课件58张PPT。教师用书独具演示演示结束不等式与不等关系 不等号 比较两实数的大小 右边 左边 a＝b，a>b，a
c a＋c>b＋c a>c－b a＋c>b＋d ac>bc acbd an(对应学生用书第109页)
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000”
B．小明的身高x，小华的身高y，则小明比小华矮表示为“x>y”
C．某变量x至少是a可表示为“x≥a”
D．某变量y不超过a可表示为“y≥a”
【解析】 对于A，x应满足x≤2 000，故A错；对于B，x，y应满足x【答案】 C
2．(2013·岳阳高二检测)已知非零实数a，b满足a>b，则下列不等式成立的是( )
A．a2>b2 B.<
C．a2b>ab2 D.>
【解析】 当a>b且a、b均小于零时，a2当a>b，则ab<0时，>，B不正确；当ab<0时，C不正确；只有D选项正确．
【答案】 D
3．(2013·南昌高二检测)若a>b且c∈R，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a>bc B．a2>b2
C．a＋c>b＋c D．ac2>bc2
【解析】 对于A：当0>a>b，c<0时不成立；对于B：当0>a>b时不成立；对于D：当c＝0时不成立，C正确．
【答案】 C
4．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，下列不等式恒成立的是( )
A．ac>bc B．ab>ac
C．a|b|>c|b| D．a2>b2>c2
【解析】 由a＋b＋c＝0，a>b>c，得a>0，c<0.
∵b>c，∴ab>ac.
【答案】 B
5．已知c>1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是( )
A．x>y B．x＝y
C．x【解析】 ∵x＝－＝，
y＝－＝，
∴x【答案】 C
二、填空题
6．一个两位数，其中个位数字为a，十位数字为b，且这个两位数大于50，可用不等式表示为________．
【解析】 这个两位数可以写成10b＋a，由题意，10b＋a>50.
【答案】 10b＋a>50
7．若－1【解析】 ∵－1－x>－y>0，xy>0，
∴x2>y2，>.∵y2>0，<0，∴x2>y2>>.
【答案】 x2>y2>>
8．(2013·深圳高二检测)给出以下四个命题：
①a＞b?an＞bn(n∈N*)；②a＞|b|?an＞bn(n∈N*)；③a＜b＜0?＞；④a＜b＜0?＞.其中真命题的序号是________．
【解析】 ①中取a＝－1，b＝－2，n＝2，不成立；
②a＞|b|，得a＞0，∴an＞bn成立；
③a＜b＜0，得＞成立；
④a＜b＜0，得a－b＜0，且a－b＞a，故＜，④不成立．
【答案】 ②③
三、解答题
9．已知a>b>c，求证：＋＋>0.
【证明】 原不等式变形为：＋>.
又∵a>b>c，所以a－c>a－b>0，
∴>，又>0，
∴＋>，
即＋＋>0.
10．某球迷协会一行56人从旅馆乘出租车到球场为球队加油，现有A、B两个出租车队，A队比B队少3辆车．若全部安排乘A队的车，每辆车坐5人，车不够，每辆车坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐满．试用不等式表示上述不等关系．
【解】 设A队有出租车x辆，则B队有出租车(x＋3)辆．
由题意，得
11．某粮食收购站分两个等级收购小麦，一级小麦每千克a元，二级小麦每千克b元(b【解】 分级收购时，粮站支出(ma＋nb)元，
按平均价格收购时，粮站支出元．
因为(ma＋nb)－
＝(a－b)(m－n)，
又因为b所以当m>n时，粮站占便宜；
当m＝n时，一样；
当m
一、选择题
1．给出下面四个推导过程：
①∵a、b为正实数，∴＋≥2 ＝2；
②∵x、y为正实数，∴lg x＋lg y≥2；
③∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2 ＝4；
④∵x，y∈R，xy<0，∴＋＝－[(－)＋(－)]≤－2 ＝－2.
其中正确的推导为( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
【解析】 ①∵a、b为正实数，∴、为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确；
②虽然x、y为正实数，但当x∈(0,1)或y∈(0,1)时，lg x或lg y是负数，∴②的推导过程是错误的；
③∵a∈R，a≠0，不符合均值不等式的条件，
∴＋a≥2 ＝4是错误的；
④由xy<0，得、均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，(－)、(－)均变为正数，符合均值不等式的条件，故④正确．
【答案】 D
2．已知a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值为( )
A．6 B．4
C．2 D．2
【解析】 2a＋2b≥2＝2＝4.
【答案】 B
3．(2013·西安高二检测)设0A．aC．a<【解析】 由a＝，b＝＝，0【答案】 B
4．(2013·朝阳高二检测)已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是( )
A．2 B．2
C．4 D．5
【解析】 ∵＋＋2≥＋2≥2＝4，当且仅当时，取“＝”，即a＝b＝1时，原式取得最小值4.
【答案】 C
5．已知x，y>0且x＋y＝1，则p＝x＋＋y＋的最小值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
【解析】 p＝x＋＋y＋＝3＋＋≥3＋2＝5.
当且仅当x＝y＝时，取“＝”．
【答案】 C
二、填空题
6．已知x，y∈R＋，且xy＝100，则x＋y的最小值为________．
【解析】 x＋y≥2＝20，当且仅当x＝y＝10时取“＝”．
【答案】 20
7．设a>1，且m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a＋1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系是________(用“>”连接)．
【解析】 ∵a>1，∴a2＋1>2a>a＋1，
∴loga(a2＋1)>loga(2a)>loga(a＋1)，
∴m>p>n.
【答案】 m>p>n
8．在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________．
【解析】 设两数为x，y，即4x＋9y＝60，
＋＝(＋)
＝(13＋＋)
≥×(13＋12)＝，
当且仅当＝，且4x＋9y＝60，即x＝6且y＝4时，等号成立，故应分别填上6、4.
【答案】 6,4
三、解答题
9．设a，b，c是不全相等的正数，求证：＋＋>a＋b＋c.
【证明】 ∵a、b、c>0，∴＋≥2c，
＋≥2b，＋≥2a，
∴2(＋＋)≥2(a＋b＋c)．
又∵a、b、c不全相等，
∴＋＋>a＋b＋c.
10．(2013·泰安高二检测)已知不等式ax2－3x＋2<0的解集为A＝{x|1(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)＝(2a＋b)x－(x∈A)的最小值．
【解】 (1)由题意知：解得a＝1，b＝2.
(2)由(1)知a＝1，b＝2，
∴A＝{x|1∴f(x)＝4x＋(1而x>0时，4x＋≥2＝2×6＝12.当且仅当4x＝，
即x＝时取等号．而x＝∈A，∴f(x)的最小值为12.
11．已知函数f(x)＝lg x(x∈R＋)，若x1，x2∈R＋，判断[f(x1)＋f(x2)]与f()的大小并加以证明．
【解】 [f(x1)＋f(x2)]≤f()．
证明如下：f(x1)＋f(x2)
＝lg x1＋lg x2＝lg(x1·x2)，
f()＝lg()．
∵x1，x2∈R＋，
∴≥ ，
∴lg≤lg()，
即lg(x1·x2)≤lg()，
∴(lg x1＋lg x2)≤lg()．
故[f(x1)＋f(x2)]≤f().
一、选择题
1．下列函数中，最小值为4的函数是( )
A．y＝x＋ B．y＝sin x＋
C．y＝ex＋4e－x D．y＝log3x＋logx81
【解析】 A中，x符号不定，排除A；B中，当sin x＝2时取“＝”，不可能，∴排除B；C中，ex＝2时取“＝”，故选C；D中，log3x符号不定，∴排除D.
【答案】 C
2．(2013·济南高二检测)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A. B．4
C. D．5
【解析】 ∵a＋b＝2，∴y＝＋＝＋＝＋＋＋2≥＋2＝，当且仅当＝且a＋b＝2，取“＝”．
【答案】 C
3．(2013·德州高二检测)某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则( )
A．x＝ B．x≤
C．x> D．x≥
【解析】 由条件知A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2，
∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤[]2，
∴1＋x≤1＋，故x≤.
【答案】 B
4．(2013·重庆高二检测)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝( )
A．1＋ B．1＋
C．3 D．4
【解析】 f(x)＝x＋＝x－2＋＋2.
∵x>2，∴x－2>0.
∴f(x)＝x－2＋＋2≥2 ＋2＝4，
当且仅当x－2＝，
即x＝3时“＝”成立．
又f(x)在x＝a处取最小值．∴a＝3.
【答案】 C
5．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是( )
A．[6，＋∞) B．[9，＋∞)
C．(0,9] D．(0,6]
【解析】 ∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3(当a＝b时取“＝”)，即ab－2－3≥0，∴≥3或≤－1(舍去)，∴ab≥9.
【答案】 B
二、填空题
6．已知0【解析】 当0＝2－[(－log2x)＋]≤2－2.
当且仅当－log2x＝，
即(log2x)2＝5，亦即x＝2－时，等号成立．
【答案】 2－2
7．(2013·苏州高二检测)函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn>0)上，则＋的最小值为________．
【解析】 由题意知A(1,1)，∴m＋n＝1，
∴＋＝(＋)(m＋n)＝2＋＋≥4，
当且仅当m＝n时“＝”成立．
【答案】 4
8．某校要建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，池底和池壁的造价每平方米分别为240元和160元，那么水池的最低总造价为________元．
【解析】 设底面的长为x m，宽为y m，水池总造价为z元，根据题意，有2xy＝8，∴xy＝4，且
z＝240×＋160·(2×2x＋2×2y)
＝120×8＋640(x＋y)
≥120×8＋1 280
＝120×8＋1 280×2
＝3 520.
【答案】 3 520
三、解答题
9．(2013·锦州高二检测)设x>－1，求y＝的最小值．
【解】 ∵x>－1，∴x＋1>0，设x＋1＝t>0，则x＝t－1，于是有
y＝＝＝t＋＋5≥2 ＋5＝9.
当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1.
∴当x＝1时，函数取得最小值是9.
10．已知正常数a，b和正变数x，y，满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值是18，求a，b的值．
【解】 x＋y＝(x＋y)(＋)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，
∴(＋)2＝18.
又∵a＋b＝10，
∴a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.
11．(2013·临沂高二检测)某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．
(1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y＝f(x)的表达式(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)；
(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建多少层？
【解】 (1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为：
4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)，
从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多：
100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，
写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列，所以函数表达式为：
y＝f(x)＝800x＋×20＋9 000
＝10x2＋790x＋9 000(x∈N*)．
(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为：
g(x)＝×10 000＝
＝50(x＋＋79)≥50×(2＋79)＝6 950(元)．
当且仅当x＝，即x＝30时等号成立．
∴该写字楼应建30层.
一、选择题
1．(2013·揭阳高二检测)不等式≤0的解集为( )
A．(－，1] B．[－，1]
C．(－∞，－)∪[1，＋∞) D．(－∞，－]∪[1，＋∞)
【解析】 不等式等价于
∴∴x∈(－，1]．
【答案】 A
2．(2013·枣庄高二检测)集合M＝{x|x2－3x－4≥0}，N＝{x|1A．(1,4) B．(1,4]
C．(－1,5] D．[－1,5]
【解析】 由x2－3x－4≥0得(x＋1)(x－4)≥0，∴x≥4或x≤－1，
∴M＝{x|x≥4或x≤－1}，∴?RM＝{x|－1【答案】 A
3．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2、3，a＜0，那么ax2＋bx＋c＞0的解集为( )
A．{x|x＞3或x＜－2} B．{x|x＞2或x＜－3}
C．{x|－2＜x＜3} D．{x|－3＜x＜2}
【解析】 由已知得a(x＋2)(x－3)＞0，
∵a＜0，∴(x＋2)(x－3)＜0，
∴－2＜x＜3.
【答案】 C
4．(2013·泰安高二检测)已知00的解集为( )
A．{x|x} B．{x|x>a}
C．{x|x<或x>a} D．{x|x<}
【解析】 方程两根为x1＝a，x2＝，∵0∴>a.相应的二次函数图象开口向上，故原不等式的解集为{x|x}．
【答案】 A
5．(2013·九江高二检测)不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是( )
A．[－4,4] B．(－4,4)
C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
【解析】 由题意，须满足Δ＝a2－16≤0，即－4≤a≤4.
【答案】 A
二、填空题
6．已知关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－，)，则a＋b＝________.
【解析】 由题意，得a<0，且－，是方程ax2＋bx＋2＝0的两根，故有
故此解得故a＋b＝－14.
【答案】 －14
7．不等式≤的解集为________．
【解析】 原不等式可化为≤2－1，
即x2＋2x－4≤－1，
解得：－3≤x≤1.
【答案】 {x|－3≤x≤1}
8．(2013·宁波高二检测)已知函数f(x)＝，则不等式f(x)－x≤2的解集是________．
【解析】 由题意，(1)，
∴，∴－≤x≤0.
(2)，∴x>0，综上可知x∈[－，＋∞)．
【答案】 [－，＋∞)
三、解答题
9．求下列不等式的解集．
(1)－2x2＋x＋<0；
(2)3x2＋5≤3x.
【解】 (1)原不等式可以化为2x2－x－>0.
∵方程2x2－x－＝0的解是：
x1＝，x2＝，
∴原不等式的解集是{x|x<或x>}．
(2)原不等式变形为3x2－3x＋5≤0.
∵Δ<0，∴方程3x2－3x＋5＝0无解．
∴原不等式的解集是?.
10．已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为(1,2)，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．
【解】 由根与系数的关系，可得
即
∴不等式bx2＋ax＋1>0，就是2x2－3x＋1>0.
由于2x2－3x＋1>0?(2x－1)(x－1)>0
?x<或x>1.
∴bx2＋ax＋1>0的解集为(－∞，)∪(1，＋∞)．
11．解关于x的不等式(x－2)(ax－2)>0.(a<1)
【解】 (1)a＝0时，
原不等式化为x－2<0，
解集为{x|x<2}．
(2)当a<0时，
原不等式化为(x－2)(x－)<0，
这时两根的大小顺序为2>，所以解集为{x|(3)当0原不等式化为(x－2)(x－)>0，
这时两根的大小顺序为2<，
所以原不等式的解集为{x|x>或x<2}．
综上所述：
当a＝0时，解集为{x|x<2}；
当a<0时，解集为{x|当0或x<2}.
一、选择题
1．不等式2x2＋mx＋n>0的解集是{x|x>3或x<－2}，则二次函数y＝2x2＋mx＋n的表达式是( )
A．y＝2x2＋2x＋12 B．y＝2x2－2x＋12
C．y＝2x2＋2x－12 D．y＝2x2－2x－12
【解析】 由题意知－2和3是对应方程的两个根，由根与系数的关系，得－2＋3＝－，－2×3＝.∴m＝－2，n＝－12.因此二次函数的表达式是y＝2x2－2x－12，故选D.
【答案】 D
2．如果A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝?，则实数a的集合为( )
A．{a|0C．{a|0【解析】 当a＝0时，有1<0，故A＝?成立；当a≠0时，要使A＝?，须满足，∴0【答案】 D
3．(2013·新泰高二期中)已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1A．{x|－1}
C．{x|－21}
【解析】 由题意∴，故不等式为：2x2＋x－1<0，其解集为{x|－1【答案】 A
4．函数y＝对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m>2 B．m<2
C．m<0或m>2 D．0≤m≤2
【解析】 由题意知x2＋mx＋≥0对一切x∈R恒成立，∴Δ＝m2－2m≤0，∴0≤m≤2.
【答案】 D
5．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3 000＋20x－0.1x2(0A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
【解析】 由3 000＋20x－0.1x2≤25x，得x2＋50x－30 000≥0，解得：x≥150或x≤－200(舍去)．
【答案】 C
二、填空题
6．(2013·南阳高二检测)若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集为(1，m)，则实数m的值为________．
【解析】 由题意可知1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的两个根，
∴解得m＝2，∴m的值为2.
【答案】 2
7．关于x的不等式组有解，则实数a的取值范围是________．
【解析】 不等式组可化为由题意可知a2＋1<2a＋4，即a2－2a－3<0，解得－1【答案】 (－1,3)
8．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
【解析】 设f(x)＝x2＋mx＋4，
要使x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．
则有即解得m≤－5.
【答案】 (－∞，－5]
三、解答题
9．(2013·厦门高二检测)已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋4x－5<0的解集为B，
(1)求A∪B；
(2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∪B，求ax2＋x＋b<0的解集．
【解】 (1)解不等式x2－2x－3<0，得A＝{x|－1解不等式x2＋4x－5<0，得B＝{x|－5∴A∪B＝{x|－5(2)由x2＋ax＋b<0的解集为{x|－5∴，
解得.
∴2x2＋x－15<0，
∴不等式的解集为{x|－310．(2013·威海高二检测)设函数f(x)＝x2－ax＋b.
(1)若不等式f(x)<0的解集是{x|20的解集；
(2)当b＝3－a时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
【解】 (1)因为不等式x2－ax＋b<0的解集是{x|2由韦达定理得：a＝5，b＝6，故不等式bx2－ax＋1>0为6x2－5x＋1>0.解不等式6x2－5x＋1>0，得其解集为{x|x<，或x>}．
(2)据题意，f(x)＝x2－ax＋3－a≥0恒成立，则Δ＝a2－4(3－a)≤0.解Δ＝a2－4(3－a)≤0，得－6≤a≤2.
11．已知函数f(x)＝lg[(m2－3m＋2)x2＋(m－1)x＋1]的定义域为R，求实数m的取值范围．
【解】 ∵函数f(x)的定义域为R，
∴对任意x∈R，恒有(m2－3m＋2)x2＋(m－1)x＋1＞0，
(1)若m2－3m＋2＝0，则m＝2或1，
当m＝1时，不等式即为1＞0，符合题意，
当m＝2时，不等式即为x＋1＞0，不恒成立，
∴m＝2不合题意，舍去．
(2)若m2－3m＋2≠0，由题意得
解得
即m＜1或m＞.
综上可得，m的取值范围是m≤1或m＞.
一、选择题
1．如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天之内它的行程就超过2 200千米；如果它每天比原来少行驶12 km，那么它行驶同样的路程就得花9天多的时间，这辆汽车原来每天行驶的千米数x满足( )
A．259＜x＜260 B．258C．257【解析】 依题意得
解得：256【答案】 D
2．某出版社，如果以每本2.50元的价格发行一种图书，可发行80 000本．如果一本书的定价每升高0.1元，发行量就减少2 000本，那么要使收入不低于200 000元，这种书的最高定价应当是( )
A．2元 B．3元
C．4元 D．5元
【解析】 设这种书的最高定价应当为x元．
由题意得[80 000－(x－2.5)×20 000]×x≥200 000，
解得≤x≤4，所以最高定价为4元．
【答案】 C
3．某工人共加工300个零件．在加工100个零件后，改进了操作方法，每天多加工15个，用了不到20天的时间就完成了任务．改进操作方法前，每天至少要加工零件的个数为( )
A．9 B．10
C．8 D．11
【解析】 设每天至少要加工x个零件．
由题意得＋<20.
解得x>5或x<－5(舍去)，故每天至少要加工9个零件．
【答案】 A
4．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 B．80件
C．100件 D．120件
【解析】 设每件产品的平均费用为y元，由题意得
y＝＋≥2＝20.
当且仅当＝(x>0)，即x＝80时 “＝”成立，故选B.
【答案】 B
图3－4－1
5．某汽车运输公司买一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N＋)为二次函数关系(如图3－4－1所示)，则每辆客车营运的年平均利润最大时，营运了( )
A．3年 B．4年
C．5年 D．6年
【解析】 设y＝a(x－6)2＋11，
由条件知7＝a(4－6)2＋11，∴a＝－1.
∴y＝－(x－6)2＋11＝－x2＋12x－25.
∴每辆客车营运的年平均利润＝＝－(x＋)＋12≤－2＋12＝2，当且仅当x＝，即x＝5时等号成立，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．某商店在节前进行商品降价促销活动，拟分两次降价．有三种降价方案：甲方案是第一次打a折销售，第二次打b折销售；乙方案是第一次打b折销售，第二次打a折销售；丙方案是两次都打折销售且a≠b.则________方案降价较少．
【解析】 甲方案、乙方案降低后的价格都是ab折，而丙方案降价后的价格是()2折．
∵()2－ab＝＝≥0，
∴当a≠b时，()2＞ab，
∴甲、乙方案降价多，丙方案降价少．
【答案】 丙
7．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．
【解析】 据题意可得3 860＋500＋2[500×(1＋x%)＋500×(1＋x%)2]≥7 000，整理化简可得(1＋x%)2＋(1＋x%)－≥0，即[(1＋x%)－][(1＋x%)＋]≥0，解得(1＋x%)－≥0，从而x≥20，即x的最小值为20.
【答案】 20
8．有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，又倒出4升后再用水补满．此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________．
【解析】 设桶的容积为x升，那么第一次倒出8升纯农药液后，桶内还有(x－8)(x>8)升纯农药液，用水补满后，桶内纯农药液的浓度为.
第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药液为升，此时桶内有纯农药液[(x－8)－]升．
依题意得(x－8)－≤28%·x.
因为x>0，所以原不等式化简为
9x2－150x＋400≤0，
即(3x－10)(3x－40)≤0.
解得≤x≤.
又∵x>8，∴8【答案】 (8，]
三、解答题
9．某同学要把自己的计算机接入因特网．现有两家ISP公司可供选择．公司A每小时收费1.5元；公司B在用户每次上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)．假设该同学一次上网时间总是小于17小时，那么该同学如何选择ISP公司较省钱？
【解】 假设一次上网x小时，则公司A收取的费用为1.5x元，
公司B收取的费用为元．
若能够保证选择A比选择B费用少，则
>1.5x(0整理得x2－5x<0，解得0所以当一次上网时间在5小时以内时，选择公司A的费用少；超过5小时，选择公司B的费用少．
10．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价．
(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围．
【解】 (1)依题意，y＝100(1－)·100(1＋x)．
又售价不能低于成本价，所以100(1－)－80≥0.
所以y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)，定义域为[0,2]．
(2)由题意得20(10－x)(50＋8x)≥10 260，
化简得8x2－30x＋13≤0.解得≤x≤.
所以x的取值范围是[，2]．
11．学校食堂定期从某粮店以每吨1500元的价格购买大米，每次购进大米需支付运输劳务费100元．已知食堂每天需用大米1吨，贮存大米的费用为每吨每天2元，假定食堂每次均在用完大米的当天购买．
(1)该食堂每多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少？
(2)粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20吨时，大米价格可享受九五折优惠(即是原价的95%)，问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由．
【解】 (1)设每t天购进一次大米，易知每次购进大米量为t吨，那么库存总费用即为
2[t＋(t－1)＋…＋2＋1]＝t(t＋1)．
若设平均每天所支付的总费用为y1，则
y1＝[t(t＋1)＋100]＋1500＝t＋＋1501≥1521，
当且仅当t＝，即t＝10时，等号成立，故应每10天购买一次大米，能使平均每天支付的总费用最少．
(2)若接受价格优惠条件，则至少每20天购买一次，设每t(t≥20)天购买一次，每天支付总费用y2，则
y2＝[t(t＋1)＋100]＋1500×0.95＝t＋＋1426.
令f(t)＝t＋(t≥20)，设20≤t1≤t2，
f(t2)－f(t1)＝>0，
即f(t)在[20，＋∞)上单调递增．
故当t＝20时，y2取最小值为1451元<1521元，从而知该食堂应接受价格优惠条件.
一、选择题
1．(2013·济南高二检测)图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是( )
图3－5－1
A．x＋y－1<0 B．x＋y－1>0
C．x－y－1<0 D．x－y－1>0
【解析】 边界所在的直线为x＋y－1＝0，取点O(0,0)，代入得－1<0，则不等式x＋y－1>0表示图中阴影部分．
【答案】 B
2．(2013·抚顺高二检测)在平面直角坐标系中，可表示满足不等式x2－y2≤0的点(x，y)的集合(用阴影部分来表示)的是( )
【解析】 原不等式等价于(x＋y)(x－y)≤0，即或，故D选项正确．
【答案】 D
3．(2013·大连高二检测)在平面直角坐标系中，若点(2，t)在直线x－2y＋4＝0的右下方区域包括边界，则t的取值范围是( )
A．t<3 B．t>3
C．t≥3 D．t≤3
【解析】 原点(0,0)也在直线x－2y＋4＝0的右下方，代入x－2y＋4得4>0，故点(2，t)使x－2y＋4≥0成立，即2－2t＋4≥0，∴t≤3.
【答案】 D
4．不等式组所表示的平面区域的面积等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 如图所示为不等式组表示的平面区域，平面区域为一三角形，三个顶点坐标分别为(4,0)，(，0)，(1,1)，所以三角形的面积为S＝×(4－)×1＝.
【答案】 C
5．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( )
A．a<5 B．a≥7
C．5≤a<7 D．a<5或a≥7
【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示．
当y＝a过A(0,5)时表示的平面区域为△ABC.
当5综上，当5≤a<7时表示三角形．
【答案】 C
二、填空题
6．点P(m，n)不在不等式5x＋4y－1>0表示的平面区域内，则m，n满足的条件是________．
【解析】 由题意知点P在不等式5x＋4y－1≤0表示的平面区域内，则5m＋4n－1≤0.
【答案】 5m＋4n－1≤0
7．(2013·德州高二检测)不等式|2x＋y＋m|<3表示的平面区域包含点(0,0)和点(－1,1)，则m的取值范围是________．
【解析】 由题意知，∴.
∴－2【答案】 (－2,3)
8．定义符合条件的有序数对(x，y)为“和谐格点”，则当a＝3时，和谐格点的个数是________．
【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示，
和谐格点有(0,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,2)，(2,3)，(3,3)共7个．
【答案】 7
三、解答题
9．(1)画出不等式x＋2y－4>0表示的平面区域；
(2)画出不等式组表示的平面区域．
【解】 (1)先画出直线x＋2y－4＝0，因为这条直线上的点都不满足x＋2y－4>0，所以画成虚线．取原点(0,0)，代入x＋2y－4得0＋2×0－4＝－4<0，所以原点(0,0)不在x＋2y－4>0所表示的平面区域内，所以不等式x＋2y－4>0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．
(2)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合，x＋y≤0表示直线x＋y＝0上及左下方的点的集合，y≥－3表示直线y＝－3上及上方的点的集合．不等式组表示的平面区域即为图示的三角形区域：
10．某校食堂基本以面食和米食为主，面食每百克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元；米食每百克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元．学校要求给学生配制成盒饭，每盒至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，请在直角坐标系中画出每份盒饭中面食、米食的含量所满足的范围．
【解】 设每份盒饭中面食为x百克，米食为y百克，则由题意得：
作出不等式组所表示的平面区域如图．
11．画出下列不等式(组)表示的平面区域．
(1)(x－y)(x－y－1)≤0；
(2)|3x＋4y－1|<5；
(3)x≤|y|≤2x.
【解】 (1)由得0≤x－y≤1；
或无解．
故不等式表示的区域如图(1)所示．
(2)由|3x＋4y－1|<5，得－5<3x＋4y－1<5，
得不等式组
故不等式表示的区域如图(2)所示．
(1) (2) (3)
(3)当y≥0时，原不等式可化为点(x，y)在第一象限内两条过原点的射线y＝x(x≥0)与y＝2x(x≥0)所表示的区域内．
当y≤0时，由对称性作出另一半区域，如图(3)所示.
一、选择题
1．图3－5－2中阴影部分的点满足不等式组在这些点中，使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是( )
图3－5－2
A．(0,5) B．(1,4)
C．(2,4) D．(1,5)
【解析】 目标函数可化为y＝－x＋，因为－>－1，
∴当过点(0,5)时，目标函数z＝6x＋8y取得最大值．
【答案】 A
2．现有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，设需x辆载重6吨汽车和y辆载重4吨汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为( )
A．z＝6x＋4y B．z＝5x＋4y
C．z＝x＋y D．z＝4x＋5y
【解析】 由题意，要运送最多的货物，先找到两类型汽车运送的总货物量，即z＝6x＋4y.
【答案】 A
3．(2013·东营高二检测)已知x、y满足约束条件则(x＋3)2＋y2的最小值为( )
A. B．2
C．8 D．10
【解析】 画出可行域(如图所示)．
(x＋3)2＋y2即点A(－3,0)与可行域上点(x，y)间距离的平方．显然|AC|长度最小，
∴|AC|2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10.
【答案】 D
4．(2013·惠州高二检测)已知x，y满足约束条件则z＝x－y的取值范围为( )
A．[－2，－1] B．[－2,1]
C．[－1,2] D．[1,2]
【解析】 画出可行域，如图中的阴影部分所示．
如图知，－z是直线y＝x－z在y轴上的截距，当直线y＝x－z经过点A(2,0)时，－z取最小值，此时x＝2，y＝0，则z的最大值是x－y＝2－0＝2；当直线y＝x－z经过点B(0,1)时，－z取最大值，此时x＝0，y＝1，则z的最小值是x－y＝0－1＝－1，所以z＝x－y的取值范围为－1≤z≤2.
【答案】 C
5．某厂拟用集装箱托运甲，乙两种货物，集装箱的体积、质量、可获利润和托运能力限制等数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各被托运的箱数为( )
货物
体积/箱(m3)
质量/箱(50 kg)
利润/箱(百元)
甲
5
2
20
乙
4
5
10
托运限制
24
13
A.4,1 B．3,2
C．1,4 D．2,4
【解析】 设托运货物甲x箱，托运货物乙y箱，由题意得：
，利润z＝20x＋10y，由线性规划知识可得，当x＝4，y＝1时，利润最大．
【答案】 A
二、填空题
6．若变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y＋1的最大值为________．
【解析】 画出x，y的可行域，如图阴影部分，直线x＋2y－5＝0与直线x－y－2＝0交于点A(3,1)，当z＝2x＋3y＋1过A点时，使得z＝2x＋3y＋1取得最大值，zmax＝2×3＋3＋1＝10.
【答案】 10
7．已知x、y满足且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数k＝________.
【解析】 由条件作出可行域如图．
根据图象知，目标函数过x＋y＋k＝0与x＝3的交点(3，－3－k)时取最小值，代入目标函数得－6＝2×3＋4×(－3－k)，∴k＝0.
【答案】 0
8．(2013·烟台高二检测)设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则ab的取值范围是________．
【解析】 作出可行域如图．
∵a>0，b>0.
∴当ax＋by＝z经过A时，z取得最大值．
由得A(4,6)．
∴4a＋6b＝12,2a＋3b＝6，
∴ab＝×(2a)×(3b)≤×()2＝，
即ab∈(0，]．
【答案】 (0，]
三、解答题
9．若变量x，y满足约束条件求z＝x＋2y的最小值．
【解】 作出可行域如图阴影部分所示，
由解得A(4，－5)．
当直线z＝x＋2y过A点时z取最小值，将A(4，－5)代入，
得zmin＝4＋2×(－5)＝－6.
10．已知x，y满足设z＝ax＋y(a>0)，若当z取最大值时，对应的点有无数多个，求a的值．
【解】 作出可行域如图所示．
由
得
∴点A的坐标为(5,2)．
由得
∴点C的坐标为C(1,4.4)．
当直线z＝ax＋y(a>0)平行于直线AC，且直线经过线段AC上任意一点时，z均取得最大值，此时有无数多点使z取得最大值，而kAC＝－，
∴－a＝－，即a＝.
11．(2013·厦门高二检测)某工厂用两种不同的原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1 000元，运费500元，可生产产品90千克，若采用乙种原料，每吨成本1 500元，运费400元，可生产产品100千克，若每日预算总成本不得超过6 500元，运费不得超过2 200元，问此工厂如何安排每日可生产产品最多？最多生产多少千克？
【解】 设采用甲种原料x吨、乙种原料y吨，生产产品z千克．
则有：，z＝90x＋100y，
即y＝－x＋.
其可行域为：
由图形知：点A是z取最大值时的最优解．
解，得，即A(2,3)，∴zmax＝90×2＋100×3＝480千克．
答：工厂安排采用甲种原料2吨、乙种原料3吨时每日可生产产品最多，最多为480千克．
