地
调至地
A地
B地
A地
B地
台数
10－x
12－(10－x)
x
6－x
每台运
费/元
400
800
300
500
运费合
计/元
400(10－x)
800[12－(10－x)]
300x
500(6－x)
解析：(1)依题意，得：y＝400(10－x)＋800[12－(10－x)]＋300x＋500(6－x)，
即y＝200(x＋43)(0≤x≤6，x∈Z)．
(2)由y≤9 000，解得x≤2.
∵x∈Z,0≤x≤6，
∴x＝0,1,2.故，共有三种调运方案．
(3)由一次函数的单调性可知，当x＝0时，总运费最低，ymin＝8 600(元)．
即从乙地调6台给B地，甲地调10台给A地、调2台给B地的调运方案的运费最低，最低运费为8 600元．
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11．某厂为了尽快解决职工住房困难问题，鼓励个人购房和积累建房基金，决定住房的职工必须按基本工资的高低交纳建房公积金，办法如下：
每月工资
公积金
1 000元以下
不交纳
1 000元至2 000 元
交纳超过1 000元部分5%
2 000元至3 000元
1 000元至2 000元部分交纳5%，超过2 000元部分交纳10%
3 000元以上
1 000元至2 000元部分交纳5%，2 000至3 000部分10%,3 000元以上部分交纳15%
设职工每月工资为x元，交纳公积金后实得数为y元，求y与x之间的关系式．
数学·必修1(人教A版)
3.1.3 函数与方程(习题课)
?基础达标
1．下列函数中有两个零点的是( )
A．y＝lg x B．y＝2x
C．y＝x2 D．y＝|x|－1
答案：D
2．函数f(x)＝x2－3x＋2的零点是( )
A．(1,0)，(2,0) B．1,2
C．(－1,0)，(－2,0) D．－1，－2
解析：∵函数的零点是使f(x)＝0的实数x.
答案：B
3．方程x2－2x＋1＝0在(0,2)内的近似解是______(精确到0.1)．
答案：1.0
4．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，则f(x)零点的个数为__________个．
解析：∵f(x)为R上的奇函数，
∴f(0)＝0，∵f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，
∵奇函数的图象关于原点对称，
∴f(x)在(－∞，0)上有一个零点，
故共有3个零点．
答案：3
5．函数f(x)＝x2－2x的零点个数是( )
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
答案：A
?巩固提高
6．二次函数y＝f(x)在[1,2]上有两个零点，则函数y＝f(x＋1)在(1,2)上的零点的个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．以上均不对
解析：∵y＝f(x＋1)的图象由y＝f(x)向左平移1个单位如下图所示，
∴在(1,2)上的零点的个数为0.
答案：A
7．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：B
8．若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围是( )
A．a<－1 B．a>1
C．－1解析：当a＝0时，有一根x＝－1不在(0,1)内，
当a≠0时，Δ＝0，即a＝－时，方程有解．
x＝－2不在(0,1)内．
当a≠0，Δ>0，f(0)f(1)<0?a>1.故选B.
答案：B
9．若函数f(x)＝mx2－2x＋3只有一个零点，求实数m的取值范围．
解析：(1)当m＝0时，f(x)＝－2x＋3与x轴只有一个交点，此时函数f(x)只有一个零点．
(2)当m≠0时，要使得f(x)＝mx2－2x＋3只有一个零点，则要Δ＝(－2)2－4×3×m＝0，此时m＝.
综上所述，当m＝0或m＝时，函数f(x)＝mx2－2x＋3只有一个零点．
10．利用计算器，求方程2x＋2x－5＝0的近似解(精确到0.1)．
解析：令f(x)＝2x＋2x－5，
因为函数f(x)＝2x＋2x－5在R上是增函数，
所以函数f(x)＝2x＋2x－5至多一个零点．
因为f(2)f(1)<0，所以函数f(x)＝2x＋2x－5 的零点在(1,2)内，用二分法逐次计算，列表如下：
取区间
中点值
中点函数值
(1,2)
1.5
0.83
(1,1.5)
1.25
－0.12
(1.25,1.5)
1.375
0.34
(1.25, 1.375)
1.312 5
0.11
(1.25, 1.312 5)
∵|1.312 5－1.25|＝0.062 5＜0.1，
∴函数f(x)的零点近似值为1.312 5.
∴方程2x＋2x－5＝0的近似解为1.312 5.
1．研究二次函数的零点时，要充分利用二次函数的图象，结合方程的判别式进行讨论．
2．研究曲线的公共点，通常转化为相应函数的零点．
3．讨论含参数的函数零点的个数时，常用分离变量，转化为研究直线与曲线的公共点，结合图形研究．
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本章概述
学习内容
函数与方程
(1)结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
(2)根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．
2.函数模型及其应用
(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
知识结构
3．1 函数与方程
3．1.1 方程的根与函数的零点
?基础达标
1．设函数f(x)＝x3＋ax＋b是定义域[－2,2]上的增函数，且
f(－1)f(1)＜0，则方程f(x)＝0在[－2，2]内( )
A．可能有三个实数根
B．可能有两个实数根
C．有唯一的实数根
D．没有实数根
解析：∵f(x)在[－2,2]上是增函数，
且f(－1)f(1)＜0，
∴f(x)在[－1,1]上有唯一的实根，故在[－2,2]上也只有唯一实根．
答案：C
2．方程lg x＋x＝0在下列的哪个区间内有实数解( )
A．[－10，－0.1] B．[0.1,1]
C．[1,10] D．(－∞，0]
解析：记f(x)＝lg x＋x，
∵f(0.1)·f(1)＝(lg 0.1＋0.1)(lg 1＋1)＝－0.9×1＜0，
∴在[0.1,1]内有解．
答案：B
3．对于函数f(x)，若f(－1)f(3)＜0，则下列判断中正确的是( )
A．方程f(x)＝0一定有根
B．方程f(x)＝0一定无根
C．方程f(x)＝0一定有两根
D．方程f(x)＝0可能无根
解析：∵题中没说f(x)的图象是连续不断的一条曲线．
答案：D
4．函数y＝x2－64x的零点的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
答案：C
5．函数y＝ln x＋2x－6的零点，必定位于下列哪一个区间( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,5)
解析：记f(x)＝ln x＋2x－6.
∵f(2)·f(3)＝(ln 2－2)(ln 3)＜0.
答案：B
6．若函数f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围为________．
解析：∵当m＋1＝0时，f(x)＝－4x－3是一次函数，不可能满足题意，∴m≠－1.
当m＋1≠0时，
只需Δ＝16m2－4×2(m＋1)(2m－1)＞0，
解得m＜1且m≠－1.
答案：m＜1且m≠－1
?巩固提高
7．方程|x＋1|＝2x根的个数为( )
A．0 个 B．1个
C．2 个 D．3个
解析：∵|x＋1|＝2x根的个数就是函数y＝|x＋1|与函数y＝2x的图象交点的个数．
故有3个交点．
答案：D
8．若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，则实数a的取值范围是____________．
9．已知函数f(x)＝3ax＋1－2a在[－1,1]上存在零点x0，且x0≠±1，求实数a的取值范围．
10．若关于x的方程4x＋2x a＋a＋1＝0有实数根，求实数a的取值范围．
1．学习函数零点的概念要注意联系函数、方程、不等式内容以及数形结合，理解其本质．
2．零点不是点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，是一个实数．
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
3．应用以前已学习过知识解决函数零点问题，如二次方程判别式、求根公式、根与系数的关系等．
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用二分法求方程的近似解
?基础达标
1．下列函数图象中不能用二分法求函数零点近似值的是( )
解析：B图中函数无零点，故不能用二分法求其零点近似值．
答案：B
2．求方程f(x)＝0在[0,1]内的近似根，用二分法计算到x10＝0.445达到精度要求．那么所取误差限ε是( )
A．0.05 B．0.005
C．0.000 5 D．0.000 05
答案：C
3．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．
解析：记f(x)＝x3－2x－5，
∵f(2.5)＝2.53－2×2.5－5＝5.625＞0，
f(2)＝8－4－5＝－1＜0，
∴f(2.5)f(2)＜0，
∴有根区间为(2,2.5)．
答案：(2,2.5)
4．函数y＝x3－64x的零点的个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：∵y＝x3－64x的零点个数是方程x3－64x＝0的解的个数，而方程的解有3个．
答案：D
5．利用计算器，方程x2－2x－1＝0在(1,3)内的近似解是(精确到0.1) ( )
A．2.2 B．2.4 C．2.6 D．2.8
答案：B
6．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为 ( )
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
A.(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)
解析：记F(x)＝ex－x－2，由所列表知图象在区间[1,2]的两端点x＝1，x＝2，有
F(1)·F(2)＝(2.72－3)(7.39－4)<0，
即F(x)在区间(1,2)有零点，故选C.
答案：C
?巩固提高
7．方程log3x＋x＝3的解所在区间是( )
A．(0 ,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3，＋∞)
解析：记f(x)＝log3x＋x－3，
∵f(2)·f(3)＝(－1＋log32)×1＜0，
∴方程的解在区间(2,3)内．
答案：C
8．已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
13.6
1.56
－0.39
1.09
－5.25
－2.32
则函数f(x)至少有__________个零点．
解析：∵f(x)的图象是连续不断的由表知在(2,3)，(3,4)，(4,5)各至少有1个零点，故至少有3个零点．
答案：3
9．利用计算器，求方程x3＋x＋4＝0的近似解(精确到0.1)．
解析：令f(x)＝x3＋x＋4 ，因为函数f(x)＝x3＋x＋4 在R上是增函数，所以函数f(x)＝x3＋x＋4 至多有1个零点．因为
f(－2)f(－1)<0，所以函数f(x)＝x3＋x＋4 的零点在(－2，－1)内，用二分法逐次计算，列表如下：
取区间
中点值
中点函数值
(－2，－1)
－1.5
－0.875
(－1.5，－1)
－1.25
0.797
(－1.5，－1.25)
－1.375
0.025
(－1.5，－1.375)
－1.437 5
－0.408
(－1.437 5，－1.375)
∵|－1.437 5＋1.375|＝0.062 5＜0.1，
∴函数f(x)的零点近似值为－1.437 5.
∴方程x3＋x＋4＝0的近似解为－1.437 5.
10．利用计算器，用二分法求函数f(x)＝lg x＋x－3在(2, 3)内的零点近似值(精确到0.1)．
解析：∵f(x)＝lg x＋x－3在(2,3)上是连续不断的且在(2,3)上是单调增函数．
用二分法逐次计算，列表如下：
取区间
中点值
中点函数值
(2, 3)
2.5
－0.102(负数)
(2.5, 3)
2.75
0.189(正数)
(2.5, 2,75)
2.625
0.044(正数)
(2.5,2.625)
2.562 5
－0.029(负数)
(2,562 5, 2.625)
∵|2.562 5－2.625|＝0.062 5＜0.1，
∴函数f(x)的零点近似值为2.562 5.
1．用二分法求函数零点时，先要判断函数是否可用二分法求零点，注意数形结合，充分利用函数的图象， 把近似计算与直观判断相结合．
2．用二分法求零点时要根据函数性质尽可能地找到含有零点的更小的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少运算量．
3．注意“精确度”要求对结果的影响，不同的“精确度”要求，对结果有影响．
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3.2 函数模型及其应用
3．2.1 几类不同增长的函数模型(一)
?基础达标
1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下面一组实验数据(见下表)：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
A.y＝2x－2 B．y＝(x2－1)
C．y＝log2x D．y＝x
答案：B
2．当2A．2x>x2>log2x
B．x2>2x>log2x
C．2x>log2x＞x2
D．x2>log2x>2x
解析：方法1：在同一坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象，在区间(2,4)内从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象．
∴x2>2x>log2x.故选B.
方法2：取x＝3，经检验知B正确．故选B.
答案：B
3．某债券市场发行三种债券：P种面值为100元，一年到期本息和为103元；Q种面值为50元，一年到期51.4元；R种面值20元，一年到期20.5元．作为购买者，要选择受益最大的一种，分析三种债券的收益，应选择 __________ 种债券．
答案：P
4．一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现每间客房每天的价格与住房率有如下表所示的关系.
每间客房定价/元
200
180
160
140
住房率/%
65
75
85
95
要使每天收入最高，每间客房定价为( )
A．200元 B．180元
C．160元 D．140元
答案：C
5.
如右图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图象是下列图中的( )
答案：D
6．甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲先到达终点
解析：由图知，甲、乙同时出发跑的路程相同，甲的速度比乙的速度快，甲先到达终点．故选D.
答案：D
?巩固提高
7．储油30 m3的油桶，每分钟流出 m3的油，则桶内剩余油量Q(m3)以流出时间t(分钟)为自变量的函数的定义域是( )
A．[0，＋∞)
解析：由t＝30?t＝40，
故所求定义域为[0,40]．
答案：D
8．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如右图所示，设小矩形的长、宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y＝f(x)，则y＝f(x)的图象是( )
答案：A
9．季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售．
(1)试建立价格P与周次t之间的函数关系式．
(2)若此服装每件进价Q与周次t之间的关系为Q＝－0.125(t－8)2＋12，t∈[0,16]，t∈N*，试问该服装第几周每件销售利润L最大？
解析：(1)P＝
(2)因每件销售利润＝售价－进价，即L＝P－Q，
故有：当t∈[0,5)且t∈N*时，
L＝10＋2t＋0.125(t－8)2－12＝t2＋6，
即t＝5时，Lmax＝9.125；
当t∈[5,10)时t∈N*时，L＝0.125t2－2t＋16，
即t＝5时，Lmax＝9.125；
当t∈[10,16]时，L＝0.125t2－4t＋36，
即t＝10时，Lmax＝8.5.
答：由以上得，该服装第5周每件销售利润L最大．
10．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了以后估计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据．用一个函数模拟产品的月产量y与月份数x的关系，模拟函数可选用二次函数f(x)＝px2＋qx＋r(其中p，q，r为常数，且p≠0)或指数型函数g(x)＝a·bx＋c(其中a，b，c为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用上述哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．
解析：∵f(x)＝px2＋qx＋r(p≠0)，
由f(1)＝2，f(2)＝1.2，f(3)＝1.3，有：
解得p＝－0.05，q＝0.35，r＝0.7，
∴f(4)＝1.3.
又∵g(x)＝a·bx＋c，由g(1)＝1，g(2)＝1.2，g(3)＝1.3，有：
解得a＝－0.8，b＝0.5，c＝1.4，
∴g(4)＝1.35.
根据4月份的实际产量可知，选用
y＝－0.8×(0.5)x＋1.4作模拟函数较好．s
1．函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．在实际问题中很多时候需要我们选择判断函数类型．因此我们学会应用熟悉的函数：一次函数、正比例函数与反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数解决实际问题．
2．选择确定模型→利用数据表格、函数图象讨论模型→分析讨论模型→体会直线上升、指数爆炸、对数增长．
3．对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律；指数增长模型比较适合于描述增长速度骤变的变化规律．
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3.2.2 几类不同增长的函数模型(二)
?基础达标
A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快
B．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢
C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢
D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快
答案：C
2．某工厂8年来某产品的总产量y与时间 t (年)的函数关系如下图所示 ，下列的说法：
①前3年中总产量的增长速度越来越快
②前3年中总产量的增长速度越来越慢
③第3年后这种产品停止生产
④第3年后这种产品的产量保持不变
正确的有____________(填序号)．
答案：①③
3．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( )
A．14 400亩 B．172 800亩
C．17 280亩 D．20 736亩
答案：C
4．某企业近几年的年产值如下图所示，则年增长率最高的是(增长率＝增长值/原产值)( )
A．2007年 B．2008年 C．2009年 D．2010年
答案：B
5．据新华社2011年3月12日电，1995年到2010年间，我国农村人均居住面积如下图所示，其中从______年到______年的五年间增长最快．
答案：1995 2000
6．一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如下图所示，则t＝2时，汽车已经行驶的路程为( )
A．100 km B．125 km
C．150 km D．225 km
答案：C
?巩固提高
7．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2 km者均按此价收费，行程超过2 km，按1.8元/km收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1 km计算．陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于( )
A．5～7 km B．9～11 km
C．7～9 km D．3～5 km
答案：A
8．某地区的一种特色水果上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：
①f(x)＝p·qx；②f(x)＝px2＋qx＋1；③f(x)＝x(x－q)2＋p.
(以上三式中p、q均为常数，且q＞1，x＝0表示4月1日，x＝1表示5月1日，依次类推)
(1)为准确研究其价格走势，应选第________种价格模拟函数．
(2)若f(0)＝4，f(2)＝6，预测该果品在________月份内价格下跌．
答案：(1)③ (2)5、6
9．某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，p)，点(t，p)落在下图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：
第t 天
4
10
16
22
Q/万股
36
30
24
18
(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；
(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；
(3)用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少．
解析：(1)P＝
(2)Q＝－t＋40,0(3)y＝
当0答：在30天中的第15天，日交易额取得最大值125万元．
10．如右图所示，在梯形ABCD中，AB＝10，CD＝6，AD＝BC＝4，动点P从B点开始沿着折线BCDA前进至A点，若点P运动路程为x，△PAB的面积为y.
(1)写出y＝f(x)的解析表达式及f(x)的定义域；
解析：①当P在BC上运动时[见图(1)]，即BP＝x(0≤x≤4)，易知∠B＝60°，故
S△PAB＝y＝·10·x·sin 60°＝x(0≤x≤4)．
②当P在CD上运动时[见图(2)]，即BC＋CP＝x(4≤x≤10)，
y＝×10×2?y＝10(4≤x≤10)．
③当P在DA上运动时[见图(3)]，
∵BC＋CD＋DP＝x(10≤x≤14)，
∴AP＝AD＋DC＋CB－x＝14－x，
∴y＝×10×(14－x)×＝－x＋35.
综上所述，函数的解析式为
f(x)＝
(2)画出f(x)的草图，并求值域．
答案：f(x)的图象如下，由图象知f(x)的值域为[0,10]．
1．适当记忆具体例子容易得到一般性的结论，体会从特殊到一般的思想．
2．在具体应用题中体会幂函数、指数函数、对数函数增长的变化规律，同时注意一次函数、二次函数、分段函数在具体题中的应用，并体会各自增长的特点．
3．对一次函数来说，当一次项系数为正时，表现为匀速增长．
4．对于指数函数，当底大于1时，其增长的速度越来越快，由于函数值的迅速膨胀，表现为爆炸的态势．
5．对数函数在底数大于1时，刚开始增长较快，往后将越来越慢，表现为能量渐失．
6．一次函数、指数函数、对数函数、幂函数的增长存在差异，认识直线上升、指数爆炸、幂增长、对数增长等不同类型的函数增长模型，有利于我们运用函数知识解决实际问题．
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函数模型的应用实例
?基础达标
1．老师今年用7 200元买一台笔记本电脑，电子技术飞速发展，计算机成本不断降低，每隔三年降低三分之一．九年后还值( )
A．7 200×3 B．7 200×3
C．7 200×2 D．7 200×2
解析：∵每隔三年降低三分之一，
∴每隔三年降低为原来的三分之二，
九年后为7 200×3.
答案：B
2．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )
A．200副 B．400副
C．600副 D．800副
解析：由5x＋4 000≤10x，得x≥800，即日产手套至少800副时不亏本．故选D.
答案：D
3．甲用1 000元人民币购买了一手股票，随即他将这股票卖给乙，获利10%，而后乙又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格九折将这手股票卖给了乙，在上述股票交易中( )
A．甲刚好盈亏平衡 B．甲盈利1元
C．甲盈利9元 D．甲亏本1.1元
答案：B
4．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
答案：C
5．某不法商贩将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”结果是每台彩电比原价多赚270元，那么每台彩电的原价为______元．
解析：设原价为x元，则
x(1＋40%)·80%－x＝270，解得x＝2 250.
答案：2 250
?巩固提高
6.
如右图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量．H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t(分钟)的函数关系用图象表示可能是( )
答案：B
7．
如右图，点P在边长为1的正方形ABCD上运动，设点M为CD的中点，当点P沿A→B→C→M运动时，点P经过的路程设为x，△APM面积设为y，则函数y＝f(x)的图象只可能是下列图中的( )
答案：A
8．某工厂生产某种产品的固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，总利润L(Q)的最大值是________．
答案：2 500
9．如下图，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽2 m，边坡的倾角为45°，水深h m，求横断面中有水面积A(m2)与水深h(m)的函数关系式．
解析：作AC⊥CE，BD⊥CE，
∴Rt△BDE面积为h2，矩形面积为2h，
∴A＝S矩＋2SRt△BDE＝2h＋2×h2＝h2＋2h(m2)．
10．建造一个容积为8立方米，深为2米的无盖长方体蓄水池，池壁的造价为每平方米100元，池底的造价为每平方米300元，把总造价y(元)表示为底面一边长x(米)的函数．
解析：y＝4×300＋2x×2×100＋2××2×100＝400x＋＋1 200(x＞0)．
1．利用函数拟合思想解决实际问题的基本过程为：
2．通过本节学习，进一步熟悉数学建模的方法，能运用数学模型解决一定的关于市场经济的实际问题，提高解决数学应用题的应变能力．
3．求解数学应用题必须突破三关：
(1)阅读理解关．一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义．
(2)建模关．即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题．
(3)数理关．运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型．
在学习函数应用问题时也要充分注意由易到难的过程，从容易问题出发，不断提高研究实际问题能力，不断总结解决应用问题的一般方法与步骤，提高解决问题的能力．
