人教A版（2019）选择性必修一 2.1 直线的倾斜角与斜率 课件(20张ppt)

直线的倾斜角与斜率
解析几何的由来
勒奈·笛卡尔(René Descartes，1596-1650)：法国数学家、科学家和哲学家，堪称17世纪以来欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”.
坐标法：以坐标系为桥梁，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法.
几何
代数
点是构成直线的基本元素.在平面直角坐标系中,可以用坐标表示点,那么,如何用坐标表示直线呢？为了用代数方法研究直线的有关问题,我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素,然后用代数方法把这些几何要素表示出来.
0
x
y
l
.P(x, y)
思考1 确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线l，如何利用坐标系确定它的位置？
0
x
y
.A
0
x
y
.A
.B
l
l
结论 一点和一个方向确定一条直线.
探究1
思考2 经过一点可以作几条直线？这些直线的区别是什么？
l2
0
x
y
.P
l1
l3
l'
α3
α'
α2
α1
结论1 在直角坐标系中，经过一点P可以作无数条直线，它们组成一个直线束.
结论2 这些直线相对于x轴的倾斜程度不同，也就是直线向上的方向与x轴的正方向所成的角不同.
定义 当直线l与x轴相交时,以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
l2
0
x
y
.P
l1
l3
l'
α3
α'
α2
α1
l
1.规定：当直线l与x轴平行或重合时,规定直线l的倾斜角为0°.
2.范围：0°≤α<180°
3.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个 以及它的 .
定点
倾斜角
说明 在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等，方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等.因此，我们可以用倾斜角表示一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向.
倾斜角
1.下列图中表示直线倾斜角为(　　)
C
3.直线x=1的倾斜角α= .
2.给出下列命题：
①任何一条直线都有唯一的倾斜角；
②若α是直线l的倾斜角，且sinα= ,则α=450 ；
③倾斜角为00的直线只有一条，即x轴；
④一条直线的倾斜角可以为-300.其中真命题的序号是_____.
90°
①
几何
代数
倾斜角是几何概念，你能找到与之对应的代数来刻画倾斜角吗？
定义 把一条直线的倾斜角????的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即
?
k=tan????
?
（????≠900?）
?
2.1.1直线的倾斜角与斜率
90°
0
(0，＋∞)
(－∞，0)
说明1.斜率与倾斜角的对应关系
2.用斜率可以表示直线的倾斜程度，进而表示直线的方向.
思考1 在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为????.已知直线l经过O(0,0)，P(????，1)，那么????与点O,P的坐标有什么关系？
?
设P1(x1,y1), P2(x2,y2)(其中x1≠x2),是直线l上的两点.由两点确定一条直线可知，直线l由点P1, P2唯一确定.所以，可以推断，直线l的倾斜角与两点P1, P2的坐标有内在联系.
0
x
y
. P1(x1,y1)
. P2(x2,y2)
l
0
x
y
.
. P(????，1)
?
l
α
tan????=13=33
?
=??????????????????
?
探究2
思考2 在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为????. 如果直线l经过P1(-1,1），P2(2,0),那么????与P1， P2的坐标又有什么关系？
?
0
x
y
. P1(-1,1)
l
.
P2(2,0)
?
α
α
P
tan????=1?1?2=1?2
?
=1?0?1?2
?
思考3 在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为????. 如果直线l经过两点P1(x1,y1),p2(x2,y2),(x1≠x2),那么????与P1， P2的坐标又有怎样的关系？
?
tan????=????2?????1????2?????1
?
tan????=????1?????2????1?????2
?
=????2?????1????2?????1
?
思考3 在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为????. 如果直线l经过两点P1(x1,y1),p2(x2,y2),(x1≠x2) ，那么????与P1， P2的坐标又有怎样的关系？
?
tan????=????2?????1????2?????1
?
思考4 如果直线l经过两点P1(x1,y1), P2(x2,y2),x1≠x2 ，当直线l 与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？
?
0
x
y
. P1(x1,y1)
. P2(x2,y2)
l
成立，tan????=0
?
思考5 如果直线l经过两点P1(x1,y1), P2(x2,y2),x1≠x2 ，当直线l 与y轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？
?
0
x
y
. P1(x1,y1)
. P2(x2,y2)
l
不成立，当直线的倾斜角????=900时，式子没有意义
?
思考6 如果直线l经过两点P1(x1,y1), P2(x2,y2),x1≠x2 ，上述式子与P1, P2两点的顺序有关吗？
?
没关系
新知探究
定义 把一条直线的倾斜角????的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即
?
k=tan????
?
（????≠900?）
?
如果直线l过两点P1(x1,y1), P2(x2,y2),(x1≠x2),那么直线l的斜率公式
?
k=????2?????1????2?????1
?
(x1≠x2)
?
点睛：1.运用公式的前提是x1≠x2,即直线不与x轴垂直.
2.斜率公式与P1,P2在直线上的位置无关,在直线上任取两点,得到的斜率是相同的.
3.需注意公式中横、纵坐标之差的顺序,也可以写成
即下标的顺序一致.
新知探究
如果直线l过两点P1(x1,y1), P2(x2,y2),(x1≠x2) ,直线l的斜率为k，则
?
思考 直线的方向向量与斜率之间有什么关系？
直线的方向向量
=（1, k）
结论1 若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x,y)则
k=????????
?
结论2 若直线l的斜率为k，则它的一个方向向量的坐标为(1,k).
0
x
y
. P1(x1,y1)
. P2(x2,y2)
l
例2 如图，已知A(3，2)，B(-4，1)，C(0，-1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
O
x
y
A
C
B
解：直线AB的斜率
直线BC的斜率
直线CA的斜率
由 及 知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；
由 知，直线BC的倾斜角为钝角．
斜率为正，倾斜角为锐角；
斜率为负，倾斜角为钝角；
斜率为0，倾斜角为0°；
斜率不存在时，倾斜角为直角.
我们发现，在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x 轴的倾斜程度.
注：(1)直线的倾斜角为90°时， ，此时直线的斜率不存在.
(2)当直线的倾斜角由0°逐渐增大到90°时，斜率k由 ，再由90°增大到180°时，斜率k 由 .
(3)斜率公式与两点坐标的顺序无关.
1.直线倾斜角的定义及其范围：
2.斜率k与倾斜角 之间的关系：
3.斜率公式：
“几何问题代数化”的思想
谢谢！