4.5函数模型的应用（二）第2课时2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册(word教案）

环节四 函数模型的应用（二）第2课时
1．通过热门的实际问题建立数学模型来求解的，经历建模的过程，提升学生的数学素养．
2．能识别三种函数的增长模式不同，合理选择．
3．函数建模思想是重要的思想，让学生不断探索寻求最贴合的函数模型，提升数学抽象能力和建模能力．
教学重点：掌握建模的过程和步骤．
教学难点：掌握函数建模的思想和方法．
PPT．
知识应用
例5 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
问题1 为了选择出合适的投资方案，我们可以利用什么数学工具比较这三种投资方案的回报情况？
答案：我们可以利用函数工具对这三种投资方案进行比较．可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据．
追问1 三种方案的本质是三个不同的函数模型，你能根据题中提供的三种投资方案的描述，分析出其中的常量、变量及其相互关系，并建立三种投资方案所对应的函数模型吗？
答案：三种投资方案每天所得的回报都是随天数的变化而变化的，即每天的回报是关于天数的函数，因此可设第x天所得回报是y元．
方案一每天的回报是固定的40元，可以用函数y＝40（x∈N*）进行描述．
方案二每天的回报是递增的，并且第一天的回报是10元，以后每天回报的增加量是10元，可以用函数y＝10x（x∈N*）进行描述．
方案三每天的回报也是递增的，并且第一天的回报是0.4元，但以后每天回报的增长率是1，即以后每天的回报都是前一天的1＋1＝2倍，可以用函数y＝0.4×2x-1（x∈N*）进行描述．
追问2 三种方案所对应的三个函数模型有何差异？我们可以通过什么方法对它们增长情况的差异进行分析？
答案：三个模型中，第一个是常数函数，第二个是直线型函数，第三个是指数型函数．要对它们增长情况的差异进行分析，可以通过列表的方式，比较函数值和自变量的变化情况．也可以在同一直角坐标系中画出三个函数的图象，观察图象的变化趋势．
追问3 利用计算器，列出三种方案所对应的三个函数的自变量与函数值，以及函数值增加量的对应值表．并根据对应值表，在同一直角坐标系中，画出三个函数的图象．根据对应值表和函数图象，描述一下三种方案的特点．
答案 完成的对应值表如表1．
表1
x 方案一 方案二 方案三
y 增加量/元 y 增加量/元 y 增加量/元
1 40 10 0．4
2 40 0 20 10 0．8 0．4
3 40 0 30 10 1．6 0．8
4 40 0 40 10 3．2 1．6
5 40 0 50 10 6．4 3．2
6 40 0 60 10 12．8 6．4
7 40 0 70 10 25．6 12．8
8 40 0 80 10 51．2 25．6
9 40 0 90 10 102．4 51．2
10 40 0 100 10 204．8 102．4
… … … … … … …
30 40 0 300 10 214 748 364．8 107 374 182．4
完成的函数图象如图1，为了便于观察，用虚线连接离散的点．
由表1和图1可知，方案一的函数是常函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同．可以看到，尽管方案一、方案二在第一天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的．从每天所得回报看，在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所回报已超过2亿元．
问题2 根据上一问中，对每天的回报数的分析，是否应作出这样的选择：投资5天以下选方案一，投资5~8天选方案二，投资8天以上选方案三？
答案：计算每天回报的增加量（或增长率）是对数据的基本处理方法，虽然根据数表和图象都可以直观看出三种函数模型的增长差异，但要具体到投资的天数，回报的增加量还不足以作为选择投资方案的依据．因为无论是每天的回报，还是每天回报的增加量，都只能反映出一天或者相比于前一天的回报情况，并不能反映出投资的总回报，所以不应这样选择投资方案．
追问 如果不应该这样选择投资方案，那么还应该如何分析三种方案所对应的三个函数模型，进行方案的选择？
答案：投资方案的选择，应该考虑投资一定天数后，总的回报数，因此需要逐天计算累计的回报数．通过利用计算器计算，列出三种方案累计的回报数如表2．
表2
方案 天数
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440
二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660
三 0．4 1．2 2．8 6 12．4 25．2 50．8 102 204．4 409．2 818．8
因此，投资1~6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8~10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三．
例6 某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：，，，其中哪个模型能符合公司的要求？
问题3 根据题目条件，你认为应该如何选择符合公司要求的函数模型？
答案：三种函数模型都是从数学语言的角度，描述了奖金y随销售利润x的变化情况．因此要选择出符合公司要求的函数模型，应当将公司要求也用数学语言进行描述，然后在该要求下，判断三种函数模型是否满足要求，进行选择．
追问 根据题中给出的条件，你能将公司对奖金的要求，转化为用数学语言描述的要求吗？
答案：由于公司总的利润目标为1 000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润．于是只需要在区间上，寻找并验证所选函数是否满足两条要求：第一，奖金总数不超过5万元，即函数的最大值不大于5，；第二，奖金不超过利润的25%，即函数值不超过自变量的0．25倍，．
问题4 函数图象能直观反映函数的性质特征，从而可以直观判断函数模型是否符合公司的要求．为此，你能否在同一直角坐标系中画出函数图象，并根据第一个要求，在同一直角坐标系中再把函数的图象画出，然后通过观察作出初步的判断吗？
答案：利用信息技术在同一直角坐标系中画出函数，，，的图象，画好的函数图象如图2．
观察图象，在区间上，模型，的图象都有一部分在直线的上方，只有模型的图象始终在的下方，这说明只有按模型进行奖励时才符合公司的第一个要求．
追问 为了确认上述判断，我们需要通过具体的计算，确定哪个模型能满足第一个要求，即奖金数不超过5万元，也即．你能结合三个模型所对应的三个函数的性质，计算并判断出它们在区间上，是否满足吗？
答案：对于模型，它在区间上单调递增，而且当时，，因此，当时，，所以该模型不符合要求．
对于模型，由函数图象，并利用信息技术，可知在区间内有一个点x0满足，由于它在区间上单调递增，因此当时，，所以该模型也不符合要求．
对于模型，它在区间上单调递增，而且当时，，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．
问题5 我们已经判断出符合第一个要求的模型只有，还需要进一步判断，按该模型奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当时，是否有，即成立．你认为可以用什么方法判断？
答案：由于和分别为对数型函数和直线型函数，它们在上都是单调递增的，但是它们的增长速度不同．由“4．4．3不同函数增长的差异”可知，的增长速度要比慢得多，所以可以构造函数，在时，观察函数图象的变化趋势，然后再通过定量的计算进行判断是否有．
追问 在直角坐标系中画出函数在区间上的图象．观察图象，然后通过计算判断，在区间上是否有？
答案：利用信息技术画出函数，的图象如图3．
由图象可知函数在区间上单调递减，因此
，
即
．
所以，当时，，说明按模型奖励，奖金不会超过利润的25%．
综上所述，模型确实能符合公司要求．
（二）课堂练习
1．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y（万公顷）关于年数x（年）的函数关系较为近似的是（ ）
A．y＝0.2x B．y＝（x2＋2x）
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
解：因为三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，可以看出来不是线性增加，故选项A不符合题意；
对于选项B：把x＝1，2，3分别代入解析式中，得y＝0.3，0.8，1.5，函数值与实际数值相差较大；
对于选项C：把x＝1,2,3分别代入解析式中，得y＝0.2，0.4，0.8，函数值与实际数值完全吻合或相差无几；
对于选项D：把x＝1代入解析式中，得y＝0.2；把x＝2代入解析式中，得y＝0.2＋log162＝0.45；把x＝3代入解析式中，得y＝0.2＋log163＝0.2＋log23＜0.2＋log24＝0.7，与选项C相比，选项C更近似，
故选：C．
2．噪声是指发声体做无规则振动时发出的声音.声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质(如固体 液体 气体)中进行传播.噪声不但会对听力造成损伤，也对人们的生活工作有所干扰，还能诱发多种致癌致命的疾病.科学家经过大量的分析发现：声音强度D(分贝)与声音能量I(W/cm2)之间存在函数关系.经测定，数据如下表：
声音能量 10-13 10-12 ×10-12 ×10-12 ×10-12 ×10-12
声音强度D 30 40 42.7875 44.4716 45.6820 46.6276
为了描述声音强度D(分贝)与声音能量I(W/cm2)之间的函数关系，现有以下两种模型供选择：D＝KI＋B，D＝MlgI＋N.
（1）选出你认为符合实际的函数模型，简单叙述理由，并写出相应的解析式；
（2）对于人的耳朵，(40,60]分贝的声音比较适宜室内谈话，(60,70]分贝的声音比较适宜室外谈话.试问声音能量在什么范围时适合人与人交流谈话？
解：（1）选择D＝MlgI＋N.
原因：当自变量的取值为10-12，×10-12，×10-12，×10-12，×10-12时，
发现自变量增加量为常数×10-12时，但函数增加量不是常数，
所以不选择一次函数，而选择D＝MlgI＋N.
由已知可得：，
即，解之得，
所以解析式为D＝10lgI＋160.
（2）由已知可得：当40＜D≤70时，适合人与人交流谈话，所以40＜10lgI＋160≤70，
即：－120＜10lgI≤－90，
即：－12＜lgI≤－9，所以10-12＜I≤10-9.
所以当声音能量I∈(10-12,10-9]时，适合人与人交流谈话.
环节三、归纳总结
问题6 （1）通过解答以上两道例题的实际问题，并结合教科书中的例3和例4，你能归纳出建立函数模型解决实际问题的基本过程吗？
（2）回顾本单元的内容，你能用思维导图梳理本单元的研究内容和方法吗？
答案：（1）用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下图5：
这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题．在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等．
（2）本单元研究内容和方法的思维导图如图6：
本类资源
探究式教学（Hands-on Inquiry Based Learning），又称“做中学”、发现法、研究法，是指学生在学习概念和原理时，教师只是给他们一些事例和问题，让学生自己通过阅读、观察、实验、思考、讨论、听讲等途径去主动探究，自行发现并掌握相应的原理和结论的一种方法。它的指导思想是在教师的指导下，以学生为主体，让学生自觉地、主动地探索，掌握认识和解决问题的方法和步骤，研究客观事物的属性，发现事物发展的起因和事物内部的联系，从中找出规律，形成概念，建立自己的认知模型和学习方法架构。可见，在探究式教学的过程中，学生的主体地位、主动能力都得到了加强。
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