十堰市部分重点中学 2023 年度 5 月联考
高一数学参考答案
1．B
【分析】根据复数的乘法运算进行化简，根据复数的几何意义即可求解.
【详解】解：因为 i 3 i 1 3i ，其在复平面内对应点的坐标为 1,3 ，
故复数 i 3 i 对应的点位于第二象限.
故选：B.
2．D
uuur uuur uur uuur uuur uuur
【详解】以 AB 、 BC 为邻边作菱形 ABCD，则 AB BC BA BC BD DB，
由图形可知， DB 的长度等于等边 ABC的边 AC 上的高的 2倍，
uuur 2
即 DB 2 12 1
uuur uuur
3，因此， AB BC 3，故选：D.
2
3．C
【分析】根据圆台侧面积公式进行求解即可.
【详解】因为圆台的上下底面圆的半径分别为 1与 2，高为 3，
所以圆台的母线为： AB AC2 BC2 ( 3)2 (2 1)2 2，
所以圆台的侧面积为： (1 2) 2 6 ，
故选：C
4．C
【分析】根据函数奇偶性的定义逐项分析即得.
【详解】选项 A: 因为 f x g x sin xcos x的定义域为 R，
又 f x g x sin x cos x sinxcosx f x g x ，
所以 f x g x 是奇函数，故 A错误；
选项 B: 因为 f x g x sin x cos x 的定义域为 R，
又 f x g x sin x cos x sinx cosx f x g x ，
所以 f x g x 是偶函数，故 B错误；
选项 C: 因为 f x g x sinx cosx 的定义域为 R，
又 f x g x sin x cos x sinx cosx f x g x ，
所以 f x g x 是奇函数，故 C正确；
选项 D: 因为 f x g x sinxcosx 的定义域为 R，
又 f x g x sin x cos x sinxcosx f x g x ，
所以 f x g x 是偶函数，故 D错误.
故选：C.
5．C
【分析】根据三角函数的诱导公式以及二倍角公式，可得答案.
1
【详解】 cos70 cos20 sin 20 cos20 sin 40 2 1 .
1 2sin 2 25 cos50 sin 40 2
故选：C.
6．B
【分析】直接根据投影向量的公式计算即可.
【详解】 a 在b 上的投影向量为：
5 1
a b a b cos120 a cos120
5
2 b 2 b b
2 b b .
b b b 3 6
故选：B
7．A
【分析】过点 E 分别作 EE ' 底面， EF AB ，然后根据题意分别求出 AF ,EE '，最后相加
即可求出答案.
【详解】如图，过点 E 作底面垂线 EE '， EF AB 于 F ，
因为斜坡 CD 的坡度 i 1: 2.4，所以EE ' :CE ' 1: 2.4
设EE ' x ，CE ' 2.4x 2，在 Rt CEE '中，CE 2 CE '2 EE '2 ，即392 x2 2.4x ，
解得 x 15，则 EE ' 15,CE'=36，
所以CE ' BC 50，
因为在 E 点测得大楼顶部点A的仰角为56 ， tan56 1.48
所以 tan 56
AF
, AF 50 1.48 74
50
AB AF x 15 74 89 ,
故选：A
8．A
13 T
【解析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到 kT 或
12 6 4
13 3T f (x) 13 ,19 kT ,k Z 19 13 T ，由 在 上单调递减可以得到 ，算出
12 6 4 12 12 12 12 2
的大致范围，验证即可.
13 T 13 3T
【详解】由题意知： kT 或 kT ,k Z
12 6 4 12 6 4
5 1 k 2 5 3 2 ∴
或
4 4 4
k
4
2 (1 4k) 2∴ 或 (3 4k),k Z
5 5
13 ,19∵ f (x)
19 13 T
在 上单调递减，∴ 12 12 12 12 2
1 2
∴ 2
2 2
2
①当 (1 4k)时，取 k 0
2
知
5 5
f (x) sin 2 x x 13 ,19 此时 ，当
5 15 12 12
时，
2 x , 7 13 19 满足 f (x)
2
在 , 上单调递减，∴ 符合
5 15 2 10 12 12 5
取 k 1时， 2，此时 f (x) sin 2x
x 13 ,19 5 7
，当 时，2x , 满足 f (x) 3 12 12 3 2 2
13 ,19 在 上单调递减，∴ 2符合 12 12
当 k 1时， 0，舍去，当 k 2时， 2也舍去
2②当 (3 4k)
6
时，取 k 0知
5 5
f (x) sin 6 x 13 19 此时 ，当 x , 时， 5 5 12 12
6 x 3 , 21 13 ，此时 f (x) 在 ,
19
5 5 2 10 12 12
上单调递增，舍去
当 k 1时， 0，舍去，当 k 1时， 2也舍去
2 S 2 2 12综上： 或 2， .
5 5 5
故选：A.
【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，难度较大，易错点在于已知一条对称轴和一个对
称中心要分两种情况分析.
9．BCD
【解析】根据空间中线面的关系，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】对于 A：若 a / / ，b / / ，则 a,b 可平行，可相交，也可异面，故 A 错误；
对于 B：若 a ，b ，则 a / /b ，故 B 正确；
对于 C：若 a ， a ，则 / / ，故 C 正确；
对于 D： a ，b / / ，则 a b，故 D 正确.
故选：BCD
10．BD
【分析】根据正弦定理三角形有唯一解，得到 a b sin A 或 a b ，即可求出参数 a 的取值范
围，从而得解；
【详解】解：因为b 2， A 3 ，因为 ABC 有唯一解，所以 a b sin A 3或 a b 2，
即 a 3 2, ，
故选：BD
11．ABC
12．ACD
1
【分析】由正弦定理求外接圆半径；由题设知 sin B ( ,1)，结合 b 2R sin B 即可求范围；由
2
余弦定理及基本不等式求bc 的最大值，注意取最大的条件；由 C分析有
b2 c2 3bc 4(b2 c2 ) 9 ，结合正弦定理边角关系及 B,C 的范围，应用二倍角正余弦等恒
等变换，根据三角函数的值域求范围.
【详解】由题设，外接圆直径为 2R
a
2，故 R 1，A正确；
sin A
锐角 ABC 中30
1
B 90 ，则 sin B ( ,1)，故b 2Rsin B (1,2)，B错误；
2
2 2 2 2 2
cos A b c a b c 3 1 3 1 ，则bc 3，当且仅当b c 3时等号成立，C
2bc 2bc 2 2bc
正确；
由 C分析知：b2 c2 3bc 4(b2 c2) 9，而 b 2sin B,c 2sinC ，
又B
2
C ( , )且C
( , )，
3 6 2 6 2
则
b2 c2 4(sin2 B sin2 C ) 4 2(cos 2B cos 2C )
4 2cos[(B C) (B C)] 2cos[(B C) (B C)]
4 4cos(B C)cos(B C) 4 2cos(2C 2 )，而 2C
2
( , )，
3 3 3 3
所以 cos(2C
2
) 1 2 ( ,1]，则 4 2cos(2C ) (5,6]，
3 2 3
所以b2 c2 3bc (11,15]，D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：D选项b2 c2 3bc 4(b2 c2 ) 9 ，应用边角关系及角的范围，结合
三角恒等变换将b2 c2 转化为三角函数性质求范围.
13． -1
7
14．
9
【分析】由题意， 2 是 的 2倍，根据余弦二倍公式，即可求解.
2
【详解】由题意 -2 2
2
cos 7 2 cos 2 2 2 2cos 2 1 9
7
故答案为：
9
【点睛】本题考查余弦二倍角公式，属于基础题.
15． 2 3
2
解：如图，以 A 为原点，分别以 AB, AD 为 x, y轴建立平面直角坐标系，设正方形 ABCD的
边长为 2a ，则正方形DEHI 的边长为 3a ，正方形 EFGC 边长为 a
可知 A 0,0 ， B 2a,0 ，D 0,2a ， DF 3 1 a
则 xF 3 1 a cos30 ， yF 3 1 a sin 30 2a F 3 3，即 a , 5 3 a
2 2
又 AF xAB yAD ，
3 3 a , 5 3
a x 2a , 0 y 0, 2a 2ax , 2ay
2 2
2ax
3 3
a
2
即 ，解得
5 3 x 3 3 , y 5 3
，
2ay a 2 4 4
故 .
x y 3 2
2
解法提示：也可以用向量矢量运算求解.
16．2
解析：如图，在C1B1上取点G ，且C1G 1，连接 EG,D1G ,延长 EG,CC1交
H
于点 H ， 则 EG // BC1,且 AD // BC1,得 EG // AD . 在 Rt GC1H 中，易得 D1 CG 1
C1H
1
C1G 1 故CH 4,FH 2又VA ECD V F1 C AED S1 3 AED
hc ，其中1 A1 B1
hc 为点C 到平面 AED1 的距离 D C
E
V 1A EFD VF AED S AED h ，其中 h 为点 F 到平面 AED 的距离由于1 1 3 1 F F 1 A B
EG // AD ，平面 AED1 与平面 AEFD1共面故 hc 即为点C 到平面 AEFD1的
距离，hF 为点 F 到平面 AEFD1的距离，且CH 2FH 故VA ECD :VA EFD 21 1
解法提示：可以用割补法求解，但比较复杂。
17．（1） ；（2） 2 .3
r r r
【分析】（1）由 a b b ，得 a b b 0 2，则 a b b 0，再结数量积的公式和 a 2 b 可
求得 a 与b 的夹角；
2
（2）由 a b 14，得 a b 14，将此式展开，把 a 2 b 代入可求得结果
r r r
【详解】（1）∵ a b b ，∴ a b b 0， .............................................2分
2
∴a b b 0，
2
∴ a b cos a,b b 0，
2 2
∵ a 2 b ，∴ 2 b cos a,b b 0， .............................................3分
∴ cos a,b
1
，
2
∵ a,b 0, ，∴ a与b 的夹角为 . .............................................5分3
2
（2）∵ a b 14，∴ a b 14， .............................................6分
∵ a 2 b ，又由（1）知 cos a,b
1
， .............................................8分
2
2
∴7 b 14，∴ b 2 . .............................................10分
【点睛】此题考查平面向量的数量积的有关运算，考查计算能力，属于基础题
18 (1) x k k Z f x 1． 当 ， 时，函数 有最大值
8 2
3
(2) ,
8 8
【分析】（1）根据正弦型三角函数的最值列方程求解即可；
（2）先确定函数在R 上的递增区间，结合已知区间求交集即可.
f x 1 sin 2x 2x 【详解】（1）解：因为 ，x R ，函数取最大值满足： 2k ，2 4 4 2
k Z，可得 x k ，k Z， .............................................2分
8
当 x k ， k Z时，函数 f x 1有最大值 2 ； .............................................4分8
（2）解：函数在R 上的增区间满足： 2k 2x 2k ， k Z，
2 4 2
3
可得 k x k ，k Z， .............................................8分
8 8
x , f x 3 又 ， 函数 的单增区间为 , . .......................................12分 2 2 8 8
3
19．(1)
5
16
(2)
63
【分析】（1）根据二倍角的余弦公式结合商数关系及化弦为切即可得解；
（2）先利用二倍角的正切公式求出 tan 2 ，再根据平方关系及商数关系求出 tan ，再
根据 tan tan 2 利用两角差的正切公式即可得解.
1
2
cos2 cos sin
2 1 tan2 1 4 3【详解】（1） 2 2 2 1 ；.............................................4分cos sin 1 tan 1 5
4
tan 1 tan 2
2 tan 1 4
（2）由 ，得 1 tan2 1 1 3，.............................................6分2 4
因为 , 为锐角，所以 , 0,
π
，则 0, π ，.............................................8分
2
5 π
又因 cos ，所以 0, ，
13 2
12
所以 sin 1 cos2 ，
13
tan sin 12所以 cos 5 ， .............................................10分
4 12
tan2 tan
则 tan tan 2 3 5
16
4 12 .......................12分1 tan2 tan 1 63
3 5
20.解析 (1)在△ABC中,由正弦定理得 bsin C=csin B,
又由 3csin B=4asin C,得 3bsin C=4asin C,即 3b=4a.
又因为 b+c=2a, 4 2所以 b=3a,c=3a. .............................................3分
2+ 2- 2 2+
4 2-16 2 1
由余弦定理的推论可得 cos B= 2 =
9 9 =- . .............................................5分
2· ·2a 43
(2)由(1)可得 sin B= 1 cos2B= 15, .............................................7分
4
从而 sin 2B=2sin Bcos B=- 158 ,cos 2B=cos
2B-sin2B=-78, .............................................9分
sin 2 + π =sin 2Bcos π+cos 2B·sin π=- 15× 3-7×1=-3 5+7故 6 6 6 8 2 8 2 16 . ...................................12分
π
21．解：（1）在 AOB中， OA 2,OB 1， AOB ，
3
OAB π π π AB 3, ， OBA ， OAC ，....................................1 y分
6 2 2
解法一：以O为坐标原点，射线OA所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系.
由OB 1, AOB 1 3 ，得 B（ ， ）. x
3 2 2
π
由OA 2，AC 3 , OAC ，得C（2，3）....................................3分2
由OC xOA yOB及OC （2 3 1 3， ）,OA （2，0）,OB （ ， ）
2 2
得 ，...............................4分
（2，3） x（2，0 1 3 1 3） y（ ， ） （2x y, y)
2 2 2 2
解得 1 . ...................................5分x , y 2
2
解法二：过点C作CD / /OB 交OA于点 D ,...........................................2分
π
在 ACD中 AC 3, OAC ， ，
2 CDA
3
CD 2,DA 1, OD 1， ...........................................4分
OC OD DC 1
1
OA 2OB ， x , y 2 ............................................5分
2 2
AB OB
（2）由正弦定理得 ，即 sin OAB
OB sin sin
，
sin sin OAB AB 5 4cos
2 cos
所以 cos OAB ， ...........................7分
5 4cos
cos OAC cos( OAB π) cos OABcos π sin OABsin π所以 ，
3 3 3
2 cos 1 sin 3 2 cos 3 sin
，...........................9分
5 4cos 2 5 4cos 2 2 5 4cos
由余弦定理得OC 2 4 5 4cos 2 2 5 4cos 2 cos 3 sin
2 5 4cos
π
5 2 3 sin 2cos 5 4sin( )， ...........................11分6
因为 (0,π)
2π
，所以当 时，OC 取得最大值 3. ...........................12分
3
2
22.解：（1）由 2 ，得 2， .............................................1分
2
则 f x sin 2x 1
g x sin 2 则 x
1 1 sin 2x
为偶函数，所以 g 0 1，
12 6
又0 ，所以 ，
3
故 f x sin 2x 1 . .............................................3分
3
x 0, 2x （2）因为 ，所以
,
3 3 3
， sin 2x 0,1
3
故 1 f x 0， 2 f x 1 1，
2
而 f x 2 m f x 2 m 0 恒成立，
2
即 f x 2 f x 2 f x 1 m ，
1
整理可得m f x 1 . .............................................5分
f x 1
令 t f x 1， t 2, 1 ，
n t 1设 t ， t 2, 1 ，
t
设 t1, t2 2, 1 且 t1 t2，
则n t n t 1 t 1 t t t t1t2 11 2 ，t 1 t 2 1 21 2 t1t2
由于 t1 t2 0， t1t2 1，则 n t1 n t2 0，所以 n t1 n t2 ，
1 5
即n t t 区间 2, 1 上单调递增，故 n t n 2 ，
t min 2
5 5
故m ，即实数 m 的取值范围是 ,
. .............................................7分2 2
（3）由题意知 h x 2 f x 3 2sin 2x 1，
3
1
由h x 0得 sin 2x ，
3 2
2x 2k 7 2x 2k 11 故 或 ， k Z ，
3 6 3 6
解得 x k 5 3 或 x k ， k Z ，
12 4
故h x 5 3 的零点为 x k 或 x k ， k Z
12 4
2
所以相邻两个零点之间的距离为 或 .............................................9分
3 3
若b a 最小，则 a 和 b 都是零点，此时在区间 a, a ， a, 2 a ，…， a, s a ，
s N* 分别恰有 3，5，…，2s 1个零点，
所以在区间 a,14 a 上恰有 29个零点，
从而在区间 14 a,b 上至少有一个零点，
所以b a 14 ， .............................................11分
3
5
另一方面，在区间 ,14
5
上恰有 30个零点， 12 3 12
43
所以b a的最小值为14 . .............................................12分
3 3十堰市部分重点中学 2023年度 5月联考
高一数学试卷
考试时间：2023 年 5 月 17 日下午 15：00—17：00 试卷满分：150 分
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．在复平面内，复数 i 3 i 对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．在边长为 1的正三角形 ABC 中， AB BC 的值为
A 3．1 B． 2 C． D． 3
2
3．已知圆台的上下底面圆的半径分别为 1与 2，高为 3，则圆台的侧面积为
7
A． B．3 3 C．6 D．11 3
4．函数 f x sinx，g x cosx ，则下列结论正确的是
A． f x g x 是偶函数 B． f x g x 是奇函数
C． f x g x 是奇函数 D． f x g x 是奇函数
cos70 cos20
5． 等于
1 2sin 2 25
A 3 B 3
1
． ． C． D．2
4 2 2
6．设 | a | 5,| b | 3,a 与b 的夹角为120 ，则 a在b 上的投影向量为
5 5 3 3
A． b B． b C． b D． b
6 6 10 10
7．如图，某大楼 AB 旁有一山坡，其斜坡 CD 的坡度（或坡比）
i 1: 2.4，山坡坡面上点 E 处有一休息亭. 某数学兴趣小组测得山
坡坡脚 C 与大楼水平距离 BC=14米，与休息亭距离 CE=39米，
并从 E 点测得大楼顶部点A的仰角为56 ，点 A，B，C，D，E 在
同一平面内，则大楼 AB 的高度约为
（结果精确到 0.1米；参考数据： sin56 0.83，cos56 0.56，
tan56 1.48 .通常把坡面的垂直高度和水平宽度的比叫做坡度）
A．89.0米 B．74.2米 C．74.0米 D．59.2米
高一数学试题 4-1
8．函数 f (x) sin( x )
0,| | 13 ，已知 ,0 为 f (x)图象的一个对称中心，直线 x
2 6 12
f (x) 13 19 为 图象的一条对称轴，且 f (x)在 , 上单调递减．记满足条件的所有 的值的和为 12 12
S，则S的值为
12 8 16 18
A． B． C． D．
5 5 5 5
二、多选题：本大题共 4小题，每小题 5 分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合要求，全部选对得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0分.
9．设 a，b 是两条不重合的直线， ， 是两个不同的平面．下列四个命题中，正确的是
A．若 a / / ，b / / ，则 a / /b B．若 a ，b ，则 a / /b
C．若 a ， a ，则 / / D．若 a ，b / / ，则 a b
10．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 b=2， A . 若△ABC 有唯一解，
3
则 a 的值可以是
A．1 B． 3 C． 2 D． 5
11．若函数 f (x) sin 2x 的图像向右平移11 个单位长度，得到函数 g(x)的图像，则下列说法错
6
误的是：
A． g(x)的图像关于直线 x 对称 B． g(x)在[0,2 ]上有 2个零点
12
C． g(x) (
5
在区间 , )上单调递减 D． g(x)在区间[ ,0] 3上的值域为[ 1, ]
3 6 2 2
12．在锐角△ABC 中，角 A，B，C所对边分别为a，b，c，外接圆半径为R，若a 3，A ，则3
A． R 1 B． 3 b 2
C．bc 的最大值为 3 D．b2 c2 3bc的取值范围为 11,15
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
13．已知 a m, 1 ，b 2, 2m （m 0）若 a∥b，则m ______.
14．若 cos
1
，则 cos( 2 ) __________；
2 3
高一数学试题 4-2
15．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，
从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方
形面积之和．现在对直角三角形 CDE 按上述操作作图后，得如图
所示的图形，若 AF xAB yAD ，则 x y ____________．
D1 C1
16．如图，在棱长为 3的正方体 ABCD A1B1C1D1中，E，F 分别在线 F
段 BB1，CC1上，且 BE C1F 1，则V
A1 B
A ECD :VA EFD ． 11 1
D C
E
A B
四、解答题：本大题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（10分）已知非零向量 a ，b 满足 a 2 b ，且
a b b .
（1）求 a 与b 的夹角；
（2）若 a b 14，求 b .
18.（12分）已知函数 f x 1 sin 2x ， x R .2 4
（1）求 f x 的最大值和对应 x 的取值；
（2）求 f x 在 , 的单调递增区间. 2 2
19.（12分）已知 , 为锐角， tan
1
, cos 5 .
2 13
（1）求 cos2 的值；
（2）求 tan 的值.
高一数学试题 4-3
20.（12分）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c. 已知 b+c=2a，3csin B=4asin C.
（1）求 cos B的值；
（2）求 sin 的值.
21.（12分）
如图，四边形OACB 中，OA 2,OB 1，三角形 ABC 为正三角形.
π
（1）当 AOB 时，设OC xOA yOB，求 x，y 的值；
3
（2）设 AOB (0 π)，则当 为多少时，段OC 的长最大，
最大值是多少？
22.（12分）
已知函数 f x sin x 1 0,0 的图像两相邻对称轴之间的距离是 ，
2
若将 f x 的图像上每个点先向左平移 个单位长度，再向上平移 1个单位长度，所得函数 g x
12
为偶函数.
（1）求 f x 的解析式；
（2 2）若对任意 x 0, ， f x 2 m f x 2 m 0恒成立，求实数 m 的取值范围； 3
（3）若函数 h x 2 f x 3的图像在区间 a,b （ a,b R且 a b ）上至少含有 30个零
点，在所有满足条件的区间 a,b 上，求b a 的最小值.
高一数学试题 4-4
