模块学习评价
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2012·湖北高考)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是
( )
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
【解析】 特称命题的否定应为全称命题，且应否定结论．
【答案】 B
2．下列曲线中离心率为的是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
【解析】 ∵e＝，∴e2＝＝，故只有B选项正确．
【答案】 B
3．给出下列四个命题：
①若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2；
②若－2≤x＜3，则(x＋2)(x－3)≤0；
③若x＝y＝0，则x2＋y2＝0；
④若x，y∈N＋，x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数，那么( )
A．①的逆命题为真 B．②的否命题为真
C．③的逆否命题为假 D．④的逆命题为假
【解析】 ①的逆命题为：“若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0”是真命题，其他说法都不对．
【答案】 A
4．(2011·江西高考)曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为( )
A．1 B．2
C．e D.
【解析】 由y′＝ex，得在点A(0,1)处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝e0＝1.
【答案】 A
5．(2012·福建高考)下列命题中，真命题是( )
A．?x0∈R，ex0≤0
B．?x∈R,2x＞x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件
【解析】
选项
具体分析
结论
A
?x∈R，ex＞0
不正确
B
当时，2x＝x2
不正确
C
a＋b＝0中b可取0，而＝－1中b不可取0，因此，两者不等价
不正确
D
a＞1，b＞1?ab＞1，反之不能成立
正确
【答案】 D
6．(2013·长沙高二检测)已知双曲线的离心率e＝2，且与椭圆＋＝1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
【解析】 双曲线的焦点为F(±4,0)，e＝＝2，∴a＝2，b＝＝2，∴渐近线方程为y＝±x＝±x.
【答案】 C
7．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝处有极值，则ac＋2b的值为( )
A．3 B．－3
C．0 D．1
【解析】 ∵f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，函数f(x)在x＝处有极值，
∴f′＝0，即＋＋c＝0，
∴ac＋2b＝－3.
【答案】 B
8．已知命题p：存在x∈R，使tan x＝1；命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}．下列结论：
①命题“p且q”是真命题；
②命题“p且綈p”是假命题；
③命题“綈p或q”是真命题；
④命题“綈p或綈q”是假命题，其中正确的是( )
A．②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④
【解析】 ∵p真，q真，∴p且q真，p且綈q假，綈p或q真，綈p或綈q假，D正确．
【答案】 D
9．已知a＞0，函数f(x)＝－x3＋ax在[1，＋∞)上是单调减函数，则a的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 ∵f′(x)＝－3x2＋a，
依题意，当x≥1时，f′(x)≤0恒成立，
∴a≤3x2，又3x2≥3，∴a≤3.
【答案】 C
10．(2013·临沂高二检测)一动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点( )
A．(0,2) B．(0，－2)
C．(2,0) D．(4,0)
【解析】 由抛物线的方程为y2＝8x得焦点F(2,0)，准线方程为x＝－2，由题意知圆心到直线x＝－2的距离就是圆的半径，由抛物线的定义知圆心(在抛物线上)到准线的距离等于它到焦点的距离，即满足条件的圆都过点F(2,0)．
【答案】 C
11．对于抛物线C：y2＝4x，我们称满足y＜4x0的点M(x0，y0)在抛物线内部，若点M(x0，y0)在抛物线内部，则直线l：y0y＝2(x＋x0)与C( )
A．恰有一个公共点
B．恰有两个公共点
C．可能有一个公共点也可能有两个公共点
D．没有公共点
【解析】 抛物线C：y2＝4x与直线l：y0y＝2(x＋x0)联立得：y0y＝2(＋x0)，即y2－2y0y＋4x0＝0，∴Δ＝4y－16x0，因为y＜4x0，∴Δ＜0，无公共点．
【答案】 D
12．(2012·山东高考)设函数f(x)＝，g(x)＝－x2＋bx，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是( )
A．x1＋x2＞0，y1＋y2＞0
B．x1＋x2＞0，y1＋y2＜0
C．x1＋x2＜0，y1＋y2＞0
D．x1＋x2＜0，y1＋y2＜0
【解析】 设F(x)＝x3－bx2＋1，则方程F(x)＝0与f(x)＝g(x)同解，故其有且仅有两个不同零点x1，x2，由F′(x)＝0得x＝0或x＝b.
这样，必须且只需F(0)＝0或F(b)＝0.
因为F(0)＝1，故必有F(b)＝0，由此得b＝.
不妨设x1＜x2，则x2＝b＝.
所以F(x)＝(x－x1)(x－)2，比较系数得－x1＝1，故x1＝－，x1＋x2＝＞0，由此知y1＋y2＝＋＝＜0，故答案为B.
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中横线上)
13．(2012·天津高考)已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝________，b＝________.
【解析】 由题意得解之得a＝1，b＝2.
【答案】 1 2
14．若p：|x|＞1，q：x＜－2，则“綈p”是“綈q”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要)
【解析】 綈p：|x|≤1，綈q：x≥－2，故綈p?綈q，但綈q 綈p，所以“綈p”是“綈q”的充分不必要条件．
【答案】 充分不必要
15．(2012·普宁高二检测)已知函数f(x)的导函数f′(x)＝4x3－4x，x∈R，当f(x)取得极小值时，x的值应为________．
【解析】 令f′(x)＝0，则x＝0或±1，则f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
0
＋
f(x)
↘
极小
↗
极大
↘
极小
↗
故当x＝±1时，f(x)取极小值．
【答案】 1或－1
16．曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.
其中，所有正确结论的序号是________．
【解析】 因为原点O到两个定点F1(－1,0)，F2(1,0)的距离的积是1，而a＞1，所以曲线C不过原点，即①错误；因为F1(－1,0)，F2(1,0)关于原点对称，所以|PF1||PF2|＝a2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤|PF1||PF2|＝a2，即面积不大于a2，所以③正确．
【答案】 ②③
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知命题p：方程x2＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：方程x2－mx＋1＝0有两个不相等的实根，若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数m的取值范围．
【解】 命题p：m＞1；
命题q：Δ＝m2－4＞0，即m＞2或m＜－2.
若“p∧q”为假，“p∨q”为真，则p，q中有一个为真一个为假．
若p为真，q为假，则p∧(綈q)为真，
即∴1＜m≤2.
若p为假，q为真，则(綈p)∧q为真，
即∴m＜－2.
综上，m的取值范围为{m|m＜－2或1＜m≤2}．
18．(本小题满分12分)求过(3，－4)且焦点在直线x＋y＋m＝0(m＞0)上的抛物线的标准方程，并求m的值．
【解】 对于直线方程x＋y＋m＝0.令x＝0，
得y＝－m，令y＝0，得x＝－m，
∴抛物线的焦点为(0，－m)或(－m,0)，
∵点(3，－4)在第四象限，
∴抛物线开口向下或向右．
又∵m＞0，∴－m＜0，
∴抛物线的开口只能向下，设其方程为x2＝－2py(p＞0)，
把(3，－4)代入其中得p＝，∴＝，
∴实数m＝，抛物线的标准方程为x2＝－y.
19．(本小题满分12分)(2012·安徽高考)设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋＋b(a＞0)．
(1)求f(x)的最小值；
(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x，求a，b的值．
【解】 (1)f(x)＝ax＋＋b≥ 2＋b＝b＋2，
当且仅当ax＝1(即x＝)时，f(x)的最小值为b＋2.
(2)由题意得：f(1)＝?a＋＋b＝， ①
f′(x)＝a－?f′(1)＝a－＝， ②
由①②得：a＝2，b＝－1.
20．(本小题满分12分)已知关于x的一元二次方程①mx2－4x＝4＝0(m∈Z)，②x2－4mx＋4m2－4m－5＝0(m∈Z)，求方程 ①和②的根都是整数的充要条件．
【解】 方程①有实数根的充要条件是Δ＝16－16m≥0，解得m≤1；方程②有实数根的充要条件是Δ＝16m2－4(4m2－4m－5)≥0，解得m≥－，所以－≤m≤1.而m∈Z，故m＝－1或m＝0或m＝1.
当m＝－1时，方程①为mx2－4x＋4＝0，无整数根；
当m＝0时，方程②为x2－5＝0，无整数根；
当m＝1时，方程①②均有整数根．反之，成立．
综上得方程①和②均有整数根的充要条件是m＝1.
21．(本小题满分12分)已知函数F(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)，且F′(－1)＝0.
(1)若F(x)在x＝1处取得极小值－2，求函数F(x)的单调区间；
(2)令f(x)＝F′(x)，若f′(x)＞0的解集为A，且满足A∪(0,1)＝(0，＋∞)，求的取值范围．
【解】 (1)∵F′(x)＝ax2＋2bx＋c，且F′(－1)＝0，
∴a－2b＋c＝0. ①
又由在x＝1处取得极小值－2可知
F′(1)＝a＋2b＋c＝0， ②
且F(1)＝a＋b＋c＝－2， ③
将①，②，③式联立，解得a＝3，b＝0，c＝－3.
∴F(x)＝x3－3x，F′(x)＝3x2－3.
由F′(x)＝3x2－3≥0解得x≤－1或x≥1.
同理，由F′(x)＝3x2－3≤0解得－1≤x≤1.
∴F(x)的单调递减区间为[－1,1]，
单调递增区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)．
(2)由(1)知f(x)＝F′(x)＝ax2＋2bx＋c，
∴f′(x)＝2ax＋2b.
又∵F′(－1)＝0，∴a－2b＋c＝0.
∴2b＝a＋c，∴f′(x)＝2ax＋a＋c.
∵f′(x)＞0，
∴2ax＋a＋c＞0，∴2ax＞－a－c.
∴当a＜0时，f′(x)＞0的解集为(－∞，－)，
显然A∪(0,1)＝(0，＋∞)不成立，不满足题意；
当a＞0时，f′(x)＞0的解集为(－，＋∞)．
又由A∪(0,1)＝(0，＋∞)知0≤－＜1.
解得－3＜≤－1，即取值范围为(－3，－1]．
22．(本小题满分12分)如图1，已知椭圆C：6x2＋10y2＝15m2(m＞0)，经过椭圆C的右焦点F且斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于A，B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点．
图1
(1)是否存在k，使对任意m＞0，总有＋＝成立？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由；
(2)若·＝－(m3＋4m)，求实数k的取值范围．
【解】 (1)椭圆C：＋＝1，c2＝－＝m2，c＝m，∴F(m,0)，
直线y＝k(x－m)，联立
得(10k2＋6)x2－20k2mx＋10k2m2－15m2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x1＋x2＝，x1x2＝，
则xM＝＝，yM＝k(xM－m)＝，
若存在k，使＋＝成立，∵M为ON的中点，
∴＋＝2，
∴＋＝(2xM,2yM)＝(，)，
即N点坐标为(，)．
由N点在椭圆上，则6()2＋10()2＝15m2，
即5k4－2k2－3＝0，∴k2＝1或k2＝－(舍)．
故存在k＝±1使＋＝.
(2)·＝x1x2＋y1y2
＝x1x2＋k2(x1－m)(x2－m)
＝(1＋k2)x1x2－k2m(x1＋x2)＋k2m2
＝(1＋k2)·－k2m·＋k2m2
＝，
由＝－(m3＋4m)，得
＝－(m＋)≤－2，
即k2－15≤－20k2－12，∴k2≤，
∴－≤k≤且k≠0.
即k的取值范围是[－，0)∪(0，]．
课件25张PPT。命题关系及其真假判定 三种条件的判断及应用 全称命题与存在性命题 转化与化归思想 课件25张PPT。圆锥曲线的定义与性质 求圆锥曲线方程 直线与圆锥曲线的位置关系 分类讨论的思想 课件31张PPT。导数的运算与导数的几何意义 利用导数研究函数的性质 利用导数求参数的取值范围 数形结合思想 综合检测(一)
第一章 常用逻辑用语
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列语句是命题的为( )
A．你到过北京吗？ B．对顶角相等
C．啊！我太高兴啦！ D．x2＋2x－1＞0
【解析】 A是疑问句，C是感叹句都不是命题，D不能判断真假，只有B是命题．
【答案】 B
2．下列说法正确的是( )
A．一个命题的逆命题为真，则它的否命题为假
B．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题为真
C．一个命题的逆否命题为真，则它的否命题为真
D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题为真
【解析】 一个命题的逆命题与否命题是互为逆否命题，它们同真同假，只有D正确．
【答案】 D
3．命题“?x∈R，x2－2x＋1＜0”的否定是( )
A．?x∈R，x2－2x＋1≥0
B．?x∈R，x2－2x＋1＞0
C．?x∈R，x2－2x＋1≥0
D．?x∈R，x2－2x＋1＜0
【解析】 特称命题的否定是全称命题，“x2－2x＋1＜0”的否定是“x2－2x＋1≥0”．
【答案】 C
4．(2013·石家庄高二检测)若p是真命题，q是假命题，则( )
A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题
C．綈p是真命题 D．綈q是真命题
【解析】 由真值表知，若p真q假，则p∧q假，p∨q真，綈p假，綈q真，只有D正确．
【答案】 D
5．(2013·东营高二检测)若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是( )
A．ac2＜bc2 B．a2＞ab＞b2
C.＜ D.＞
【解析】 ∵a＜b＜0，
∴a2＞ab，且ab＞b2，B正确．
【答案】 B
6．“若x2＝1，则x＝1或x＝－1”的否命题是( )
A．若x2≠1，则x＝1或x＝－1
B．若x2＝1，则x≠1且x≠－1
C．若x2≠1，则x≠1或x≠－1
D．若x2≠1，则x≠1且x≠－1
【解析】 否命题是命题的条件与结论分别是原命题条件的否定和结论的否定，“或”的否定是“且”．
【答案】 D
7．设p：log2x＜0，q：()x－1＞1，则p是q的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 由log2x＜0，得0＜x＜1，即p：0＜x＜1；
由()x－1＞1得x－1＜0，∴x＜1，即q：x＜1.
因此p?q但q?p.
【答案】 B
8．下列命题的否定是真命题的是( )
A．有理数是实数
B．末位是零的实数能被2整除
C．?x0∈R,2x0＋3＝0
D．?x∈R，x2－2x＞0
【解析】 只有原命题为假命题时，它的否定才是真命题，A，B，C为真命题，D为假命题．
【答案】 D
9．下列有关命题说法正确的是( )
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．“1是偶数或奇数” 为假命题
D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题
【解析】 “若x2＝1，则x＝1”的否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故A错；
∵由x＝－1?x2－5x－6＝0，而x2－5x－6＝0时x＝－1或x＝6，
∴由x2－5x－6＝0?x＝－1.
因此x＝－1是x2－5x－6＝0的充分不必要条件，故B错；
∵1是奇数，∴C错；
D中原命题为真，其逆否命题也为真，故D正确．
【答案】 D
10．下列命题：
①?x∈R，不等式x2＋2x＞4x－3成立；
②若log2x＋logx2≥2，则x＞1；
③命题“若a＞b＞0且c＜0，则＞”的逆否命题；
④若命题p：?x∈R，x2＋1≥1.命题q：?x0∈R，x－2x0－1≤0，构成的新命题p∧綈q.
其中真命题有( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
【解析】 ①中，x2＋2x＞4x－3?(x－1)2＋2＞0恒成立，①真．
②中，由log2x＋logx2≥2，且log2x与logx2同号，
∴log2x＞0，∴x＞1，故②为真命题．
③中，易知“a＞b＞0且c＜0时，＞”．
∴原命题为真命题，故逆否命题为真命题，③真．
④中，p，q均为真命题，则命题p∧綈q为假命题．
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
11．“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是________．
【答案】 若x≥1或x≤－1，则x2≥1
12．已知f(x)＝x2＋2x－m，如果f(1)＞0是假命题，f(2)＞0是真命题，则实数m的取值范围是________．
【解析】 依题意，∴3≤m＜8.
【答案】 [3,8)
13．已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(3－x)＞0，若綈p是綈q的充分条件，则实数a的取值范围是________．
【解析】 p：a－4＜x＜a＋4，q：2＜x＜3，
∵由綈p是綈q的充分条件(即綈p?綈q)，∴q?p，
∴∴－1≤a≤6.
【答案】 [－1,6]
14．在下列四个结论中，正确的序号是________．
①“x＝1”是“x2＝x”的充分不必要条件；
②“k＝1”是“函数y＝cos2kx－sin2kx的最小正周期为π”的充要条件；
③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件；
④“a＋c＞b＋d”是“a＞b且c＞d”的必要不充分条件．
【解析】 ①当x＝1时，x2＝x成立，反之，不一定，
所以“x＝1”是“x2＝x”的充分不必要条件，故①正确；
②函数y＝cos2kx－sin2kx＝cos 2kx，其最小正周期T＝＝，当k＝1时，T＝π；当＝π时，k＝±1，所以②不正确；
③转化为等价命题，即判断“x2＝1”是“x＝1”的充分不必要条件，由于x2＝1时，x＝±1，不一定x＝1，所以不充分，即③不正确；
④a＋c＞b＋d? a＞b且c＞d，但a＞b且c＞d时，必有a＋c＞b＋d，所以④正确．
综上可知，正确结论为①④.
【答案】 ①④
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)π为圆周率，a，b，c，d∈Q，已知命题p：若aπ＋b＝cπ＋d，则a＝c且b＝d.
(1)写出p的否定并判断真假；
(2)写出p的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假．
【解】 (1)綈p：“若aπ＋b＝cπ＋d，则a≠c或b≠d”．
∵a，b，c，d∈Q，由aπ＋b＝cπ＋d，
∴π(a－c)＝d－b∈Q，则a＝c且b＝d.
故p是真命题，∴綈p是假命题．
(2)逆命题：“若a＝c且b＝d，则aπ＋b＝cπ＋d”．真命题；
否命题：“若aπ＋b≠cπ＋d，则a≠c或b≠d”．真命题；
逆否命题：“若a≠c或b≠d，则aπ＋b≠cπ＋d”．真命题．
16．(本小题满分12分)分别指出由下列各组命题构成的“p且q”“p或q”“非p”形式的命题的真假．
(1)p：x＝2是方程x2－6x＋8＝0的一个解，q：x＝4是方程x2－6x＋8＝0的一个解；
(2)p：不等式x2－4x＋4＞0的解集为R，q：不等式x2－2x＋2≤1的解集为?.
【解】 (1)p或q：x＝2是方程x2－6x＋8＝0的一个解或x＝4是方程x2－6x＋8＝0的一个解．(真) p且q：x＝2是方程x2－6x＋8＝0的一个解且x＝4是方程x2－6x＋8＝0的一个解．(真) 非p：x＝2不是方程x2－6x＋8＝0的一个解．(假) (2)p或q：不等式x2－4x＋4＞0的解集为R或不等式x2－2x＋2≤1的解集为?.(假) p且q：不等式x2－4x＋4＞0的解集为R且不等式x2－2x＋2≤1的解集为?.(假) 非p：不等式x2－4x＋4＞0的解集不为R.(真)
17．(本小题满分12分)(2013·抚州高二检测)p：x∈A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：x∈B＝{x|x2－2mx＋m2≤9，x∈R，m∈R}．
(1)若A∩B＝[2,3]，求实数m的值．
(2)若p是綈q的充分条件，求实数m的取值范围．
【解】 (1)A＝{x|－1≤x≤3，x∈R}，
B＝{x|m－3≤x≤m＋3，x∈R，m∈R}，
∵A∩B＝[2,3]，
∴m＝5.
(2)∵p是綈q的充分条件，
∴A??RB，
∴m－3＞3或m＋3＜－1，
∴m＞6或m＜－4.
即实数m的取值范围是(－∞，－4)∪(6，＋∞)．
18．(本小题满分14分)给出两个命题：
命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．
分别求出符合下列条件的实数a的范围．
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．
【解】 甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2＜0，即a＞或a＜－1.
乙命题为真时，2a2－a＞1，
即a＞1或a＜－.
(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，∴a的取值范围是{a|a＜－或a＞}．
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题，有两种情况：
甲真乙假时，＜a≤1，甲假乙真时，－1≤a＜－，
∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a的取值范围为{a|＜a≤1或－1≤a＜－}．
综合检测(二)
第二章 圆锥曲线与方程
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2013·青岛高二检测)椭圆2x2＋3y2＝6的长轴长是( )
A. B. C．2 D．2
【解析】 椭圆方程可化为＋＝1，∴a2＝3，a＝，2a＝2.
【答案】 D
2．(2013·大连高二检测)θ是任意实数，则方程x2＋y2sin θ＝4表示的曲线不可能是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
【解析】 由sin θ∈[－1,1]，
∴当sin θ＝1时，表示圆；当sin θ∈[－1,0)表示双曲线；当sin θ∈(0,1]时表示椭圆；sin θ＝0表示两条直线．
【答案】 C
3．(2013·吉林高二检测)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为( )
A. B.或
C.或 D.或
【解析】 当双曲线的焦点在x轴上时，＝，所以e＝＝＝；当焦点在y轴上时，＝，所以e＝＝，所以e＝或.
【答案】 C
4．若椭圆＋＝1与双曲线－＝1有共同的焦点，且a＞0，则a为( )
A．2 B.
C. D．6
【解析】 依题意25－16＝a2＋5，∴a2＝4.
又a＞0，∴a＝2.
【答案】 A
5．过抛物线y2＝4x的顶点O作互相垂直的两弦OM，ON，则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为( )
A．64 B．32
C．16 D．4
【解析】 设OM的斜率为k，则ON的斜率为－，从而直线OM∶y＝kx，联立方程解得M的横坐标x1＝，同理得N的横坐标x2＝4k2，∴x1x2＝16.
【答案】 C
6．一动圆的圆心在抛物线x2＝8y上，且该动圆恒与直线y＋2＝0相切，则动圆必经过的定点为( )
A．(0,2) B．(2,0)
C．(1,0) D．(0,1)
【解析】 由x2＝8y知，焦点F(0,2)，准线y＝－2，
依题意和抛物线的定义，圆必过焦点(0,2)．
【答案】 A
7．(2013·石家庄高二检测)设k＜3，k≠0，则二次曲线－＝1与＋＝1必有( )
A．不同的顶点 B．不同的准线
C．相同的焦点 D．相同的离心率
【解析】 当0＜k＜3时，0＜3－k＜3.
∴－＝1表示实轴为x轴的双曲线，a2＋b2＝3＝c2.
∴两曲线有相同焦点；
当k＜0时，－k＞0且3－k＞－k，
∴＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆．
a2＝3－k，b2＝－k.∴a2－b2＝3＝c2.
与已知椭圆有相同焦点．
【答案】 C
8．(2013·岳阳高二检测)已知动点P到两定点F1(－1,0)，F2(1,0)的距离之和为2λ(λ≥1)，则点P轨迹的离心率的取值范围为( )
A．[，1) B．(，]
C．(0，] D．(，1)
【解析】 由题意，|PF1|＋|PF2|＝2λ＞2＝|F1F2|，所以点P的轨迹是椭圆，其中a＝λ，c＝1.故e＝≤，∴e∈(0，]．
【答案】 C
9．AB为过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的中心的弦，F1为一个焦点，则△ABF1的最大面积是(c为半焦距)( )
A．ac B．ab
C．bc D．b2
【解析】 △ABF1的面积为c·|yA|，因此当|yA|最大时，即|yA|＝b时，△ABF1的面积最大，最大值为bc.
【答案】 C
10．双曲线－＝1(a＞)的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为
( )
A. B.
C. D．2
【解析】 如图，双曲线的渐近线方程为：y＝±x，若∠AOB＝，则θ＝，tan θ＝＝，∴a＝＞.又∵c＝＝2，
∴e＝＝＝.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
11．抛物线y＝(a≠0)的准线方程为________．
【解析】 ∵y＝，∴x2＝ay，焦点在y轴上．
∴2p＝a，∴＝.
准线方程为：y＝－.
【答案】 y＝－
12．(2013·厦门高二检测)以抛物线y2＝8x的焦点F为右焦点，且两条渐近线是x±y＝0的双曲线方程为________．
【解析】 抛物线y2＝8x的焦点F(2，0)，设双曲线方程为x2－3y2＝λ，＝(2)2，∴λ＝9，故双曲线的方程为－＝1.
【答案】 －＝1
13．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________.
【解析】 设A，B，C所对的边分别为a，b，c，则＝.
∵A(－4,0)，C(4,0)，∴b＝8，
又∵点B在椭圆＋＝1上，
∴|BA|＋|BC|＝10＝a＋c，
∴＝＝.
【答案】
14．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为________．
【解析】 由焦点在y轴上的双曲线的方程可知，满足题意的m需满足
解得m＞5.
故实数的取值范围为(5，＋∞)．
【答案】 (5，＋∞)
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)点A，B分别是椭圆＋＝1的长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.求点P的坐标．
【解】 由已知可得点A(－6,0)，B(6,0)，F(4,0)，设点P的坐标是(x，y)，则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)，
∴解得x＝或x＝－6.
由于y＞0，所以x＝，于是y＝，
所以点P的坐标是(，)．
16．(本小题满分12分)(2013·宁波高二检测)已知椭圆的中心在原点，焦点为F1(0，－2)，F2(0,2)，且离心率e＝.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线l(与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点A，B，且线段AB中点的横坐标为－，求直线l斜率的取值范围．
【解】 (1)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知c＝2，又＝，解得a＝3，所以b＝1，
故所求方程为＋x2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝kx＋t(k≠0)，代入椭圆方程整理得(k2＋9)x2＋2ktx＋t2－9＝0，
由题意得
解得k＞或k＜－.
即直线l斜率的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞)．
17．(本小题满分12分)(2013·太原高二检测)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为F(1,0)．
(1)求此椭圆的标准方程；
(2)若过点F且倾斜角为的直线与此椭圆相交于A，B两点，求|AB|的值．
【解】 (1)由题意知＝且c＝1.
∴a＝，b＝＝1.
故椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知，椭圆方程为＋y2＝1， ①
又直线过点F(1,0)，且倾斜角为，斜率k＝1.
∴直线的方程为y＝x－1. ②
由①，②联立，得3x2－4x＝0，
解之得x1＝0，x2＝.
故|AB|＝|x1－x2|＝|0－|＝.
18．(本小题满分14分)设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点．
(1)若P是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值；
(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围．
【解】 (1)易知a＝2，b＝1，c＝，
所以F1(－，0)，F2(，0)．
设P(x，y)，则
·＝(－－x，－y)·(－x，－y)
＝x2＋y2－3＝x2＋1－－3＝(3x2－8)．
因为x∈[－2,2]，故当x＝0，
即点P为椭圆短轴端点时，·有最小值－2；
当x＝±2，即点P为椭圆长轴端点时，·有最大值1.
(2)显然直线x＝0不满足题设条件，可设直线l：
y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立
消去y，整理得(k2＋)x2＋4kx＋3＝0.
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
由Δ＝(4k)2－4(k2＋)×3＝4k2－3＞0，
得k＞或k＜－， ①
又0°＜∠AOB＜90°?cos∠AOB＞0?·＞0.
所以·＝x1x2＋y1y2＞0.
又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)
＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4
＝＋＋4＝，
所以＋＞0，即k2＜4，
所以－2＜k＜2. ②
故由①，②得直线l的斜率k的取值范围为(－2，－)∪(，2)．
综合检测(三)
第三章 导数及其应用
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设质点M按规律s＝3t2＋5作直线运动，则质点M( )
A．在t＝1时的瞬时速度为11
B．在t＝2时的瞬时速度为12
C．在t＝3时的瞬时速度为13
D．在t＝4时的瞬时速度为17
【解析】 瞬时速度v＝s′＝6t，当t＝2时，s′(2)＝12.
【答案】 B
2．(2013·临沂高二检测)已知p：函数y＝f(x)的导函数是常函数；q：函数y＝f(x)是一次函数，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 p q，因为当f(x)是常函数时，其导函数也为常函数；q?p，故p是q的必要不充分条件．
【答案】 B
3．函数y＝x2cos x的导数为( )
A．y′＝2xcos x－x2sin x B．y′＝2xcos x＋x2sin x
C．y′＝x2cos x－2xsin x D．y′＝xcos x－x2sin x
【解析】 f′(x)＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x.
【答案】 A
4．函数y＝3x－x3的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－1,1) D．(1，＋∞)
【解析】 y′＝3－3x2，令y′＞0得x∈(－1,1)．
【答案】 C
5．(2013·济宁高二检测)若曲线f(x)＝x4－x在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为( )
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(1,0) D．(－1,0)
【解析】 f′(x)＝4x3－1，设P(x0，y0)，则f′(x0)＝4x－1＝3.
∴x0＝1，y0＝f(1)＝1－1＝0，∴点P的坐标为(1,0)．
【答案】 C
6．(2013·烟台高二检测)三次函数f(x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是( )
A．m＜0 B．m＜1
C．m≤0 D．m≤1
【解析】 f′(x)＝3mx2－1，由题意f′(x)≤0在R上恒成立，所以∴m＜0.
【答案】 A
7．已知函数f(x)在定义域R上是增函数，且f(x)＜0，则g(x)＝x2f(x)的单调情况一定是( )
A．在(－∞，0)上递增 B．在(－∞，0)上递减
C．在R上递减 D．在R上递增
【解析】 g′(x)＝2x·f(x)＋x2f′(x)，
由于f(x)在R上是增函数，∴f′(x)＞0，
又f(x)＜0，∴当x＜0时，g′(x)＞0.
∴g(x)在(－∞，0)上递增．
【答案】 A
8．设函数f(x)＝2x＋－1(x＜0)，则f(x)( )
A．有最大值 B．有最小值
C．是增函数 D．是减函数
【解析】 f′(x)＝2－＝，方程f′(x)＝0在x＜0内有解，当x＝－时，f′(x)＝0，当x＜－时，f′(x)＞0；当－＜x＜0时，f′(x)＜0.故f(x)在x＝－时有极大值，也是最大值．
【答案】 A
9．(2013·天津高二检测)下列图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导数f′(x)的图象，则f(－1)的值为( )
(1) (2) (3)
图1
A. B．－
C. D．－或
【解析】 f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，其图象开口向上，故不是图(1)，在图(2)中，a＝0，f′(x)＝x2－1，但已知a≠0，故f′(x)的图象应为图(3)，∴f′(0)＝0，∴a＝±1，又其对称轴在y轴右侧，故a＝－1，∴f(x)＝x3－x2＋1，∴f(－1)＝－.
【答案】 B
10．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )
A．30元 B．60元
C．28 000元 D．23 000元
【解析】 设毛利润为L(P)，由题意知L(P)＝PQ－20Q＝Q(P－20)＝(8 300－170P－P2)(P－20)＝－P3－150P2＋11 700P－166 000，所以L′(P)＝－3P2－300P＋11 700.令L′(P)＝0，解得P＝30或－130(舍)．此时L(30)＝23 000，因为在P＝30附近的左侧L′(P)＞0，右侧L′(P)＜0.所以L(30)是极大值也是最大值．
【答案】 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
11．函数f(x)＝ex·cos x，x∈[0,2π]，若f′(x)＝0，则x＝________.
【解析】 f′(x)＝ex(－sin x)＋excos x＝ex(cos x－sin x)，
令f′(x)＝0得cos x－sin x＝0，∴cos x＝sin x.
∴x＝或π.
【答案】 或π
12．若函数f(x)＝x3－f′(1)x2＋2x－5，则f′(2)＝________.
【解析】 ∵f′(x)＝3x2－2f′(1)x＋2，
∴f′(1)＝3－2f′(1)＋2，∴f′(1)＝.
因此f′(2)＝12－4f′(1)＋2＝.
【答案】
13．函数f(x)＝x＋2cos x在区间[0，]上的最大值是________．
【解析】 由f(x)＝x＋2cos x，得f′(x)＝1－2sin x，
当0≤x≤时，0≤sin x＜，∴f′(x)＞0.
∴f(x)在[0，]上是增函数，
∴函数f(x)在区间上的最大值f(x)max＝f＝＋2cos.
【答案】 ＋2cos
14．(2013·济南高二检测)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时不等式f(x)＋xf′(x)＜0成立，若a＝30.3·f(30.3)，b＝logπ3·f(logπ3)，c＝log3·f(log3)，则a，b，c的大小关系是________．
【解析】 构造函数g(x)＝xf(x)，
则g(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上递减，a＝g(30.3)，b＝g(logπ3)，c＝g(log3)＝g(log39)，
∵log39＞30.3＞logπ3＞0，∴c＜a＜b.
【答案】 c＜a＜b
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)满足：
①在x＝1时有极值；②图象过点(0，－3)，且在该点处的切线与2x＋y＝0平行．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)＝f(x＋1)的单调递增区间．
【解】 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，
则f′(x)＝2ax＋b.
由题设可得即
解得
所以f(x)＝x2－2x－3.
(2)g(x)＝f(x＋1)＝(x＋1)2－2(x＋1)－3＝x2－4.
令g′(x)＝2x＞0，得x＞0.
故g(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
16．(本小题满分12分)若函数f(x)＝ax2＋2x＋bln x在x＝1和x＝2时取极值．
(1)求a，b的值；
(2)求在上的最大值和最小值．
【解】 (1)f′(x)＝2ax＋2＋，∴f′(1)＝f′(2)＝0.
即解得
(2)由(1)知，f(x)＝－x2＋2x－ln x，
∵f(x)在x＝1和x＝2时取极值，x＝是区间一个端点，
且f(2)＝－ln 2，f(1)＝，
f＝－＋1－ln ＝＋ln 2，
∴函数f(x)的最小值f(x)min＝f(1)＝，最大值f(x)max＝f＝＋ln 2.
17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋2x2＋x－4，g(x)＝ax2＋x－8.
(1)求函数f(x)的极值；
(2)若对任意x∈[0，＋∞)都有f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围．
【解】 (1)f′(x)＝3x2＋4x＋1，
令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝－.
∵当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数；
当x∈(－1，－)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数；
当x∈(－，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数．
∴当x＝－1时，f(x)取得极大值－4，
当x＝－时，f(x)取得极小值－.
(2)设F(x)＝f(x)－g(x)＝x3＋(2－a)x2＋4，
∵F(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，
∴[F(x)]min≥0，x∈[0，＋∞)．
若2－a≥0，
显然[F(x)]min＝F(0)＝4＞0；
若2－a＜0，F′(x)＝3x2＋(4－2a)x，
令F′(x)＝0，解得x＝0或x＝.
当0＜x＜时，F′(x)＜0；
当x＞时，F′(x)＞0，
∴当x∈(0，＋∞)时，[F(x)]min＝F()≥0，即
()3＋(2－a)()2＋4≥0.
解不等式得a≤5，∴2＜a≤5.
当x＝0时，F(x)＝4满足题意．
综上所述，a的取值范围为(－∞，5]．
18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ax＋ln x(a∈R)．
(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的斜率；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)设g(x)＝x2－2x＋2，若对任意x1∈(0，＋∞)，均存在x2∈[0,1]，使得f(x1)＜g(x2)，求a的取值范围．
【解】 (1)由已知，当a＝2时，f(x)＝2x＋ln x，
f′(x)＝2＋(x＞0)，
f′(1)＝2＋1＝3.
故曲线y＝f(x)在x＝1处切线的斜率为3.
(2)f′(x)＝a＋＝(x＞0)．
①当a≥0时，由于x＞0，
故ax＋1＞0，f′(x)＞0，
所以，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
②当a＜0时，由f′(x)＝0，
得x＝－.
在区间(0，－)上，f′(x)＞0，在区间(－，＋∞)上f′(x)＜0，
所以，函数f(x)的单调递增区间为(0，－)，单调递减区间为(－，＋∞)．
综上所述，当a≥0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a＜0时，f(x)的单调递增区间为(0，－)，单调递减区间为(－，＋∞)．
(3)由已知，转化为f(x)max＜g(x)max＝g(0)＝2，
由(2)知，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，值域为R，故不符合题意．(或者举出反例：存在f(e3)＝ae3＋3＞2，故不符合题意)
当a＜0时，f(x)在(0，－)上单调递增，在(－，＋∞)上单调递减，
故f(x)的极大值即为最大值，
f(－)＝－1＋ln()
＝－1－ln(－a)，
所以2＞－1－ln(－a)，
解得a＜－.
综上，a的取值范围是(－∞，－)．
