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(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2013·济南高二检测)从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，甲到丙地再无其他路可走，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有( )
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
【解析】 第一步：从甲地到乙地共有3种走法；
第二步：从乙地去丙地共有2种走法，由分步乘法计数原理知N＝3×2＝6.
【答案】 B
2．(2013·烟台高二检测)(1－x)4(1－)3的展开式中x2的系数是( )
A．－6 B．－3 C．0 D．3
【解析】 (1－x)4(1－)3＝(1－4x＋6x2－4x3＋x4)(1－3x＋3x－x)，
x2的系数是－12＋6＝－6.
【答案】 A
3．从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( )
A．24 B．48 C．72 D．120
【解析】 A参加时有C·A·A＝48种，A不参加时有A＝24种，共72种．
【答案】 C
4．过三点(3,10)，(7,20)，(11,24)的线性回归方程是( )
A.＝5.75－1.75x
B.＝5.75＋1.75x
C.＝1.75＋5.75x
D.＝1.75－5.75x
【解析】 先求出(，)代入检验可得B.
【答案】 B
5．李老师乘车到学校，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.5，则他上班途中遇见红灯次数的数学期望是( )
A．0.4 B．1.5 C．0.43 D．0.6
【解析】 遇到红灯的次数服从二项分布X～B(3,0.5)．
∴E(X)＝3×0.5＝1.5.
【答案】 B
6．甲、乙两人从4门课程中各选修2门．则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )
A．6种 B．12种 C．30种 D．36种
【解析】 分两类：仅有一门相同时，可先选出相同的课程有A种，再让甲选，有3种，最后乙选有2种，即共有A×3×2＝24种；当两门都不相同时，共有C种选法，故共有24＋C＝30种．
【答案】 C
图1
7．如图1所示，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么此系统的可靠性为( )
A．0.504 B．0.994 C．0.496 D．0.06
【解析】 A、B、C三个开关相互独立，
三个中只要至少有一个正常工作即可，
由间接法知P＝1－(1－0.9)×(1－0.8)(1－0.7)＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.
【答案】 B
8．从装有3个黑球和3个白球(大小、形状都相同)的盒子中随机摸出3个球，用X表示摸出的黑球个数，则P(X≥2)的值为( )
A. B. C. D.
【解析】 根据条件，摸出2个黑球的概率为，摸出3个黑球的概率为，故P(X≥2)＝＋＝.
【答案】 C
9．(2013·课标全国卷Ⅰ)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【解析】 (x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为C，∴a＝C.同理，b＝C.
∵13a＝7b，∴13·C＝7·C.
∴13·＝7·.
∴m＝6.
【答案】 B
10．设随机变量服从正态分布N(0,1)，P(X＞1)＝p，则P(－1＜X＜1)＝( )
A.p B．1－p
C．1－2p D.－p
【解析】 P(－1＜X＜1)＝1－P(X＞1)－P(X＜－1)＝1－2P(X＞1)＝1－2p.
【答案】 C
11．某中学拟从4个重点研究性课题和6个一般研究性课题中各选2个课题作为本年度该校启动的课题项目，若重点课题A和一般课题B至少有一个被选中的不同选法种数是k，那么二项式(1＋kx2)6的展开式中x4的系数为( )
A．50 000 B．52 000
C．54 000 D．56 000
【解析】 A、B均未被选中的种数有CC＝30，∴k＝CC－30＝60.
在(1＋60x2)6展开式中，Tr＋1＝C(60x2)r，令r＝2，得T3＝C602x4＝54 000x4.故选C.
【答案】 C
图2
12．(2013·北京高二检测)荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图2所示．假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】 青蛙跳三次要回到A只有两条途径：
第一条：按A→B→C→A，
P1＝××＝；
第二条，按A→C→B→A，
P2＝××＝.
所以跳三次之后停在A叶上的概率为
P＝P1＋P2＝＋＝.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知离散型随机变量X的分布列如表所示，E(X)＝0，D(X)＝1，则a＋b＝________.
X
－1
0
1
2
P
a
b
c
【解析】 由E(X)和D(X)公式得
解得c＝.
∴a＋b＝1－－c＝1－＝.
【答案】
14．(2013·课标全国卷Ⅱ)从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝________.
【解析】 由题意知n＞4，取出的两数之和等于5的有两种情况：1,4和2,3，所以P＝＝，即n2－n－56＝0，解得n＝－7(舍去)或n＝8.
【答案】 8
15．某校1 000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，其密度函数曲线如图，则成绩X位于区间(52,68]的人数大约是________．
图3
【解析】 由题图知X～N(μ，σ2)，
其中μ＝60，σ＝8，
∴P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝P(52＜X≤68)＝0.682 6.
∴人数为0.682 6×1 000≈682.
【答案】 682
16．(2012·陕西高考)(a＋x)5展开式中x2的系数为10，则实数a的值为________．
【解析】 (a＋x)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝Ca5－rxr.
当r＝2时，由题意知Ca3＝10，∴a3＝1，∴a＝1.
【答案】 1
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)下表是高考第一批录取的一份志愿表．如果有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择．若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法？
学校
专业
1
1
2
2
1
2
3
1
2
【解】 填表过程可分两步：第一步，确定填报学校及其顺序，则在4所学校中选出3所并加以排列，共有A种不同的排法；第二步，从每所院校的3个专业中选出2个专业并确定其顺序，其中又包含3小步，因此总的排列数有A·A·A种．综合以上两步，由分步乘法计数原理得不同的填表方法有：AAAA＝5 184种．
18．(本小题满分12分)(2013·广东高考)
图4
某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数．
(1)根据茎叶图计算样本均值．
(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？
(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．
【解】 (1)由茎叶图可知，样本数据为17,19,20,21,25,30，则＝(17＋19＋20＋21＋25＋30)＝22，
故样本均值为22.
(2)日加工零件个数大于样本均值的工人有2名，故优秀工人的频率为＝，该车间12名工人中优秀工人大约有12×＝4(名)，故该车间约有4名优秀工人．
(3)记“恰有1名优秀工人”为事件A，其包含的基本事件总数为CC＝32，所有基本事件的总数为C＝66，由古典概型概率公式，得P(A)＝＝.
所以恰有1名优秀工人的概率为.
19．(本小题满分12分)(2013·岳阳高二检测)对于表中的数据
x
1
2
3
4
y
1.9
4.1
6.1
7.9
(1)作散点图，你能直观上得到什么结论？
(2)求线性回归方程．
【解】 (1)如图，x，y具有很好的线性相关性．
(2)因为＝2.5，＝5，xiyi＝60，
x＝30，y＝120.04.
故＝＝2，
＝－＝5－2×2.5＝0，
故所求的回归直线方程为
＝2x.
20．(本小题满分12分)(2013·天津高考)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．
(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；
(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
【解】 (1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(A)＝＝.
所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
所以随机变量X的分布列是
X
1
2
3
4
P
故随机变量X的数学期望EX＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
21．(本小题满分12分)在调查学生数学成绩与物理成绩之间的关系时，得到如下数据(人数)：
物理成绩好
物理成绩不好
合计
数学成绩好
62
23
85
数学成绩不好
28
22
50
合计
90
45
135
试判断数学成绩与物理成绩之间是否线性相关，判断出错的概率有多大？
【解】 χ2＝≈4.066.
因为4.066>3.841，所以有95%的把握认为数学成绩与物理成绩有关，判断出错的概率只有5%.
22．(本小题满分12分)(2013·湖北高考)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.
(1)求p0的值；
(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ(2)某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？
【解】 (1)由于随机变量X服从正态分布N(800,502)，
故有μ＝800，σ＝50，P(700(2)设A型、B型车辆的数量分别为x，y，则相应的营运成本为1 600x＋2 400y.依题意，x，y还需满足x＋y≤21，y≤x＋7，P(X≤36x＋60y)≥p0.
由(1)知，p0＝P(X≤900)，故P(X≤36x＋60y)≥p0等价于36x＋60y≥900.
于是问题等价于求满足约束条件
且使目标函数z＝1 600x＋2 400y达到最小的x，y.
作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7,14)，R(15,6)．
由图可知，当直线z＝1 600x＋2 400y经过可行域的点P时，直线z＝1 600x＋2 400y在y轴上截距最小，即z取得最小值．故应配备A型车5辆、B型车12辆．
课件23张PPT。基本计数原理的应用 排列、组合的应用 二项式定理问题的处理方法和技巧 排列组合问题中的转化思想 课件23张PPT。独立性检验线性回归分析 课件33张PPT。条件概率 求相互独立事件的概率 离散型随机变量的期望与方差 正态分布 分类讨论的思想方法 综合检测(一)
(时间：90分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2013·岳阳高二检测)有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )
A．7 B．64 C．12 D．81
【解析】 根据分步乘法计数原理，共有4×3＝12种．
【答案】 C
2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )
A．10种 B．20种 C．25种 D．32种
【解析】 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25＝32种．
【答案】 D
3．(2013·大纲全国卷)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是( )
A．56 B．84 C．112 D．168
【解析】 因为(1＋x)8的通项为Cxk，(1＋y)4的通项为Cyt，故(1＋x)8(1＋y)4的通项为CCxkyt.令k＝2，t＝2，得x2y2的系数为CC＝168.
【答案】 D
4．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有( )
A．(C)2A个 B．AA个
C．(C)2104个 D．A104个
【解析】 2个英文字母可重复，都有C种不同取法．
4个不同数字有A种不同排法．由分步乘法计数原理知满足条件的牌照号码有C·C·A＝(C)2·A个．
【答案】 A
5．4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，则共有出场方案的种数是( )
A．6A B．3A
C．2A D．AAA
【解析】 先选一名男歌手排在两名女歌手之间，有A种选法，这两名女歌手有A种排法，把这三人作为一个元素，与另外三名男歌手排列有A种排法，根据分步乘法计数原理，有AAA种出场方案．
【答案】 D
6．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是( )
A．40 B．74 C．84 D．200
【解析】 分三类：
第一类：前5个题目的3个，后4个题目的3个，
第二类：前5个题目的4个，后4个题目的2个，
第三类：前5个题目的5个，后4个题目的1个，由分类加法计数原理得CC＋CC＋CC＝74.
【答案】 B
7．张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有( )
A．12 B．24 C．36 D．48
【解析】 第一步，将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步，将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有2A种排法，故总的排法有2×2×A＝24种．
【答案】 B
8．从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到的不同四面体的个数为( )
A．C－12 B．C－8
C．C－6 D．C－4
【解析】 正方体中，6个面和6个对角面上的四个点不能构成四面体故共有C－12.
【答案】 A
9．(2013·陕西高考)设函数f(x)＝则当x>0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为( )
A．－20 B．20 C．－15 D．15
【解析】 ∵f(x)＝
∴当x>0时，f(x)＝－<0，
∴f[f(x)]＝f(－)＝6＝6，
∴展开式中常数项为C()33＝－C＝－20.
【答案】 A
10．将二项式(＋)8的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法有( )种．
A．A B．AA
C．AA D．AA
【解析】 (＋)8展开式的通项公式Tr＋1＝C·()8－r·()r＝·x，r＝0,1,2，…，8.
当为整数时，r＝0,4,8.
∴展开式共有9项，其中有有理项3项，先排其余6项有A种排法，再将有理项插入形成的7个空档中，有A种方法．∴共有AA种排法．
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
11．(2013·吉安高二检测)C＋C＋C＋C＋C的值为________．
【解析】 C＋C＋C＋C＋C＝26－C－C＝62.
【答案】 62
12．(2012·广东高考)(x2＋)6的展开式中x3的系数为________．(用数字作答)
【解析】 设第r＋1项为含x3的项，则Tr＋1＝Cx2(6－r)x－r＝Cx12－3r，
令12－3r＝3，得r＝3，
∴x3的系数为C＝20.
【答案】 20
13．若(2x3＋)n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于________．
【解析】 Tr＋1＝C(2x3)n－r()r为常数项，
则3n－r＝0，即r＝n，而r∈N.
∴n为7的整数倍，即最小的正数n等于7.
【答案】 7
14．某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字)
【解析】 先从除甲、乙外的5辆车任选2辆有C种选法，连同甲、乙共4辆车，排列在一起，先从4个位置中选两个位置安排甲、乙，甲在乙前共有C种，最后，安排其他两辆车共有A种方法，∴不同的调度方法为C·C·A＝120种．
【答案】 120
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的有3人．
(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
【解】 从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．
(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情都能完成，所以由分类加法计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．
(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步乘法计数原理，共有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．
16．(本小题满分12分)(2012·深圳高二检测)设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，求下列各式的值：
(1)a0＋a1＋a2＋…＋a10；
(2)a6.
【解】 (1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－1)10＝1；
(2)a6即为含x6项的系数，Tr＋1＝C(2x)10－r·(－1)r＝C(－1)r210－r·x10－r，所以当r＝4时，T5＝C(－1)426x6＝13 440x6，即a6＝13 440.
17．(本小题满分12分)如图1有4个编号为1、2、3、4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种，并且相邻的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂色方法？
图1
【解】 分为两类：
第一类：若1、3同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，
3有1种涂法(与1相同)，4有4种涂法．
故N1＝5×4×1×4＝80.
第二类：若1、3不同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有3种涂法，4有3种涂法．
故N2＝5×4×3×3＝180.
综上可知不同的涂法共有N＝N1＋N2＝80＋180＝260种．
18．(本小题满分14分)学校组织篮球比赛，共24个班参加，第一轮比赛是先分四组进行单循环赛，然后各组取前两名再进行第二轮单循环赛(在第一轮中已相遇过的两队不再进行比赛)，问共要进行多少场比赛？
【解】 第一轮每组6个队进行单循环赛，共有C场比赛，4个组共计赛4C场．
第二轮每组取2名，共计8个队，本应赛C场，由于第一轮分在同一组的两队不再进行比赛，故应减去4场，共赛C－4场．
综上，两轮比赛总共需比赛4C＋C－4＝84场．
综合检测(三)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若有回归方程＝1.5x－15，则( )
A.＝1.5－15 B．15是回归系数
C．1.5是回归系数 D．x＝10时，＝0
【解析】 －15是回归系数a,1.5是回归系数b，当x＝10时，y的估计值为0.
【答案】 D
2．在下列各量与量之间的关系中是相关关系的是( )
①正方体的表面积与棱长之间的关系；②一块农田的小麦的产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④家庭的收入与支出之间的关系；⑤某家庭用水量与水费之间的关系．
A．②③ B．③④
C．④⑤ D．②③④
【解析】 ①⑤属于函数关系．
【答案】 D
3．设有一个线性回归方程为＝－2＋10x，则变量x增加一个单位时( )
A．y平均减少2个单位 B．y平均增加10个单位
C．y平均增加8个单位 D．y平均减少10个单位
【解析】 10是斜率的估计值，说明x每增加一个单位时，y平均增加10个单位．
【答案】 B
4．(2013·福州高二检测)在一次试验中，当变量x取值分别是1，，，时，变量Y的值依次是2,3,4,5，则Y与之间的回归曲线方程是( )
A.＝＋1 B.＝＋3
C.＝2x＋1 D.＝x－1
【解析】 把x＝1，，，代入四个选项，逐一验证可得＝＋1.
【答案】 A
5．下表给出5组数据(x，y)，为了选出4组数据使线性相关程度最大，且保留第1组数据(－5，－3)，则应去掉( )
i
1
2
3
4
5
xi
－5
－4
－3
－2
4
yi
－3
－2
4
－1
6
A.第2组 B．第3组
C．第4组 D．第5组
【解析】 画出散点图可知，应去掉第3组．
【答案】 B
6．经过对χ2的统计量的研究，得到了若干个临界值，当χ2≤2.706时，我们认为事件A与B( )
A．有95%的把握认为A与B有关系
B．有99%的把握认为A与B有关系
C．没有充分理由认为A与B有关系
D．不能确定
【解析】 由于χ2的观测值太小，没有充分理由认为A与B有关系．
【答案】 C
7．某人对一地区人均工资x(千元)与该地区人均消费Y(千元)进行统计调查，Y与x有相关关系，得到回归直线方程＝0.66x＋1.562.若该地区的人均消费水平为7.675千元，估计该地区的人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )
A．66% B．72%
C．67% D．83%
【解析】 该题考查线性回归的实际应用，由条件知，消费水平为7.675千元时，人均工资为≈9.262(千元)．故≈83%.
【答案】 D
8．为考察数学成绩与物理成绩的关系，在高二随机抽取了300名学生，得到下面列联表：
数学
物理
85～100分
85分以下
合计
85～100分
37
85
122
85分以下
35
143
178
合计
72
228
300
现判断数学成绩与物理成绩有关系，则判断的出错率为( )
A．0.5% B．1%
C．2% D．5%
【解析】 代入公式得
χ2＝
≈4.514>3.841
查表可得判断出错率为5%.
【答案】 D
9．某化工厂为了预测某产品的回收率Y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取了8对观测数据，计算得i＝52，i＝228，＝478，iyi＝1 849，则Y对x的回归方程为( )
A.＝11.47＋2.62x B.＝－11.47＋2.62x
C.＝2.62＋11.47x D.＝11.47－2.62x
【解析】 据已知＝＝≈2.62.
＝y－ ＝11.47.故选A.
【答案】 A
10．(2013·东营高二检测)
图1
以下关于线性回归的判断，正确的个数是( )
①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；
②散点图中的绝大多数点都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A，B，C点；
③已知回归直线方程为＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为11.69；
④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】 能使所有数据点都在它附近的直线不止一条，而据回归直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数，得到的直线＝x＋才是回归直线，
∴①不对；②正确；将x＝25代入＝0.50x－0.81，解得＝11.69，∴③正确；④正确．
【答案】 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
11．对于回归直线方程＝4.75x＋257，当x＝28时，y的估计值是________．
【解析】 当x＝28时，y＝4.75×28＋257＝390.
【答案】 390
12．在一次独立性检验中，有315人按性别和是否色弱分类如下表(单位：人)：
男
女
正常
142
155
色弱
13
5
由上表可得χ2＝________.
【解析】 n1＋＝297，n2＋＝18，n＋1＝155，n＋2＝160代入公式得
∴χ2＝4.063.
【答案】 4.063
13．某市居民2005～2009年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表所示：
年份
2005
2006
2007
2008
2009
收入x
11.5
12.1
13
13.3
15
支出Y
6.8
8.8
9.8
10
12
根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是________，家庭年平均收入与年平均支出有________线性相关关系．
【解析】 居民家庭的年平均收入按从小到大排依次为：11.5、12.1、13、13.3、15，由中位数定义知年平均收入的中位数是13.画出散点图，由图可知家庭年平均收入与年平均支出有正的线性相关关系．
【答案】 13 正
14．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
理科
文科
男
13
10
女
7
20
已知P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥5.024)≈0.025.
根据表中数据，得到χ2＝≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________．
【解析】 χ2≈4.844，这表明小概率事件发生，根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.
【答案】 5%
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表如下表：
气温x(℃)
26
18
13
10
4
－1
杯数Y
20
24
34
38
50
64
画出散点图并计算相关系数r，判断热茶销售量与气温之间是否具有线性相关关系．
【解】 由表中数据画出散点图，如图所示．
由表中数据得＝(26＋18＋13＋10＋4－1)≈11.67，＝(20＋24＋34＋38＋50＋64)≈38.33，
iyi＝26×20＋18×24＋13×34＋10×38＋4×50－1×64＝1910，＝262＋182＋132＋102＋42＋(－1)2＝1286，＝202＋242＋342＋382＋502＋642＝10 172，所以r≈－0.97，
所以热茶销售量与气温之间具有较强的线性相关关系．
16．(本小题满分12分)为研究学生的数学成绩与对学习数学的兴趣是否有关，对某年级学生作调查，得到如下数据：
成绩优秀
成绩较差
合计
兴趣浓厚的
64
30
94
兴趣不浓厚的
22
73
95
合计
86
103
189
学生的数学成绩好坏与对学习数学的兴趣是否有关？
【解】 由公式得：χ2＝≈38.459.
∵38.459>6.635，∴有99%的把握说，学生的学习数学兴趣与数学成绩是有关的．
17．(本小题满分12分)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份
2002
2004
2006
2008
2010
需求量(万吨)
236
246
257
276
286
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程＝bx＋a；
(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．
【解】 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的，下面求回归直线方程．为此对数据预处理如下：
年份－2006
－4
－2
0
2
4
需求量－257
－21
－11
0
19
29
对预处理后的数据，容易算得
＝0，＝3.2.
b＝
＝＝6.5，
a＝－b＝3.2.
由上述计算结果，知所求回归直线方程为
－257＝b(x－2 006)＋a＝6.5(x－2 006)＋3.2，
即＝6.5(x－2 006)＋260.2.①
(2)利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为
6．5×(2 012－2 006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．
18．(本小题满分14分)(2012·辽宁高考)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
图2
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷
体育迷
合计
男
女
10
55
合计
(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．
附：χ2＝，
P(χ2≥k)
0.05
0.01
k
3.841
6.635
【解】 (1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：
非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
χ2＝＝＝≈3.030.因为3.030<3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．
(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为.
由题意知X～B(3，)，从而X的分布列为
X
0
1
2
3
P
E(X)＝np＝3×＝，
D(X)＝np(1－p)＝3××＝.
综合检测(二)
(时间：90分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．甲击中目标的概率是，如果击中赢10分，否则输11分，用X表示他的得分，计算X的均值为( )
A．0.5分 B．－0.5分
C．1分 D．5分
【解析】 E(X)＝10×＋(－11)×＝－.
【答案】 B
2．一枚硬币连续掷3次，至少有一次出现正面的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】 P(至少有一次出现正面)＝1－P(三次均为反面)＝1－()3＝.
【答案】 D
3．已知离散型随机变量X的分布列如下：
X
1
3
5
P
0.5
m
0.2
则其数学期望E(X)等于( )
A．1 B．0.6 C．2＋3m D．2.4
【解析】 由分布列的性质得m＝1－0.5－0.2＝0.3，所以E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.
【答案】 D
4．已知随机变量X～B(6，)，则D(2X＋1)等于( )
A．6 B．4 C．3 D．9
【解析】 D(2X＋1)＝D(X)×22＝4D(X)，
D(X)＝6××(1－)＝，∴D(2X＋1)＝4×＝6.
【答案】 A
5．(2013·石家庄高二检测)某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败，第二次成功的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】 电话号码的最后一个数可能是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的一个数，所以他第一次失败，第二次成功的概率为×＝.
【答案】 A
6．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A＝{两个点数互不相同}，B＝{出现一个5点}，则P(B|A)＝( )
A. B. C. D.
【解析】 出现点数互不相同的共有6×5＝30种，
出现一个5点共有5×2＝10种，
∴P(B|A)＝＝.
【答案】 A
7．(2013·宜昌高二检测)设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤c)＝P(X>c)，则c＝( )
A．σ2 B．σ C．μ D．－μ
【解析】 在N(μ，σ2)中，图象关于直线X＝μ对称，
∴P(X≤μ)＝P(X>μ)＝，∴c＝μ.
【答案】 C
8．正态分布密度函数为f(x)＝e－，x∈R，则其标准差为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
【解析】 根据f(x)＝e－，对比f(x)＝e－知σ＝2.
【答案】 B
9．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则至少有一个红球的概率为( )
A. B. C. D.
【解析】 设至少有一个红球的概率为P，则P＝1－＝.
【答案】 B
10．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如表所示的分布列：
X
200
300
400
500
P
0.20
0.35
0.30
0.15
若进这种鲜花500束，则利润的均值为( )
A．706元 B．690元 C．754元 D．720元
【解析】 ∵E(X)＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝340，∴利润的均值为340×(5－2.5)－(500－340)×(2.5－1.6)＝706(元)．
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
11．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝________.
【解析】 P(X≤6)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝＝.
【答案】
12．(2013·宿州高二检测)某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p.若此人未能通过的科目数X的均值是2，则p＝________.
【解析】 因为通过各科考试的概率为p，所以不能通过考试的概率为1－p，易知X～B(6,1－p)，所以E(X)＝6(1－p)＝2，解得p＝.
【答案】
13．(2013·郑州高二检测)A、B、C相互独立，如果P(AB)＝，P(C)＝，P(AB )＝，则P(B)＝________.
【解析】 设P(A)＝a，P(B)＝b，P(C)＝c，
∴解得
∴P(B)＝(1－)×＝.
【答案】
14．(2013·福州高二检测)一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：
①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；
②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为；
③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；
④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为.
其中所有正确结论的序号是________．
【解析】 ①恰有一个白球的概率P＝＝，故①正确；②每次任取一球，取到红球次数X～B(6，)，其方差为6××(1－)＝，故②正确；
③设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}．
则P(A)＝，P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝，故③错；
④每次取到红球的概率P＝，
所以至少有一次取到红球的概率为1－(1－)3＝，
故④正确．
【答案】 ①②④
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)(2013·课标全国卷Ⅰ)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．
(1)求这批产品通过检验的概率；
(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单元：元)，求X的分布列及数学期望．
【解】 (1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝×＋×＝.
(2)X可能的取值为400,500,800，并且P(X＝400)＝1－－＝，P(X＝500)＝，P(X＝800)＝，
所以以X的分布列为
X
400
500
800
P
EX＝400×＋500×＋800×＝506.25.
16．(本小题满分12分)设甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡寿命X(单位：小时)和Y的分布列分别为：
X
900
1 000
1 100
P
0.1
0.8
0.1
Y
950
1 000
1 050
P
0.3
0.4
0.3
试问哪家工厂生产的灯泡质量较好？
【解】 由期望的定义，得
E(X)＝900×0.1＋1 000×0.8＋1 100×0.1＝1 000，
E(Y)＝950×0.3＋1 000×0.4＋1 050×0.3＝1 000.
两家灯泡厂生产的灯泡寿命的期望值相等，需进一步考查哪家工厂灯泡的质量比较稳定，即比较其方差．
由方差的定义，得
D(X)＝(900－1 000)2×0.1＋(1 000－1 000)2×0.8＋(1 100－1 000)2×0.1＝2 000，
D(Y)＝(950－1 000)2×0.3＋(1 000－1 000)2×0.4＋(1 050－1 000)2×0.3＝1 500.
∵D(X)＞D(Y)，∴乙厂生产的灯泡质量比甲厂稳定，
即乙厂生产的灯泡质量较好．
17．(本小题满分12分)(2013·珠江高二检测)为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，数学期望E(X)＝3，标准差为.
(1)求n，p的值并写出X的分布列；
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需补种，求需要补种沙柳的概率．
【解】 因为X～B(n，p)，由E(X)＝np＝3，D(X)＝np(1－p)＝，得1－p＝，从而n＝6，p＝.
X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
6
P
(2)记“需要补种沙柳”为事件A，
则P(A)＝P(X≤3)，得P(A)＝＝(或P(A)＝1－P(X＞3)＝1－＝.
图1
18．(本小题满分14分)(2013·四川高考)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．
(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1,2,3)；
(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计表(部分)
运行次数n
输出y的值为1的频数
输出y的值为2的频数
输出y的值为3的频数
30
14
6
10
…
…
…
…
2 100
1 027
376
697
乙的频数统计表(部分)
运行次数n
输出y的值为1的频数
输出y的值为2的频数
输出y的值为3的频数
30
14
6
10
…
…
…
…
2 100
1 051
696
353
当n＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；
(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．
【解】 (1)变量x是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．
当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1＝；
当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2＝；
当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3＝.
所以输出y的值为1的概率为，输出y的值为2的概率为，输出y的值为3的概率为.
(2)当n＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率如下：
运行次数n
输出y的值为1的频数
输出y的值为2的频数
输出y的值为3的频数
甲
乙
比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大．
(3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝C×0×3＝，
P(ξ＝1)＝C×1×2＝，
P(ξ＝2)＝C×2×1＝，
P(ξ＝3)＝C×3×0＝.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
所以Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.
即ξ的数学期望为1.
