2023年6月福建省普通高中学业水平合格性考试
数学仿真模拟试卷01
（考试时间：90分钟；满分：100分）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．
参考公式：
样本数据的标准差
其中为样本平均数
柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高台体体积公式，
其中，S分别为上、下底面面积，h为高
锥体体积公式，其中S为底面面积，h为高
球的表面积公式，球的体积公式，其中R为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 57分）
一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（2023秋·四川凉山·高一统考期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·福建福州·高一校联考期中）复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·高一课时练习）手表走过2小时，时针转过的角度为（ ）
A．60° B．-60° C．30° D．-30°
4．（2023春·福建·高一福建师大附中校考期中）若用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）已知，则（ ）
A． B．3 C． D．9
6．（2023·重庆·统考模拟预测）某同学参加知识竞赛，位评委给出的分数为，则该组分数的第百分位数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·福建福州·高一校联考期中）已知向量，，若，则m的值为（ ）
A．或2 B．或3 C．或3 D．或4
8．（2023秋·四川泸州·高一统考期末）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·河南·许昌实验中学校联考二模）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·北京·高三统考学业考试）某银行客户端可通过短信验证码登录，验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成（如“0013”）．用户使用短信验证码登录该客户端时，收到的验证码的最后一个数字是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·河北·高三学业考试）若函数是奇函数，则实数（ ）
A． B． C．1 D．
12．（2023·云南·高二统考学业考试）在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·河北·高二统考学业考试）河北雄安新区围绕职业培训、岗位开发、岗位对接等一系列工作，制定出台了《河北雄安新区当地劳动力教育培训实施方案（2019—2025年）》等30余项政策文件，截至2022年底，累计开展各项职业培训16.8万人次．雄安新区公共服务局为了解培训效果，对2022年参加职业技能培训的学员进行了考核测试，并从中随机抽取60名学员的成绩（满分100分），进行适当分组后（每组为左开右闭的区间），作出如图所示的频率分布直方图．
这批学员技能考核测试成绩的众数的估计值是（ ）
A．65 B．75 C．85 D．95
14．（2023春·河北·高二统考学业考试）已知，则函数的最小值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
15．（2023·江苏·高三统考学业考试）若函数的值域为，则实数的可能值共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二 多选题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分.）
16．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一铁路一中校考期末）从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
17．（2023·全国·高三专题练习）如图，点，，，，是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足平面的有（ ）
A． B．
C． D．
18．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象中与y轴最近的最高点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
19．（2023春·四川成都·高一树德中学校考阶段练习）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数t的值可能为（ ）
A．6 B．3 C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 43分）
三、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上．）
20．（2023秋·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）命题“”的否定是__________.
21．（2023春·四川成都·高三成都实外校联考阶段练习）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为______．
7816 6572 0802 6314 0702 4369 1128 0598
22．（2023春·湖南·高一校联考期中）幂函数的图象过点，则函数恒过定点___________.
23．（2023·广东·高三统考学业考试）如图，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E是CD的中点，沿AE将△DAE向上折起，使D为D′，且平面AED′⊥平面ABCE.则直线AD′与平面ABC所成角的正弦值为_____.
四、解答题（本大题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
24．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
25．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产百辆新能源汽车需另投入成本万元，且，由市场调研知，每一百辆车的售价为500万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（注：利润＝销售额－成本）
(1)求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式.
(2)当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
26．（2023春·河北·高三统考学业考试）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且（c﹣a）（c+a）+abcosC＝S.
（1）求角A的大小；
（2）若4cosB cosC＝1，且a＝2，求S的值.2023年6月福建省普通高中学业水平合格性考试
数学仿真模拟试卷01
（考试时间：90分钟；满分：100分）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．
参考公式：
样本数据的标准差
其中为样本平均数
柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高台体体积公式，
其中，S分别为上、下底面面积，h为高
锥体体积公式，其中S为底面面积，h为高
球的表面积公式，球的体积公式，其中R为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 57分）
一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（2023秋·四川凉山·高一统考期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为集合，，
根据并集的定义可知，.
故选：B
2．（2023春·福建福州·高一校联考期中）复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】复数的共轭复数是，故B，C，D错误.
故选：A.
3．（2023春·高一课时练习）手表走过2小时，时针转过的角度为（ ）
A．60° B．-60° C．30° D．-30°
【答案】B
【详解】时针每小时转过的角度为30°，由于时针顺时针旋转，
因此时针转过的角度为负数.
所以手表走过2小时，时针转过的角度为.
故选：B
4．（2023春·福建·高一福建师大附中校考期中）若用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：由斜二测画法知：平行或与x轴重合的线段长度不变，平行关系不变，
平行或与y轴重合的线段长度减半，平行关系不变，
故选：A
5．（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）已知，则（ ）
A． B．3 C． D．9
【答案】B
【详解】由可得.
故选：B.
6．（2023·重庆·统考模拟预测）某同学参加知识竞赛，位评委给出的分数为，则该组分数的第百分位数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】将位评委给出的分数按照从小到大顺序排序为：，
，该组数据的第百分位数为.
故选：D.
7．（2023春·福建福州·高一校联考期中）已知向量，，若，则m的值为（ ）
A．或2 B．或3 C．或3 D．或4
【答案】A
【详解】因为，所以，
即，解得或.
故选：A.
8．（2023秋·四川泸州·高一统考期末）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：不等式，可化为，解得，
即不等式的解集为．
故选：C．
9．（2023·河南·许昌实验中学校联考二模）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，得，
所以．
故选：C.
10．（2023·北京·高三统考学业考试）某银行客户端可通过短信验证码登录，验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成（如“0013”）．用户使用短信验证码登录该客户端时，收到的验证码的最后一个数字是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】验证码的最后一个数字有10种不同结果，其中奇数占5种，
所以收到的验证码的最后一个数字是奇数的概率为.
故选：A
11．（2023·河北·高三学业考试）若函数是奇函数，则实数（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【详解】为奇函数，定义域满足，
故且，故，，
当时，，
函数定义域为，
，函数为奇函数.
故选：A
12．（2023·云南·高二统考学业考试）在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】连结、，如下图：
在正方体中，且；
四边形为平行四边形，则；
又在正方体中，为等边三角形，
就是异面直线与所成角,，
异面直线与所成角的大小为.
故选：C.
13．（2023·河北·高二统考学业考试）河北雄安新区围绕职业培训、岗位开发、岗位对接等一系列工作，制定出台了《河北雄安新区当地劳动力教育培训实施方案（2019—2025年）》等30余项政策文件，截至2022年底，累计开展各项职业培训16.8万人次．雄安新区公共服务局为了解培训效果，对2022年参加职业技能培训的学员进行了考核测试，并从中随机抽取60名学员的成绩（满分100分），进行适当分组后（每组为左开右闭的区间），作出如图所示的频率分布直方图．
这批学员技能考核测试成绩的众数的估计值是（ ）
A．65 B．75 C．85 D．95
【答案】C
【详解】根据频率分布直方图中频率值最大的组为,则众数为
故选:C.
14．（2023春·河北·高二统考学业考试）已知，则函数的最小值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【详解】∵，∴，
当且仅当，即时等号成立．∴的最小值是6．
故选：B．
15．（2023·江苏·高三统考学业考试）若函数的值域为，则实数的可能值共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】当时，，
当时，，
若，的值域为，不合题意；
若，则时，，，由于 ，
由题意可知需使；
若，则时，，，，
故需使，
即实数的可能值共有2个，
故选：B
二 多选题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分.）
16．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一铁路一中校考期末）从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
【答案】AB
【详解】“至少有一个黑球”中包含“都是黑球，A正确；
“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，B正确；
“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C不正确；
“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，D不正确.
故选：AB.
17．（2023·全国·高三专题练习）如图，点，，，，是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足平面的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】对于A选项，由下图可知，平面，平面，所以平面，A正确.
对于B选项，设是的中点，由下图，结合正方体的性质可知，，所以六点共面，B错误.
对于C选项，如下图所示，根据正方体的性质可知，由于平面，所以平面.所以C错误.
对于D选项，设，由于四边形是矩形，所以是中点，由于是中点，所以，由于平面，平面，所以平面，D正确.
故选：AD
18．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象中与y轴最近的最高点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】的最大值为1，即，解得.
因为要与y轴最近，所以，即坐标为或.
故选：BD
19．（2023春·四川成都·高一树德中学校考阶段练习）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数t的值可能为（ ）
A．6 B．3 C． D．
【答案】BD
【详解】因为与的夹角为钝角，所以且不共线，
又，所以，解得且，
因此，实数的取值范围是且，
故选：BD
第Ⅱ卷（非选择题 43分）
三、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上．）
20．（2023秋·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）命题“”的否定是__________.
【答案】
【详解】由题意，则其否定为.
故答案为：.
21．（2023春·四川成都·高三成都实外校联考阶段练习）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为______．
7816 6572 0802 6314 0702 4369 1128 0598
【答案】11
【详解】由题设，依次取出的编号为08、02、14、07、11、05，
所以第5个个体的编号为11.
故答案为：11
22．（2023春·湖南·高一校联考期中）幂函数的图象过点，则函数恒过定点___________.
【答案】
【详解】因为幂函数的图象过点，
所以，解得，
即，当时，，
所以函数恒过定点.
故答案为：
23．（2023·广东·高三统考学业考试）如图，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E是CD的中点，沿AE将△DAE向上折起，使D为D′，且平面AED′⊥平面ABCE.则直线AD′与平面ABC所成角的正弦值为_____.
【答案】
【详解】解：由题意，为等腰直角三角形，
∵平面平面，
∴在底面的射影为，
∴为直线与平面所成角，
且，
其正弦值为.
故答案为：.
四、解答题（本大题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
24．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
如图，连接交于点，再连接,
在中，为中点，为的中，所以,
且平面，平面,所以平面.
（2）因为该几何体为正方体，所以点到平面的距离等于，
所以点到平面的距离等于，
根据等体积法可知.
25．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产百辆新能源汽车需另投入成本万元，且，由市场调研知，每一百辆车的售价为500万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（注：利润＝销售额－成本）
(1)求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式.
(2)当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】(1)；
(2)年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元.
【详解】（1）当时，
；
当时，，
所以；
（2）当时，，
所以；
当时，，
当且仅当，即时等号成立.
故，
所以当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元.
26．（2023春·河北·高三统考学业考试）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且（c﹣a）（c+a）+abcosC＝S.
（1）求角A的大小；
（2）若4cosB cosC＝1，且a＝2，求S的值.
【答案】（1）;（2）
【详解】（1）
所以，即
，
（2）
△ABC为等边三角形
所以2023年6月福建省普通高中学业水平合格性考试
数学仿真模拟试卷01 参考答案
一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
答案 B A B A B D A C C A A C C B B
二 多选题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分.）
题号 16 17 18 19
答案 AB AD BD BD
三、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上．）
20、
21、11
22、
23、
四、解答题（本大题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
24、（本小题满分9分）
(1)证明见解析(2)
【详解】（1）
如图，连接交于点，再连接,
在中，为中点，为的中，所以,
且平面，平面,所以平面.
（2）因为该几何体为正方体，所以点到平面的距离等于，
所以点到平面的距离等于，
根据等体积法可知.
25、（本小题满分9分）
(1)；
(2)年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元.
【详解】（1）当时，
；
当时，，
所以；
（2）当时，，
所以；
当时，，
当且仅当，即时等号成立.
故，
所以当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元.
26、（本小题满分9分）
（1）;（2）
【分析】（1）边化角即可；（2）通过角得关系求出，进一步即可获解
【详解】（1）
所以，即
，
（2）
△ABC为等边三角形
所以
