课件61张PPT。教师用书独具演示演示结束正弦定理 正弦 三个角及其对边 几个元素 其他元素 已知两角及一边解三角形 已知两边及一边的对角解三角形 判断三角形的形状 课时作业（一）课件68张PPT。教师用书独具演示演示结束余弦定理 平方 平方和 余弦的积 两 b2＋c2－2bccosA a2＋c2－2accosB a2＋b2－2abcosC 余弦定理的推论 已知两边一角解三角形 已知三边解三角形 判断三角形的形状 课时作业（二）课件58张PPT。教师用书独具演示演示结束实际测量中的有关名词、术语 求两点间可视但不可到达的距离问题求不可到达两点之间的距离问题 求底部不可到达的物体的高度问题 课时作业（三）课件51张PPT。教师用书独具演示演示结束方位角与方向角 正南 向西 俯角、仰角与坡角 ∠1 ∠2 确定航向的角度问题 不确定航向的角度问题 课时作业（四）课件55张PPT。教师用书独具演示演示结束三角形的面积公式 三角形中的面积计算 三角形中的证明问题 三角形中的综合问题 课时作业（五）
一、选择题
1．(2013·日照高二测试)在△ABC中，a＝3，∠A＝30°，∠B＝15°，则c＝( )
A．1 B.
C．3 D.
【解析】 ∠C＝180°－30°－15°＝135°，c＝＝＝3.应选C.
【答案】 C
2．(2013·大连高二期中)在△ABC中，若b＝2asin B，则∠A等于( )
A．30°或60° B．45°或60°
C．120°或60° D．30°或150°
【解析】 ∵b＝2asin B，∴sin B＝2sin Asin B，
∴sin A＝，∴∠A＝30°或150°.应选D.
【答案】 D
3．(2013·沈阳高二检测)在△ABC中，a＝15，b＝10，∠A＝60°，则cos B＝( )
A．－ B.
C．－ D.
【解析】 sin B＝＝＝，且∠B<∠A＝60°，
∴cos B＝＝.
【答案】 D
4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若acos A＝bsin B，则sin A·cos A＋cos2B＝( )
A．－ B.
C．－1 D．1
【解析】 ∵acos A＝bsin B，∴sin Acos A＝sin2B，
即sin A·cos A＝1－cos2B，∴sin Acos A＋cos2B＝1－cos2B＋cos2B＝1.
【答案】 D
5．在△ABC中，a＝1，b＝，∠A＝30°，则c＝( )
A．1 B．2
C．1或2 D．无解
【解析】 由＝，
得sin B＝＝.
∵a＜b，∴∠B＞∠A＝30°.
∴∠B为60°或120°.
①当∠B＝60°时，∠C＝180°－60°－30°＝90°.
此时，c＝＝＝2.
②当∠B＝120°时，∠C＝180°－120°－30°＝30°.
此时，c＝a＝1.
【答案】 C
二、填空题
6．(2012·福建高考)在△ABC中，已知∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，BC＝，则AC＝________.
【解析】 根据正弦定理，得＝，故AC＝＝＝＝.
【答案】
7．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若a＝1，b＝，∠A＋∠C＝2∠B，则sin C＝________.
【解析】 ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°且∠A＋∠C＝2∠B，∴∠B＝60°.
由正弦定理得sin A＝＝＝，
又a
【答案】 1
8．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶3∶5，则＝________.
【解析】 ∵a∶b∶c＝1∶3∶5，∴b＝3a，c＝5a，由正弦定理得：2Rsin B＝3×2Rsin A,2Rsin C＝5×2Rsin A，
∴sin B＝3sin A，sin C＝5sin A，
∴＝＝－.
【答案】 －
三、解答题
9．在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状．
【解】 由已知得＝，由正弦定理的推广得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B(R为△ABC的外接圆的半径)，
∴＝，
∴sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B.
∴2∠A＝2∠B或2∠A＝π－2∠B，即∠A＝∠B或∠A＋∠B＝.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
10．在△ABC中，已知D为边BC上的一点，BD＝33，sin B＝，cos ∠ADC＝.求AD.
【解】 由cos ∠ADC＝>0，知∠B<.
又由已知可得cos B＝，sin ∠ADC＝.
从而sin ∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin ∠ADCcos B－cos ∠ADCsin B＝×－×＝.
由正弦定理得＝，
所以AD＝＝＝25.
11．已知在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c.a＝4，∠A＝30°，b＝x(x>0)，当x为何值时，三角形有两解？一解？无解？
【解】 a＝4，b＝x，∠A＝30°.
当x≤4时，由大边对大角知∠B为锐角，
sin B＝≤，此时△ABC有一解．
当4∴∴∠B有两种结果，此时△ABC有两解．
当x＝8时，sin B＝1，∴∠B＝90°，此时△ABC有一解．
当x>8时，sin B＝>1，∠B无解，△ABC无解．
综上，当x≤4或x＝8时，△ABC有一解；
当48时，无解.
一、选择题
1．在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为( )
A. B.
C. D.或
【解析】 由a2＝b2＋bc＋c2，
得b2＋c2－a2＝－bc，
由余弦定理的推论得：cos A＝＝－，
∴∠A＝.
【答案】 C
2．△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为( )
A．19 B．14
C．－18 D．－19
【解析】 由余弦定理的推论知
cos B＝＝，
∴·＝||·||·cos(π－B)＝7×5×(－)＝－19.
【答案】 D
3．(2013·朝阳高二检测)在△ABC中，若acos B＝bcos A，则△ABC的形状一定是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
【解析】 法一 由正弦定理有sin Acos B＝sin Bcos A，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0，即sin(A－B)＝0.
∴∠A＝∠B，
∴△ABC为等腰三角形．
法二 由余弦定理有a·＝b·，
∴a2＋c2－b2＝b2＋c2－a2，
∴a2－b2＝0，即a＝b.
∴△ABC为等腰三角形．
【答案】 D
4．在不等边三角形中，a是最大的边，若a2( )
A．(，π) B．(，)
C．(，) D．(0，)
【解析】 因为a是最大的边，所以∠A>，
又∵a2由余弦定理cos A＝>0，∴∠A<.
故<∠A<.
【答案】 C
5．(2013·东营高二检测)如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．由增加长度决定
【解析】 设直角△ABC三边为a，b，c且满足a2＋b2＝c2，三边增加同样的长度m(m>0)，则c＋m为最长边，
则(a＋m)2＋(b＋m)2＝a2＋b2＋2(a＋b)m＋2m2，
(c＋m)2＝c2＋2mc＋m2.
∵a＋b>c，
∴(a＋m)2＋(b＋m)2>(c＋m)2，
由余弦定理：
cos C＝>0，
∴最大角C为锐角．
【答案】 A
二、填空题
6．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，∠B＝，c＝2，则b＝________.
【解析】 ∵a＝2，∠B＝，c＝2，
∴b＝＝＝2.
【答案】 2
7．在△ABC中，∠B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为________．
【解析】 由余弦定理得：cos B＝＝＝，
∴(a－c)2＝0，∴a＝c.
又∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形．
【答案】 等边三角形
8．若三边分别为a，a＋1，a＋2的三角形是钝角三角形，则a的取值范围是________．
【解析】 由题意知a＋2是三角形的最大边，则
，
∴1【答案】 (1,3)
三、解答题
9．在△ABC中，
(1)a＝3，b＝4，c＝，求最大角．
(2)b＝，c＝2，∠B＝60°，求a.
【解】 (1)显然角C最大，
∴cos C＝
＝
＝－，
∴∠C＝120°.
(2)法一 由正弦定理＝，得sin C＝c＝＝＝，
∴∠C＝45°或∠C＝135°.
∵b>c，∴∠B>∠C，
又∵∠B＝60°，∴∠C＝45°.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝180°－(60°＋45°)＝75°，
∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝6＋4－4×cos 75°＝10－4×＝4＋2，
∴a＝＝＋1.
法二 ∵b2＝a2＋c2－2accos B，
∴6＝a2＋4－4acos 60°＝a2＋4－2a.
∴a2－2a－2＝0.
解得a＝1＋或a＝1－(不合题意，舍去)，
∴a＝1＋.
10．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a、b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，且2cos(A＋B)＝1.求：
(1)角C的度数；
(2)AB的长度．
【解】 (1)cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)
＝－，又∠C∈(0°，180°)，∴∠C＝120°.
(2)由题知：
∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C
＝b2＋a2－2abcos 120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝(2)2－2＝10，
∴AB＝.
11．a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，且(sin B＋sin C＋sin A)(sin B＋sin C－sin A)＝sin Bsin C，边b和c是关于x的方程x2－9x＋25cos A＝0的两根(b>c)．
(1)求角A的正弦值；
(2)求边a，b，c；
(3)判断△ABC的形状．
【解】 (1)∵(sin B＋sin C＋sin A)(sin B＋sin C－sin A)＝sin B·sin C，
结合正弦定理得
(b＋c＋a)(b＋c－a)＝bc，整理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得：cos A＝＝，
∴sin A＝.
(2)由(1)知方程x2－9x＋25cos A＝0，
可化为x2－9x＋20＝0，
解之得x＝5或x＝4.
∵b>c，∴b＝5，c＝4.
由余弦定理知：a2＝b2＋c2－2bccos A，∴a＝3.
(3)由(1)(2)知，a2＋c2＝b2，
∴△ABC为直角三角形.
一、选择题
1．已知A、B两地间的距离为10 km，B、C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地间的距离为( )
A．10 km B．10 km
C．10 km D．10 km
【解析】 由余弦定理可知：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos ∠ABC.
又∵AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，
∴AC2＝700，AC＝10.
【答案】 D
图1－2－8
2．如图1－2－8，从山顶望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB等于( )
A．100米 B．50米
C．50米 D．50(＋1)米
【解析】 设山高为h，则由题意知
CB＝h，DB＝h，
所以h－h＝100，
即h＝50(＋1)．
【答案】 D
图1－2－9
3．在一个高为h的建筑物顶看一旗杆，测得杆顶仰角为30°，杆底俯角为60°，则旗杆高为( )
A.h B.h
C.h D.h
【解析】 在△ACE中，AE＝tan 30°×h＝h.
在△ADE中，DE＝AE×tan 30°＝h×＝，
∴DC＝DE＋EC＝＋h＝h.
【答案】 A
图1－2－10
4．(2013·抚顺高二检测)如图1－2－10：D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点仰角分别是β，α(α<β)，则A点离地面的高度AB等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 在△ADC中，∠DAC＝β－α.
由正弦定理得：＝，
∴AC＝，
∴AB＝AC·sin β＝.
【答案】 A
5．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长( )
A．1千米 B.千米
C.千米 D．2千米
【解析】 如图，∠BAO＝75°，C＝30°，AB＝1，
∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.
在△ABC中，＝，
∴AC＝＝＝(千米)．
【答案】 B
二、填空题
图1－2－11
6．(2013·威海高二检测)如图1－2－11，一艘船上午8∶00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8∶30到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距4n mile，则此船的航行速度是________n mile/h.
【解析】 如图△ABS中，∠S＝45°.由正弦定理：
＝，∴AB＝＝8，
∴船的航行速度为8÷＝16 n mile/h.
【答案】 16
7．在200 m的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为________．
【解析】 如图，设塔AB高为h，在Rt△CDB中，CD＝200 m，∠BCD＝90°－60°＝30°，
∴BC＝＝(m)．
在△ABC中，∠ABC＝∠BCD＝30°，∠ACB＝60°－30°＝30°，
∴∠BAC＝120°.
在△ABC中，由正弦定理得＝，
∴AB＝＝ m.
【答案】 m
8．如图1－2－12，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是________．
图1－2－12
【解析】 tan 30°＝，tan 75°＝，
又AD＋DB＝120，
∴AD·tan 30°＝(120－AD)·tan 75°，
∴AD＝60，故CD＝60.
【答案】 60 m
三、解答题
图1－2－13
9．A、B、C、D四个景点，如图1－2－13，∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，∠ADC＝15°.A、D相距2 km，C、D相距(3－)km，求A、B两景点的距离．
【解】 在△BCD中，
∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°，
由正弦定理得＝，
即BD＝＝2.
在△ABD中，∠ADB＝45°＋15°＝60°，
BD＝AD，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB＝2.
答：A、B两景点的距离为2 km.
10．A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD.
【解】 如图，由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.
因此，只需在△ABD中求出AD即可，
在△ABD中，
∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，
由＝，
得AD＝＝
＝800(＋1)(m)．
所以CD＝AD＝800(＋1)≈2 186(m)．
所以山高CD约为2 186 m.
11．为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内，如图1－2－14，飞机能测量的数据有俯角和A、B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤．
图1－2－14
【解】 ①需要测量的数据有A到M、N的俯角α1、β1，B到M、N的俯角α2、β2，A、B的距离d(如图所示)．
②方案一 第一步：计算AM，由正弦定理AM＝；
第二步：计算AN，
由正弦定理AN＝；
第三步：计算MN，由余弦定理
MN＝.
方案二 第一步：计算BM，由正弦定理BM＝；
第二步：计算BN，
由正弦定理BN＝；
第三步：计算MN，由余弦定理
MN＝
一、选择题
1．某人沿着倾斜角为α的斜坡前进c m，那么他上升的高度是( )
A．csin α B．ctan α
C．ccos α D.
【解析】 设上升的高度h，则sin α＝，
∴h＝csin α.
【答案】 A
2．有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6 m，下底长为10 m，高为2m，那么此栏水坝斜坡的坡度和坡角分别是( )
A.，60° B.，60°
C.，30° D.，30°
【解析】 如图所示，横断面是等腰梯形ABCD，AB＝10 m，CD＝6 m，高DE＝2 m，则AE＝＝2 m，
∴tan ∠DAE＝＝＝，∴∠DAE＝60°.
【答案】 B
3．有一两岸平行的河流，水速为1 m/s，小船的速度为 m/s，为使所走路程最短，小船应朝________方向行驶．( )
A．与水速成45° B．与水速成135°
C．垂直于对岸 D．不能确定
【解析】 如图所示，AB是水速，AD为船速，AC是船的实际速度，且AC⊥AB.在Rt△ABC中，cos ∠ABC＝＝＝＝，
∴∠ABC＝45°，
∴∠DAB＝90°＋45°＝135°.
【答案】 B
4．我军设在南沙群岛相距10 n mile的A，B两小岛上的两个观测站，同时发现一外国船只C非法进入我领海．若在A望C和B成60°的视角，在B望C和A成75°的视角，则船只C距离最近观测站( )
A．5 n mile B．5 n mile
C．5 n mile D．5n mile
【解析】 结合题意作图如右图，由∠B>∠A得BC故船只C距离观测站B近．
∵在△ABC中，
∴＝，
∴BC＝＝＝5(n mile)．
【答案】 C
5．若甲船在B岛的正南方A处，AB＝10 km，甲船以4 km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是( )
A.min B.h
C．21.5 min D．2.15 h
【解析】 当时间t<2.5 h时，如图．
∠CBD＝120°，BD＝10－4t，BC＝6t.
在△BCD中，利用余弦定理得
CD2＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos 120°＝28t2－20t＋100.
当t＝＝(h)，即min时，CD2最小，即CD最小为 .
当t≥2.5 h时，CF＝15×，CF2＝>CD2，
故距离最近时，t<2.5 h，即t＝ min.
【答案】 A
二、填空题
6．△ABC中，a2＝b2＋c2－bc，则∠A＝________.
【解析】 由于a2＝b2＋c2－bc，则b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝＝.又0°<∠A<180°，
∴∠A＝60°.
【答案】 60°
7．(2013·锦州高二检测)一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔距离为________km.
【解析】 如图，由题意，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，
∴∠B＝45°，AC＝60 km，
由正弦定理＝，∴BC＝30 km.
【答案】 30
8．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东________，大小为________km/h.
【解析】 如图，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos 120°＝1 200，故OC＝20，∠COY＝30°＋30°＝60°.
【答案】 60° 20
三、解答题
9．(2013·德州高二检测)某海轮以30海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离．
【解】 如图，在△ABP中，AB＝30×＝20，
∠APB＝30°，∠BAP＝120°，
由＝，
得＝，∴BP＝20.
在△BPC中，BC＝30×＝40，
由已知，∠PBC＝90°，
∴PC＝＝＝20(海里)．
∴P，C间的距离为20海里．
10．一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号，正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A处获悉后，即测出该商船在方位角为45°距离10 n mile的C处，并沿方位角为105°的方向以9 n mile/h的速度航行，“黄山”舰立即以21 n mile/h的速度前去营救．求“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程．
【解】 如图所示，若“黄山”舰
以最少时间在B处追上商船，则A，B，C构成一个三角形．
设所需时间为t小时，
则AB＝21t，BC＝9t.
又已知AC＝10，依题意知，∠ACB＝120°.
根据余弦定理，
AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BCcos∠ACB.
∴(21t)2＝102＋(9t)2－2×10×9tcos 120°，
∴(21t)2＝100＋81t2＋90t，即360t2－90t－100＝0.
∴t＝或t＝－(舍)．
∴AB＝21×＝14(n mile)．
即“黄山”舰需要用小时靠近商船，共航行14 n mile.
11．如图1－2－20，在一个山坡上的一点A测得山顶一建筑物顶端C(相对于山坡)的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B点后，又测得顶端C的斜度为30°，依据所测得的数据，能否计算出山顶建筑物CD的高度，若能，请写出计算的方案(只需用文字和公式写出计算的步骤)；若不能，请说明理由．
图1－2－20
【解】 仅依据所测得的数据，不能计算出山顶建筑物CD的高度．因为依据所测得的三个数据(∠CAB＝15°，∠CBD＝30°，|AB|＝100)，只能确定△ABC的形状与大小，图形中其余的量还是不确定的．
例如山坡的坡度(相对于水平面)θ显然是变量．
则∠CDB＝θ＋90°，在△ABC中，∠BAC＝∠BCA＝15°，所以|AB|＝|BC|＝100.
在△BCD中，由正弦定理得＝，
∴|CD|＝与山坡的坡度θ有关，所以依据所测得的数据，不能计算出山顶建筑物CD的高度.
一、选择题
1．在△ABC中，若＝，则( )
A．∠A＝∠C B．∠A＝∠B
C．∠B＝∠C D．以上都不正确
【解析】 ∵＝＝，
∴sin Bcos C＝cos Bsin C，
∴sin(B－C)＝0.
又∵－π<∠B－∠C<π，∴∠B－∠C＝0.
即∠B＝∠C.
【答案】 C
2．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( )
A．75° B．60°
C．45° D．30°
【解析】 由△ABC的面积为3，且BC＝4，CA＝3，
可知BC·CAsin C＝3，
∴sin C＝.
又△ABC为锐角三角形，∴∠C＝60°.
【答案】 B
图1－2－21
3．某市在“旧城改造”工程中计划在如右图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境．已知这种草皮的价格为a元/m2，则购买这种草皮需要( )
A．450a元 B．225a元
C．150a元 D．300a元
【解析】 由面积公式知三角形区域面积为×20×30×sin 150°＝150 m2，所以购买这种草皮需150a元．
【答案】 C
4．(2013·济南高二检测)在△ABC中，a＝1，∠B＝45°，S△ABC＝2，则此三角形的外接圆的半径R＝( )
A. B．1
C．2 D.
【解析】 S△ABC＝acsin B＝c＝2，∴c＝4.
b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋32－8×＝25，
∴b＝5.∴R＝＝＝.
【答案】 D
图1－2－22
5．如图1－2－22，在四边形ABCD中，已知∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于( )
A. B．5
C．6 D．7
【解析】 连接BD，在△BCD中，由余弦定理知：
BD2＝22＋22－2×2×2·cos 120°＝12，
即BD＝2.
∵BC＝CD，∴∠CBD＝30°，
∴∠ABD＝90°，即△ABD为直角三角形．
故S四边形ABCD＝S△BCD＋S△ABD＝×2×2×sin 120°＋×4×2＝5.
【答案】 B
二、填空题
6．有一三角形的两边长分别为3 cm,5 cm，其夹角α的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则此三角形的面积是________cm2.
【解析】 解方程5x2－7x－6＝0，得x＝2或x＝－，
∵|cos α|≤1，∴cos α＝－，sin α＝.
故S△＝×3×5×＝6(cm2)．
【答案】 6
7．在钝角△ABC中，已知a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围是________．
【解析】 设最大边c所对的角为θ，则cos θ＝＜0，∴5－c2＜0，∴c＞.
又由三边关系得：1＋2＞c，
综上c的取值范围为(，3)．
【答案】 (，3)
8．在△ABC中，已知∠A＝60°，b＝1，面积为，则等于________．
【解析】 ∵S△＝bcsin A，
∴c＝＝＝4.
∴a2＝b2＋c2－2bccos A
＝1＋16－2×4×cos 60°＝13，
∴a＝.
∴＝＝.
【答案】
三、解答题
9．如图1－2－23所示，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．
图1－2－23
【解】 在△ABD中，设BD＝x，
则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，
即：142＝x2＋102－2·10x·cos 60°.
整理得：x2－10x－96＝0，
解得：x1＝16，x2＝－6(舍去)．
由正弦定理：＝，
∴BC＝·sin 30°＝8.
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos A＝，·＝3.
(1)求△ABC的面积；
(2)若b＋c＝6，求a的值．
【解】 (1)因为cos A＝，
所以sin A＝.
又由·＝3，得bccos A＝3，
所以bc＝5.
因此S△ABC＝bcsin A＝2.
(2)由(1)知，bc＝5，
又b＋c＝6，
所以b＝5，c＝1或b＝1，c＝5.
由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bccos A＝20，
所以a＝2.
11．(2013·辽阳高二检测)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶5∶6.
(1)求cos B；
(2)若△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【解】 (1)根据正弦定理及sin A∶sin B∶sin C＝2∶5∶6可得a∶b∶c＝2∶5∶6，于是可设a＝2k，b＝5k，c＝6k(k>0)，
由余弦定理可得
cos B＝＝＝，
即cos B＝.
(2)由(1)可知sin B＝＝，
由面积公式S△ABC＝acsin B可得
S△ABC＝·(2k)·(6k)·＝，
∴k＝1.
故△ABC的周长＝2k＋5k＋6k＝13k＝13.
