课件45张PPT。教师用书独具演示演示结束命题的概念 能判断真假正确的不正确的一个小写英文字母命题的判断 命题真假的判断 命题的构成 课时作业（一）课件46张PPT。教师用书独具演示演示结束全称量词与全称命题 所述事物的全体 全称量词 ? 全称命题 ?x∈M，p(x) 存在量词与存在性命题 所述事物的个体或部分 ? 存在量词 存在集合M中的元素x， q(x) ?x∈M，q(x) 全称命题与存在性命题的判断 全称命题与存在性命题的表达 全称命题和存在性命题的真假判断 课时作业（二）课件60张PPT。教师用书独具演示演示结束由基本逻辑联结词构成的新命题 p∧q p且q p∨q p或q 非p p的否定 含逻辑联结词的命题的真假规律(真值表) 假 假 假 假 假 假 真 真 真 真 真 真 全称命题和存在性命题的否定 开句(条件命题) 变量 含有逻辑联结词的命题构成 含逻辑联结词的命题真假的判断 命题的否定 逻辑联结词的应用 课时作业（三）课件56张PPT。教师用书独具演示演示结束充分条件、必要条件与充要条件 p?q p推出q 充分条件 必要条件 p?q q?p 充要条件 p?q 充要条件 q当且仅当p p与q等价 充分条件、必要条件、充要条件的判断 充分条件、必要条件、充要条件的应用 充要条件的证明 课时作业（四）课件50张PPT。教师用书独具演示演示结束四种命题 如果q，则p 四种命题的相互关系 四种命题的真假关系 逆否命题 没有关系 四种命题的概念 四种命题真假的判断 等价命题的应用 课时作业（五）
一、选择题
1．下列语句是命题的是( )
①三角形的内角和等于180°；②2>3；
③偶数是自然数；④x＞2；
⑤这座山真险啊！
A．①②③ B．①③④
C．①②⑤ D．②③⑤
【解析】 ①②③是命题，④中x>2无法判断真假，⑤是感叹句，∴④⑤不是命题．
【答案】 A
2．(2013·郑州高二检测)在空间，下列命题正确的是( )
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
【解析】 A中平行投影可能平行，A为假命题．B、C中的两个平面可以平行或相交，为假命题．由线面垂直的性质，D为真命题．
【答案】 D
3．下列说法正确的是( )
A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题
【解析】 将命题“直角相等”写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A是错误的；语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根．”是陈述句而且可以判断真假，并且是假的，所以选项B是错误的；选项D是正确的；选项C是错误的，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”．
【答案】 D
4．(2013·黔东南州高二检测)下列四个命题中，真命题是( )
A．a＞b，c＞d?ac＞bd
B．a＜b?a2＜b2
C.＜?a＞b
D．a＞b，c＜d?a－c＞b－d
【解析】 可以通过举反例的方法说明A、B、C为假命题．
【答案】 D
5．设有不同的直线m，n和不同的平面α，β.下列四个命题中，正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m?α，则m⊥β
D．若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α
【解析】 若α∥β，m?β，n?β可知m∥α，n∥α，但m与n可以相交，所以A不正确；B不正确；若α⊥β，则α中仍有不与β垂直的直线，C不正确；若α⊥β，则在α中可作与β垂直的直线n，又m⊥β，则m∥n，又m?α，所以m∥α，D正确．
【答案】 D
二、填空题
6．指出下列命题的条件和结论．
(1)当x＝2时，x2－3x＋2≠0.条件是：________，结论是：________.
(2)平行四边形的对角线互相平分．条件是：________，结论是：________.
【解析】 (1)条件是“x＝2”，结论是“x2－3x＋2≠0”．
(2)命题可改写为：
若一个四边形为平行四边形，则它的对角线互相平分．
条件是“四边形为平行四边形”，结论“对角线互相平分”．
【答案】 (1)x＝2 x2－3x＋2≠0
(2)四边形为平行四边形 对角线互相平分
7．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2＞bc2，则a＞b.其中真命题的序号是________．
【解析】 ②中四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，③中平行四边形不是梯形，①、④正确．
【答案】 ①④
8．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A—BD—C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成45°的角．其中真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号)
【解析】 如图所示，取BD的中点E，连AE、EC，取AC、AD的中点F、G，连结EF、FG、EG.
∵AE⊥BD，EC⊥BD，
∴∠AEC就是二面角A—BD—C的平面角．
∴∠AEC＝90°.
由BD⊥平面AEC，可知BD⊥AC，①正确；
由△AEC≌△AED，可知AD＝AC＝CD，②正确；
由AE⊥平面BCD知，∠ABE＝45°是AB与平面BCD所成的角，③正确．故①②③为真命题．
【答案】 ①②③
三、解答题
9．判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．
①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；
②若x＝4，则2x＋1<0 ；
③一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；
④求证：x∈R时，方程x2－x＋2＝0无实根．
【解】 ①②③是命题，④不是命题．
命题①中，y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，显然其最小正周期为π，是真命题．
命题②中，当x＝4时，2x＋1>0，∴②是假命题．
命题③中，若等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列为递减数列，是假命题．
④是一个祈使句，没有作出判断，不是命题．
10．把下列命题改写成“如果p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)当m>时，方程mx2－x＋1＝0无实根；
(2)平行于同一平面的两条直线平行．
【解】 (1)命题可改写为如果m>，则mx2－x＋1＝0无实根．
∵当m>时，Δ＝1－4m<0，所以是真命题．
(2)命题可改写为如果两直线平行于同一平面，则它们互相平行．
∵平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面．所以是假命题．
11．命题“ax2－2ax－3≤0恒成立”是真命题，求实数a的取值范围．
【解】 由于ax2－2ax－3≤0恒成立是真命题，
(1)当a＝0时，－3≤0成立．
(2)当a≠0时，应满足，解之得－3≤a＜0.
由(1)(2)得a的取值范围为[－3,0].
一、选择题
1．下列命题不是全称命题的是( )
A．在三角形中，三内角之和为180°
B．对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤b
C．对于实数a、b，|a－1|＋|b－1|＞0
D．存在实数x，使x2－3x＋2＝0成立
【解析】 A、B、C中都含有全称量词，而D中含存在量词，是存在性命题，故选D.
【答案】 D
2．下列命题中，是存在性命题且是真命题的是( )
A．实数都可以写成小数形式
B．凸多边形的外角和等于360°
C．存在一个实数，它的相反数是它本身
D．至少存在一个无理数x，使x2－x＝0成立
【解析】 A、B为全称命题；C为存在性命题，且当实数为0时，相反数为它本身，为真命题；D中x2－x＝0，∴x＝0或1，为假命题．
【答案】 C
3．下列命题不是“?x∈R，x2>3”的表述方法的是( )
A．有一个x∈R，使x2>3
B．有些x∈R，使x2＞3
C．任选一个x∈R，使x2>3
D．至少有一个x∈R，使x2＞3
【解析】 “任选一个x∈R，使x2＞3”是全称命题，不能用符号“?”表示，故选C.
【答案】 C
4．(2013·朝阳高二检测)有四个关于三角函数的命题：
p1：?x∈R，sin2 ＋cos2 ＝；
p2：?x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin y；
p3：?x∈[0，π], ＝sin x；
p4：sin x＝cos y?x＋y＝.
其中假命题是( )
A．p1，p4 B．p2，p4
C．p1，p3 D．p2，p3
【解析】 对?x∈R，sin2 ＋cos2 ＝1，
∴p1为假命题；当x，y，x－y有一个为2kπ(k∈Z)时，sin x－sin y＝sin(x－y)，
∴p2是真命题；
∵cos 2x＝1－2sin2 x，∴＝sin2 x，又x∈[0，π)时，sin x≥0，∴p3是真命题；
当x＝π，y＝时，sin x＝cos y，但π＋≠，故p4为假命题．
【答案】 A
5．下列4个命题：
p1：?x∈(0，＋∞)，()x＜()x；
p2：?x∈(0,1)，logx＞logx；
p3：?x∈(0，＋∞)，()x＞logx；
p4：?x∈(0，)，()x＜logx.
其中的真命题是( )
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
【答案】 D
二、填空题
6．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题应为________．
【答案】 ?x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy恒成立
7．给出下列命题：
①?x∈R，是无理数；
②?x，y∈R，如果x＋y≠0，则x，y至少有一个不为0；
③存在实数既能被3整除又能被19整除；
④x＞1与＜1同解．
其中真命题的序号是______．
【解析】 对①，取x＝0，
则＝0不是无理数；
对④，两不等式不同解，由＜1，
得＞0，∴x＜0或x＞1.
【答案】 ②③
8．已知四个命题分别为：①?x∈R,2x－1＞0；②?x∈N*，(x－1)2＞0；③?x∈R，lg x＜1；④?x∈R，tan x＝2.
其中是假命题的是________．
【解析】 由函数的性质，显然①③④是真命题．
对于②，当x＝1时，(x－1)2＝0.
∴②是假命题．
【答案】 ②
三、解答题
9．试判断以下命题的真假：
(1)?x∈R，x2＋2＞0；
(2)?x∈N，x4≥1；
(3)?x∈Z，x3＜1；
(4)?x∈Q，x2＝5.
【解】 (1)由于?x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2＞0，即x2＋2＞0.所以命题“?x∈R，x2＋2＞0”是真命题．
(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立．所以命题“?x∈N，x4≥1”是假命题．
(3)由于－1∈Z，当x＝－1时，能使x3＜1成立．所以命题“?x∈Z，x3＜1”是真命题．
(4)由于使x2＝5成立的数只有±，而它们都不是有理数．因此，没有任何一个有理数的平方等于5.所以命题“?x∈Q，x2＝5”是假命题．
10．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是存在性命题，并判断真假．
(1)若a＞0，且a≠1，则对任意实数x，ax＞0；
(2)对任意实数x1，x2，若x1＜x2，则tan x1＜tan x2；
(3)?T∈R，使|sin(x＋T)|＝|sin x|；
(4)?x∈R，使x2＋1＜0.
【解】 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是存在性命题．
(1)∵ax＞0(a＞0，a≠1)恒成立，
∴命题(1)是真命题．
(2)存在x1＝0，x2＝π，x1＜x2，
但tan 0＝tan π，
∴命题(2)是假命题．
(3)y＝|sin x|是周期函数，π就是它的一个周期，
∴命题(3)是真命题．
(4)对任意x∈R，x2＋1＞0，
∴命题(4)是假命题．
11．若r(x)：sin x＋cos x＞m，s(x)：x2＋mx＋1＞0，如果?x∈R，r(x)为假命题且s(x)为真命题，求实数m的取值范围．
【解】 由于sin x＋cos x＝sin(x＋)∈[－， ]，
所以如果对任意的x∈R，r(x)为假命题，
即存在x∈R，
sin x＋cos x≤m为真命题，
所以m≥－.
又对任意的x∈R，s(x)为真命题，
即对任意的x∈R，
不等式x2＋mx＋1＞0，
所以Δ＝m2－4＜0，
即－2＜m＜2.
故如果对任意的x∈R，
r(x)为假命题且s(x)为真命题，
应有－≤m＜2.
一、选择题
1．(2013·许昌高二检测)已知命题p：3≥3，q：3＞4，则下列判断正确的是
( )
A．p∨q为真，p∧q为真，綈p为假
B．p∨q为真，p∧q为假，綈p为真
C．p∨q为假，p∧q为假，綈p为假
D．p∨q为真，p∧q为假，綈p为假
【解析】 ∵p为真命题，q为假命题，∴p∨q为真，p∧q为假，綈p为假，应选D.
【答案】 D
2．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的非是( )
A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0
C．存在x∈R，x3－x2＋1＞0
D．对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0
【解析】 全称命题的否定为存在性命题，
∴命题的非为：
存在x∈R，x3－x2＋1＞0，
故选C.
【答案】 C
3．下列各组命题中，满足“‘p或q’为真，‘p且q’为假，‘非p’为真”的是( )
A．p：0＝?；q：0∈?
B．p：在△ABC中，若cos 2A＝cos 2B，则A＝B；
q：y＝sin x在第一象限是增函数
C．p：a＋b≥2(a，b∈R)；
q：不等式|x|＞x的解集是(－∞，0)
D．p：圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的面积被直线x＝1平分；
q：直线y＝2x＋1的倾斜角为30°
【解析】 由已知“綈p”为真命题，故p为假命题，又因为“p或q”为真，“p且q”为假，故q为真命题，应选C.
【答案】 C
4．(2013·东北师大附中质检)已知p，q为两个命题，则“p∨q是假命题”是“綈p为真命题”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 “p∨q”为假，则p与q均是假命题，綈p为真命题，又綈p为真命题，则p为假命题．
但若q为真命题，则推不出p∨q是假命题．
【答案】 A
5．(2013·连云港高二检测)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2，q4：p1∧(綈p2)中，真命题是( )
A．q1，q3 B．q2，q3
C．q1，q4 D．q2，q4
【解析】 ∵y＝2x在R上增函数，y＝2－x在R上是减函数，
∴y＝2x－2－x在R上是增函数为真命题，y＝2x＋2－x在R上为减函数是假命题．
因此p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题；
∴q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，
∴q3：(綈p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(綈p2)为真命题．
∴真命题是q1，q4，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．命题“△ABC是等腰三角形且是直角三角形”的非是______．
【答案】 △ABC不是等腰三角形或者不是直角三角形
7．若x∈{x|x＜4或x≥10}是假命题，则x的取值范围是________．
【解析】 由题意其否定为真，即4≤x＜10成立．
【答案】 [4,10)
8．(2013·泰安高二检测)命题p：若mx2－mx－1＜0恒成立，则－4＜m＜0.命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a
【解析】 若mx2－mx－1＜0恒成立，
则m＝0或
解之得－4＜m≤0.
∴命题p是假命题．
又(x－a)(x－b)<0的解集与a，b大小有关，
∴q假．
因此“綈p”为真，“p∨q”与“綈p∧q”为假．
【答案】 綈p
三、解答题
9．用“且”、“或”改写下列命题并判断真假：
(1)1不是质数也不是合数；
(2)2既是偶数又是质数；
(3)5和7都是质数；
(4)2≤3.
【解】 (1)p：1不是质数；q：1不是合数；p∧q：1不是质数且1不是合数．(真)
(2)p：2是偶数；q：2是质数；p∧q：2是偶数且2是质数．(真)
(3)p：5是质数；q：7是质数；p∧q：5是质数且7是质数．(真)
(4)2≤3?2＜3或2＝3.(真)
10．写出下列各命题的否定形式及否命题：
(1)若xy＝0，则x＝0或y＝0；
(2)菱形的对角线相等且互相垂直；
(3)若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m，n，a，b全为零．
【解】 (1)否定形式：若xy＝0，则x≠0且y≠0；
否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0.
(2)否定形式：菱形的对角线不相等或不互相垂直；
否命题：如果一个四边形不是菱形，则它的对角线不相等或不互相垂直．
(3)否定形式：若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m，n，a，b不全为零；
否命题：若m2＋n2＋a2＋b2≠0，则实数m，n，a，b不全为零．
11．(2013·扬州高二检测)已知m＞0，p：(x＋2)(x－6)≤0，q：2－m≤x≤2＋m.
(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
(2)若m＝5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围．
【解】 p：－2≤x≤6，q：2－m≤x≤2＋m(m>0)．
(1)∵p是q的充分条件，
∴解之得m≥4.
故实数m的取值范围是[4，＋∞)．
(2)当m＝5时，q：－3≤x≤7.
∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
∴p、q一真一假，
当p真q假时，无解；
当p假q真时，
解得－3≤x<－2或6综上，实数x的取值范围是[－3，－2)∪(6,7].
一、选择题
1．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则m＝2是A∩B＝{4}的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 当m＝2时，m2＝4，A∩B＝{4}，
但m2＝4时，m＝±2，
∴A∩B＝{4}得m＝±2.
【答案】 A
2．(2013·济南高二检测)设α，β∈(－，)，那么“α＜β”是“tan α＜tan β”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 在(－，)中，函数y＝tan x为增函数，所以设α、β∈(－，)，那么“α＜β”是tan α＜tan β的充要条件．
【答案】 C
3．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是( )
A．p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>d
B．p：A?B，q：x∈A?x∈B
C．p：x＝1，q：x2＝x
D．p：a>1，q：f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数
【解析】 易知由a＋c>b＋dDa>b且c>d.
但a>b且c>d，
可得a＋c>b＋d
∴“p：a＋c>b＋d”是“q：a>b且c>d”的必要不充分条件．故选A.
【答案】 A
4．(2013·浙江高考)若α∈R，则“α＝0”是“sin αA．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 若α＝0，则sin α＝0，cos α＝1，所以sin α【答案】 A
5．(2013·青岛高二检测)下列各小题中，p是q的充分必要条件的是( )
①p：m＜－2或m＞6，q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；
②p：＝1，q：y＝f(x)是偶函数；
③p：cos α＝cos β，tan α＝tan β；
④p：A∩B＝A，q：?UB??UA.
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
【解析】 ①y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点，则Δ＝m2－4(m＋3)＞0，得m＞6或m＜－2，所以p是q的充要条件．
②若y＝f(x)中存在x0，使得f(x0)＝0，则p是q的充分不必要条件．
③当α＝β＝kπ＋时，tan α，tan β无意义，所以p是q的必要不充分条件．
④p是q的充要条件．
【答案】 D
二、填空题
6．下列不等式：①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜0；④－1＜x＜1.其中，可以是x2＜1的一个充分条件的所有序号为________．
【答案】 ②③④
7．(2013·武汉高二检测)“b2＝ac”是“a、b、c”成等比数列的________条件．
【解析】 “b2＝acD”a，b，c成等比数列，如b2＝ac＝0；而“a，b，c”成等比数列?“b2＝ac”．
【答案】 必要不充分
8．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直的充要条件是m＝________.
【解析】 直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直?1·m＋(m＋1)·2＝0?m＝－.
【答案】 －
三、解答题
9．指出下列命题中，p是q的什么条件．
(1)p：≤，q：x2＋x－3≥0；
(2)p：ax2＋ax＋1＞0的解集是R，q：0＜a＜4；
(3)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B.
【解】 (1)化简得p：，
q：.如图
由图可知，?，
所以p是q的充分不必要条件．
(2)因为ax2＋ax＋1＞0的解集是R，所以①当a＝0时成立；
②当a≠0时，ax2＋ax＋1＞0的解集是R，
有解得0＜a＜4，所以0≤a＜4.
所以pD q，q?p，所以p是q的必要不充分条件．
(3)对于p：A∪B＝A?B?A，对于q：A∩B＝B?B?A，
即p?q，所以p是q的充要条件．
10．若A＝{x|a＜x＜a＋2}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，且A是B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解】 ∵A是B的充分不必要条件，
∴A?B.
又A＝{x|a3}．
因此a＋2≤－1或a≥3，
∴实数a的取值范围是a≥3或a≤－3.
11．设a，b，c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，证明：“a2＝b(b＋c)”是“A＝2B”的充要条件．
【证明】 充分性：由a2＝b(b＋c)＝b2＋c2－2bccos A可得1＋2cos A＝＝.
即sin B＋2sin Bcos A＝sin(A＋B)．
化简，得sin B＝sin(A－B)．
由于sin B＞0且在三角形中，
故B＝A－B，
即A＝2B.
必要性：若A＝2B，
则A－B＝B，sin(A－B)＝sin B，
即sin(A＋B)＝2sin Bcos A＋sin B.
∴sin(A＋B)＝sin B(1＋2cos A)．
∵A、B、C为△ABC的内角，
∴sin(A＋B)＝sin C，
即sin C＝sin B(1＋2cos A)．
∴＝1＋2cos A＝1＋＝，
即＝.
化简得a2＝b(b＋c)．
∴“a2＝b(b＋c)”是“A＝2B”的充要条件.
一、选择题
1．(2013·长沙高二期末)命题“若函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2＜0”的逆否命题是( )
A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数
D．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数
【解析】 命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”“f(x)在其定义域内是减函数”的否定是“f(x)在其定义域内不是减函数”，不能误认为是“f(x)在其定义域内是增函数．”
【答案】 A
2．设原命题：若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1.则原命题与其逆命题的真假情况是( )
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
【解析】 原命题显然为真，逆命题中，假设a＝2，b＝－1，则逆命题为假命题．
【答案】 A
3．有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④若“A∪B＝B，则A?B”的逆否命题．
其中的真命题是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．③④
【解析】 ①③是真命题，②④是假命题．
【答案】 C
4．互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性．我们用“?”表示同真或同假，把它叫做“连连看”．下面让我们领略“连连看”的风采：已知命题p的否命题是r，命题r的逆命题为s，命题p的逆命题是t，则下列同真同假的“连连看”中，正确的一组是( )
A．p?r，s?t B．p?t，s?r
C．p?s，r?t D．p?r，s?r
【解析】 因为命题p的否命题是r，命题r的逆命题为s，所以命题p与s互为逆否命题，故有p?s；又由于命题p的否命题为r，命题p的逆命题为t，故t、r也是互为逆否命题，即r?t.
【答案】 C
5．与命题“若a·b＝0，则a⊥b”等价的命题是( )
A．若a·b≠0，则a不垂直于b
B．若a⊥b，则a·b＝0
C．若a不垂直于b，则a·b≠0
D．若a·b≠0，则a⊥b
【解析】 原命题与其逆否命题为等价命题．
【答案】 C
二、填空题
6．下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②正方形的四条边相等；
③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．
【解析】 ②③互为逆命题，①③互为否命题，①②互为逆否命题．
【答案】 ②③ ①③ ①②
7．(2013·济南高二检测)在空间中，给出下列两个命题：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．其中逆命题为真命题的是________．
【解析】 ①的逆命题：若空间四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，是假命题；②的逆命题：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，是真命题．
【答案】 ②
8．小强同学参加了市数学奥林匹克竞赛，班内有三位同学对他的成绩作了如下猜测：
甲：小强非第一名，也非第二名；
乙：小强非第一名，而是第三名；
丙：小强非第三名，而是第一名．
竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则小强得了第________名．
【解析】 (1)假设小强得了第三名，则甲全猜对，乙也全猜对，显然与已知条件矛盾，故假设不成立；(2)假设小强得了第二名，则甲猜对了一半，乙猜对一半，也与已知条件矛盾，故假设不成立；(3)假设小强得了第一名，则甲猜对了一半，乙全猜错，丙全猜对．综上分析，可知小强得了第一名．
【答案】 一
三、解答题
9．判断下列命题的真假，写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
(1)若a＞b，则ac2＞bc2；
(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；
(3)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac＜0，则该二次函数的图象与x轴有公共点．
【解】 (1)该命题为假命题．因为当c＝0时，有ac2＝bc2.
逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b.(真)
否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.(真)
逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.(假)
(2)该命题为真命题．
逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．(真)
否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．(真)
逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．(真)
(3)该命题为假命题．
当b2－4ac＜0时，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数的图象与x轴无公共点．
逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点，则b2－4ac＜0.(假)
否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0，则该二次函数图象与x轴没有公共点．(假)
逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴没有公共点，则b2－4ac≥0.(假)
10．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．
(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论．
(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
【解】 (1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.它为真，可证明原命命题的否命题为真来证明它．
否命题为：若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．如果a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.因为f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，所以f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，故原命题的否命题为真，所以逆命题为真．
(2)逆否命题是：f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0.它为真，可证明原命题为真来证明它．
因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a.因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，故原命题为真．所以逆否命题为真．
11．已知下列三个方程：
x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．
【解】 假设三个方程都无实根，
则有
即
解得－＜a＜－1.
故三个方程中至少有一个方程有实根，则a的取值范围是a≥－1或a≤－.
