课件55张PPT。教师用书独具演示演示结束椭圆的定义 距离之和等于定长(大于|F1F2|) 两焦点间的距离|F1F2| 焦点 椭圆的标准方程 椭圆定义的理解及简单应用 求椭圆的标准方程 求与椭圆有关的轨迹方程 课时作业（七）课件51张PPT。教师用书独具演示演示结束椭圆的几何性质 椭圆的离心率 0 越扁 (0,1) 离心率 由椭圆方程研究几何性质 由椭圆的几何性质求其标准方程 求椭圆的离心率 课时作业（八）课件60张PPT。教师用书独具演示演示结束点与椭圆的位置关系 ＝ ＜ ＞ 直线与椭圆的位置关系 两一无＞＝＜直线与椭圆的位置关系的判定 直线与椭圆相交问题 与椭圆相关的实际应用问题 课时作业（九）课件53张PPT。教师用书独具演示演示结束双曲线的定义 差的绝对值 两个定点 两焦点间的距离 双曲线的标准方程 a2＋b2 双曲线标准方程的理解 求双曲线的标准方程 双曲线定义的应用 课时作业（十）课件50张PPT。教师用书独具演示演示结束双曲线的几何性质 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 坐标轴 原点 2a 2b 由双曲线的方程研究几何性质 由双曲线的几何性质求双曲线的方程 求双曲线的离心率 课时作业（十一）课件51张PPT。教师用书独具演示演示结束抛物线的定义 距离相等 焦点 准线 抛物线的标准方程 x2＝－2py抛物线概念的理解与应用 求抛物线的标准方程 抛物线的实际应用问题 课时作业（十二）课件56张PPT。教师用书独具演示演示结束抛物线的几何性质 x y x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 直线与抛物线的位置关系 两个 一个 有且只有一个 无 抛物线几何性质的应用 直线与抛物线的位置关系问题 抛物线的焦点弦问题 课时作业（十三）
一、选择题
1．(2013·台州高二检测)设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1(x≤－3)
D.－＝1(x≥3)
【解析】 由题意动点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a＝3，b＝4，故应选D.
【答案】 D
2．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是( )
A. B．1或－2
C．1或 D．1
【解析】 由于a＞0,0＜a2＜4且4－a2＝a＋2，∴a＝1.
【答案】 D
3．(2013·泰安高二检测)已知双曲线方程为－＝1，点A、B在双曲线的右支上，线段AB经过右焦点F2，|AB|＝m，F1为左焦点，则△ABF1的周长为( )
A．2a＋2m B．4a＋2m
C．a＋m D．2a＋4m
【解析】 根据双曲线的定义：|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，而三角形的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝(|AF1|－|AF2|)＋(|BF1|－|BF2|)＋2|AB|＝4a＋2m.
【答案】 B
4．已知平面内有一线段AB，其长度为4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB中点，则|PO|的最小值是( )
A．1 B.
C．2 D．4
【解析】 ∵|PA|－|PB|＝3＜|AB|＝4，
∴点P在以A、B为焦点的双曲线的一支上，
其中2a＝3,2c＝4，
∴|PO|min＝a＝.
【答案】 B
5．(2013·临沂高二检测)已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且·＝0，||·||＝2，则该双曲线的方程是
( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【解析】 由双曲线定义||MF1|－|MF2||＝2a，两边平方得：|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|＝4a2，因为·＝0，故△MF1F2为直角三角形，有|MF1|2＋|MF2|2＝(2c)2＝40，而|MF1|·|MF2|＝2，∴40－2×2＝4a2，∴a2＝9，∴b2＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.
【答案】 A
二、填空题
6．设m为常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________.
【解析】 由题意c＝5，且m＋9＝25，∴m＝16.
【答案】 16
7．(2013·莱芜高二检测)若方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．
【解析】 方程表示双曲线需满足(5－k)(k＋2)＞0，解得：－2＜k＜5，即k的取值范围为(－2,5)．
【答案】 (－2,5)
8．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为______．
【解析】 设右焦点为F′，由题意知F′(4,0)，根据双曲线的定义，|PF|－|PF′|＝4，∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF′|＋|PA|，∴要使|PF|＋|PA|最小，只需|PF′|＋|PA|最小即可，即需满足P、F′、A三点共线，最小值为4＋|F′A|＝4＋＝9.
【答案】 9
三、解答题
9．求与椭圆＋＝1有相同焦点，并且经过点(2，－)的双曲线的标准方程．
【解】 由＋＝1知焦点F1(－，0)，F2(，0)．
依题意，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
∴a2＋b2＝5， ①
又点(2，－)在双曲线－＝1上，
∴－＝1. ②
联立①②得a2＝2，b2＝3，
因此所求双曲线的方程为－＝1.
10．(2013·杭州高二检测)已知A(－7,0)，B(7,0)，C(2，－12)，椭圆过A，B两点且以C为其一个焦点，求椭圆另一个焦点的轨迹方程．
【解】 设椭圆的另一个焦点为P(x，y)，
则由题意知|AC|＋|AP|＝|BC|＋|BP|，
∴|BP|－|AP|＝|AC|－|BC|
＝2＜|AB|＝14，
所以点P的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，且c＝7，a＝1，
∴b2＝c2－a2＝48.
∴所求的轨迹方程为x2－＝1.
11．A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东，相距6 km，C在B的北偏西30°方向上，相距4 km，P为敌炮阵地，某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4秒后，B，C才同时发现这一信号(该信号的传播速度为每秒1 km)．A若炮击P地，求炮击的方位角．
【解】 以AB的中点为原点，BA所在的直线为x轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2)．
∵|PB|－|PA|＝4，∴点P在以A、B为焦点的双曲线的右支上，该双曲线右支的方程是
－＝1(x≥2)． ①
又∵|PB|＝|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上，该直线的方程为x－y＋7＝0. ②
将②代入①得11x2－56x－256＝0，得x＝8或x＝－(舍)．于是可得P(8,5)．
设α为PA所在直线的倾斜角，
kPA＝tan α＝，∴α＝60°，故点P在点A的北偏东30°方向上，即A炮击P地的方位角是北偏东30°.
一、选择题
1．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6,0)，则它的标准方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【解析】 设等轴双曲线方程为－＝1(a＞0)．
∴a2＋a2＝62，∴a2＝18.
故双曲线方程为－＝1.
【答案】 B
2．中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
【解析】 ∵e＝＝，∴a＝c，
由a2＋b2＝c2，得b2＝c2－c2＝c2，∴b＝c，
∵双曲线焦点在y轴上，
∴渐近线方程为y＝±x＝±x，故选D.
【答案】 D
3．(2013·泰安高二检测)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵双曲线的焦点在x轴上，
∴设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
又其一条渐近线过点(4，－2)，
∴＝，∴a＝2b.
因此c＝＝b.
∴离心率e＝＝.
【答案】 D
4．(2013·天门高二检测)双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r＝( )
A. B．2
C．3 D．6
【解析】 双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆心坐标为(3,0)，由点到直线的距离公式与渐近线与圆相切得，圆心到渐近线的距离为r，且r＝＝.
【答案】 A
5．(2013·临沂高二检测)双曲线－＝1和椭圆＋＝1(a＞0，m＞b＞0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【解析】 双曲线的离心率e1＝，椭圆的离心率e2＝，由e1e2＝1得(a2＋b2)(m2－b2)＝a2m2，故a2＋b2＝m2，因此三角形为直角三角形．
【答案】 B
二、填空题
6．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________.
【解析】 ∵2a＝2,2b＝2，∴ ＝2，
∴m＝－.
【答案】 －
7．已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________，渐近线方程为________．
【解析】 双曲线的焦点为(－4,0)，(4,0)，∴c＝4，
离心率e＝＝2，∴a＝2，∴b＝＝2.
∴双曲线方程为－＝1.令－＝0，得渐近线方程为x±y＝0.
【答案】 (±4,0) x±y＝0
8．(2013·北京高二检测)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的取值范围为________．
【解析】 由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a，
又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝a.
容易知道|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，
即a≥2c，∴e≤，又e＞1，故e∈(1，]．
【答案】 (1，]
三、解答题
9．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点(－3,2)；
(2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)．
【解】 (1)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
则由题意可知－＝λ，解得λ＝.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设所求双曲线方程为－＝1(16－k＞0,4＋k＞0)，
∵双曲线过点(3，2)，∴－＝1，解得k＝4或k＝－14(舍)．
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
10．双曲线－＝1(a＞1，b＞0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线离心率的取值范围．
【解】 ∵l的方程为：bx＋ay－ab＝0.
由点到直线距离公式且a＞1，得
点(1,0)到直线l的距离d1＝，
点(－1,0)到直线l的距离d2＝.
s＝d1＋d2＝≥c.
即5a≥2c2，即5≥2e2，
∴4e4－25e2＋25≤0，解得≤e2≤5，
∵e＞1，∴≤e≤.
即e的取值范围为[，]．
11．若原点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a＞0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，求·的取值范围．
【解】 由双曲线方程－y2＝1(a＞0)知b＝1.
又F(－2,0)，∴c＝2.
∴a2＋1＝c2＝4，∴a2＝3，
∴双曲线方程为－y2＝1.
设双曲线右支上点P(x，y)，且x≥.
·＝(x，y)·(x＋2，y)＝x2＋2x＋y2
＝x2＋2x－1＝2－.
∵x≥，∴当x＝时，上式有最小值3＋2.
故·的取值范围为[3＋2，＋∞).
一、选择题
1．(2013·济南高二检测)若动点P与定点F(1,1)和直线3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．直线
【解析】 由于点F(1,1)在直线3x＋y－4＝0上，故满足条件的动点P的轨迹是一条直线．
【答案】 D
2．(2013·新乡高二检测)设动点C到点M(0,3)的距离比点C到直线y＝0的距离大1，则动点C的轨迹是( )
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
【解析】 由题意，点C到M(0,3)的距离等于点C到直线y＝－1的距离，所以点C的轨迹是抛物线．
【答案】 A
3．抛物线y2＝4px(p＞0)上一点M到焦点的距离为a，则M到y轴的距离为
( )
A．a－p B．a＋p
C．a－ D．a＋2p
【解析】 y2＝4px的准线方程为x＝－p，
设M点坐标为(x1，y1)，则x1＋p＝a，
∴x1＝a－p.
【答案】 A
4．(2013·东营高二检测)若抛物线的焦点恰巧是椭圆＋＝1的右焦点，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝－4x B．y2＝4x
C．y2＝－8x D．y2＝8x
【解析】 椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，故抛物线的焦点为(2,0)，∴＝2，∴p＝4，∴抛物线标准方程为y2＝8x.
【答案】 D
5．(2013·洛阳高二检测)已知点M是抛物线y2＝4x上的一动点，F为焦点，定点P(3,1)，则|MP|＋|MF|的最小值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
【解析】 如图所示，过点P作PN垂直于准线x＝－1于点N，交抛物线于点M，∴|MN|＝|MF|，此时|MP|＋|MF|取得最小值，最小值为xp＋＝3＋1＝4.
【答案】 B
二、填空题
6．抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是________．
【解析】 由y2＝4x知焦点F(1,0)，准线为x＝－1，
∴焦点到准线的距离为2.
【答案】 2
7．(2013·三明高二检测)以双曲线－＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程为________．
【解析】 由－＝1知a2＝4，b2＝5，
∴c2＝a2＋b2＝9，双曲线右焦点为(3,0)，
依题意，抛物线的焦点F(3,0)，＝3，∴p＝6，
∴抛物线方程为y2＝12x.
【答案】 y2＝12x
8．(2012·陕西高考)如图2－3－2所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________m.
图2－3－2
【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py得p＝1.
∴x2＝－2y.
当水面下降1 m，得D(x0，－3)(x0>0)，将其坐标代入x2＝－2y得x＝6，
∴x0＝.∴水面宽|CD|＝2 m.
【答案】 2
三、解答题
9．根据下列条件，分别求抛物线的标准方程．
(1)准线方程为y＝－1；
(2)焦点到准线的距离是4.
【解】 (1)准线为y＝－1，所以＝1，即p＝2，所以抛物线标准方程为x2＝4y.
(2)p＝4，所以抛物线标准方程有四种形式：y2＝8x，y2＝－8x，x2＝8y，x2＝－8y.
10．抛物线的焦点F在x轴上，点A(m，－3)在抛物线上，且|AF|＝5，求抛物线的标准方程．
【解】 因为抛物线的焦点F在x轴上，且点A(m，－3)在抛物线上，
所以当m＞0时，点A在第四象限，抛物线的方程可设为y2＝2px(p＞0)，
设点A到准线的距离为d，
则d＝|AF|＝＋m，
所以
解得或
所以抛物线的方程为y2＝2x或y2＝18x，
当m＜0时，点A在第三象限，抛物线方程可设为y2＝－2px(p＞0)，
设A到准线的距离为d，
则d＝|AF|＝－m，所以
解得或
所以抛物线的方程为y2＝－2x或y2＝－18x.
综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－2x或y2＝－18x或y2＝2x或y2＝18x.
11．已知抛物线x2＝4y，点P是此抛物线上一动点，点A坐标为(12,6)，求点P到点A的距离与到x轴距离之和的最小值．
【解】 将x＝12代入x2＝4y，得y＝36＞6，所以A点在抛物线外部．
抛物线焦点F(0,1)，准线l：y＝－1.过P作PB⊥l于点B，交x轴于点C，则|PA|＋|PC|＝|PA|＋|PB|－1＝|PA|＋|PF|－1，由图可知，当A、P、F三点共线时，|PA|＋|PF|最小．∴|PA|＋|PF|的最小值为|FA|＝13.故|PA|＋|PC|的最小值为12.
一、选择题
1．(2013·泰安高二检测)已知抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，焦点为F，过F且垂直于x轴的直线交抛物线于A，B两点，且|AB|＝8，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝±8x D．x2＝±8y
【解析】 由抛物线的定义知，|AB|＝|AF|＋|BF|＝2p＝8，∴p＝4，故标准方程为y2＝±8x.
【答案】 C
2．抛物线y＝ax2＋1与直线y＝x相切，则a等于( )
A. B.
C. D．1
【解析】 由消y得ax2－x＋1＝0.
∵直线y＝x与抛物线y＝ax2＋1相切，
∴方程ax2－x＋1＝0有两相等实根．
∴判别式Δ＝(－1)2－4a＝0，∴a＝.
【答案】 B
3．(2013·长沙高二检测)过点M(2,4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线共有条数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 由于M(2,4)在抛物线上，故满足条件的直线共有2条，一条是与x轴平行的线，另一条是过M的切线，如果点M不在抛物线上，则有3条直线．
【答案】 B
4．探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，灯口直径为60 cm，灯深40 cm，则光源到反射镜顶点的距离是( )
A．11.25 cm B．5.625 cm
C．20 cm D．10 cm
【解析】 如图建立直角坐标系，则A(40,30)，设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，将点(40,30)代入得p＝，所以＝5.625即光源到顶点的距离．
【答案】 B
5．若点P在y2＝x上，点Q在(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为( )
A.－1 B.－1
C．2 D.－1
【解析】 设圆(x－3)2＋y2＝1的圆心为Q′(3,0)，要求|PQ|的最小值，只需求|PQ′|的最小值．
设P点坐标为(y，y0)，则|PQ′|＝
＝＝.
∴|PQ′|的最小值为，
从而|PQ|的最小值为－1.
【答案】 D
二、填空题
6．(2013·台州高二检测)设抛物线y2＝16x上一点P到对称轴的距离为12，则点P与焦点F的距离|PF|＝________.
【解析】 设P(x,12)，代入到y2＝16x得x＝9，
∴|PF|＝x＋＝9＋4＝13.
【答案】 13
7．设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(0,2)，若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为________．
【解析】 由已知得点B的纵坐标为1，横坐标为，即B(，1)将其代入y2＝2px得p＝，则点B到准线的距离为＋＝p＝.
【答案】
8．连接抛物线x2＝4y的焦点F与点M(1,0)所得的线段与抛物线交于点A，设点O为坐标原点，则三角形OAM的面积为________．
【解析】 由题意得F的坐标为(0,1)．
又M(1,0)，
故线段MF的方程为
x＋y＝1(0≤x≤1)．
解，
得交点A的坐标为(2－2,3－2)．
所以S△OAM＝×1×(3－2)＝－.
【答案】 －
三、解答题
9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．
【解】 设所求抛物线的标准方程为
x2＝2py(p＞0)，A(x0，y0)，由题知
M(0，－)．
∵|AF|＝3，∴y0＋＝3，
∵|AM|＝，
∴x＋(y0＋)2＝17，
∴x＝8，代入方程x＝2py0得，
8＝2p(3－)，解得p＝2或p＝4.
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
10．已知A，B两点在抛物线C：x2＝4y上，点M(0,4)满足＝λ(λ≠0)，求证：⊥.
【证明】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵＝λ，∴M，A，B三点共线，即直线AB过点M.
设lAB∶y＝kx＋4(易知斜率存在)，与x2＝4y联立得，
x2－4kx－16＝0，
Δ＝(－4k)2－4×(－16)
＝16k2＋64＞0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝4k，x1x2＝－16，
∴·＝x1x2＋y1y2
＝x1x2＋(kx1＋4)(kx2＋4)
＝(1＋k2)x1x2＋4k(x1＋x2)＋16
＝(1＋k2)·(－16)＋4k·(4k)＋16＝0，
∴⊥.
11．(2013·泰州高二检测)已知抛物线x2＝ay(a＞0)，点O为坐标原点，斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点．
(1)若直线l过点D(0,2)且a＝4，求△AOB的面积；
(2)若直线l过抛物线的焦点且·＝－3，求抛物线的方程．
【解】 (1)依题意，直线l的方程为y＝x＋2，抛物线方程x2＝4y，
由消去y，得x2－4x－8＝0.
则Δ＝16－4×(－8)＝48＞0恒成立．
设l与抛物线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＜x2.
∴x1＝2－2，x2＝2＋2.
则|x2－x1|＝4.
∴S△AOB＝·|OD|·|x2－x1|＝×2×4＝4.
(2)依题意，直线l的方程为y＝x＋.
?x2－ax－＝0，
∵Δ＞0，设直线l与抛物线交点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∴x1＋x2＝a，x1x2＝－.
又已知·＝－3，
即x1x2＋y1y2＝－3，
∴x1x2＋(x1＋)(x2＋)＝－3，
∴2x1x2＋(x1＋x2)＋＝－3，
∵a＞0，∴a＝4.
∴所求抛物线方程为x2＝4y.
一、选择题
1．曲线y＝－2x2＋1在点(0,1)处的平均变化率为( )
A．－2(Δx)2 B．－(Δx)2
C．2Δx D．－2Δx
【解析】 Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝f(Δx)－f(0)
＝－2(Δx)2＋1－1＝－2(Δx)2，
∴＝＝－2Δx.
【答案】 D
2．一物体的运动方程是s＝5t2，物体从1 s到3 s的平均速度是( )
A．30 m/s B．20 m/s
C．40 m/s D．45 m/s
【解析】 由平均变化率的定义可知Δs＝5×32－5×12＝5×8＝40(m)，
∴＝＝20(m/s)．
【答案】 B
3．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则＝( )
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
【解析】 ＝＝4＋2Δx.
【答案】 C
4．若函数f(x)＝x2－c在区间[1，m]上的平均变化率为3，则m等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】 ＝3，故m＝2(m＝1舍去)．
【答案】 A
5．函数y＝x2＋2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0的平均变化率为k2，则( )
A．k1k2
C．k1＝k2 D．不确定
【解析】 k1＝＝2x0＋Δx，
k2＝＝2x0－Δx，
∴k1－k2＝2Δx.
∵Δx的正负不确定，
∴k1与k2的大小关系不确定．
【答案】 D
二、填空题
6．在雨季潮汛期间，某水文观测员观察千岛湖水位的变化，在24 h内发现水位从105.1 m上涨到107.5 m，则水位涨幅的平均变化率是________m/h.
【解析】 水位涨幅的平均变化率为＝0.1(m/h)．
【答案】 0.1
7．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，＝________.
【解析】 ＝
＝
＝(Δx)2＋6Δx＋12.
【答案】 (Δx)2＋6Δx＋12
8．某物体作自由落体运动，下落距离s(单位： m)与时间t(单位：s)满足s＝gt2，则该物体在[4,5]内的平均速度为________ .
【解析】 ＝
＝×25g－×16g＝4.5g(m/s)．
【答案】 4.5g m/s
三、解答题
9．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在下列区间上f(x)及g(x)的平均变化率．
(1)[－3，－1]；(2)[0,5]．
【解】 (1)f(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为
＝2，
g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为－2.
(2)f(x)在区间[0,5]上的平均变化率为＝2，
g(x)在区间[0,5]上的平均变化率为－2.
10．已知一物体的运动方程为s(t)＝t2＋2t＋3，求物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度．
【解】 物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的位移增量Δs＝s(1＋Δt)－s(1)
＝[(1＋Δt)2＋2(1＋Δt)＋3]－(12＋2×1＋3)
＝(Δt)2＋4Δt.
物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度为
＝＝4＋Δt.
11．有一底面半径为r cm，高为h cm的倒立圆锥容器，若以n cm3/s的速率向容器里注水，求注水时前t s内水面上升的平均速率．
【解】 如图所示，设注水t s时，水面高度为y cm，此时水面半径为x cm，
则＝，
x＝y，
tn＝x2y，
∴tn＝π·(y)2·y
＝··y3，
∴y＝ ＝ ·.
∴在0 s到t s之间水面上升的平均速率为
＝＝＝
＝ (cm/s).
一、选择题
1．已知平面内两定点A，B及动点P，设命题甲是：“|PA|＋|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆”，那么甲是乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 由椭圆定义知甲?乙，但乙?甲，故甲是乙的必要不充分条件．
【答案】 B
2．设椭圆＋＝1(m＞1)上一点P到其左、右焦点的距离分别为3和1，则m＝( )
A．6 B．3
C．2 D．4
【解析】 由题意椭圆焦点在x轴上，则2m＝3＋1＝4，∴m＝2.
【答案】 C
3．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】 由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，不妨设|PF1|＞|PF2|，∵|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，又∵|F1F2|＝2c＝4，∴△PF1F2为直角三角形．
【答案】 B
4．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是
( )
A．a＞3 B．a＜－2
C．a＞3或a＜－2 D．a＞3或－6＜a＜－2
【解析】 ∵椭圆的焦点在x轴上，∴
∴a＞3或－6＜a＜－2.
【答案】 D
5．(2013·天水高二检测)设集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，则方程＋＝1表示焦点在x轴上椭圆的个数是( )
A．6 B．8
C．12 D．16
【解析】 ∵椭圆焦点在x轴上，∴m＞n，因此，当m＝4时，n＝1,2,3；当m＝3时，n＝1,2；当m＝2时，n＝1，共6种情况．
【答案】 A
二、填空题
6．若方程＋ay2＝1表示椭圆，则实数a应满足的条件是________．
【解析】 将方程化为＋＝1，此方程表示椭圆须满足：解得a＞0且a≠1.
【答案】 a＞0且a≠1
7．已知椭圆＋＝1的焦点在y轴上，且焦距为4，则实数m＝________.
【解析】 由题意，焦点在y轴上，焦距为4，则有m－2－(10－m)＝()2，解得m＝8.
【答案】 8
图2－1－1
8．(2013·临沂高二检测)如图2－1－1所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是________．
【解析】 ∵折叠后的M与F重合，∴|PM|＝|PF|，又∵|PM|＋|PO|＝r，∴|PF|＋|PO|＝r＞|OF|，故点P的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．
【答案】 椭圆
三、解答题
9．求符合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)过点A(，)和B(，1)的椭圆．
(2)过点(－3,2)且与＋＝1有相同焦点的椭圆．
【解】 (1)设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
∵椭圆过点A(，)和B(，1)，
∴
解得m＝1，n＝.
∴所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.
(2)∵已知椭圆＋＝1中a＝3，b＝2，且焦点在x轴上，∴c2＝9－4＝5.
∴设所求椭圆方程为＋＝1.
∵点(－3,2)在所求椭圆上，
∴＋＝1.
∴a2＝15.
∴所求椭圆方程为＋＝1.
10．已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，P是该椭圆上一点，且|PF1|＝4，求：
(1)|PF2|的值；
(2)∠F1PF2的大小．
【解】 由题意知：a＝3，b2＝2，∴c＝＝.
(1)由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6.
∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2.
(2)∵|F1F2|＝2c＝2，由余弦定理：
cos∠F1PF2＝＝－，
∴∠F1PF2＝120°.
11．已知点M在椭圆＋＝1上，MP′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P′，并且M为线段PP′的中点，求P点的轨迹方程．
【解】 设P点的坐标为(x，y)，M点的坐标为(x0，y0)．
∵点M在椭圆＋＝1上，∴＋＝1.
∵M是线段PP′的中点，
∴x0＝x且y0＝.
把代入＋＝1中，得＋＝1，
即x2＋y2＝36.
∴P点的轨迹方程为x2＋y2＝36.
一、选择题
1．(2013·济南高二检测)若椭圆的长轴长为10，焦距为6，则椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1或＋＝1
D.＋＝1或＋＝1
【解析】 由题意2a＝10,2c＝6，∴a＝5，b2＝16，且焦点位置不确定，故应选D.
【答案】 D
2．椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有( )
A．相同短轴 B．相同长轴
C．相同离心率 D．以上都不对
【解析】 由于椭圆＋＝1中，焦点的位置不确定，故无法确定两椭圆的长轴、短轴、离心率的关系．
【答案】 D
3．曲线＋＝1与＋＝1(0A．有相等的焦距，相同的焦点
B．有相等的焦距，不同的焦点
C．有不等的焦距，不同的焦点
D．以上都不对
【解析】 曲线＋＝1焦距为2c＝8，而曲线＋(10＜k＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B.
【答案】 B
4．过椭圆＋＝1(a＞b＞0)左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 Rt△PF1F2中，|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝60°，
∴|PF1|＝，|PF2|＝，∴|PF1|＋|PF2|＝＝2a，a＝c.
∴e＝＝＝.
【答案】 B
5．设AB是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴，若把线段AB分为100等份，过每个分点作AB的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P99，F1为椭圆的左焦点，则|F1A|＋|F1P1|＋|F1P2|＋…＋|F1P99|＋|F1B|的值是( )
A．98a B．99a
C．100a D．101a
【解析】 由椭圆的定义及其对称性可知，|F1P1|＋|F1P99|＝|F1P2|＋|F1P99|＝…＝|F1F49|＋|F1P51|＝|F1A|＋|F1B|＝2a，F1P50＝a，故结果应为50×2a＋|F1P50|＝101a.
【答案】 D
二、填空题
6．(2013·兰州高二检测)若椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为________．
【解析】 若焦点在x轴上，则＝1－()2＝，k＝；若焦点在y轴上，则＝，∴k＝－3.
【答案】 或－3
7．椭圆的一个顶点和两个焦点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为________．
【解析】 如图所示，△AF1F2为等腰直角三角形．
∴OA＝OF1，即c＝b，
又∵a2＝b2＋c2＝2c2，∴＝.
【答案】
8．一个顶点为(0,2)，离心率e＝，坐标轴为对称轴的椭圆方程为________．
【解析】 (1)当椭圆焦点在x轴上时，
由已知得b＝2，e＝＝，
∴a2＝，b2＝4，∴方程为＋＝1.
(2)当椭圆焦点在y轴上时，
由已知得a＝2，e＝＝，
∴a2＝4，b2＝3，∴方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1或＋＝1
三、解答题
9．(1)求与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程；
(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程．
【解】 (1)∵c＝＝，
∴所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0)．
设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵e＝＝，c＝，∴a＝5，b2＝a2－c2＝20.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因椭圆的焦点在x轴上，
设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵2c＝8，∴c＝4，
又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
10．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率．
【解】 如图，不妨设椭圆的焦点在x轴上，
∵AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，
∴在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°.
令|AF1|＝x，则|AF2|＝2x.
∴|F1F2|＝＝x＝2c.
由椭圆定义，可知|AF1|＋|AF2|＝2a.
∴e＝＝＝.
11．如图2－1－2所示，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝，一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|＋|PB|的值不变．
(1)建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
(2)试判断该方程是否为椭圆方程，若是，请写出其长轴长、焦距、离心率．
图2－1－2
【解】 (1)以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，
由题设可得|PA|＋|PB|＝|CA|＋|CB|＝＋＝2.由椭圆定义知动点P的轨迹为椭圆．
不妨设动点P的轨迹方程为＋＝1(a＞b＞0)，
则a＝，c＝1，b＝＝1，
∴曲线E的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)的求解过程知曲线E的方程是椭圆方程，其长轴长为2，焦距为2，离心率为.
一、选择题
1．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是( )
A．－＜a＜ B．a＜－或a＞
C．－2＜a＜2 D．－1＜a＜1
【解析】 ∵点A(a,1)在椭圆＋＝1内部，
∴＋＜1.∴＜.
则a2＜2，∴－＜a＜.
【答案】 A
2．已知直线y＝kx＋1和椭圆x2＋2y2＝1有公共点，则k的取值范围是( )
A．k＜－或k＞ B．－＜k＜
C．k≤－或k≥ D．－≤k≤
【解析】 由得(2k2＋1)x2＋4kx＋1＝0.
∵直线与椭圆有公共点．
∴Δ＝16k2－4(2k2＋1)≥0，则k≥或k≤－.
【答案】 C
3．直线l交椭圆＋＝1于A，B两点，AB的中点为M(2,1)，则l的方程为( )
A．2x－3y－1＝0 B．3x－2y－4＝0
C．2x＋3y－7＝0 D．3x＋2y－8＝0
【解析】 根据点差法求出kAB＝－，
∴l的方程为：y－1＝(x－2)．
化简得3x＋2y－8＝0.
【答案】 D
4．若直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为( )
A．2个 B．至多一个
C．1个 D．0个
【解析】 若直线与圆没有交点，则d＝ ＞2，
∴m2＋n2＜4，即＜1.∴＋＜1，∴点(m，n)在椭圆的内部，故直线与椭圆有2个交点．
【答案】 A
5．椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A，B是它的两个焦点，其长轴长为2a，焦距为2c(a＞c＞0)，静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是( )
A．2(a－c) B．2(a＋c)
C．4a D．以上答案均有可能
【解析】 如图，本题应分三种情况讨论：
当小球沿着x轴负方向从点A出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a－c)；
当小球沿着x轴正方向从点A出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a＋c)；
当是其他情况时，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a.
【答案】 D
二、填空题
6．(2013·济宁高二检测)已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．
【解析】 设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)与直线方程联立消去x得(a2＋3b2)y2＋8b2y＋16b2－a2b2＝0，由Δ＝0及c＝2得a2＝7，∴2a＝2.
【答案】 2
7．(2013·合肥高二检测)以等腰直角三角形ABC的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________．
【解析】 当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有b＝c，此时可求得离心率e＝＝＝＝；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，设直角边长为m，故有2c＝m,2a＝(1＋)m，所以离心率e＝＝＝＝－1.故填－1或.
【答案】 －1或
8．(2013·石家庄高二检测)过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为原点，则△OAB的面积为________．
【解析】 直线方程为y＝2x－2，与椭圆方程＋＝1联立，可以解得A(0，－2)，B(，)，
∴S△＝|OF|·|yA－yB|＝.(也可以用设而不求的方法求弦长|AB|，再求出点O到AB的距离，进而求出△AOB的面积)
【答案】
三、解答题
9．已知椭圆的短轴长为2，焦点坐标分别是(－1,0)和(1,0)．
(1)求这个椭圆的标准方程；
(2)如果直线y＝x＋m与这个椭圆交于不同的两点，求m的取值范围．
【解】 (1)∵2b＝2，c＝1，∴b＝，a2＝b2＋c2＝4.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)联立方程组
消去y并整理得7x2＋8mx＋4m2－12＝0.
若直线y＝x＋m与椭圆＋＝1有两个不同的交点，则有Δ＝(8m)2－28(4m2－12)＞0，
即m2＜7，解得－＜m＜.
即m的取值范围是(－，)．
10．椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．
【解】 由得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝
＝·.
∵|AB|＝2，∴＝1.①
设C(x，y)，则x＝＝，y＝1－x＝，
∵OC的斜率为，∴＝.
代入①，得a＝，b＝.
∴椭圆方程为＋y2＝1.
图2－1－4
11．(2013·亳州高二检测)如图2－1－4所示，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)过点(1，)，离心率为，左、右焦点分别为F1、F2.点P为直线l：x＋y＝2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A，B和C，D，O为坐标原点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2.
证明：－＝2.
【解】 因为椭圆过点(1，)，e＝，
所以＋＝1，＝，
又a2＝b2＋c2，所以a＝，b＝1，c＝1，
故所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)证明：设点P(x0，y0)，则k1＝，k2＝，
因为点P不在x轴上，所以y0≠0，
又x0＋y0＝2，
所以－＝－＝＝＝2.
