课件62张PPT。教师用书独具演示演示结束数列及其有关概念 次序 每一个数 通项 {an} 数列的分类 有限 无限 大于 小于 相等 数列的通项公式 n an＝f(n) 通项公式 数列的概念 写数列的通项公式 数列通项公式的简单应用 课时作业（六）课件49张PPT。教师用书独具演示演示结束递推公式 第1项 前一项an－1 递推 递推公式的应用 由递推公式求通项公式 数列的最大(小)项的求法 课时作业（七）课件54张PPT。教师用书独具演示演示结束等差数列的概念 前一项 同一个常数 常数 公差 等差中项 A 等差数列的通项公式 an－an－1 a1＋(n－1)d 等差 一条直线 y＝ax＋b y＝b 等差数列的判断 等差数列的通项公式及其应用 等差数列的实际应用问题 课时作业（八）课件57张PPT。教师用书独具演示演示结束子数列的性质 等差 等差数列的变形通项公式 (n－m) “下标和”性质 ap＋aq 2at a2＋an－1 a3＋an－2 等差数列的“子数列”性质的应用 等差数列“下标和”性质的应用 等差数列的设法及运算 课时作业（九）课件58张PPT。教师用书独具演示演示结束等差数列的前n项和公式 a1＋a2＋…＋an a1＋a2＋…＋an 等差数列前n项和公式的基本运算 等差数列前n项和公式的实际应用 由Sn求an 课时作业（十）课件53张PPT。教师用书独具演示演示结束等差数列前n项和的性质 等差 等差数列前n项和Sn的最值 负 小 正 大 等差数列前n项和的性质 等差数列前n项和的最值问题 裂项相消法求数列的和 课时作业（十一）课件53张PPT。教师用书独具演示演示结束等比数列的定义 第2项 同一个常数 公比 q 等比中项 等比 数列 G2＝xy 等比数列的通项公式 a1qn－1 等比数列的通项公式及运算 等比数列的判断 等比数列的实际应用 课时作业（十二）课件58张PPT。教师用书独具演示演示结束“子数列”性质 等比数列 ak＋1 q 等比数列 ak qk “下标和”性质 aman apaq 等比数列的性质的应用 等比数列的“设元”技巧 等差、等比数列的综合问题 课时作业（十三）课件60张PPT。教师用书独具演示演示结束等比数列前n项和公式 等比数列前n项和公式的基本运算 等比数列前n项和公式的实际应用 错位相减法求数列的前n项和 课时作业（十四）课件64张PPT。教师用书独具演示演示结束等比数列前n项和的性质 S3n－S2n qn 等比数列前n项和的性质及应用 由递推公式求通项公式 等差、等比数列的综合应用 课时作业（十五）
一、选择题
1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则数列{an}的公差d等于( )
A．2 B．3
C．6 D．7
【解析】 由题意∴d＝3.
【答案】 B
2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为( )
A．15 B．16
C．49 D．64
【解析】 a8＝S8－S7＝64－49＝15.
【答案】 A
3．在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1为( )
A．5或7 B．3或5
C．7或－1 D．3或－1
【解析】 由条件可得
解得a1＝3或－1.
【答案】 D
4．(2013·日照高二检测)等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则数列{an}前9项的和S9等于( )
A．66 B．99
C．144 D．297
【解析】 ∵a1＋a7＝2a4，a3＋a9＝2a6，∴3a4＝39,3a6＝27，
∴a4＝13，a6＝9，∴S9＝＝＝99.
【答案】 B
5．若一个等差数列{an}的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )
A．13项 B．12项
C．11项 D．10项
【解析】 a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，所以3(a1＋an)＝180，即a1＋an＝60.
由Sn＝390，知＝390，
所以＝390，解得n＝13.
【答案】 A
二、填空题
6．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n项和Sn＝100，则n＝________.
【解析】 设等差数列的公差为d，则a3＋a5＝2a1＋6d＝2＋6d＝14，∴d＝2.
则Sn＝n＋×2＝n2.
令Sn＝100，即n2＝100.
解得n＝10或n＝－10(舍)．
【答案】 10
7．(2013·鞍山高二检测)设等差数列{an}与{bn}的前n项之和分别为Sn与Sn′，若＝，则＝________.
【解析】 ＝＝＝＝＝＝.
【答案】
8．流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，那么到11月7日该市新感染者共有________人．
【解析】 设从11月1日起，第n天的新感染者有an人，则an＋1－an＝50，
则每天的新感染者构成以a1＝20，d＝50的等差数列{an}，
所以到11月7日该市新感染者共有
S7＝7a1＋d＝7×20＋×50＝1 190人．
【答案】 1 190
三、解答题
9．已知等差数列{an}，解答下列问题：
(1)已知a1＝5，a10＝95，求S10；
(2)已知a1＝100，d＝－2，求S50；
(3)已知a1＝20，an＝54，Sn＝999，求n，d；
(4)已知d＝2，S100＝10 000，求a1与an.
【解】 (1)S10＝＝＝500.
(2)S50＝50×100＋×(－2)＝2 550.
(3)Sn＝＝＝999，
∴n＝27，d＝＝＝.
(4)∵S100＝100a1＋×2＝10 000，∴a1＝1，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝2n－1.
10．沙尘暴是由于土地沙漠化引起的，根据调查，某县2012年已有一定面积的沙漠，以后每年被沙漠化的土地面积相同；该县从2013年起在沙漠上植树，改造沙漠为林地，以后每年都比上一年多植相同面积的树木，据统计，沙漠面积及每年植树面积如下表：
年份
沙漠面积
每年植树面积
2013年底
25 200
1 000
2014年底
24 000
1 400
问：到哪一年年底可以将所有沙漠改造完？
【解】 设2012年有沙漠m亩，以后每年被沙漠化的土地面积有y亩，从2013年起在沙漠上每年植树面积构成等差数列{an}，a1＝1 000，a2＝1 400，公差d＝400，
则第n年底植树面积为：
Tn＝1 000n＋×400
＝200n2＋800n.
则第n年底沙漠总面积为：
Sn＝m＋ny－Tn＝m＋ny－200n2－800n.
∴
解得
∴Sn＝－200n2－600n＋26 000≤0，
即n2＋3n－130≥0，
解得n≥10或n≤－13(舍去)．
故到2022年年底可以将所有沙漠改造完．
11．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，求an.
【解】 ∵an＝Sn－Sn－1，
∴Sn－Sn－1＝，
即(Sn－Sn－1)(2Sn－1)＝2S，
即Sn－1－Sn＝2SnSn－1，
即－＝2，
∴{}成等差数列，且S1＝a1＝1.
∴＝1＋2(n－1)，即Sn＝.
∴an＝Sn－Sn－1＝－
＝(n≥2)．
∴an＝
一、选择题
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 由题意S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列．
∵＝，不妨设S3＝1，S6＝3，则S6－S3＝2，所以S9－S6＝3，故S9＝6，∴S12－S9＝4，故S12＝10，
∴＝.
【答案】 A
2．一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是( )
A.， B.，1
C.，2 D．1，
【解析】 ∵S偶－S奇＝5d＝15－12.5＝2.5，
∴d＝0.5.由10a1＋×0.5＝15＋12.5＝27.5，
∴a1＝0.5，故选A.
【答案】 A
3．(2013·东营高二检测)已知等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，若S16>0，S17<0，则当Sn最大时n的值为( )
A．8 B．9
C．10 D．16
【解析】 ∵S17＝＝<0，∴a9<0.
又∵S16＝＝>0，∴a8>0，
∴S8最大．
【答案】 A
4．(2013·德州高二检测)已知等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d>0，则使得前n项和Sn取得最小值时的正整数n的值是( )
A．4和5 B．5和6
C．6和7 D．7和 8
【解析】 依题意a5<0，a9>0，且a5＋a9＝0?2a1＋12d＝0?a1＋6d＝0，即a7＝0，故前6项与前7项的和最小，故选C.
【答案】 C
5．已知数列{an}是通项an和公差都不为零的等差数列，设Sn＝＋＋…＋，则Sn等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵{an}是等差数列，公差d≠0，
∴＝(－)．
∴Sn＝(－＋－＋…＋－)
＝(－)＝.
【答案】 A
二、填空题
6．已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________.
【解析】 ∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.
【答案】 5
7．等差数列{an}共有21项，奇数项之和为33，则S21＝________.
【解析】 ∵＝且S奇＝33，∴S偶＝30，
∴S21＝S奇＋S偶＝33＋30＝63.
【答案】 63
8．若数列{an}的前n项和Sn＝log(n＋1)，则a10＋a11＋a12＋…＋a99＝________.
【解析】 a10＋a11＋a12＋…＋a99＝S99－S9＝log100－log10
＝(－2)－(－1)＝－1.
【答案】 －1
三、解答题
9．已知一个等差数列{an}的前12项的和为354，前12项中偶数项的和S偶与前12项中奇数项的和S奇之比为，求此数列的公差d.
【解】 由题意，可知
由此可解得
又由等差数列前n项和性质，得S偶－S奇＝6d，故d＝5.
10．已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
【解】 (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.
(2)法一 a1＝9，d＝－2，
Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n
＝－(n－5)2＋25，
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
法二 由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列．
令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤.
∵n∈N*，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
11．设数列{an}满足a1＝0，且－＝1.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，记Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn.
证明：Sn<1.
【解】 (1)由题设－＝1，
即{}是公差为1的等差数列．
又＝1，
故＝n，∴an＝1－.
(2)证明：由(1)得bn＝＝
＝－，
∴Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝1－＋－＋－＋…＋－
＝1－.
∵n∈N*，∴>0，
∴1－<1，即Sn<1.
一、选择题
1．下面有四个结论：
①由第1项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列；
②常数列b，…，b一定为等比数列；
③等比数列{an}中，若公比q＝1，则此数列各项相等；
④等比数列中，各项与公比都不能为零．
其中正确的结论的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 ①错误，当乘以的常数为零时，不是等比数列；②错误，b＝0时，不是等比数列；③④正确．故答案选C.
【答案】 C
2．(2013·济南高二检测)＋1与－1，两数的等比中项是( )
A．1 B．－1
C．±1 D.
【解析】 设两数的等比中项为G，则G2＝(＋1)(－1)＝1，
∴G＝±1.
【答案】 C
3．(2013·本溪高二检测)下列命题中正确的是( )
A．若a，b，c是等差数列，则lg a，lg b，lg c是等比数列
B．若a，b，c是等比数列，则lg a，lg b，lg c是等差数列
C．若a，b，c是等差数列，则10a,10b,10c是等比数列
D．若a，b，c是等比数列，则10a,10b,10c是等差数列
【解析】 若a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，
∴10a·10c＝10a＋c＝102b＝(10b)2，∴10a,10b,10c是等比数列．
【答案】 C
4．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成( )
A．511个 B．512个
C．1 023个 D．1 024个
【解析】 ∵每20分钟分裂一次，∴经过3小时要分裂9次，即29＝512个．
【答案】 B
5．一个各项均为正数的等比数列，其任何项都是后面两项的和，则其公比是( )
A. B.
C. D.
【解析】 由已知得an＝an＋1＋an＋2，
即a1qn－1＝a1qn＋a1qn＋1，
∴q2＋q＝1，解得q＝.
又q>0，∴q＝.
【答案】 D
二、填空题
6．等比数列{an}中，a1＝，an＝，公比q＝，则n＝________.
【解析】 由an＝a1qn－1，得＝()n－1，即()n－1＝.故n＝4.
【答案】 4
7．(2013·德州高二检测)在6和768之间插入6个数，使它们组成共8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是________．
【解析】 由条件得，768＝6×q7，解得q＝2.
∴a6＝6×25＝192.
【答案】 192
8．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝________.
【解析】 设数列{an}的公比为q(q≠0)，
因为a1，a3,2a2成等差数列，
则a1＋2a2＝a3，即a1＋2a1q＝a1q2.
则1＋2q＝q2，解得q＝1±.
又等比数列{an}中，各项都是正数，
则q>0，
则q＝1＋.
所以＝＝q2＝(1＋)2＝3＋2.
【答案】 3＋2
三、解答题
9．已知一个等比数列的前三项依次是a,2a＋2,3a＋3，求a的值．
【解】 由等比数列的定义，得＝，
即(2a＋2)2＝a(3a＋3)，∴a2＋5a＋4＝0，
解得a＝－1或a＝－4.
当a＝－1时，2a＋2＝3a＋3＝0，舍去，
所以a＝－4.
10．已知数列{an}满足a1＝，且an＋1＝an＋，n∈N*.
(1)求证：{an－}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【解】 (1)证明：∵an＋1＝an＋，
∴an＋1－＝an＋－＝(an－)．
∴＝.
∴{an－}为首项为，公比为的等比数列．
(2)∵an－＝×()n－1，
∴an＝×()n－1＋.
11．某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．
(1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值；
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
【解】 (1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….
由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝(1－10%)＝0.9，
∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1.
∴n年后车的价值为an＝13.5×(0.9)n－1万元．
(2)由(1)得a4＝a1·q3＝13.5×0.93≈9.8(万元)，
∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到9.8万元.
一、选择题
1．等比数列中，a5a14＝5，则a8·a9·a10·a11＝( )
A．10 B．25
C．50 D．75
【解析】 a8·a11＝a9·a10＝a5·a14，
∴a8·a9·a10·a11＝(a5·a14)2＝25.
【答案】 B
2．(2013·威海高二检测)公差不为0的等差数列的第二、三、六项构成等比数列，则公比为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 设这三项为a2，a2＋d，a2＋4d，因为构成等比数列，故(a2＋d)2＝a2·(a2＋4d)，即d(d－2a2)＝0，∴d＝2a2，∴a2＋d＝3a2，∴q＝＝＝3.
【答案】 C
3．设数列{an}为等比数列，则下面四个数列：
①{a}；②{pan}(p为非零常数)；③{an·an＋1}；④{an＋an＋1}．其中是等比数列的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】 设数列{an}的首项为a1，公比为q.则＝()3＝q3，∴数列{a}是等比数列；＝＝q，
∴数列{pan}也是等比数列；＝＝q2，
∴数列{an·an＋1}也是等比数列；＝＝q，
∴数列{an＋an＋1}也是等比数列．
【答案】 D
4．等比数列{an}的各项均为正数，且a2a9＝9，数列{bn}满足bn＝log3an，则数列{bn}前10项和为( )
A．10 B．12
C．8 D．2＋log35
【解析】 b1＋b2＋…＋b10＝log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1·a2·…·a10)＝log3(a2a9)5＝5log39＝10.
【答案】 A
5．(2013·营口高二检测)设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1a2…a30＝230，则a3a6…a30等于( )
A．2 B．210
C．20 D．220
【解析】 设{an}的首项为a1，公比为q＝2.
∴a1a2…a30＝a1·a1q·a1q2·…·a1q29＝aq15×29＝230.
∴aq5×29＝210.
∴a3a6a9…a30＝a1q2·a1q5·…·a1q29＝aq5×31＝aq5×29·q10＝220.
【答案】 D
二、填空题
6．在等比数列{an}中，若an<0且a3a5＋2a4a9＋a7a11＝100，则a4＋a9等于________．
【解析】 ∵a3·a5＝a，a7a11＝a，∴a3a5＋2a4a9＋a7a11＝a＋2a4a9＋a＝(a4＋a9)2＝100，∴a4＋a9＝－10.
【答案】 －10
7．在2和8之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于________．
【解析】 设a1＝2，a5＝8，∴a3＝＝4，
∴a2·a3·a4＝a·a3＝a＝43＝64.
【答案】 64
8．(2013·沈阳高二检测)已知数列{an}是等比数列，则在下列数列：①{}；②{C－an}，C为常数；③{a}；
④{a2n}；⑤{lgan}中，一定成等比数列的个数是________．
【解析】 对于①，因为＝＝(常数)，所以{}是等比数列．
对于②，当an＝1且C＝1时，{C－an}不是等比数列．
对于③，＝()2＝q2(常数)，∴{a}是等比数列．
对于④，＝＝q2(常数)，∴{a2n}是等比数列．
对于⑤，当an<0时，lgan无意义，∴{lgan}不是等比数列．
当an>0时，{lgan}是等差数列．
故一定是等比数列的有3个．
【答案】 3
三、解答题
9．已知数列{an}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值．
【解】 ∵{an}为等比数列，
∴a1·a9＝a3·a7＝64.
又∵a3＋a7＝20，
∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4.
①当a3＝4，a7＝16时，
＝q4＝4，此时a11＝a3q8＝4×42＝64.
②当a3＝16，a7＝4时，
＝q4＝，此时a11＝a3q8＝16×()2＝1.
10．3个互不相等的实数成等差数列，如果适当安排这3个数，又可以成等比数列，且这三个数的和为6，求这3个数．
【解】 由题意，这3个数成等差数列，可设这3个数分别为a－d，a，a＋d.∵a－d＋a＋a＋d＝6.
∴a＝2，即3个数分别为2－d,2,2＋d.
①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，
解得d＝6或d＝0(舍去)，此时3个数为－4,2,8.
②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，
解得d＝－6或d＝0(舍去)，此时3个数为8,2，－4.
③若2为等比中项，则有22＝(2＋d)(2－d)，
解得d＝0(舍去)．
综上可知，这3个数是－4,2,8.
11．已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a>0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.
(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}唯一，求a的值．
【解】 (1)设{an}的公比为q，则b1＝1＋a1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2.
由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)，
即q2－4q＋2＝0，
解得q1＝2＋，q2＝2－，
故{an}的通项公式为an＝(2＋)n－1或an＝(2－)n－1.
(2)设{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)·(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0，
由a>0得，Δ＝4a2＋4a>0，故方程aq2－4aq＋3a－1＝0有两个不同的实根．
由{an}唯一，故方程必有一根为0，代入上式得a＝.
一、选择题
1．已知{an}是由正数组成的等比数列，Sn表示{an}的前n项和．若a1＝3，a2a4＝144，则S10的值是( )
A．511 B．1 023
C．1 533 D．3 069
【解析】 由题意知a2a4＝144，即
a1q·a1q3＝144，所以aq4＝144，
∴q4＝16，∴q＝2，∴S10＝＝3(210－1)＝3 069.
【答案】 D
2．(2013·潍坊高二检测)在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝6，a2＋a3＋a4＝－3，则a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝( )
A. B.
C. D.
【解析】 ＝＝＝q＝－.
又a1＋a2＋a3＝a1＋a1q＋a1q2＝6，∴a1＝8.
∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝S7－a1－a2＝－8－(－4)＝.
【答案】 A
3．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则的值为( )
A. B.
C. D.
【解析】 S4＝＝15a1，
a3＝a1·q2＝4a1，∴＝＝.
【答案】 A
4．一只蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴，…，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂( )
A．55 986只 B．46 656只
C．216只 D．36只
【解析】 a1＝(1＋5)1，a2＝(1＋5)2，…，a6＝(1＋5)6＝46 656.
【答案】 B
5．(2013·大连高二检测)在数列{an}中，已知对任意正整数n，有a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋…＋a等于( )
A．(2n－1)2 B.(2n－1)2
C．4n－1 D.(4n－1)
【解析】 由a1＋a2＋…＋an－1＋an＝2n－1，
得a1＋a2＋…＋an－1＝2n－1－1，
∴an＝2n－1，
∴a＝4n－1，
∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．
【答案】 D
二、填空题
6．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.
【解析】 ∵S6＝4S3，∴公比q≠1，
∴＝4·，
∴q3＝3，∴a4＝a1q3＝3.
【答案】 3
7．数列，，，…，，…的前n项和为________．
【解析】 Sn＝＋＋＋…＋， ①
Sn＝＋＋…＋＋， ②
①－②得，Sn＝＋＋＋…＋－＝－
＝1－－，
∴Sn＝2－－.
【答案】 2－－
8．一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是________．
【解析】 每层点的灯盏数从上到下构成一等比数列a1，a2，……a7.
由题意知q＝2，S7＝381，
所以381＝，即
381＝127a，∴a1＝3，
∴a7＝3×26＝192.
【答案】 192
三、解答题
9．(2013·抚顺高二检测)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
【解】 (1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，
由于a1≠0，故2q2＋q＝0.
又q≠0，从而q＝－.
(2)由已知可得a1－a1(－)2＝3，故a1＝4.
从而Sn＝＝[1－(－)n]．
10．(2013·长春高二检测)已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，方程ax2－3x＋2＝0的解为1和b(b≠1)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}满足bn＝an·2n，求数列{bn}的前n项和Tn.
【解】 (1)因为方程ax2－3x＋2＝0的两根为x1＝1，x2＝b，
可得故a＝1，b＝2.所以an＝2n－1.
(2)由(1)得bn＝(2n－1)·2n，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1·2＋3·22＋…＋(2n－1)·2n， ①
2Tn＝1·22＋3·23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1， ②
②－①得
Tn＝－2(2＋22＋…＋2n)＋(2n－1)·2n＋1＋2＝(2n－3)·2n＋1＋6.
图2－3－1
11．如图2－3－1，作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，求前n个内切圆的面积和．
【解】 设第n个正三角形的内切圆的半径为an，因为从第2个正三角形开始，每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的，每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的.
结合题意可知a1＝atan 30°＝a，an＝an－1，
故前n个内切圆的面积和为
π(a＋a＋…＋a)
＝π·a[1＋＋()2＋…＋()n－1]
＝×
＝(1－).
一、选择题
1．(2013·德州高二检测)已知一个等比数列的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为( )
A．63 B．108
C．75 D．83
【解析】 由题意Sn＝48，S2n＝60，∴S2n－Sn＝12且Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，故S3n－S2n＝3，
∴S3n＝3＋S2n＝63.
【答案】 A
2．已知等比数列{an}的通项公式为an＝2×3n－1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和Sn＝( )
A．3n－1 B．3(3n－1)
C. D.
【解析】 由题意，由数列{an}的偶数项所组成的新数列的首项为a2＝2×32－1＝6，公比为q2＝32＝9，
∴Sn＝＝.
【答案】 D
3．(2013·丹东高二检测)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝( )
A．3×44 B．3×44＋1
C．44 D．44＋1
【解析】 由an＋1＝3Sn?Sn＋1－Sn＝3Sn?Sn＋1＝4Sn，故数列{Sn}是首项为1，公比为4的等比数列，故Sn＝4n－1，
∴a6＝S6－S5＝45－44＝3×44.
【答案】 A
4．某种细胞开始时有2个，一小时后分裂成4个并死去1个，两小时后分裂成6个并死去1个，三小时后分裂成10个并死去1个，…按照这种规律进行下去，100小时后细胞的存活数是________个．( )
A．2100－1 B．2100＋1
C．299－1 D．299＋1
【解析】 由题意得，1个，2个，3个，4个，5个…小时后分别有3,5,9,17,33…，可知，3＝2＋1,5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，所以100小时后细胞存活数为2100＋1个．
【答案】 B
5．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为( )
A.或5 B.或5
C. D.
【解析】 由题意可知，显然q≠1.
∵9(a1＋a2＋a3)＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，
∴8(a1＋a2＋a3)＝a4＋a5＋a6，
8(a1＋a2＋a3)＝(a1＋a2＋a3)q3，
∴q＝2，an＝2n－1，
∴＋＋…＋＝＋＋…＋＝.
【答案】 C
二、填空题
6．(2013·威海高二检测)在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝－2，则该数列的前15项的和S15＝________.
【解析】 S3＝1，S6－S3＝－2，∴S9－S6＝4，S12－S9＝－8，S15－S12＝16，∴S15＝S3＋S6－S3＋S9－S6＋S12－S9＋S15－S12＝1－2＋4－8＋16＝11.
【答案】 11
7．数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2，则an＝________.
【解析】 ∵an＋1＝3an＋2，
∴an＋1＋1＝3(an＋1)．
又a1＋1＝2，
∴数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列．
∴an＋1＝2×3n－1，
∴an＝2·3n－1－1.
【答案】 2·3n－1－1
8．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝____________.
【解析】 设{an}的公比为q，由已知可得q≠1，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，
S2n＝，S奇＝.
由题意得＝，∴1＋q＝3，
∴q＝2.
【答案】 2
三、解答题
9．(2013·日照高二检测)等比数列{an} 中，S2＝7，S6＝91，求S4.
【解】 ∵数列{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，
∴(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，
即(S4－7)2＝7·(91－S4)，
∴S－7S4－588＝0，∴S4＝28或S4＝－21.
10．(2013·井冈山高二检测)已知点(1,2)是函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象上一点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝logaan＋1，求数列{anbn}的前n项和Tn.
【解】 (1)把点(1,2)代入函数f(x)＝ax，得a＝2，
所以数列{an}的前n项和为Sn＝f(n)－1＝2n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，对n＝1时也适合，∴an＝2n－1.
(2)由a＝2，bn＝logaan＋1得bn＝n，所以anbn＝n·2n－1.
∵Tn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1， ①
∴2Tn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n， ②
由①－②得，
－Tn＝20＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n，
所以Tn＝(n－1)2n＋1.
11．某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元．今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造．预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年记为第一年)的利润为500(1＋)万元(n为正整数)．
(1)设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(需扣除技术改造资金)，求An，Bn的表达式；
(2)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
【解】 (1)依题意设：An＝(500－20)＋(500－40)＋…＋(500－20n)＝490n－10n2；Bn＝500·[(1＋)＋(1＋)＋…＋(1＋)]－600＝500n－－100.
(2)Bn－An＝(500n－－100)－(490n－10n2)＝10n2＋10n－－100＝10[n(n＋1)－－10]．因为函数y＝x(x＋1)－－10在(0，＋∞)上为增函数，∴当1≤n≤3时，n(n＋1)－－10≤12－－10<0；当n≥4时，n(n＋1)－－10≥20－－10>0.∴当n≥4时， Bn>An.答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.
一、选择题
1．(2013·丹东高二检测)已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．常数列
【解析】 由已知得an＋1－an＝3>0，故{an}为递增数列．
【答案】 A
2．(2013·盘锦高二检测)数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式为( )
A．an＝2n－1 B．an＝(－1)n(1－2n)
C．an＝(－1)n(2n－1) D．an＝(－1)n(2n＋1)
【解析】 各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，其通项公式为2n－1，而符号为先正再负的规律，故应为(－1)n＋1，观察四个选项，只有B可以变形为(－1)n＋1(2n－1)．
【答案】 B
3．(2013·德州高二检测)数列，，，，…的第100项是( )
A. B.
C. D.
【解析】 观察所给数列，其通项公式应为an＝，当n＝100时，a100＝.
【答案】 C
4．数列，3，，，3，…的通项公式可以是( )
A. B.
C. D.
【解析】 数列可写为，，，，，…，
被开方数分别为6×1－3,6×2－3,6×3－3,6×4－3，6×5－3，…，
故通项公式写为an＝.
【答案】 A
5．已知数列{an}中，a1＝1，以后各项由公式a1·a2·a3·…·an＝n2给出，则a3＋a5等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 由a1·a2＝4，得a2＝4，
由a1·a2·a3＝32，得a3＝.
∵a1·a2·a3·a4＝42，
又a1·a2·a3·a4·a5＝52，∴42·a5＝52，
∴a5＝，∴a3＋a5＝＋＝.
【答案】 C
二、填空题
6．数列1，2，3，4，…的一个通项公式为________．
【解析】 分两部分观察，
整数部分为n，分数部分为，
∴通项公式为
an＝n＋＝＝.
【答案】 an＝
7．已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.
【解析】 ∴a2－a＝2，
∴a＝2或－1，又a<0，∴a＝－1.
又a＋m＝2，∴m＝3，
∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.
【答案】 2
8．下列有三种说法，其中正确的说法是________．
①数列a，a，a，…是无穷数列；
②数列{f(n)}可以看作是一个定义域为正整数N*或它的有限子集{1,2，…，n}的函数值；
③已知数列{an}，则数列{an＋1－an}也是一个数列．
【解析】 ①③显然正确．对于②，数列可以看作是一个定义域为正整数N*或它的有限子集{1,2,3…，n}的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，故②不正确．
【答案】 ①③
三、解答题
9．根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来．
(1)an＝(－1)n＋2；
(2)an＝.
【解】 (1)a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1.图象如图1.
(2)a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝.图象如图2.
图1 图2
10．写出下列数列的一个通项公式．
(1)1，－2,3，－4,5，…；
(2)7,77,777,7 777，…；
(3)1，3，5，7，…；
(4)，，，，…；
(5)－，，－，，….
【解】 (1)这个数列的前4项1，－2,3，－4的绝对值都是序号且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n＋1·n.
(2)将原数列改写为×9，×99，×999，…，
易知数列9,99,999，…的通项公式为10n－1，
故所求数列的通项公式为an＝(10n－1)．
(3)此数列的整数部分为1,3,5,7，…是奇数列，与序号的关系是2n－1，分数部分为，，，，…，与序号的关系是，所以数列的一个通项公式为
an＝(2n－1)＋.
(4)这个数列的前4项，，，的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，所以它的一个通项公式是an＝.
(5)这个数列的前4项－，，－，的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an＝.
11．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q(p，q∈R)，且a1＝－，a2＝－.
(1)求{an}的通项公式；
(2)－是{an}中的第几项？
(3)该数列是递增数列还是递减数列？
【解】 (1)∵an＝pn＋q，
又a1＝－，a2＝－，
∴解得
因此{an}的通项公式是an＝()n－1.
(2)令an＝－，即()n－1＝－，
所以()n＝，n＝8.故－是{an}中的第8项．
(3)由于an＝()n－1，且()n随n的增大而减小，因此an的值随n的增大而减小，故{an}是递减数列.
一、选择题
1．数列，，，，…的递推公式可以是a1＝且( )
A．an＝(n∈N*) B．an＝(n∈N*)
C．an＋1＝an(n∈N*) D．an＋1＝2an(n∈N*)
【解析】 数列从第二项起，后项是前项的.
【答案】 C
2．在数列{an}中，a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，那么这个数列的第5项为( )
A．6 B．－3
C．－12 D．－6
【解析】 ∵a1＝3，a2＝6，∴a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－6.
【答案】 D
3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，…中，x的值为( )
A．10 B．11
C．12 D．13
【解析】 a1＝1，a2＝1，a3＝2＝a1＋a2，a4＝3＝a2＋a3，a5＝5＝a3＋a4，a6＝8＝a4＋a5，∴x＝5＋8＝13.
【答案】 D
4．已知数列an<0，且2an＋1＝an，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．无法判断
【解析】 an＋1－an＝an－an＝－an.
∵an<0，∴－an>0，∴an＋1>an，
∴{an}为递增数列．
【答案】 A
5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，则an＝( )
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
【解析】 a2＝a1＋ln 2，a3＝a2＋ln ，a4＝a3＋ln ，…，an－1＝an－2＋ln ，an＝an－1＋ln ，故an＝a1＋ln 2＋ln ＋ln ＋…＋ln ＋ln ＝a1＋ln(2×××…××)＝a1＋ln n＝2＋ln n.
【答案】 A
二、填空题
6．数列{an}中，若an＋1－an－n＝0，则a2 012－a2 011＝________.
【解析】 由已知a2 012－a2 011－2 011＝0，∴a2 012－a2 011＝2 011.
【答案】 2 011
7．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a2 012＝________.
【解析】 a1＝3，a2＝6，a3＝a2－a1＝3，
a4＝a3－a2＝－3，
a5＝a4－a3＝－3－3＝－6，
a6＝a5－a4＝－6＋3＝－3，
a7＝3，a8＝6，a9＝a3，a10＝a4，
∴a2 012＝a6×335＋2＝a2＝6.
【答案】 6
8．依次写出数列a1＝1，a2，a3，…，an(n∈N*)的法则如下：如果an为自然数，则写an＋1＝an－2，否则就写an＋1＝an＋3，则a6＝________.(注意0是自然数)
【解析】 ∵a1＝1是自然数，
∴a2＝a1－2＝－1，
∵a2＝－1不是自然数，
∴a3＝a2＋3＝2，
∴a4＝a3－2＝2－2＝0，
∴a5＝a4－2＝－2.
∵a5不是自然数，
∴a6＝a5＋3＝－2＋3＝1.
【答案】 1
三、解答题
9．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出．
(1)写出此数列的前5项；
(2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项．
【解】 (1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2，
∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，
a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.
故数列{an}的前5项依次为
a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.
(2)∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，
∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝.
故b1＝，b2＝，b3＝，b4＝.
10．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求通项an.
【解】 ∵an＋1＝，∴an＋1(an＋3)＝3an，
∴an＋1an＝3an－3an＋1.
两边同除以3an＋1·an得＝－，
∴－＝，－＝，…，－＝，
把以上这(n－1)个式子累加，
得－＝.
∵a1＝1，∴an＝.
11．已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·()n，试求数列{an}的最大项．
【解】 假设第n项an为最大项，则
即
解得即4≤n≤5，
所以n＝4或5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝.
一、选择题
1．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋1，则a2 012等于( )
A．2 012 B．2 011
C．2 010 D．2 013
【解析】 由an＋1－an＝1知{an}为等差数列且d＝1.
又a1＝1，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝n，
∴a2 012＝2 012.
【答案】 A
2．等差数列1，－1，－3，…，－89共有( )项．
A．92 B．47
C．46 D．45
【解析】 由题意首项a1＝1，d＝－2，故－89＝1＋(n－1)(－2)，解得n＝46.
【答案】 C
3．已知等差数列{an}中，a1＝2，且有a5＋a7＝2a4＋4，则a3＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
【解析】 由a5＋a7＝2a4＋4得
2a1＋10d＝2a1＋6d＋4，
∴d＝1，由a1＝2得an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，
∴a3＝4.
【答案】 B
4．在首项为81，公差为－7的等差数列中，值最接近零的项是( )
A．第11项 B．第12项
C．第13项 D．第14项
【解析】 由an＝a1＋(n－1)d得an＝－7n＋88，
令an≥0，解得n≤＝12.
而a12＝4，a13＝－3，
故a13的值最接近零．
【答案】 C
5．等差数列{an}中，前3项依次是，，，则a101＝( )
A．50 B．13
C．24 D．8
【解析】 ∵2×＝＋，
∴x＝2，∴a1＝，a2＝，
∴d＝，∴a101＝8.
【答案】 D
二、填空题
6．三个数lg(－)，x，lg(＋)成等差数列，则x＝________.
【解析】 由等差中项的运算式得
x＝＝＝0.
【答案】 0
7．等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则此数列的通项公式为________．
【解析】 由得或
∵d<0，∴a2＝6，a4＝2，
∴d＝－2，∴an＝10－2n.
【答案】 an＝10－2n
8．若x≠y，两个数列：x，a1，a2，a3，y和x，b1，b2，b3，b4，y都是等差数列，则＝________.
【解析】 设两个数列的公差分别为d1，d2，则a2－a1＝d1＝，b3－b2＝d2＝，故＝.
【答案】
三、解答题
9．在等差数列{an}中，
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.
【解】 (1)由题意知解得
(2)∵∴
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
∴a9＝2×9－1＝17.
10．假设某市2012年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增加50万平方米．那么从哪一年年底开始，该市每年新建住房的面积开始大于820万平方米？
【解】 设从2011年年底开始，n年后该市每年新建的住房面积为an万平方米．
由题意，得{an}是等差数列，首项a1＝400，公差d＝50.
则an＝a1＋(n－1)d＝350＋50n.
令350＋50n>820，
解得n>.
由于n∈N*，则n≥10.
即从2021年年底开始，该市每年新建住房的面积大于820万平方米．
11．已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且n∈N*)确定．
(1)求证：{}是等差数列；
(2)当x1＝时，求x100.
【解】 (1)证明：xn＝f(xn－1)＝(n≥2且n∈N*)，
∴＝＝＋，
即－＝(n≥2且n∈N*)．
∴{}是等差数列．
(2)＝＋(n－1)×＝2＋＝，
∴＝＝35，
∴x100＝.
一、选择题
1．(2013·济南高二检测)已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，若a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，则( )
A．a5＝6 B．a6＝0
C．a7＝0 D．a9＝0
【解析】 ∵{an}为等差数列，∴a5＋a9＝a6＋a8＝2a7，
∴a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝5a7＝0，∴a7＝0.
【答案】 C
2．(2013·德州高二检测)若{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝( )
A．39 B．20
C．19.5 D．33
【解析】 ∵a1＋a4＋a7＝3a4＝45，∴a4＝15.
∵a2＋a5＋a8＝39，∴3a5＝39，∴a5＝13.
∴d＝a5－a4＝－2，∴a6＝a5＋d＝11，
a3＋a6＋a9＝3a6＝3×11＝33.
【答案】 D
3．(2013·鞍山高二检测)如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则( )
A．a1a8>a4a5 B．a1a8
C．a1＋a8>a4＋a5 D．a1a8＝a4a5
【解析】 ∵{an}为各项均大于零且公差d≠0的等差数列，而a1a8＝a1(a1＋7d)＝a＋7a1d，a4a5＝(a1＋3d)·(a1＋4d)＝a＋7a1d＋12d2，显然，a1a8【答案】 B
4．设数列{an}、{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于( )
A．0 B．37
C．100 D．－37
【解析】 ∵{an}与{bn}为等差数列，∴{an＋bn}为等差数列．
又a1＋b1＝100，a2＋b2＝100，
∴{an＋bn}的首项为a1＋b1，公差为100－100＝0，
∴a37＋b37＝(a1＋b1)＋(37－1)d＝100.
【答案】 C
5．等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是( )
A．20 B．22
C．24 D．－8
【解析】 ∵a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，∴a8＝24，而2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.
【答案】 C
二、填空题
6．等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.
【解析】 ∵a5＝a2＋3d，∴3d＝6，∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13，或∵a3＋a5＝a2＋a6，∴7＋a2＋6＝a2＋a6，
∴a6＝13.
【答案】 13
7．已知{an}为等差数列，a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则该数列的正数项共有________项．
【解析】 ∵a5＋a7＝2a6＝4，a6＋a8＝2a7＝－2，
∴a6＝2，a7＝－1，∴d＝a7－a6＝－3，
∴an＝a6＋(n－6)d＝2＋(n－6)×(－3)＝－3n＋20.
令an≥0，解得n≤，即n＝1,2,3，…，6，该数列的正整数项共有6项．
【答案】 6
8．一架飞机在起飞时，第一秒滑行了2 m，以后每秒都比前一秒多滑行4 m，又知离地前一秒滑行了58 m，这架飞机起飞所用的时间为________．
【解析】 飞机每秒滑行的距离组成等差数列，记为{an}，其中a1＝2，d＝4，an＝58，代入等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，得2＋4(n－1)＝58，
∴n＝15(秒)．
【答案】 15秒
三、解答题
9．已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2·a4·a6＝45.求数列{an}的通项公式．
【解】 ∵a1＋a7＝2a4，
∴a1＋a4＋a7＝3a4＝15，∴a4＝5.
又∵a2·a4·a6＝45，∴a2·a6＝9.
即(a4－2d)(a4＋2d)＝9.
∴(5－2d)(5＋2d)＝9.
解得：d＝±2.
当d＝2时，an＝2n－3；
当d＝－2时，an＝13－2n.
10．已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求这四个数．
【解】 设成等差数列的四个数依次为：
a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
由已知条件得
(a－3d)·(a＋3d)－(a－d)·(a＋d)＝－18，
解得d＝±，又知(a－3d)2＋(a－d)2＋(a＋d)2＋(a＋3d)2＝94，
化简得4a2＋20d2＝94，解得a＝±.
(1)当d＝，a＝时，
这四个数为－1,2,5,8.
(2)当d＝，a＝－时，
这四个数为－8，－5，－2,1.
(3)当d＝－，a＝时，
这四个数为8,5,2，－1.
(4)当d＝－，a＝－时，
这四个数为1，－2，－5，－8.
11．若关于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0(m，n∈R且m≠n)的四个根组成首项为的等差数列，求m＋n的值．
【解】 设x2－x＋m＝0的两根为x1、x2，x2－x＋n＝0的两根为x3、x4，则x1＋x2＝x3＋x4＝1，不妨设数列的首项为x1，则数列的第4项为x2，
所以x1＝，x2＝.公差d＝＝，
所以中间两项分别是＋，＋×2.
所以x1x2＝，x3x4＝×.
所以m＋n＝＋×＝.
