4.5函数模型的应用（二）第1课时2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word教案）

环节三 函数模型的应用（二）第1课时
1．通过热门的实际问题建立数学模型来求解的，经历建模的过程，提升学生的数学素养．
2．能识别三种函数的增长模式不同，合理选择．
3．函数建模思想是重要的思想，让学生不断探索寻求最贴合的函数模型，提升数学抽象能力和建模能力．
教学重点：掌握建模的过程和步骤．
教学难点：掌握函数建模的思想和方法．
PPT．
过渡语：函数是刻画客观世界中各种各样运动变化现象的数学工具，本节课我们通过具体的函数模型的应用，体会应用函数解决实际问题的一般步骤，感受函数广泛的应用价值．
知识应用
（一）例题教学
例3 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T．R．Malthus，1766－1834）就提出了自然状态下的人口增长模型
y=y0ert，
其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．
（1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55 196万和67 207万．根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型．
（2）利用（1）中的模型计算1951～1958年各年末的人口总数．查阅国家统计局网站公布的我国在1951～1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符．
（3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿？
问题1 如何利用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950～1959年这一时期的具体人口增长模型？
追问1 在马尔萨斯人口增长模型“y=y0ert”中，哪些是变量？哪些是参数？它们的实际意义是什么？
答案：马尔萨斯人口增长模型“y=y0ert”中，t表示经过的时间，y表示经过t年后的人口数，t，y都是变量；y0表示t=0时的人口数，e是自然对数的底数，r表示人口的年平均增长率，y0，e，r都是参数，其中e是已知常数，y0，r是待定的参数．
追问2 如何根据我国的数据求马尔萨斯人口增长模型中的参数y0，r的值？
答案：要建立我国在1950～1959年这一时期的具体人口增长模型，因为y0表示时间为0时的人口数，所以y0为1950年末的人口数55 196万，即y0=55 196．
根据马尔萨斯人口增长模型，有
67 207=55 196e9r，
由计算工具得
r≈0.021876．
追问3 根据前面问题的结果，你能写出我国在1950～1959年这一时期的具体人口增长模型吗？并说说这是一个什么类型的函数？其自变量是什么？定义域是什么？
答案：根据前面问题的结果，我国在1950～1959年期间的人口增长模型为
y=55 196e0.021876t，t∈[0，9]，
这是一个指数型函数，其自变量是经过的时间t（年），定义域是t∈[0，9]．
问题2 由问题1所得的人口增长模型与我国1950～1959年的实际人口数据是否相符？
追问1 如何检验所得模型与我国1950～1959年的实际人口数据是否相符？
答案：查阅国家统计局网站公布的我国在1951～1958年各年末的实际人口总数，然后利用问题1中的模型计算1951～1958年各年末的人口总数，列表从数据上进行比较．还可以在同一直角坐标系中画出我国在1951～1958年各年末的实际人口总数数据对应的散点图，和人口模型的函数图象，观察它们的拟合程度，从图象上进行比较．
追问2 查阅国家统计局网站公布的我国在1951～1958年各年末的实际人口总数，如表1中第二行的数据所示．
表1
年份 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958
实际人口总数/万 56300 57482 58796 60266 61465 62828 64563 65994
计算所得人口总数/万
利用问题1中的模型，计算1951～1958年各年末的人口总数，填入表1中的第三行，并比较数据．所得模型与实际人口数据是否相符？
答案：分别取t=1，2，…，8，由y=55 196e0.021876t可得我国在1951～1958年间的各年末人口总数，完成的数据表如表2所示．
表2
年份 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958
实际人口总数/万 56300 57482 58796 60266 61465 62828 64563 65994
计算所得人口总数/万 56417 57665 58940 60243 61576 62938 64330 65753
从数据上看，所得模型与实际人口数据基本相符．
追问3 根据表1中的数据，画出实际人口总数数据对应的散点图，再在同一直角坐标系中画出函数y=55 196e0.021876t，t∈[0，9]的图象，观察散点图与函数图象是否相符？由此你能得到什么结论？
答案：完成的图象如图1所示
观察可知，散点基本在函数y=55 196e0.021876t，t∈[0，9]的图象上下浮动，并且紧密贴合着函数图象．
由此可以得出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合．
问题3 以问题1中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿？
答案：将y=130 000代入y=55 196e0.021876t，由计算器得t≈39.15．所以按照问题1中的
模型增长，大约在1950年后的第40年（即1990年），我国的人口就已达到13亿．
追问 事实上，我国1990年的人口数为11.43亿，直到2005年才突破13亿．对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？
答案：马尔萨斯人口模型是在自然状态下的人口增长模型．我们只是依据1950年末和1959年末的数据建立的模型，这一时期我国人口处于自然增长状态，因此所得的模型与这一时期的人口增长情况基本吻合．而1990年的实际人口数据与模型差异较大，可能是由于在1990年之前的一段时期，我国的人口不是在自然状态下进行增长的．
事实上，因为人口基数较大，人口增长过快，与当时我国经济发展水平产生了较大矛盾，所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策．因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况．
例4 2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此大坝大概是什么年代建成的？
追问1 死亡生物体内碳14的残留量满足什么变化规律？据此我们应该建立怎样的数学模型来推断良渚古城水利系统中水坝的建成年代？
答案：因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率p衰减，属于指数衰减，所以应选择函数y＝kax（k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1）建立数学模型，其中a＝1－p．
追问2 已知碳14的半衰期为5 730年，由此你能确定上述函数模型中的参数值吗？
答案：根据碳14的半衰期为5 730年，将y＝k和x＝5 730代入上式可得
k＝ka5730．
于是
a＝，
所以
y＝k()x．
问题4 通过追问1，我们建立了利用样本中的碳14的残留量来推测水坝大概建成年代的数学模型，利用这个模型，再结合所给条件，你能推断出良渚古城水利系统中水坝的建成年代吗？
答案：由样本中碳14的残余量约为初始量的55．2%可知，
k()x＝55.2%k，
即 ()x＝0.552．
解得 x＝．
由计算器得 x≈4912．
因为2010年之前的4 912年是公元前2903年，所以推断此水坝大概是公元前2903年建成的．
（二）课堂练习
1．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t(单位：分)后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·e-kt，其中Ta称为环境温度，k为比例系数．现有一杯90oC的热水，放在26oC的房间中，10分钟后变为42oC的温水，那么这杯水从42oC降温到34oC时需要的时间为（ ）
A．8分钟 B．6分钟 C．5分钟 D．3分钟
解：由T－Ta＝(T0－Ta)·e-kt可得，
当90oC的热水，放在26oC的房间中，10分钟后变为42oC的温水时有：
42－26＝(90－26)·e-10k，解得k＝－ln＝，
则当水的温度由42oC下降到34oC时，34－26＝(42－26)·e，
化简得：＝e，
对上边的式子两边取对数得：ln＝－t，解得：t＝5.
故选：C．
2．一种药在病人血液中的量保持1500mg以上才有效，而低于500mg病人就有危险．现给某病人注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：lg2＝0.301，lg3＝0.4771，答案采取四舍五入精确到0.1h）
A．2.3小时 B．3.5小时 C．5.6小时 D．8.8小时
解：药在血液中以每小时20%的比例指数衰减，设从注射了这种药开始经过x小时后，药在病人血液中的量为y mg，根据题中条件可得y＝2500×(1－20%)x＝2500×0.8x，
这种药在病人血液中的量保持1500mg以上才有效，则2500×0.8x＝1500，即0.8x＝0.6，两边取对数得：lg0.8x＝lg0.6，所以xlg0.8＝lg0.6，
可得：x＝＝＝＝≈2.3．
故选：A．
归纳总结
问题5 回顾本节课，我们主要研究了哪些类型的函数模型？给定函数模型，如何根据实际数据确定模型中的参数？利用具体的函数模型分析和解决实际问题时需要注意些什么？
答案：本节课主要研究了指数型的函数模型，一个是经典的指数增长模型的人口问题，一个是经典的指数衰减模型的放射性元素问题．
当给定函数模型时，要正确理解所给函数模型中变量的实际意义，结合条件得到方程，并利用信息技术求出参数的值．
利用具体的函数模型分析和解决实际问题时，需要注意其适用的条件．