模块学习评价
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列不等式中，解集为R的是( )
A．x2＋4x＋4>0 B．|x|>0
C．x2>－x D．x2－x＋≥0
【解析】 A的解集为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，B的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)，C的解集为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，D等价于(x－)2≥0，故其解集为R.
【答案】 D
2．(2013·济南高二检测)已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝
( )
A．15 B．30
C．31 D．64
【解析】 等差数列{an}中，a7＋a9＝a4＋a12＝16，
又∵a4＝1，∴a12＝15.
【答案】 A
3．(2013·大连高二检测)一个三角形的两个角分别等于120°和45°，若45°所对的边长为4，则120°角所对的边长是( )
A．4 B．12
C．4 D．12
【解析】 设120°角所对的边长为a，由正弦定理得a＝×sin 120°＝12.
【答案】 D
4．已知三角形的边长分别为3，6,3，则它的最大内角的度数是( )
A．90° B．120°
C．135° D．150°
【解析】 3是最大边，它所对的内角最大，设为θ，
则cos θ＝＝－，∴θ＝135°.
【答案】 C
5．数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝( )
A．2n－1 B．2n－1－1
C．2n＋1 D．4n－1
【解析】 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝＝2n－1.
【答案】 A
6．如图，不等式(x＋2y－2)(x－y＋1)≥0表示的平面区域是( )
【解析】 原不等式等价于或，故原不等式表示的区域由这两个不等式组表示的区域组成．只有A选项正确．
【答案】 A
7．已知数列{an}通项公式an＝3n－50，则前n项和Sn的最小值为( )
A．－784 B．－392
C．－389 D．－368
【解析】 由3n－50≥0及n∈N*知n≥17，∴n≤16时，an＜0，a17＞0，∴S16最小，S16＝16a1＋d＝16×(－47)＋120×3＝－392.
【答案】 B
8．(2013·德州高二检测)在公比为整数的等比数列{an}中，若a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则这个数列的前8项的和为( )
A．510 B．512
C．513 D.
【解析】 ∵＝＝＝＝＝，
∴2q2－5q＋2＝0，
∴q＝2或q＝(舍)．
又a1＋a1q3＝a1(1＋23)＝18，∴a1＝2，
∴S8＝＝510.
【答案】 A
9．(2013·烟台高二检测)在△ABC中，若tan B＝，则三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
【解析】 ∵△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝π，
∴tan B＝
＝＝，
∴2tan B＝＋tan B，
∴tan B＝，∴∠B，∠C互余，△ABC为直角三角形．
【答案】 B
10．(2013·徐州高二检测)已知△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且tan B＝，·＝，则tan B等于( )
A. B.－1
C．2 D．2－
【解析】 由·＝得accos B＝，
∴2accos B＝1.
又由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－1，
∴a2－b2＋c2＝1，∴tan B＝＝2－.
【答案】 D
11．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 B．80件
C．100件 D．120件
【解析】 若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是，存储费用是，总费用是＋≥2＝20，当且仅当＝即x＝80时，取等号．
【答案】 B
12．设x、y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则＋的最小值为( )
A. B.
C. D．4
【解析】 可行域如图所示，当直线ax＋by＝z(a>0，b>0)过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点M(4,6)时，目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)取得最大值12，即4a＋6b＝12,2a＋3b＝6，
而＋＝(＋)()＝＋(＋)≥＋2＝.当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立．
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知等差数列{an}满足：a1＝2，a3＝6.若将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________．
【解析】 设等差数列{an}的公差为d，则a3＝a1＋2d，∴d＝2，∴an＝2n.设a1，a4，a5所加的数为x，则(8＋x)2＝(2＋x)(10＋x), ∴x＝－11.
【答案】 －11
14．在R上定义运算☆：a☆b＝ab＋2a＋b，则满足x☆(x－2)<0的实数x的取值范围为________．
【解析】 由条件可知，x☆(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0，
即x2＋x－2<0，解得－2
【答案】 (－2,1)
15．在等差数列{an}中，a1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项后余下的10项的平均值仍为5，则抽取的是第________项．
【解析】 由题意知前11项的和55，
∴S11＝＝55，∴a11＝15，
∴d＝＝2.
又从中抽取的数值为5，设为数列的第n项，则5＝－5＋(n－1)×2，∴n＝6.
【答案】 6
16．如图1，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B后，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ＝________.
图1
【解析】 在△ABC中，BC＝＝＝50(－)，
在△BCD中，
sin ∠BDC＝＝＝－1，
由图知cos θ＝sin ∠ADE＝sin ∠BDC＝－1.
【答案】 －1
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知等差数列{an}的公差与等比数列{bn}的公比相等，且都等于d(d>0，d≠1)，若a1＝b1，a3＝3b3，a5＝5b5，求an和bn.
【解】 由已知得
得即5d4－6d2＋1＝0，解得d＝±1或d＝±.因为d>0，d≠1，所以d＝.所以a1＝－，b1＝－，所以an＝－＋(n－1)＝(n－6)，bn＝－×()n－1.
18．(本小题满分12分)(2013·大连高二检测)在△ABC中，BC＝7，AB＝3，且＝.
(1)求AC；(2)求角A.
【解】 (1)由正弦定理，得＝，
∴＝＝，
∴AC＝＝＝5.
(2)由余弦定理，得
cos A＝＝＝－.
又0°<∠A<180°，
∴∠A＝120°.
19．(本小题满分12分)若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0相交于P，Q两点，且P，Q关于直线x＋y＝0对称，则不等式组表示的平面区域的面积是多少？
【解】 P，Q关于直线x＋y＝0对称，故直线PQ与直线x＋y＝0垂直，直线PQ即是直线y＝kx＋1，故k＝1.又线段PQ为圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0的一条弦，故该圆的圆心在线段PQ的垂直平分线上，即在直线x＋y＝0上，又圆心为(－，－)，∴m＝－k＝－1，∴不等式组为它表示的区域如图所示，故面积为.
20．(本小题满分12分)(2013·济南高二检测)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝－.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．
【解】 (1)∵＝－，由正弦定理知＝－，
即2sin Acos B＋sin Ccos B＋cos Csin B＝0，
∴2sin Acos B＋sin(B＋C)＝0.
∵∠B＋∠C＝π－∠A，
∴2sin Acos B＋sin A＝0，
∴sin A(2cos B＋1)＝0，
∵sin A≠0，
∴cos B＝－，
∵∠B∈(0，π)，
∴∠B＝.
(2)将b＝，a＋c＝4，∠B＝代入b2＝a2＋c2－2accos B，得13＝16－2ac(1－)，∴ac＝3，
∴S△ABC＝·ac·sin B＝×3×＝.
21．(本小题满分12分)数列{an}是等差数列，a1＝f(x＋1)，a2＝0，a3＝f(x－1)，其中f(x)＝x2－4x＋2，数列{an}的前n项和存在最小值．
(1)求通项an；
(2)若bn＝，求数列{an·bn}的前n项和Sn.
【解】 (1)∵f(x)＝x2－4x＋2.
∴a1＝f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋2＝x2－2x－1，a3＝f(x－1)＝(x－1)2－4(x－1)＋2＝x2－6x＋7，
又数列{an}是等差数列，a2＝0，
∴a1＋a3＝2a2＝0，
∴(x2－2x－1)＋(x2－6x＋7)＝2x2－8x＋6＝0，
即x2－4x＋3＝0，
解得x＝1或x＝3.当x＝1时，a1＝－2，此时公差d＝2，当x＝3时，a1＝2，公差d＝－2，此时数列{an}前n项和不存在最小值，故舍去．
∴an＝－2＋2(n－1)＝2n－4.
(2)由(1)知bn＝＝2n－2，
∵Sn＝a1·b1＋a2·b2＋…＋an－1·bn－1＋an·bn，
∴2Sn＝a1·b2＋a2·b3＋…＋an－1·bn＋an·bn＋1，∴－Sn＝a1·b1＋(a2－a1)·b2＋…＋(an－an－1)·bn－an·bn＋1＝a1·b1＋2(b2＋b3＋…＋bn)－an·bn＋1＝－2×＋2×－(2n－4)·2n－1＝－3－(n－3)·2n，
∴Sn＝3＋(n－3)·2n.
22．(本小题满分12分)某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．
(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．
【解】 (1)设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝3×
＝9x(x＋1)，
设平均每天所支付的总费用为Y1元，则
Y1＝＋1 800×6
＝9x＋＋10 809
≥2 ＋10 809＝10 989，
当且仅当9x＝，即x＝10时取等号．
该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少．
(2)设该厂利用此优惠条件后，每隔x天购买一次面粉，因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔＝35天购买一次面粉，即x≥35.
设平均每天支付的总费用为Y2元，则
Y2＝＋1 800×6×
＝9x＋＋9 729(x≥35)，
记f(x)＝x＋，x∈[35，＋∞)，设x1，x2∈[35，＋∞)，
取x1则f(x1)－f(x2)＝(x1＋)－(x2＋)
＝(x1－x2)＋(－)
＝，
∵35≤x10，
x1－x2<0，x1x2－100>0，
∴<0，f(x1)－f(x2)<0，
∴函数f(x)＝x＋在[35，＋∞)上是增函数，
∴当x≥35时，f(x)min＝f(35)．
所以，当x＝35时，Y2有最小值，此时Y2的最小值小于10 989.故该厂应接受此优惠条件．
课件32张PPT。利用正、余弦定理解三角形 正、余弦定理在三角形中的综合应用 正弦定理和余弦定理的实际应用 转化与化归思想 课件48张PPT。等差(比)数列的基本运算 数列通项公式的求法 数列求和 函数与方程思想 课件31张PPT。不等式的性质 不等式的恒成立问题 线性规划问题 均值不等式的应用 分类讨论的思想 综合检测(一)
第一章 解三角形
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，已知a＝11，b＝20，∠A＝130°，则此三角形( )
A．无解 B．只有一解
C．有两解 D．解的个数不定
【解析】 根据大角对大边，∵b>a，∴∠B>∠A，
∵∠A＝130°，∴本题无解．
【答案】 A
2．(2012·广东高考)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝( )
A．4 B．2
C. D.
【解析】 在△ABC中，＝，
∴AC＝＝＝2.
【答案】 B
3．在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵∠A＝180°－45°－60°＝75°，
∴∠A>∠C>∠B，
∴边b最短．
由＝，得b＝＝＝.
【答案】 A
4．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝4∶1∶1，则a∶b∶c＝( )
A.∶1∶1 B．2∶1∶1
C.∶1∶2 D．3∶1∶1
【解析】 由∠A∶∠B∶∠C＝4∶1∶1，得∠A＝120°，∠B＝30°，∠C＝30°，
所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝∶∶＝∶1∶1.
【答案】 A
5．(2013·东营高二期中)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
【解析】 sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝5∶11∶13，且∠C是△ABC的最大内角，又因为52＋112－132<0，故cos C<0，∴角C为钝角．
【答案】 B
6．(2012·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝( )
A. B．－
C．± D.
【解析】 由＝，且8b＝5c，∠C＝2∠B，
所以5csin 2B＝8csin B，
所以cos B＝.
所以cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝.
【答案】 A
7．符合下列条件的三角形有且只有一解的是( )
A．a＝1，b＝2，c＝3
B．a＝1，b＝，∠A＝30°
C．a＝1，b＝2，∠A＝100°
D．b＝c＝1，∠B＝45°
【解析】 A：a＋b＝3＝c不能构成三角形；B：bsin A∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠A＝90°，故只有一解．
【答案】 D
8．如图1所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60 m，则树的高度为( )
图1
A．(30＋30) m B．(30＋15) m
C．(15＋30) m D．(15＋15) m
【解析】 由正弦定理可得＝，PB＝＝，h＝PB·sin 45°＝·sin 45°＝(30＋30)(m)．
【答案】 A
9．(2013·阜新高二期中)在锐角三角形中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，设∠B＝2∠A，则的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(0,2)
C．(1,2) D．(，)
【解析】 ∵＝＝＝2cos A，而30°<∠A<45°，故2cos A∈(，)，即的取值范围是(，)．
【答案】 D
10．已知△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为( )
A. B.
C. D.
【解析】 由p∥q得：(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，
即c2－a2－b2＋ab＝0，∴a2＋b2－c2＝ab.由余弦定理得：cos C＝＝＝.∴∠C＝.
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
11．(2012·北京高考)在△ABC中，若a＝3，b＝，∠A＝，则∠C的大小为________．
【解析】 在△ABC中，由正弦定理可知＝，
即sin B＝＝＝.
又∵a>b，∴∠B＝.
∴∠C＝π－∠A－∠B＝.
【答案】
12．(2013·大连高二检测)在△ABC中，如果S△BAC＝(a2＋b2－c2)，那么∠C＝________.
【解析】 由三角形面积公式S△BAC＝absin C＝(a2＋b2－c2)，
∴sin C＝，而由余弦定理cos C＝，
∴sin C＝cos C，∴∠C＝45°.
【答案】 45°
图2
13．如图2，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．
【解析】 在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，＝，
∴BC＝＝10m，在Rt△ABC中，tan 60°＝，∴AB＝BCtan 60°＝10(m)．
【答案】 10
14．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，给出下列结论：
①由已知条件，这个三角形被唯一确定；
②△ABC一定是钝角三角形；
③sin A∶sin B∶sin C＝7∶5∶3；
④若b＋c＝8，则△ABC的面积是.
其中正确结论的序号是________．
【解析】 由(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，可设a＝7k，b＝5k，c＝3k(k>0)，a，b，c随着k的变化而变化，可知结论①错误．
∵cos A＝<0，
∴结论②正确．
∵sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝7∶5∶3，
∴结论③正确．
∵cos A＝－，∴sin A＝，若b＋c＝8，不妨设b＝5，c＝3，a＝7，则S△ABC＝，∴结论④不正确．
【答案】 ②③
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)(1)在△ABC中，已知∠C＝45°，∠A＝60°，b＝2，求此三角形最小边的长及a与∠B的值．
(2)在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝5，求∠C及a、c的值．
【解】 (1)∵∠A＝60°，∠C＝45°，
∴∠B＝180°－(∠A＋∠C)＝75°.
∴∠C<∠A<∠B.
∴c由正弦定理可得a＝＝＝3－，
c＝＝＝2－2.
综上可知，最小边c的长为2－2，a＝3－，∠B＝75°.
(2)∵∠A＝30°，∠B＝120°，
∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝30°.
∴∠A＝∠C.∴a＝c.
由正弦定理可得a＝＝＝.
综上可知，∠C＝30°，a＝c＝.
16．(本小题满分12分)(2012·课标全国卷)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝asin C－ccos A.
(1)求A；
(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.
【解】 (1)由c＝asin C－ccos A及正弦定理得
sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0.
由于sin C≠0，所以sin(A－)＝.
又0(2)△ABC的面积S＝bcsin A＝，故bc＝4.
而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8.
解得b＝c＝2.
17．(本小题满分12分)在△ABC中，若∠B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．
【解】 法一 由正弦定理，得2sin B＝sin A＋sin C.
∵∠B＝60°，∴∠A＋∠C＝120°，
∠A＝120°－∠C，代入上式，得
2sin 60°＝sin(120°－C)＋sin C，
展开整理得，sin C＋cos C＝1.
∴sin(C＋30°)＝1，∴∠C＋30°＝90°，
∴∠C＝60°，故∠A＝60°.
∴△ABC为正三角形．
法二 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B.
∵∠B＝60°，b＝，
∴()2＝a2＋c2－2accos 60°.
整理得(a－c)2＝0，∴a＝c，从而a＝b＝c.
∴△ABC为正三角形．
18．(本小题满分14分)(2013·东营高二检测)一缉私艇发现在方位角45°方向，距离12海里的海面上有一走私船正以10海里/小时的速度沿方位角为105°方向逃窜，若缉私艇的速度为14海里/小时，缉私艇沿方位角45°＋α的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追及所需时间和α角的正弦．
(注：方位角是指指北方向按顺时针方向旋转形成的角)．
【解】 设缉私艇与走私船原来的位置分别为A、B，在C处两船相遇，
由条件知∠ABC＝120°，AB＝12(海里)，
设t小时后追及，∴BC＝10t，AC＝14t，由正弦定理得
＝?sin α＝，cos α＝.
再由余弦定理得100t2＝196t2＋144－2×12×14tcos α
?12t2－33t＋18＝0，∴t＝2或t＝，
但当t＝时，AC＝<12＝AB，不合，
∴t＝2(小时)，sin α＝.
综合检测(二)
第二章 数列
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2013·郑州高二检测)数列－1，，－，，…的一个通项公式是( )
A．an＝(－1)n B．an＝(－1)n
C．an＝(－1)n D．an＝(－1)n
【解析】 观察各项知符号可用(－1)n表示，各项绝对值的分母为1,3,5,7…，故可表示为2n－1，分子为1,4,9,16…可表示为n2，故an＝(－1)n.
【答案】 A
2．(2013·咸阳高二检测)已知等差数列{an}中，a5＋a9＝2，则S13＝( )
A．11 B．12
C．13 D．不确定
【解析】 S13＝＝＝13.
【答案】 C
3．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( )
A．15 B．30
C．31 D．64
【解析】 由a7＋a9＝16，得a8＝8，
∴d＝＝，
∴a12＝1＋8×＝15.
【答案】 A
4．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为( )
A．81 B．120
C．168 D．192
【解析】 ∵a5＝a2q3，∴q3＝＝＝27，
∴q＝3，∴a1＝3，
∴S4＝＝120.
【答案】 B
5．已知等比数列{an}满足a1＝3，且4a1,2a2，a3成等差数列，则a3＋a4＋a5等于( )
A．33 B．84
C．72 D．189
【解析】 设等比数列{an}的公比为q，
∵4a1,2a2，a3成等差数列，
∴4a2＝4a1＋a3，
即4×3q＝4×3＋3q2，∴q＝2，
∴a3＋a4＋a5＝a1q2＋a1q3＋a1q4＝3(22＋23＋24)
＝84.
【答案】 B
6．(2013·合肥高二检测)若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝( )
A．15 B．12
C．－12 D．－15
【解析】 记bn＝3n－2，则数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9)＋b10＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝5×3＝15.故选A.
【答案】 A
7．已知数列{an}满足an＋1＝，若a1＝，则a2 012等于( )
A. B．2
C．－1 D．1
【解析】 由a1＝，an＋1＝得a2＝＝2，a3＝＝－1，a4＝＝，a5＝＝2，…，因此a2 012＝a3×670＋2＝a2＝2.
【答案】 B
8．设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则 等于( )
A．1 033 B．1 034
C．2 057 D．2 058
【解析】 由已知可得an＝n＋1，bn＝2n－1，
【答案】 A
9．(2013·宜昌高二检测)已知数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn，且点P(an，an＋1)(n∈N*)在直线x－y＋1＝0上，则＋＋＋…＋等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 由题意，an－an＋1＋1＝0.∴an＋1－an＝1，
∴{an}为等差数列，且a1＝1，d＝1，∴an＝1＋(n－1)×1＝n，∴Sn＝，
∴＝＝2(－)，
∴＋＋…＋＝2(1－＋－＋…＋－)＝.
【答案】 A
10．在数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，则an等于( )
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n
【解析】 依题意可得a2＝a1＋ln(1＋)，
a3＝a2＋ln(1＋)，
…
an＝an－1＋ln(1＋)，
则an＝a1＋ln[()()()…()]＝2＋ln n.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
11．(2013·烟台高二检测)若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*), 则a5＝________.
【解析】 由已知＝2，∴{an}为首项a1＝1，公比q＝2的等比数列，∴a5＝a1q4＝1×24＝16.
【答案】 16
12．(2013·洛阳高二检测)首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是________．
【解析】 设a1＝－24，公差为d，∴a10＝－24＋9d>0且a9＝－24＋8d≤0，∴【答案】 (，3]
13．等差数列{an}中，a1>0，S3＝S10，则当Sn取最大值时n的值是________．
【解析】 由S3＝S10可知，a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝0，
∴a7＝0.又a1>0，∴a6>0，
∴Sn取最大值时，n的值为6或7.
【答案】 6或7
14．某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价：由于首层与顶层均为复式结构，因此首层价格为a1元/m2，顶层由于景观好价格为a2元/m2，第2层价格为a元/m2，从第3层开始每层在前1层价格上加价元/m2，则该商品房各层的平均价格为________．
【解析】 设第2层到第22层的价格构成数列{bn}，则{bn}是等差数列，b1＝a，公差d＝，共21项．所以其和为S21＝21a＋·＝23.1a.故平均价格为(a1＋a2＋23.1a)元/m2.
【答案】 (a1＋a2＋23.1a)元/m2
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，且S8＝32，求S10的大小．
【解】 根据题意得
解得
所以S10＝S8＋a9＋a10＝32＋2a1＋17d＝60.
16．(本小题满分12分)(2013·德州高二检测)设{an}是一个公差为d(d≠0)的等差数列，它的前10项和S10＝110，且a1，a2，a4成等比数列．
(1)证明：a1＝d；
(2)求公差d的值和数列{an}的通项公式．
【解】 (1)证明：因a1，a2，a4成等比数列，故a＝a1a4，而{an}是等差数列，
有a2＝a1＋d，a4＝a1＋3d，于是(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，
即a＋2a1d＋d2＝a＋3a1d，
化简得a1＝d.
(2)由条件S10＝110和S10＝10a1＋d，得到10a1＋45d＝110，
由(1)a1＝d，代入上式得55d＝110，
故d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n.
17．(本小题满分12分)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{}的前n项和．
【解】 (1)设数列{an}的公比为q.
由a＝9a2a6，得a＝9a，所以q2＝.
由条件可知q>0，故q＝.
由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝.
故数列{an}的通项公式为an＝.
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an
＝－(1＋2＋…＋n)＝－.
故＝－＝－2(－)，
＋＋…＋
＝－2[(1－)＋(－)＋…＋(－)]
＝－.
所以数列{}的前n项和为－.
18．(本小题满分14分)(2013·绵阳高二检测)设数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn＝2an－3n.
(1)设bn＝an＋3，求证：数列{bn}是等比数列，并求出{an}的通项公式；
(2)求数列{nan}的前n项和．
【解】 (1)∵Sn＝2an－3n对于任意的正整数都成立，
∴Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)，
两式相减，得Sn＋1－Sn＝2an＋1－3(n＋1)－2an＋3n.
∴an＋1＝2an＋1－2an－3，即an＋1＝2an＋3，
∴an＋1＋3＝2(an＋3)，即＝＝2对一切正整数都成立．
∴数列{bn}是等比数列．
由已知得S1＝2a1－3，即a1＝2a1－3，∴a1＝3，
∴首项b1＝a1＋3＝6，公比q＝2，∴bn＝6·2n－1.
∴an＝6·2n－1－3＝3·2n－3.
(2)∵nan＝3×n·2n－3n，
∴Sn＝3(1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n)－3(1＋2＋3＋…＋n)，
2Sn＝3(1·22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1)－6(1＋2＋3＋…＋n)，
－Sn＝3(2＋22＋23＋…＋2n)－3n·2n＋1＋3(1＋2＋3＋…＋n)
＝3·－6n·2n＋，
∴Sn＝(6n－6)·2n＋6－.
综合检测(三)
第三章 不等式
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2013·泰安高二检测)下列命题正确的是( )
A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>－b，则－a>b
C．若ac>bc，则a>b D．若a>b，则a－c>b－c
【解析】 当c＝0时，A选项错误；若a>－b，则－a【答案】 D
2．直线3x＋2y＋5＝0把平面分成两个区域．下列各点与原点位于同一区域的是( )
A．(－3,4) B．(－3，－4)
C．(0，－3) D．(－3,2)
【解析】 当x＝y＝0时，3x＋2y＋5＝5>0，则原点一侧对应的不等式是3x＋2y＋5>0，可以验证仅有点(－3，4)满足3x＋2y＋5>0.
【答案】 A
3．(2013·菏泽高二检测)不等式x2－ax－12a2<0(其中a<0)的解集为( )
A．(－3a,4a) B．(4a，－3a)
C．(－3,4) D．(－4,3)
【解析】 方程x2－ax－12a2＝0的两根为4a，－3a，且4a<－3a，故4a【答案】 B
4．若a，b∈R，则下列不等式恒成立的是( )
A.≥ B．ab＋≥2
C.≥()2 D．a2＋b2≥a＋b
【解析】 选项A、B当a、b同号时才成立，D不一定成立．如a＝b＝.对于C，a、b∈R时，－()2＝＝≥0，故≥()2成立．
【答案】 C
5．(2013·潍坊高二检测)已知A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|<0}，则A∪B＝
( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(1,2)
【解析】 A＝{x|x>2或x<0}，B＝{x|1∴A∪B＝{x|x<0或x>1}．
【答案】 C
6．(2013·德州高二检测)设x>0，那么3－－x有( )
A．最大值1 B．最小值1
C．最大值5 D．最小值－5
【解析】 ∵x>0，∴3－－x＝3－(＋x)≤3－2＝1，
当且仅当x＝即x＝1时，取等号．
【答案】 A
7．(2013·临沂高二检测)若f(x)＝的定义域为R，则实数k的取值范围是( )
A．{k|0＜k≤1} B．{k|k＜0或k＞1}
C．{k|0≤k≤1} D．{k|k＞1}
【解析】 ①当k＝0时，8>0成立．
②当k≠0时，只须?
则0＜k≤1.由①②知0≤k≤1.
【答案】 C
8．关于x的不等式(1＋x)(2＋x)>0的解集是( )
A．{x|x<1} B．{x|x>－1，或x<－2}
C．{x|x<1，或x>2} D．{x|－2【解析】 原不等式可化为(x＋1)(x＋2)>0，其解集为{x|x>－1}或{x<－2}．
【答案】 B
9．已知正实数a，b满足4a＋b＝30，使得＋取最小值时，实数对(a，b)是( )
A．(5,10) B．(6,6)
C．(10,5) D．(7,2)
【解析】 ∵a，b∈R＋，∴＋＝(4a＋b)(＋)
＝(5＋＋)≥(5＋2)＝，
当且仅当时取“＝”．这时a＝5，b＝10.
【答案】 A
10．设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是( )
A．(1,3] B．[2,3]
C．(1,2] D．[3，＋∞)
【解析】 平面区域D如图阴影部分所示：
很明显，指数函数y＝ax的底数必须大于1，
解方程组
得x＝2，y＝9，即A(2,9)．
当指数函数y＝ax的图象经过点A时，a2＝9，
则a＝3，所以a的取值范围是1【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
11．(2013·合肥高二检测)函数y＝的定义域是______．
【解析】 要使函数有意义，只需6－x－x2>0，∴x2＋x－6<0，∴－3【答案】 {x|－312．若关于x的方程x2＋ax＋a－1＝0有两个异号实根，则a的取值范围是________．
【解析】 由题意有∴a<1.
【答案】 {a|a<1}
13．不等式(m＋1)x2＋(m2－2m－3)x－m＋3＞0恒成立，则m的取值范围是________．
【解析】 m＋1＝0时，m＝－1，不等式化为4＞0恒成立；m＋1≠0时，要使不等式恒成立须
即
∴－1＜m＜3且m≠1.
综上得－1≤m＜3且m≠1.
【答案】 [－1,1)∪(1,3)
14．(2013·济南高二检测)下列命题：
①设a，b是非零实数，若aa2b；②若a；③函数y＝的最小值是2；④若x，y是正数，且＋＝1，则xy的最小值16.其中正确命题的序号是________．
【解析】 ①中ab2－a2b＝ab(b－a)．由于a，b符号不定，故上式符号无法确定，故①不对．②中在a，故②对．③中y＝＝＋≥2，但由＝得x2＋2＝1无解，故③不对．④中，∵＋＝1≥2，
∴xy≥16，即④对．
【答案】 ②④
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)设x∈R，比较与1－x的大小．
【解】 作差：－(1－x)＝，
①当x＝0时，∵＝0，∴＝1－x；
②当1＋x<0，即x<－1时，
∵<0，∴<1－x；
③当1＋x>0且x≠0，即－10时，
∵>0，∴>1－x.
16．(本小题满分12分)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)．
(1)若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k的值；
(2)若不等式的解集为R，求k的取值范围．
【解】 (1)∵不等式kx2－2x＋6k<0的解集为{x|x<－3或x>－2}，
∴x1＝－3与x2＝－2是方程kx2－2x＋6k＝0(k≠0)的两根，
∴－＝＝－3－2，∴k＝－.
(2)若不等式的解集为R，即kx2－2x＋6k<0恒成立，
则满足，∴k<－，
∴k∈{k|k<－}．
17．(本小题满分12分)医院用甲、乙两种药片为手术后的病人配营养餐，已知甲种药片每片含5单位的蛋白质和10单位的铁质，售价为3元；乙种药片每片含7单位的蛋白质和4单位的铁质，售价为2元．若病人每餐至少需要35单位的蛋白质和40单位的铁质，使用甲、乙两种药片各几片才能既满足营养要求又使费用最省？
【解】 设使用甲、乙两种药片分别为x片、y片，则有
目标函数为z＝3x＋2y，如图，作出可行域和一组平行直线3x＋2y＝t(t为参数)，经过可行域内的点且和原点距离最近的直线需经过直线5x＋7y＝35与10x＋4y＝40的交点A(，3)，该直线为3x＋2y＝，但由于x，y∈N，∴A(，3)不是最优解，经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是3x＋2y＝15，过点A′(3,3)，∴A′(3,3)是最优解．
所以，甲、乙两种药片各用3片配餐最好．
18．(本小题满分14分)徐州、苏州两地相距500千米，一辆货车从徐州匀速行驶到苏州，规定速度不得超过100千米/时．已知货车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a元(a>0)．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
【解】 (1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，则全程运输成本为
y＝a·＋0.01v2·＝＋5v，
则y＝＋5v，v∈(0,100]．
(2)依题意知a，v都为正数，
则＋5v≥2 ＝100，
当且仅当＝5v，即v＝10时取等号．
若10≤100，即0若10>100，即a>100时，则当v∈(0,100]时，可以证明函数y＝＋5v是减函数，即此时当v＝100时，全程运输成本y最小．
综上所得，当0v＝10千米/时，全程运输成本最小；当a>100时，行驶速度应为v＝100千米/时，全程运输成本最小．
