课件29张PPT。1.3 函数的基本性质
1．3.1 函数的单调性 栏目链接1.理解函数的单调性，会用定义法证明函数的单调性.
2.会运用函数图象理解和研究函数的单调性.
3.会判断常见函数如正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的单调性.
栏目链接 栏目链接1．如果函数f(x)对区间D内的任意x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在D内是增函数；当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在D内是减函数．
例如：若f(x)＝2x－1，能证明出函数f(x)在R上为增函数吗？________.
2．函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1＜x2时，总有f(x1)＜f(x2)[或f(x1)＞f(x2)]．
基础
梳理 栏目链接能例如：f(x)是R上的单调函数，若f(3)＞f(2)，则y＝f(x)是R上的单调________函数；若f(3)＞f(2)，则y＝f(x)是R上的单调增函数吗？________.
3．若函数y＝ f(x)在区间I上是单调增函数或是单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间．
4．若函数y＝f(x)是R上的增函数，当a＞b时，则f(a)______f(b); 若函数y＝f(x)是R上的减函数，当a＞b时，则f(a)________f(b)．
5．函数f(x)＝x2＋2x＋11的单调增区间是 ________ ．
递增不是＞＜[－1，＋∞)基础
梳理思考
应用1．如果f(x)在区间D上是单调函数，则函数f(x)是增函数(减函数)的说法正确吗？
栏目链接 解析：不正确．函数的单调性是函数的局部性质，所以必须说明函数在哪个区间上是增(减)函数．2．函数f(x)在区间D上是增(减)函数，对于任意x1，x2∈D，则有“若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)[f(x1)＞f(x2)]”反之是否也成立呢？ 栏目链接解析：成立．即函数f(x)在D上是增(减)函数，对于?x1，x2∈D，若f(x1)＜f(x2)(f(x1)＞f(x2))，则x1＜x2，这个性质从函数单调性的图形定义中能形象地体现出来．思考
应用自测
自评 栏目链接A 栏目链接解析：由2a－1>2－a解得：a>1.故实数a的取值范围是.
答案： 栏目链接(－∞，0) 栏目链接题型一 证明函数的单调性例1 求证：函数f(x)＝＋a在(0，＋∞)上是增函数．
证明：对于任意x1，x2满足x1＞x2＞0，有 栏目链接点评：证明或判断函数单调性的方法主要是定义法(在解决选择或填空题时可用图象法)，利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是
跟踪
训练1．求证：函数y＝在(－∞，0)上为减函数．
栏目链接题型二 利用函数的图象求函数的单调性例2 某地一天内的气温Q(t)(单位：℃)与时刻t(单位：小时)之间的关系如下图所示，研究函数Q(t)在定义域内的单调性，写出其单调区间和最大值． 栏目链接答案：在[0,4]上单调递减，在[4,12]上单调递增，在[12,24]上单调递减；最大值是4.
点评：利用函数图象确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数解析式，然后再画出其草图，再根据函数定义域和草图的位置、状态，确定函数的单调区间．
跟踪
训练2．函数f(x)图象如下，指出函数的递增区间．
栏目链接答案：[4,14]题型三 函数单调性的应用例3 已知函数f(x)在[－2,2]上单调递增，若f(1－m)＜f(m)．求实数m的取值范围．
分析：因为f(x)在[－2,2]上单调递增，所以当－2≤x1＜x2≤2时，总有f(x1)＜f(x2)，反之也成立，即若f(x1)＜f(x2)，则－2≤x1＜x2≤2.
解析：∵f(1－m)＜f(m)， 栏目链接 点评：解决此类与抽象函数有关的变量的取值范围问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号“f”，从而转化为熟悉的不等式．若函数y＝f(x)在区间D上的增函数，则对任意x1，x2∈D，且f(x1)＜f(x2)，有x1＜x2；若函数y＝f(x)在区间D上是减函数，则对任意x1，x2∈D且f(x1)＜f(x2)，有x1＞x2.需要注意的是，不要忘记函数的定义域．跟踪
训练3．已知函数f(x)是R上的减函数，若a＋b<0，则下列正确的是( )
A．f(a)＋f(b)<－[f(a)＋f(b)]
B．f(a)＋f(b)C．f(a)＋f(b)>－[f(a)＋f(b)]
D．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)
解析：由a＋b<0，得a<－b，∴f(a)>f(－b)．
又由a＋b<0，得b<－a，∴f(b)>f(－a)．
故f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．选D.
答案：D题型四 求函数的单调区间例4求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋3的单调区间．
解析：当x≥0时，f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
当x＜0时，f(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4. 栏目链接作函数图象，如上图所示，在(－∞，－1)和(0,1)上，函数是增函数；在[－1,0]和[1，＋∞)上，函数是减函数．点评：1.①y＝ax＋b，a＞0时，单调增区间为(－∞，＋∞)，a＜0时，单调减区间为(－∞，＋∞)．
②y＝，a＞0时，单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；a＜0时，单调增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
③y＝a(x－m)2＋n，a＞0时单调减区间为(－∞，m]，单调增区间为[m，＋∞)；a＜0时，单调增区间为(－∞，m]，单调减区间为[m，＋∞)．2．确定函数的单调区间应注意的问题
函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域．跟踪
训练4．求函数y＝|x|·(1－x)的单调区间．
作出函数的图象，如下图．
课件28张PPT。1.3 函数的基本性质
1.3.3 函数的奇偶性 栏目链接1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
2.会运用函数图象理解和研究函数的性质.
栏目链接 栏目链接1．奇偶性定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)＝f(x)，则称f(x)为偶函数．如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性．如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数．
例如：判断下列函数的奇偶性：
①y＝－x2；②y＝x3；③y＝x2－x；④y＝0.
基础
梳理 栏目链接 答案：①偶函数 ②奇函数 ③非奇非偶函数
④既是奇函数又是偶函数2．由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)．
例如：若奇函数f(x)的定义域为[p，q]，则p＋q＝________.
0 栏目链接基础
梳理思考
应用1．奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性是否一致？偶函数呢？
栏目链接 解析：奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，而偶函数刚好相反．2．若函数f(x)满足f(－1)＝f(1)，能否判断函数f(x)为偶函数？
栏目链接解析：不能，由定义可知，必须是定义域内任意x都有f(－x)＝f(x)，不能用特殊性代替任意性．思考
应用自测
自评 栏目链接1．奇函数f(x)图象一定过原点吗？
答案：当f(0)有意义时，由f(－0)＝－f(0)得：f(0)＝0; 当f(0)没有意义时，如函数f(x)＝，它的图象不过原点．2．函数y＝ 是偶函数吗？为什么？
答案：不是；因为定义域不关于原点对称． 栏目链接自测
自评3．(2013·广东卷)定义域R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
C 栏目链接自测
自评 栏目链接题型一 判断函数的奇偶性例1 判断下列函数是否具有奇偶性．
(1)f(x)＝x＋x3＋x5；
(2)f(x)＝x2＋1；
(3)f(x)＝x＋1；
(4)f(x)＝x2，x∈[－1,3]．
栏目链接分析：先求定义域，再判断f(－x)与f(x)的关系．
解析：(1)函数f(x)＝x＋x3＋x5的定义域为R.
当x∈R，－x∈R.
∵f(－x)＝－x－x3－x5＝－(x＋x3＋x5)＝－f(x)．
∴f(x)＝x＋x3＋x5为奇函数．
(2)函数f(x)＝x2＋1的定义域为R，当x∈R，－x∈R.
∵f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，
∴f(x)＝x2＋1是偶函数．
(3)函数f(x)＝x＋1的定义域是R，
当x∈R时，－x∈R，
∵f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，
f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，(x∈R)
∴f(x)＝x＋1既不是奇函数，也不是偶函数．
栏目链接 (4)因为函数的定义域关于原点不对称，
存在3∈[－1,3]，而－3∈/[－1,3]．
∴f(x)＝x2，x∈[－1,3]既不是偶函数，也不是奇函数．
点评：判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．
(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．
栏目链接跟踪
训练1．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
栏目链接解析：函数的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称，因为f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－
|x－1|)＝－f(x)．
所以f(x)是奇函数． 栏目链接 栏目链接题型二 奇偶函数的图象及应用例2 (1)奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必过点( )
栏目链接 (2)设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式 0的解集是________．解析：(1)根据奇函数图象的特征：奇函数的图象关于原点对称，知点(a，f(a))在其图象上，则它关于原点的对称点(－a，－f(a))也必在其图象上．
(2)由于偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)＜0的解．∵当x∈[0,5]时，f(x)＜0的解为2＜x≤5，所以当x∈[－5,0]时，f(x)＜0的解为－5≤x＜－2.
∴f(x)＜0的解集是{x|－5≤x＜－2或2＜x≤5}．
答案：(1)C (2){x|－5≤x＜－2或2＜x≤5} 栏目链接点评：已知函数的奇偶性及部分图象，根据对称性可补出另一部分图象．奇函数在对称区间上单调性相同；偶函数在对称区间上单调性相反．
栏目链接跟踪
训练2．偶函数f(x)(x∈R)满足：f(－4)＝f(1)＝0，且在区间[0,3]与[3，＋∞)上分别递减和递增，使f(x)＜0的自变量范围是( )
A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
B．(－4，－1)∪(1,4)
C．(－∞，－4)∪(－1,0)
D．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)
栏目链接解析：根据题目条件，想象函数图象如下：答案：B 栏目链接跟踪
训练题型三 利用函数的奇偶性求函数的解析式例3 已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，求当x∈(0，＋∞)时，f(x)的表达式．
解析：当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)，
因为x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，
所以f(－x)＝(－x)－(－x)4＝－x－x4，
因为f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，
所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝－x－x4. 栏目链接点评：解答该类问题的思路
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性解出f(x)．
注意，若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，则未必有f(0)＝0. 栏目链接跟踪
训练3．若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(1－x)，求当x≥0时，函数f(x)的解析式．
分析：将x<0时，f(x)的解析式转化到x>0上，这是解决本题的关键．
解析：由f(x)是奇函数，
当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－{(－x)[1－(－x)]}＝x(1＋x)
当x＝0时，f(0)＝－f(0)，即f(0)＝0.
∴当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)． 栏目链接课件25张PPT。1.3 函数的基本性质
1.3.2 函数的最大(小)值 栏目链接1.理解函数的最大(小)值及其几何意义.
2.会运用函数单调性、图象理解和研究函数的最值.
栏目链接 栏目链接1．最大值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．
2．最小值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．
例如：已知函数f(x)＝2x2－1，求函数f(x)当x∈(－1,2]时的最大值与最小值．
基础
梳理 栏目链接答案：最大值为f(2)＝7，最小值为f(0)＝－1思考
应用1．函数的最大(小)值对应在图象上表示成什么？
栏目链接 解析：函数的最大(小)值，实际上是函数图象的最高(低)点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性，可得到函数最值．2．若函数f(x)满足：对定义域中的任意x都有f(x)≥f(2)，能说函数f(x)的最小值是f(2)吗？
栏目链接解析：由最小值的定义可知函数f(x)的最小值是f(2)．但取得最小值时x的值除x＝2外，可能还有别的值．思考
应用3．若二次函数f(x)满足：对定义域中的任意x都有f(x)≤f(0)，你能判断二次函数f(x)的对称轴和开口方向吗？
解析：由f(x)≤f(0)知当x＝0时， f(x)取最大值，故函数f(x)的对称轴是直线x＝0即y轴，且开口向下．
思考
应用自测
自评 栏目链接1．函数y＝－2x＋1在区间上的最大值是________，最小值是______．
2．函数y＝2＋在区间上的最大值是______，最小值是________．
3．函数y＝x2－2x＋4的最小值为_______ .
4．函数f(x)＝ (x∈R)的最大值是________，最小值是________.5－37331不存在 栏目链接题型一 利用函数的图象求函数的最值例1 函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象如下图所示，求它的最大值、最小值．
栏目链接答案：y＝f(x)在x＝－1.5处取得最小值，即ymin＝－2，在x＝3处取得最大值，即ymax＝3.
点评：用图象法求最值的一般步骤是
跟踪
训练1．函数f(x)的图象如下图所示，则最大值、最小值分别为( )
栏目链接答案：C题型二 利用函数的单调性求函数的最值例2 栏目链接跟踪
训练2．求函数f(x)＝ 在区间[2,5]上的最大值与最小值． 栏目链接题型三 实际问题中的最值例3 A、B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．
(1)把月供电总费用y表示成x的函数，并求其定义域．
(2)核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小？ 栏目链接点评：1.解决实际问题，首先要理解题意，然后建立数学模型转化成数学问题解决．
2．分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系式的关键．
3．对分段函数求最大(小)值时，要分别求出函数在各段上的最大(小)值，然后比较，最大(小)的一个即为函数的最大(小)值．跟踪
训练3．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)．
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益－总成本＝利润)
课件32张PPT。1.2 函数及其表示法
1．2.1 函数的概念 栏目链接1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.
2.会使用区间表示某些特定的集合.
3.理解函数的定义.
栏目链接 栏目链接1．形如f(x)＝kx＋b(k≠0)的函数叫一次函数，其中x叫自变量，与x对应的y的值叫函数值，它的图象为一条倾斜直线．
例如：已知f(x)＝2x＋1，当x＝2时，y＝________；当y＝9时，x＝________.
2．形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫二次函数，它的图象为抛物线．
例如：已知f(x)＝x2＋2x＋3，函数值为6时，相对应的自变量的值为____________．
基础
梳理 栏目链接54x＝1或x＝－33．一般地，设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么f：A→B就称为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量， x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
例如：正方形边长为x，与x的值相对应的面积为y，把y表示为x的函数：____________；该函数的定义域为________；值域为________；当边长为4的时候，面积为________；当面积为4的时候，相应的边长为________．
y＝x2{x|x＞0}{y|y＞0}162基础
梳理4．习惯上将集合{x|1＜x＜3}写成区间形式：(1,3)，区间分为开区间、闭区间、半开半闭区间．
例如：将下列集合写成区间形式：
①{x|－1＜x＜3}；②{x|x≥0}；③{x|－1＜x≤3}．
答案：①(－1,3) ②[0，＋∞) ③(－1,3]基础
梳理5．要使下列各式有意义，其中x的值限制条件是什么？答案：①x≠1 ②x≥1 ③x∈R ④x≠1 ⑤x＞1基础
梳理6．函数的定义含有三个要素，它们分别是：定义域、值域和对应法则．当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定．因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．
例如：下列各组函数中，表示同一函数的是( )
基础
梳理解析：A.定义域不同；B.定义域不同；C.虽然自变量所用字母不同，但两个函数的定义域和对应法则都分别相同，因此是同一个函数；D.对应法则不同．
答案：C基础
梳理思考
应用1．怎样检验两个变量之间是否具有函数关系？
栏目链接 栏目链接2．函数f(x)与f(a)(a是常数)有什么区别与联系？
思考
应用3．如何认识集合{x|a≤x≤b}与区间[a，b]的区别？
栏目链接思考
应用自测
自评1．下列各图中，可表示函数y＝f(x)的图象的只可能是( )
栏目链接D 栏目链接自测
自评解析：只有B选项中函数的定义域与对应法则是相同的．
答案：B自测
自评3．已知f(x)＝x2＋x＋1，则f( )＝______；f[f( )]＝________. 栏目链接自测
自评 栏目链接题型一 函数概念的理解例1下列对应关系是否为A到B的函数？
(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
(3)A＝R，B＝Z，f：x→y＝；
(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.
栏目链接解析：(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；
(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数；
(3)A中元素负数没有平方根，故在B中没有对应的元素且不一定为整数，故此对应关系不是A到B的函数；
(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数．
点评：判断所给对应是否是函数，首先观察两个集合A，B是否是非空集合(数集)，其次验证对应关系下，集合A中数x的任意性，集合B中数y的唯一性．
跟踪
训练1．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从A到B的函数f：A→B的是( )
栏目链接解析：A中的对应不满足函数的存在性，即存在x∈A，但B中无与之对应的y；B、C均不满足函数的唯一性，只有D正确．
答案：D题型二 “ ”的含义及函数值的问题例2 已知f(x)＝x2－6x.
(1)求f(2)，f(a＋1)的值；
(2)若f(x)＝－5，求x的值．
解析：(1)f(2)＝22－6×2＝－8，
f(a＋1)＝(a＋1)2－6(a＋1)＝a2－4a－5.
(2)f(x)＝x2－6x＝－5?x＝1或x＝5. 栏目链接点评：(1)在函数y＝f(x)中，x为自变量，f为对应关系，f(x)是对应关系f下x对应的函数值，所以求函数值时，只需将f(x)的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入既可；
(2)求f[f(x)]时，一般应遵循由里到外的原则．跟踪
训练2．已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．求：
(1)f(2)、g(2)的值；
(2)f[g(2)]的值；
(3)f[g(x)]的解析式．
栏目链接分析：依函数的定义可知，该题是给定自变量和对应关系求函数值，分别将自变量的值代入解析式中的x即可求解．
解析：题型三 求函数的定义域例3 栏目链接跟踪
训练3．求下列函数的定义域，要求把结果写成区间的形式：
课件31张PPT。1.3 函数的基本性质
1．3.4 函数的综合问题 栏目链接1.了解简单的分段函数，并能简单应用.
2.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.,
3.会运用函数图象理解和研究函数的性质.
栏目链接 栏目链接1．分段函数是指在定义域的不同子集上解析式不同的函
数， 如就是一个简单的分段函数. 在求
分段函数的值f(x0)时，一定首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代相应的解析式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各解析式的取值范围的并集．
基础
梳理 栏目链接2．奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．
3．抽象函数是指没有给出具体的函数解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题是函数内容的难点之一，其性质常常是隐而不漏，但一般情况下大多是以常见函数为背景，通过代数表述给出函数性质．
栏目链接基础
梳理4．奇偶性与单调性的综合是重点问题．
例如：设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1＜0且x1＋x2＞0，则( )
A．f(－x1)＞f(－x2)
B．f(－x1)＝f(－x2)
C．f(－x1)＜f(－x2)
D．f(－x1)与f(－x2)大小不确定基础
梳理解析：x2＞－x1＞0，f(x)是R上的偶函数，
∴f(－x1)＝f(x1)．
又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
∴f(－x2)＝f(x2)＜f(－x1)．
答案：A基础
梳理思考
应用 栏目链接 解析：这种看法不正确. 尽管看起来分段函数由多个解析式构成，但它实际上是一个函数，不是多个函数，它的图象是唯一确定的，但图象由多段组成的．处理分段函数的有关问题时，必须根据不同的区间来选择相对应的函数解析式，这是解答分段函数问题的要点．2．设函数f(x)在区间上是增函数，在区间上也是增函数，能说函数f(x)在区间上是增函数吗？
栏目链接解析：若函数f(x)在区间上的图象是连续不断的一条曲线，则函数f(x)在区间上是增函数．否则，可能出现如图情况，此时，函数f(x)在区间上不是增函数．思考
应用3．我们知道，奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．若函数f(x)的图象既关于原点对称，又关于y轴对称，这样的函数存在并且唯一吗？
解析：这样的函数是存在的，如函数f(x)＝0.但并不唯一，如函数f(x)＝0(－1应用自测
自评 栏目链接 栏目链接自测
自评答案：A 栏目链接自测
自评3．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使f(x)<0的x的取值范围是( )
A．(－∞，2)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2,2)D
栏目链接自测
自评 栏目链接题型一 求分段函数的解析式例1 如下图，直角梯形OABC位于直线x＝t(0≤t≤5)右侧的图形的面积为f(t)，试求函数f(t)的解析式．
栏目链接 栏目链接点评：分段函数是刻画现实问题的重要模型，由自变量变化所遵循规律的不同决定的，函数的分段是建模的关键．
栏目链接跟踪
训练1．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )
栏目链接 栏目链接题型二 根据分段函数求值或求范围 例2 栏目链接 栏目链接点评：与分段函数结合考查简单不等式的求解等问题是高考命题的一个方向，这种题型具有一定的难度，值得同学们注意．处理要点是将分段函数的解析式适当地放入对应的不等式中． 栏目链接跟踪
训练 栏目链接 栏目链接题型三 研究抽象函数的性质例3 设f(x) 定义于实数集上，当x＞0时，f(x)＞1，且对于任意实数x、y，有f(x＋y)＝f(x)·f(y)，求证：f(x)在R上为增函数． 栏目链接证明：由 f(x ＋ y)＝f(x)·f(y)中取x ＝y＝0，得f(0)＝f2(0)，∴f(0)＝0或f(0)＝1.
若f(0)＝0，令x＞0，y＝0，则 f(x)＝0，与f(x)＞1矛盾．
∴f(0)≠0，即有f(0)＝1.
当x＞0时，f(x)＞1＞0，
当x＜0时，－x＞0，f(－x)＞1＞0， 栏目链接点评：抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，而变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联． 栏目链接跟踪
训练3．已知函数f(x)(x∈R，x≠0)对任意不等于零实数x1 、x2 都有f(x1 ·x2 ) ＝f(x1 ) ＋f(x2 )，试判断函数f(x) 的奇偶性．
解析 取x1 ＝－1，x2 ＝ 1得：f(－1)＝f(－1)＋f(1)，
∴f(1)＝0.
又取x1 ＝ x2 ＝－1，得f(1) ＝f(－1) ＋f(－1)，
∴f(－1)＝0.
再取x1 ＝ x，x2 ＝－1，则有f(－x)＝f(x)＋f(－1)，
即f(－x)＝f(x)，
∵f(x)的定义域关于原点对称，∴f(x)为偶函数． 栏目链接课件41张PPT。1.2 函数及其表示法
1．2.2 函数的表示法 栏目链接1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
2.了解简单的分段函数，并能简单应用.
栏目链接 栏目链接1．常用的函数表示法．
(1)解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；
(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
(3)图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．
例如：毛笔每支2元，可用于购买的钱有8元，设购买的支数为x(支)，对应的购买费用为y(元)，用三种方式表示y关于x的函数关系式．
基础
梳理 栏目链接解析：解析法：y＝2x(x=0,1,2,3,4)．
列表法：基础
梳理图象法：基础
梳理2．分段函数．
若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数．
1基础
梳理3．不是所有函数都能有明确的规律，此时常常用表格或图象表示．
例如：2011年7月19日9：30～15：00春兰股份的价格走势图如下，能用解析式表示吗？______________不能基础
梳理A是思考
应用1．判断一个图象是不是函数的图象的依据是什么？
栏目链接 解析：曲线C是函数y＝f(x)的图象必须满足：
①图象上任一点的坐标(x，y)满足关系y＝f(x)；
②满足关系y＝f(x)的解为坐标的点(x，y)都在曲线上． 栏目链接 2．若A＝{a，b}，B＝{e，f}，由集合A到集合B可以构成多少个不同的映射？若A中有2个元素，B中有n个元素，那么从集合A到集合B可构成多少个映射？
答案：(1)4 (2)n2思考
应用3．如何求分段函数的值域？怎样作分段函数的图象？
栏目链接解析：首先确定自变量值所在的定义区间，然后按相应的对应关系分别求函数值，最后求各段函数取值集合的并集；作分段函数的图象时，分段分别作出其图象，特别要注意端点的取舍．思考
应用自测
自评 栏目链接18 栏目链接答案：自测
自评3．下列四种说法正确的一个是( )
A．f(x)表示的是含有x的代数式
B．函数的值域也就是其定义中的数集B
C．函数是一种特殊的映射
D．映射是一种特殊的函数
栏目链接C自测
自评4．判断下列对应是否是集合A到集合B的映射．
(1)A＝{1,3,5,7}，B＝{2,6,10,14}，对应关系是：“乘2”；( )
(2)A＝{三角形}，B＝{圆}，对应关系是：“对于每一个三角形，作它的外接圆”；( )
(3)A＝R，B＝{y︱y≥0}，对应关系是：“对于A中元素x，取4－x2”；( )
(4)A＝B＝N＋，对应法则f：x→y＝︱x－3︱.( )是是否否自测
自评 栏目链接题型一分段函数的图像例1
栏目链接解析：分两段画出的函数图象如下：点评：对分段函数可从以下几个方面理解
(1)分段函数是一个函数而非几个函数，只不过在定义域的不同子集内解析式不一样．
(2)分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．
(3)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．
2．研究分段函数的性质时，应根据“先分后合”的原则，尤其是在做分段函数的图象时，可先将各段函数的图象分别画出来，再将它们连在一起得到整个函数的图象．
跟踪
训练1．画出下列两个函数的图象：
栏目链接解析：f(x)的图象如下图所示：解析：跟踪
训练图象如下图所示：跟踪
训练题型二 求函数的解析式 例2求下列函数的解析式：
(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；
(2)若f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)．
解析：(1)法一：
∵f(x＋1)＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，
∴f(x)＝x2－5x＋6. 栏目链接法二：令t＝x＋1，则x＝t－1，
∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6.
∴f(x)＝x2－5x＋6.
(2)∵f(x)是二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝1，得c＝1，由f(x＋1)－f(x)＝2x，得
a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
整理得2ax＋a＋b＝2x.
点评：求函数的解析式的常用方法有：
(1)代入法：如已知f(x)＝x2－1，求f(x＋x2)时，有f(x＋x2)＝(x2＋x)2－1.
(2)待定系数法：已知f(x)的函数类型，要求f(x)的解析式时，可根据类型设其解析式，确定其系数即可．
(3)拼凑法：已知f[g(x)]的解析式，要求f(x)时，可从f[g(x)]的解析式中拼凑出“g(x)”，即用g(x)来表示，再将解析式的两边的g(x)用x代替即可．
(4)换元法：令t＝g(x)，在求出f(t)的解析式，然后用x代替f[g(x)]解析式中所有的t即可．
跟踪
训练2．求下列函数的解析式：
栏目链接题型三 实际问题中的函数问题例3 国内投寄信函(外埠)，假设每封信函不超过20 g付邮资120分，超过20 g而不超过40 g付邮资240分，依此类推，每封x g(0＜x≤100)的信函应付邮资为y(单位：分)，写出y＝f(x)的表达式． 栏目链接解析：依题意将其写成分段函数如下： 点评：解决此类问题的关键是根据实际问题情境恰当选择函数的表示形式．跟踪
训练3．动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D再回到A.设x表示P点的行程，y表示PA的长，求y关于x的函数解析式．
跟踪
训练题型四 映射的概念例4 判断下列对应是不是从A到B的映射． 栏目链接解析：(1)∵A中的元素0到B中无元素与之对应．
∴不是映射．
(2)对应法则为f：x→|x－2|，对A中任意元素总有B中唯一元素与之对应．∴是A到B的映射．
点评：判断一个对应是不是映射，要紧扣映射的定义，特别是定义中的关键词语“任何”、“都有”、“唯一”等，并能正确地理解它们．跟踪
训练4．(1)在如图所示的对应中是A到B的映射的是( )
A．(2) B．(3) C．(3)(4) D．(4) (2)集合A＝{a，b}，B＝{－1,0,1}，从A到B的映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝0，那么这样的映射f：A→B的个数是( )
A．2 B．3 C．5 D．8跟踪
训练解析：(1)结合映射的定义，对(1)，(2)，集合A的元素在集合B中有的有两个元素与之对应，因而构不成映射，而(3)，(4)则符合要求，能构成映射．
(2)由f(a)＝0，f(b)＝0得f(a)＋f(b)＝0；f(a)＝1，f(b)＝－1得f(a)＋f(b)＝0；由f(a)＝－1，f(b)＝1得f(a)＋f(b)＝0.共3个．
答案：(1)C (2)B跟踪
训练课件33张PPT。 1.1 集 合
1．1.1 集合的含义与表示 栏目链接1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．
2．能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
栏目链接 栏目链接1．集合的含义：把研究对象统称为______，把一些元素组成的总体叫做________(简称为______)．
2．元素与集合的关系：如果x是集合A中的元素，则说x属于集合A，记作________；若x不是集合A中的元素，就说x不属于集合A，记作________．
3．集合中元素的三个特征：
(1)确定性：给定集合A，对于某个对象x，“x∈A”或“x?A”这两者必居其一且仅居其一．
(2)互异性：集合中的元素 ________ ．
(3)无序性：在一个给定的集合中，元素之间 ________________ ．基础
梳理元素集合集x∈Ax?A互不相同，不允许重复无先后次序之分 栏目链接4．集合的表示．
(1)把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法称为_________．
(2)把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法称为________．常用形式是：{x|p}，竖线前面的x叫做集合的代表元素，p表示元素x所具有的公共属性．
(3)用平面上一段封闭的曲线的内部表示集合，这种图形称为________．用Venn图、数轴上的区间及直角坐标平面中的图形等表示集合的方法称为________．
列举法描述法Venn图图示法 栏目链接基础
梳理5．①常用数集的符号表示.
R R＋QZNN＋或N* 栏目链接基础
梳理6.含有有限个元素的集合叫有限集，含有无限个元素的集合叫无限集．
例如：大于0小于1的实数构成的集合是有限集还是无限集？________.
例如：小于3的自然数集用列举法表示为_____________________________；
用描述法表示为________________________________．无限集{0,1,2}(其他合理皆可){x|x＜3且x∈N}或{小于3的自然数} 栏目链接基础
梳理思考
应用1．{a}与a有何不同？ 栏目链接2．{实数集}与{实数}是一样的含义吗？ 栏目链接思考
应用3．已知x∈R，集合{(x，y)|y＝x2＋1}与集合{y|y＝x2＋1}的含义有何不同？ 栏目链接思考
应用 栏目链接思考
应用自测
自评1．下列各组对象：(1)高中数学中所有难题；(2)所有偶数；(3)平面上到定点O距离等于5的点的全体；(4)全体著名的数学家．其中能构成集合的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案：B 栏目链接2．给出三个命题：①集合{a，b}可以写成{b，a}；②方程4x2－4x＋1＝0的解集可以表示为；③“很小的数”构成一个集合．其中正确命题的个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案：B 栏目链接自测
自评3．实数2与集合{x|1＜x＜3}的关系为________.答案： 栏目链接自测
自评 栏目链接题型一 集合中元素的特性例1 关于集合元素的特征：
(1)确定性．设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．
(2)互异性．一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素．
(3)无序性．用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序．
由此可判断下列命题的正误： 栏目链接①高个子同学可组成集合( )；
②{1,2}＝{2,1}( ) ；
③{1,2}＝{(1,2)}( )；
④0∈N( )；
⑤2∈{1,2} ( )；
⑥方程x(x－1)2＝0的解集为{0,1,1}( )．
栏目链接解析：①错(不符合元素的确定性)．
②对(集合元素是无序的)．
③错[第一个集合有两个元素，都是数，一个是1，另一个是2；第二个集合是一个元素点(1,2)，即两集合不相等]．
④对(元素与集合间关系)．
⑤对(元素与集合间关系)．
⑥错(不符合元素的互异性，应写为{0,1})．
栏目链接点评：判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，却能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．
答案：错；对；错；对；对；错
栏目链接跟踪
训练1．(1)选用适当的符号填空：
A＝{x|2x－3<3x}, 则有：－4______A，－2______A.
答案：? ∈
(2)说出下列三个集合的含义：
①{x|y＝x2}；②{y|y＝x2}；③{(x，y)|y＝x2}．
解析：①{x|y＝x2}表示满足y＝x2的x的取值范围；
②{y|y＝x2}表示满足y＝x2的y的取值范围；
③{(x，y)|y＝x2}表示抛物线y＝x2的图象的所有点构成的集合． 栏目链接题型二 元素与集合的关系例2 所给下列关系正确的个数是( )
①－∈R；②?Q；③0∈N＋；④|－3|?N＋.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：－是实数，是无理数，∴①②正确．N＋表示正整数，∴③和④不正确．
答案：B 栏目链接点评：①注意正确使用元素与集合关系的符号：“∈”与“?”．元素只能写在前面，集合写在后面．
②判断一个对象是否为某个集合的元素，就是判断这个对象是否具有这个集合的元素具有的共同特征，如果一个对象是某个集合的元素，那么这个对象必具有这个集合的元素的共同特征． 栏目链接跟踪
训练2．下列说法正确的是( )
A．若a∈N，b∈N，则a－b∈N
B．若x∈N＋，则x∈Q
C．若x≥0，则x∈N
D．若x?Z，则x?Q
答案：B
栏目链接题型三 集合的表示法例3 分别用列举法和描述法表示方程x2－3x＋2＝0的解．
解析：∵x2－3x＋2＝0的两解为x1＝1，x2＝2.
∴列举法表示为：{1,2}；
描述法表示为：{x|x2－3x＋2＝0}． 栏目链接点评：一个集合可以用不同的方法表示，需要根据题意选择恰当的方法，同时注意到列举法和描述法的适用范围．
1．列举法是把集合中的元素一一列举出来，写在花括号里表示集合的方法，列举时要注意元素的不重不漏，不计次序，且元素与元素之间“，”隔开．
2．用描述法表示集合时，常用的模式是{x|p(x)}，其中x代表集合中的元素，p(x)为集合中元素所具备的共同特征，要注意竖线不能省略，同时表达要力求简练、明确．
3．用列举法或描述法表示集合时，要分清点集和数集．一般地，数集用用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序实数对来表示．
栏目链接跟踪
训练3．用列举法表示下列集合． 栏目链接分析：(1)根据x的范围解方程．(2)根据绝对值的意义化简．
(3)所求x满足两个条件：①x是正整数；②x使为整数．
解析：(1)∵x＝|x|，∴x≥0.又x∈Z且x<8，
∴{x|x＝|x|，x∈Z且x<8}用列举法表示为
{0,1,2,3,4,5,6,7}．
(2)当a>0，b>0时，x＝2，当a<0，b<0时，x＝－2，
当a、b异号时，x＝0.∴B＝{－2,0,2}．
(3)由题意知3－x＝±1，±2，±3，±6，
∴x＝0，－3,1,2,4,5,6,9，
又x∈N＋，∴C＝{1,2,4,5,6,9}．
栏目链接题型四 注意集合中元素的互异性例4 已知集合A＝{1,3，a2}，若3a－2∈A，求实数a的取值集合．
解析：由3a－2＝1得：a＝1，此时a2＝1，集合A中有两个相同的元素，故a≠1；
由3a－2＝3解得：a＝53，满足条件；
由3a－2＝a2解得：a＝1(舍去)或a＝2，满足条件．
故所求实数a的取值集合为
栏目链接点评：因集合A＝{1,3，a2}有三个元素，故所求a值应满足a2≠1且a2≠3，即保证集合元素的互异性．另外，利用集合中元素的特性问题时，要注意分类讨论思想的应用．
栏目链接跟踪
训练4．(1)若2∈，则实数x的值是________．
解析：∵2∈{1，x，x2＋x}，
∴x＝2或x2＋x＝2得x＝±2或x＝1.
当x＝2时，{1，x，x2＋x}＝{1,2,6}；
当x＝－2时，{1，x，x2＋x}＝{1，－2,2}；
当x＝1时，{1，x2，x2＋x}＝{1,1,2}不满足互异性．
∴x的值是±2.
答案：±2 栏目链接(2)已知集合A＝{2，x2－2x－1}，求实数x的取值范围答案：由集合元素互异性可知，x2－2x－1≠2，
即x2－2x－3≠0，得x≠－1且x≠3.
∴x的取值范围是{x∈R|x≠－1且x≠3}．课件27张PPT。 1.1 集 合
1．1.2 集合间的基本关系 栏目链接1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
2.在具体情境中，了解空集的含义.
3.能使用韦恩图(Venn)表达集合的关系.
栏目链接 栏目链接1.
基础
梳理 栏目链接例如：A＝{0,1,2}，B＝{0,1,2,3}，则A、B的
关系是_____________ ．A?B或B?A 栏目链接基础
梳理2.
栏目链接基础
梳理例如：A＝{1,2}, B＝{1,2,3}，则A、B的关系是______________．
3．若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B.
例如：若A＝{0,1,2}，B＝{x,1,2}，且A＝B，则x＝____.
4．没有任何元素的集合叫空集，记为?.
例如：方程x2＋2x＋3＝0的实数解的集合为________．,
栏目链接0?基础
梳理思考
应用 1．整数集Z与实数集R，若x∈Z，则x与R什么关系？
反过来，若x∈R，则x与Z是什么关系？
栏目链接2．空集中没有元素，为什么还是集合？
栏目链接思考
应用3．符号∈和?有什么区别？
栏目链接思考
应用自测
自评1．集合{1,2,3}的子集共有( )
A．8个 B．7个
C．6个 D．5个
答案：A 栏目链接2．P＝{x|x≤}，M＝{x|x≤3}，则M______P.
栏目链接自测
自评3．{0}________?，0________?. 栏目链接自测
自评 栏目链接题型一 集合间关系的判断例1 下列各式正确的是________
(1){a}?{a}；(2){1,2,3}＝{3,2,1}；(3)??{0}；(4)0?{0}；
(5){1}?{x|x≤5}；(6){1,3}?{3,4}．
分析：利用子集、真子集、集合相等的概念判断． 栏目链接解析： 栏目链接答案：(1)(2)(3)(5)
点评：两集合间关系的判断：
(1)用定义判断．
首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A?B，否则A不是B的子集；
其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一集合A，若是，则B?A，否则B不是A的子集；
若既有A?B，又有B?A，则A＝B.
(2)数形结合判断．
对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．
栏目链接跟踪
训练1．指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{x∈N|x2＝1}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是三角形}；
(3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}．． 栏目链接题型二 子集关系的理解应用例2 写出满足{a，b}?A?{a，b，c，d}的所有集合A.
解析：满足{a，b}?A?{a，b，c，d}集合分别为：
{a，b}；{a，b，c}；{a，b，d}；{a，b，c，d}．
点评：：写满足条件的集合考虑问题要全面，元素c，d可都不考虑选取，可选取一个，也可以选取两个． 栏目链接跟踪
训练2．已知{x|x2－1＝0}?A?{－1,0,1}，试写出集合A的子集．
栏目链接题型三 集合的相等例3 若{1,2}＝{x|x2＋ax＋b＝0}，则a＝________.b＝________.
解析：由题意知，1和2为方程x2＋ax＋b＝0的两根，∴－a＝1＋2，b＝1×2.∴a＝－3，b＝2.
答案：－3 2
栏目链接点评：1.若两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形．
2．若两个集合中元素均为无限多个，要看两集合的代表元素是否一致，且看代表元素满足的条件是否一致．若均一致，则两集合相等．
3．证明两集合相等的常用思路是证A?B且B?A. 栏目链接跟踪
训练A．1 B．－1
C．2 D．－2
栏目链接课件28张PPT。 1.1 集 合
1.1.3 集合的基本运算 栏目链接1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
3.能使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算.
栏目链接 栏目链接1．由所有属于A又属于B的元素所组成的集合，叫做A，B的交集，记作A∩B，(读作“A交B”)，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}，用Venn图表示如下：
基础
梳理 栏目链接例如：{1,2,3,6}∩{1,2,5,10}＝__________.
例如：设A＝{x|x＞－2}，B＝{x|x＜3}，则A∩B＝__________________.{1,2}{x|－2＜x＜3}2．对于给定的两个集合A和B，把它们所有的元素并在一起所组成的集合，叫做A，B的并集；记作A∪B(读作“A并B”)，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．用Venn图表示如下：
栏目链接例如：{1,2,3,6}∪{1,2,5,10}＝_____________.
例如：设A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝____________.{1,2,3,5,6,10}{x|－1＜x＜3}基础
梳理3．若A是全集U的子集，由U中不属于A的元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作?UA，即?UA＝{x|x∈U，且x?A}．用Venn图表示如下：
栏目链接例如：若U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4,5}，则?UA＝________.
例如：若U＝{x|x＞0}，A＝{x|0＜x≤3}，则?UA＝________.{1,3}{x|x＞3}基础
梳理 栏目链接B基础
梳理答案：用韦恩图所表示的集合的区域如下面阴影部分所示：基础
梳理D基础
梳理思考
应用1．当集合A、B没有公共元素时，能不能说A与B的交集不存在？
栏目链接 栏目链接思考
应用3．若1∈A且1∈B，能否说A∩B＝{1}?
栏目链接思考
应用自测
自评1．(2013·天津卷)已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，A＝{x∈R|x≤1}，则A∩B＝( )
A．( －∞，2] B．[1,2]
C．[2,2] D．[－2,1]
答案：D 栏目链接2．若全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{3,4,5}，则?UA＝________.
栏目链接{1,2}自测
自评3．若集合A＝{－2＜x＜1}，B＝{0＜x＜2}，则集合A∩B＝( )
A．{ x －1＜x＜1}
B．{x －2＜x＜1}
C．{x －2＜x＜2}
D．{x 0＜x＜1} 栏目链接D自测
自评 栏目链接题型一 交集与并集的运算例1 若集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|0＜x＜3}，求M∩N，M∪N.
解析：用数轴所表示的区域如下图阴影部分所示：
栏目链接∴M∩N＝{x|0＜x≤2}，M∪N＝{x|－2≤x＜3}．跟踪
训练1．已知集合M＝{y|y＝x2－4x＋3，x∈R}，N＝{y|y＝－x2＋2x＋8，x∈R}．求M∪N.
栏目链接分析：先明确集合M、N中的元素，再求M∪N.
解析：∵y＝(x－2)2－1≥－1，∴M＝{y|y≥－1}．
∵y＝－x2＋2x＋8＝－(x－1)2＋9≤9.
∴N＝{y|y≤9}．
∴M∪N＝R.
点评：注意集合中的代表元素．题型二 集合交、并、补的综合运算例2 已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,2,5}，?UB＝{4,5,6}，则集合A∩B＝( )
A．{1,2} B．{5}
C．{1,2,3} D．{3,4,6}
解析：?UB＝{4,5,6}，∴B＝{1,2,3}．
又∵A＝{1,2,5}，
∴A∩B＝{1,2}，故选A.
答案A 栏目链接点评：1.如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解，在解答过程中常常借助Venn图来求解，这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错．
2．如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．
2．设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合?U(A∩B)中的元素共有( )
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个跟踪
训练解析：法一：U＝A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，
A∩B＝{4,7,9}．
∴?U(A∩B)＝{3,5,8}．共3个元素．
法二：由法一知，U＝{3,4,5,7,8,9}．
∴?UA＝{3,8}，?UB＝{5}，
∴?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)＝{3,5,8}．共3个元素．
答案：A题型三 补集的运算例3 设U＝{x|－5≤x＜－2，或2＜x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，求?UA、?UB.
解析：法一：在集合U中，∵x∈Z，
则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，
∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．
又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，
∴?UA＝{－5，－4,3,4}，?UB＝{－5，－4,5}．
栏目链接法二：可用Venn图表示
则?UA＝{－5，－4,3,4}，?UB＝{－5，－4,5}．
点评：用好Venn图是解此类求补集运算的关键． 栏目链接跟踪
训练3．已知集合A＝，B＝{x|－4 栏目链接解析：A∩B＝{x|－4A∪(?RB)＝{x|x<－3或x≥0}，
∴(?RA)∩B＝{x|－3≤x<0}．课件23张PPT。 1.1 集 合
1.1.4 集合的综合问题 栏目链接1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
3．能综合运用数学知识解决与集合有关的数学问题．
栏目链接 栏目链接1．集合在数学中有广泛应用，在函数、不等式、立体几何中都有重要的应用．
2．利用集合可以更深入理解数学相关概念，如：函数概念、点与平面关系、平面与平面的关系等．
3．解集合问题注意利用韦恩图、数轴等，数形结合有利于我们正确理解集合相关概念．
基础
梳理 栏目链接思考
应用1．空集是不含任何元素的集合对吗？
栏目链接 栏目链接2．全集是含有所有元素的集合对吗？思考
应用3．平面看成是由在其上的所有点组成的集合对吗？
栏目链接思考
应用自测
自评1．设全集U＝{0,1,2,3,4}，A＝{0,1,2}，B＝{1,2,4}，则(?UA)∩B＝( )
A．{3,4} B．{0,1,2,4} C．{4} D．{3}
答案：C 栏目链接2．设集合A＝{x|0≤x≤4，x∈R}，B＝{x|2≤x≤6}，则?R(A∪B)＝( )
A．R B．{x|0≤x≤6}
C．{x|2≤x≤4} D．{x|x＜0或x＞6}
栏目链接答案：D自测
自评3．举例说明等式：(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)成立；由此类推可以得出何种等量关系？
栏目链接自测
自评 栏目链接题型一 利用集合之间的关系字母参数的取值范围例1 设A＝{x|4x＋p＜0}，B＝{x|x＜－1或x＞2}，若A?B，求p的取值范围．
栏目链接∴p≥4，即p的取值范围为{p|p≥4}．
跟踪
训练 1．设集合M＝{x|x＜3}，N＝{x|x＞－2}，Q＝{x|x－a≥0}，令P＝M∩N，若P∪Q＝Q，求实数a的取值范围．
栏目链接解析：P＝M∩N＝{x|－2＜x＜3}，Q＝{x|x≥a}，
∵P∪Q＝Q，
∴P?Q.
∴a≤－2，即实数a的取值范围是{a|a≤－2}．题型二 集合交、并、补的综合运算例2 设U＝{1,2,3,4,5}，A，B为U的子集，若A∩B＝{2}，(?UA)∩B＝{4}，(?UA)∩(?UB)＝{1,5}，则下列结论正确的是( )
A．3?A,3?B B．3?A,3∈B
C．3∈A,3?B D．3∈A,3∈B 栏目链接解析：画出韦恩图即可得到．答案：C
点评：用好Venn图解交、并、补综合题．跟踪
训练2．设A＝{0,2,4,6}，?UA＝{－1，－3,1,3}，?UB＝{－1,0,2}，求B.
栏目链接分析：由A∪(?UA)＝U，确定全集U，则B可求．
解析：∵A＝{0,2,4,6}，?UA＝{－1，－3,1,3}，
∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}．
又?UB＝{－1,0,2}，
∴B＝{－3,1,3,4,6}．
点评：解决与补集有关的问题时，应明确全集是什么，同时注意补集的有关性质：?U?＝U，?UU＝?，?U(?UA)＝A等．
题型三 分类讨论解集合问题例3 已知A＝{2,4，a3－2a2－a＋7}，B＝{1，a＋3，a2－2a＋2，a3＋a2＋3a＋7}，且A∩B＝{2,5}，求A∪B.
分析：先由A∩B＝{2,5}，得出5∈A，从而求得a，进而求得A、B.
解析：∵A∩B＝{2,5}，∴5∈A.
∴a3－2a2－a＋7＝5解得a＝±1或a＝2.
栏目链接①若a＝－1，则B＝{1,2,5,4}，则A∩B＝{2,4,5}，与已知矛盾，舍去．
②若a＝1，则B＝{1,4,1,12}不成立，舍去．
③若a＝2，则B＝{1,5,2,25}符合题意．
则A∪B＝{1,2,4,5,25}．
点评：关于集合的交、并的综合问题，通常可从已知交、并关系中找出集合中一定有或者一定没有的元素，然后讨论余下的元素，对它们要逐一加以检验．此类问题也可借助Venn图增加直观性．含参数问题注意分类讨论，求出结果要代回原题所设条件中检验．
跟踪
训练 3．已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1,3a－2}，是否存在实数a，使得B?A？若实数a存在，求集合A和B；若实数a不存在，请说明理由．
