课件59张PPT。教师用书独具演示演示结束“曲线的方程“与”方程的曲线” 动点 曲线的方程 轨迹方程 方程F(x，y)＝0的曲线 曲线C的方程 两曲线的交点 实数解 求曲线方程的一般步骤 坐标系 对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解 曲线的交点问题 由方程研究曲线 求曲线方程 课时作业（六）课件54张PPT。教师用书独具演示演示结束椭圆的定义 两个定点 两焦点间的距离 椭圆的标准方程 (0，－c) (0，c) a2－b2 求椭圆的标准方程 椭圆的定义及其应用 与椭圆有关的轨迹问题 课时作业（七）课件56张PPT。教师用书独具演示演示结束椭圆的简单几何性质 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 2b 2a 2c 坐标轴 原点 椭圆的离心率 离心率 (0,1) 越扁 0 根据椭圆的方程研究其几何性质 由几何性质求椭圆的标准方程 求椭圆的离心率 课时作业（八）课件56张PPT。教师用书独具演示演示结束点与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系 两解 一 无 > ＝ < 直线与椭圆的位置关系的判断 弦长问题 中点弦问题 课时作业（九）课件52张PPT。教师用书独具演示演示结束双曲线的定义 距离的差的绝对值 焦点 两焦点的距离 双曲线的标准方程 (－c,0) (c,0) (0，－c) (0，c) a2＋b2 双曲线定义的应用 求双曲线的标准方程 双曲线的定义与标准方程的实际应用 课时作业（十）课件61张PPT。教师用书独具演示演示结束双曲线的几何性质 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 原点 坐标轴 2a 2b 根据双曲线方程研究几何性质 求双曲线的标准方程 求双曲线的离心率 直线与双曲线的位置关系问题 课时作业（十一）课件53张PPT。教师用书独具演示演示结束抛物线的定义 距离相等 焦点 准线 抛物线的标准方程 求抛物线的标准方程 抛物线定义的应用 抛物线的实际应用 课时作业（十二）课件58张PPT。教师用书独具演示演示结束抛物线的几何性质 直线与抛物线的位置关系 相离 相切 相交 抛物线几何性质的应用 直线与抛物线的位置关系的判断 直线与抛物线的相交弦问题 课时作业（十三）课件59张PPT。教师用书独具演示演示结束直线与圆锥曲线的位置关系 相交 相切 相离 圆锥曲线的弦及弦长公式 圆锥曲线的弦 |y1－y2| |x1－x2| 直线与圆锥曲线的交点个数的判定 圆锥曲线的弦长及中点弦问题 直线与圆锥曲线综合问题 课时作业（十四）
一、选择题
1．(2013·东营高二检测)方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围
( )
A．－2＜m＜2 B．m＞0
C．m≥0 D．|m|≥2
【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m)(2－m)＞0
∴－2＜m＜2.
【答案】 A
2．设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1(x≤－3) D.－＝1(x≥3)
【解析】 由题意，应为以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支．
由c＝5，a＝3，知b2＝16，
∴P点的轨迹方程为－＝1(x≥3)．
【答案】 D
3．(2013·泉州高二检测)已知定点A、B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值是( )
A. B.
C. D．5
【解析】 由题意知，动点P的轨迹是以定点A、B为焦点的双曲线的一支(如图)从图上不难发现，|PA|的最小值是图中AP′的长度，即a＋c＝.
【答案】 C
4．若椭圆＋＝1(m＞n＞0)和双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是( )
A．m－a B.(m－a)
C．m2－a2 D.－
【解析】 由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2. ①
由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2. ②
①2－②2得4|PF1|·|PF2|＝4(m－a)，
∴|PF1|·|PF2|＝m－a.
【答案】 A
5．已知双曲线的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1
【解析】 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在Rt△PF1F2中，
m2＋n2＝(2c)2＝20，m·n＝2，
由双曲线定义，知|m－n|2＝m2＋n2－2mn＝16.
∴4a2＝16.∴a2＝4，b2＝c2－a2＝1.
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
【答案】 D
二、填空题
6．双曲线－＝1的焦距为________．
【解析】 c2＝m2＋12＋4－m2＝16，∴c＝4,2c＝8.
【答案】 8
7．(2013·郑州高二检测)设点P是双曲线－＝1上任意一点，F1，F2分别是其左、右焦点，若|PF1|＝10，则|PF2|＝________.
【解析】 由双曲线的标准方程得，a＝3，b＝4.
于是c＝＝5.
(1)若点P在双曲线的左支上，
则|PF2|－|PF1|＝2a＝6，∴|PF2|＝6＋|PF1|＝16；
(2)若点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝6，
∴|PF2|＝|PF1|－6＝10－6＝4.
综上，|PF2|＝16或4.
【答案】 16或4
8．(2013·泰安高二检测)方程＋＝1表示的曲线为C，给出下列四个命题：
①曲线C不可能是圆；
②若1＜k＜4，则曲线C为椭圆；
③若曲线C为双曲线，则k＜1或k＞4；
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜.
其中正确命题的序号是________(写出所有正确的命题的序号)
【解析】 当4－k＝k－1＞0时，即k＝时，曲线C是圆，∴命题①是假命题．对于②，当1＜k＜4且k≠时，曲线C是椭圆，则②是假命题．
根据双曲线定义与标准方程，③④是真命题．
【答案】 ③④
三、解答题
9．求与双曲线－＝1有相同焦点且过点P(2,1)的双曲线的方程．
【解】 ∵双曲线－＝1的焦点在x轴上．
依题意，设所求双曲线为－＝1(a>0，b>0)．
又两曲线有相同的焦点，
∴a2＋b2＝c2＝4＋2＝6. ①
又点P(2,1)在双曲线－＝1上，
∴－＝1. ②
由①、②联立，得a2＝b2＝3，
故所求双曲线方程为－＝1.
10．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．
【解】 (1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；
(3)当k＜0时，方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；
(4)当0＜k＜1时，方程为＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；
(5)当k＞1时，方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．
11．某部队进行军事演习，一方指挥中心接到其正西、正东、正北方向三个观测点A，B，C的报告：正西、正北两个观测点同时听到了炮弹的爆炸声，正东观测点听到爆炸声的时间比其他两观测点晚4 s，已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m，试确定该枚炮弹的袭击位置．(声音的传播速度为340 m/s，相关各点均在同一平面内)．
【解】 如图，以指挥中心为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(－1 020,0)，B(1 020,0)，C(0,1 020)．
设P(x，y)为袭击位置，
则|PB|－|PA|＝340×4＜|AB|.
由双曲线定义，知点P在以A，B为焦点的双曲线的左支上，且a＝680，c＝1 020，
所以b2＝1 0202－6802＝5×3402.
所以双曲线方程为－＝1(x≤－680)． ①
又|PA|＝|PC|，因此P在直线y＝－x上，
把y＝－x代入①式，得x＝－680.
所以P(－680，680)，|OP|＝680(m)．
故该枚炮弹的袭击位置在北偏西45°，距指挥中心680 m处.
一、选择题
1．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6,0)，则它的标准方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【解析】 设等轴双曲线方程为－＝1(a＞0)，
∴a2＋a2＝62，∴a2＝18，
故双曲线方程为－＝1.
【答案】 B
2．(2013·济南高二检测)对于方程－y2＝1和－y2＝λ(λ＞0且λ≠1)所表示的双曲线有如下结论：
(1)有相同的顶点；
(2)有相同的焦点；
(3)有相同的离心率；
(4)有相同的渐近线．
其中正确的是( )
A．(1)(4) B．(2)(4)
C．(3)(4) D．(4)
【解析】 对于方程－y2＝1，a＝2，b＝1，c＝；对于方程－y2＝λ，a′＝2，b′＝，c′＝，显然a′、b′、c′分别是a、b、c的倍，因此有相同的离心率和渐近线．
【答案】 C
3．双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r等于( )
A. B．2
C．3 D．6
【解析】 双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆心坐标为(3,0)，由题意知圆心到渐近线的距离等于圆的半径r，即r＝＝＝.
【答案】 A
4．已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是( )
A．4＋2 B.－1
C. D.＋1
【解析】 如图，设MF1的中点为P，由题意知MF1⊥PF2.
在Rt△PF1F2中，|PF2|＝|F1F2|·sin 60°＝2c·＝c.
|PF1|＝|F1F2|·cos 60°＝2c·＝c，
∵|PF2|－|PF1|＝2a，∴a＝c.
∴e＝＝＝＋1.
【答案】 D
5．(2013·课标全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
【解析】 由e＝，得＝，∴c＝a，b＝＝a.
而－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，
∴所求渐近线方程为y＝±x.
【答案】 C
二、填空题
6．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________．
【解析】 ∵c2＝m＋m＋4＝2m＋4，
∴e2＝＝＝5，
∴3m－4＝0，∴m＝.
【答案】
7．(2013·玉溪高二检测)双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为________．
【解析】 由双曲线－＝1，
知a＝2，b＝2，c＝4，
∴焦点F1(－4,0)，F2(4,0)，
渐近线方程y＝±x.
由双曲线对称性，任一焦点到任一渐近线的距离都相等．
∴d＝＝2.
【答案】 2
8．过双曲线x2－＝1的左焦点F1，作倾斜角为的直线AB，其中A、B分别为直线与双曲线的交点，则|AB|的长为________．
【解析】 双曲线的左焦点为F1(－2,0)，
将直线AB方程：y＝(x＋2)代入双曲线方程，
得8x2－4x－13＝0.显然Δ＞0，
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴|AB|＝·
＝× ＝3.
【答案】 3
三、解答题
9．求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
【解】 将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，
即－＝1，
∴a＝3，b＝2，c＝，
因此顶点为A1(－3,0)，A2(3,0)，
焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，
离心率e＝＝，
渐近线方程：y＝±x＝±x.
10．双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝x，求双曲线的标准方程和离心率．
【解】 由椭圆＋＝1，知c2＝64－16＝48，且焦点在y轴上，
∵双曲线的一条渐近线为y＝x，
∴设双曲线方程为－＝1.
又c2＝2a2＝48，
∴a2＝24.
∴所求双曲线的方程为－＝1.
由a2＝24，c2＝48，
得e2＝＝2，
又e>0，∴e＝.
11．已知双曲线C：－y2＝1，P是C上的任意一点．
(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
(2)设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值．
【解】 (1)证明 设P(x1，y1)是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是x－2y＝0和x＋2y＝0.
点P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是和，
它们的乘积是·＝＝.
∴点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数．
(2)设P的坐标为(x，y)，则|PA|2＝(x－3)2＋y2
＝(x－3)2＋－1＝(x－)2＋.
∵|x|≥2，
∴当x＝时，|PA|2的最小值为，
即|PA|的最小值为.
一、选择题
1．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【解】 抛物线准线y＝－1，由抛物线定义知，点A到焦点的距离等于到准线的距离为5.
【答案】 D
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为
( )
A. B．1
C．2 D．4
【解析】 由抛物线的标准方程得准线方程为x＝－.
∵准线与圆相切，圆的方程为(x－3)2＋y2＝16，
∴3＋＝4，∴p＝2.
【答案】 C
3．(2013·海口高二检测)焦点在y轴上，且抛物线上一点A(m,3)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝8x B．x2＝8y
C．y2＝－8x D．x2＝－8y
【解析】 设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，∵A(m,3)到焦点的距离为5，∴＋3＝5，∴p＝4，∴抛物线为x2＝8y.
【答案】 B
4．(2013·济南高二期末)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝( )
A．4 B．8
C．8 D．16
【解析】 由抛物线定义得|PF|＝|PA|，又由直线AF的斜率为－可知，∠PAF＝60°，
所以△PAF是等边三角形，
即|PF|＝|AF|＝＝8.
【答案】 B
5．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B．1
C. D.
【解析】 如图，设AB中点为P，分别为A，B，P向准线x＝－作垂线，垂足分别为A′，B′，P′.
则|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，
于是|PP′|＝＝＝.
故P到y轴的距离为|PP′|－＝－＝.
【答案】 C
二、填空题
6．(2013·金乡高二检测)抛物线y＝x2(a≠0)的焦点坐标为________．
【解析】 抛物线y＝x2的标准形式为x2＝ay，故焦点在y轴上，坐标为(0，)．
【答案】 (0，)
7．(2013·三明高二检测)以双曲线－＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程为________．
【解析】 由－＝1知a2＝4，b2＝5，
∴c2＝a2＋b2＝9，双曲线右焦点为(3,0)，
依题意，抛物线的焦点F(3,0)，＝3，∴p＝6，
∴抛物线方程为y2＝12x.
【答案】 y2＝12x
8．对标准形式的抛物线，给出下列条件；
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)
【解析】 抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为(，0)，过该焦点的直线方程为y＝k(x－)，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
【答案】 ②④
三、解答题
9．求焦点在x轴上，且焦点在双曲线－＝1上的抛物线的标准方程．
【解】 由题意可设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，
则焦点为(，0)．
∵焦点在双曲线－＝1上，
∴＝1，求得m＝±4.
∴所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.
图2－4－3
10．某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成，尺寸如图2－4－3所示，某卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3米，车与箱共高4.5米，问此车能否通过此隧道？说明理由．
【解】 建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(－3，－3)，A(3，－3)．
设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，
将B点的坐标代入，得
9＝－2p·(－3)，
∴p＝，∴抛物线方程为x2＝－3y(－3≤y≤0)．
∵车与箱共高4.5 m，
∴集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5 m.
设抛物线上点D的坐标为(x0，－0.5)，D′的坐标为(－x0，－0.5)，
则x＝－3×(－0.5)，解得x0＝±＝±.
∴|DD′|＝2|x0|＝＜3，故此时车不能通过隧道．
11．在抛物线y＝－x2上求一点M，使M点到焦点F的距离与到点A(1，－2)的距离之和最小．
【解】 由题
意知A在抛物线内部，如图，设M是抛物线上任意一点，l是抛物线的准线，过M作MM1⊥l，垂足为M1，过A作AA1⊥l，垂足为A1，且交抛物线于点P，|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|≥|AA1|＝|PA|＋|PA1|＝|PF|＋|PA|.
即P点为所求，把x＝1代入得：y＝－1，故P(1，－1).
一、选择题
1．顶点在原点，焦点是F(0,5)的抛物线方程是( )
A．y2＝20x B．x2＝20y
C．y2＝x D．x2＝y
【解析】 由题意＝5，∴p＝10，且焦点在y轴的正半轴上，顶点为原点，故抛物线的方程x2＝20y.
【答案】 B
2．(2013·佛山高二检测)P为抛物线y2＝2px的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|，|BB1|，|PP1|，则有( )
A．|PP1|＝|AA1|＋|BB1|
B．|PP1|＝|AB|
C．|PP1|＞|AB|
D．|PP1|＜|AB|
【解析】 如图所示，根据题意，PP′恰巧是梯形AA′B′B的中位线，故|PP1|＝|AB|.
【答案】 B
3．抛物线y＝ax2＋1与直线y＝x相切，则a等于( )
A. B.
C. D．1
【解析】 由
消y得ax2－x＋1＝0.
∵直线y＝x与抛物线y＝ax2＋1相切，
∴方程ax2－x＋1＝0有两相等实根．
∴判别式Δ＝(－1)2－4a＝0，∴a＝.
【答案】 B
4．(2013·莆田高二检测)已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线方程得：，①－②得
(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)．
又∵y1＋y2＝4，∴＝＝＝k＝1，∴p＝2.
∴所求抛物线的准线方程为x＝－1.
【答案】 B
5．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为( )
A．18 B．24
C．36 D．48
【解析】 不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，依题意，l⊥x轴，且焦点F(，0)，∵当x＝时，|y|＝p，
∴|AB|＝2p＝12，∴p＝6，
又点P到直线AB的距离为＋＝p＝6，
故S△ABP＝|AB|·p＝×12×6＝36.
【答案】 C
二、填空题
6．抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．
【解析】 设抛物线上点的坐标为(x，±)，此点到准线的距离为：x＋，到顶点的距离为，由题意有x＋＝，∴x＝，∴此点坐标为(，±)．
【答案】 (，±)
7．(2013·天津高考)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．
【解析】 由题意可知抛物线的准线方程为x＝－2，
∴双曲线的半焦距c＝2.又双曲线的离心率为2，
∴a＝1，b＝，∴双曲线的方程为x2－＝1.
【答案】 x2－＝1
8．线段AB是抛物线y2＝x的一条焦点弦，且|AB|＝4，则线段AB的中点C到直线x＋＝0的距离为________．
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于|AB|＝x1＋x2＋p＝4，
∴x1＋x2＝4－＝，
∴中点C(x0，y0)到直线x＋＝0的距离为x0＋＝＋＝＋＝.
【答案】
三、解答题
9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．
【解】 设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)，
设A(x0，y0)，由题知M(0，－)．
∵|AF|＝3，∴y0＋＝3，
∵|AM|＝，
∴x＋(y0＋)2＝17，
∴x＝8，代入方程x＝2py0得，
8＝2p(3－)，解得p＝2或p＝4.
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
10．已知点A(0，－2)，B(0,4)，动点P(x，y)满足·＝y2－8.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设(1)中所求轨迹与直线y＝x＋2交于C，D两点，求证：OC⊥OD(O为坐标原点)．
【解】 (1)由题意可得
·＝(－x，－2－y)·(－x,4－y)＝y2－8.
化简得x2＝2y.
(2)证明 将y＝x＋2代入x2＝2y中，得x2＝2(x＋2)，整理得x2－2x－4＝0，可知Δ＝4＋16＝20＞0.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝2，x1x2＝－4.因为y1＝x1＋2，y2＝x2＋2，所以y1y2＝(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝4.因为·＝x1x2＋y1y2＝0，所以OC⊥OD.
11．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
【解】 (1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝.又F(，0)，所以直线l的方程为y＝(x－)．
联立，
消去y得x2－5x＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，
所以|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知
|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3.
又准线方程是x＝－，所以M到准线的距离为3＋＝.
一、选择题
1．经过点(0,1)与抛物线y2＝mx(m＞0)有且只有一个公共点的直线有( )
A．3条 B．2条
C．1条 D．4条
【解析】 过(0,1)点直线与x轴平行时只有一个交点，另外过(0,1)还有抛物线的两条切线，故选A.
【答案】 A
2．(2012·兰州高二检测)设双曲线－＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )
A. B．5
C. D.
【解析】 双曲线渐近线为y＝±x，不妨取y＝x，
∴，∴x2－x＋1＝0有唯一解，
∴Δ＝0，＝4，b2＝4a2，
又∵c2＝a2＋b2＝a2＋4a2，∴e＝，故选D.
【答案】 D
3．已知拋物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交拋物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该拋物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
【解析】 拋物线的焦点F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即
x＝y＋，将其代入y2＝2px＝2p＝2py＋p2，
所以y2－2py－p2＝0，
所以＝p＝2，所以拋物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1，故选B.
【答案】 B
4．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )
A．(－，) B．(－，)
C．[－，] D. [－，]
【解析】 由－＝1可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，过点F分别作两条渐近线的平行线l1和l2，由图得知，符合题意的直线斜率的取值范围为[－，]．
【答案】 C
5．已知抛物线C：y2＝x与直线l：y＝kx＋1，则“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同的交点”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
【解析】 由(kx＋1)2＝x，得k2x2＋(2k－1)x＋1＝0，则当k≠0时，Δ＝(2k－1)2－4k2＝－4k＋1>0，得k<且k≠0.故由“k≠0”推不出“直线l与抛物线C有两个不同的交点”，但由“直线l与抛物线C有两个不同的交点”能推出“k≠0”．即“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同的交点”的必要不充分条件．
【答案】 B
二、填空题
6．双曲线x2－y2＝1左支上一点(a，b)到其渐近线y＝x的距离为，则a＋b的值为______．
【解析】 由题知a2－b2＝1，且＝?|a－b|＝2，由于双曲线的左支在直线y＝x的上方区域，而直线y＝x上方区域的点使得x－y＜0，所以a－b＜0，则a－b＝－2，故a＋b＝－.
【答案】 －
7．已知斜率为2的直线l经过椭圆＋＝1的右焦点F2，则直线l与椭圆的交点坐标为________．
【解析】 椭圆的右焦点F2的坐标为(1,0)，则直线l的方程为y＝2(x－1)，由方程组，解得，，因此所求交点坐标为(0，－2)，(，)．
【答案】 (0，－2)，(，)
8．(2013·江西高考)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
【解析】 由于x2＝2py(p>0)的准线为y＝－，由
解得准线与双曲线x2－y2＝3的交点为A，B，所以AB＝2 .
由△ABF为等边三角形，得AB＝p，解得p＝6.
【答案】 6
三、解答题
9．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，当直线和椭圆有公共点时：
(1)求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程．
【解】 联立得方程组
消去y，整理得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2.
(1)由Δ≥0，得20－16m2≥0，
解得－≤m≤.
(2)由根与系数的关系得，
所以弦长L＝
＝＝.
当m＝0时，L最大值为，
此时直线的方程为y＝x.
10．在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.
(1)求k的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
【解】 (1)由已知条件，直线l的方程为y＝kx＋，
代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1.
整理得(＋k2)x2＋2kx＋1＝0. ①
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q
等价于Δ＝8k2－4(＋k2)＝4k2－2＞0，
解得k＜－或k＞，
即k的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞)．
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，
由方程①，x1＋x2＝－. ②
又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2. ③
而A(，0)，B(0,1)，＝(－，1)．
所以＋与共线等价于x1＋x2＝－(y1＋y2)，把②③代入上式，解得k＝.
由(1)知k＜－或k＞.
故没有符合题意的常数k.
11．A、B是拋物线y2＝2px(p＞0)上的两点，OA⊥OB(O为坐标原点)，求证：
(1)A、B两点横坐标之积，纵坐标之积分别为定值；
(2)直线AB经过一个定点；
(3)△AOB面积的最小值为4p2.
【证明】 (1)设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
则y＝2px1，y＝2px2.
∵OA⊥OB，∴x1·x2＋y1·y2＝0.
∴y·y＝4p2x1·x2＝4p2(－y1·y2)，
∴y1·y2＝－4p2.∴x1·x2＝4p2，结论成立．
(2)∵y－y＝(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，
∴＝.
则直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)．
∴y＝·x－·＋y1
＝·x＋.
又∵y1·y2＝－4p2，
∴y＝·x－＝(x－2p)，
∴直线AB过定点(2p,0)．
(3)设直线AB经过的定点(2p,0)为M，
则S△OAB＝S△OMA＋S△OMB＝|MO|·(|y1|＋|y2|)．
由均值不等式，得|y1|＋|y2|≥2＝4p，
当且仅当|y1|＝|y2|，即AB⊥x轴时，等号成立．
∴S△OAB≥·|MO|·4p＝4p2，即△AOB面积的最小值为4p2.
一、选择题
1．曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0与x轴的交点坐标是( )
A．(4,0)和(－1,0) B．(4,0)和(－2,0)
C．(4,0)和(1,0) D．(4,0)和(2,0)
【解析】 在曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0中，令y＝0，则x2－3x－4＝0，∴x＝－1或x＝4.
∴交点坐标为(－1,0)和(4,0)．
【答案】 A
2．(2013·蒙阴高二期末)方程(x2－4)(y2－4)＝0表示的图形是( )
A．两条直线 B．四条直线
C．两个点 D．四个点
【解析】 由(x2－4)(y2－4)＝0得(x＋2)(x－2)(y＋2)(y－2)＝0，所以x＋2＝0或x－2＝0或y＋2＝0或y－2＝0，表示四条直线．
【答案】 B
3．(2013·吉林高二检测)方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是( )
【解析】 ∵x＋|y－1|＝0，∴x≤0，应选B.
【答案】 B
4．到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是( )
A．x－y－1＝0 B．x－y＋1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
【解析】 与A、B两点距离相等的点在AB的垂直平分线上，即： k＝－＝－1且过AB的中点(3，－2)，
∴轨迹方程为y＋2＝－(x－3)，即x＋y－1＝0.
【答案】 C
5．如图所示，图形与方程对应正确的是( )
【解析】 A项不正确，因为x2＋y2＝1表示以原点为圆心，半径为1的圆，以方程x2＋y2＝1的解为坐标的点不都是曲线上的点，如(，－)适合方程x2＋y2＝1，但不在所给的曲线上；B项不正确，理由同上，如点(－1,1)适合x2－y2＝0，但不在所给的曲线上；C项不正确，因为曲线上的点的坐标不都是方程lg x＋lg y＝0的解；D项正确．
【答案】 D
二、填空题
6．“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是“方程f(x，y)＝0是曲线C的方程”的________条件．
【解析】 “方程f(x，y)＝0是曲线C的方程”?“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，反之不成立．
【答案】 必要不充分
7．方程·(x＋y＋1)＝0表示的几何图形是________．
【解析】 由方程得或x－3＝0，
即x＋y＋1＝0(x≥3)或x＝3.
【答案】 一条射线和一条直线
8．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．
【解析】 设动点P(x，y)，
依题意|PA|＝2|PB|，
∴＝2，
化简得(x－2)2＋y2＝4，
方程表示半径为2的圆，
因此图形的面积S＝π· 22＝4π.
【答案】 4π
三、解答题
9．(2013·福州高二检测)已知方程x2＋(y－1)2＝10.
(1)判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；
(2)若点M(，－m)在此方程表示的曲线上，求m的值．
【解】 (1)∵12＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2≠10，
∴点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，而点Q(，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上．
(2)若点M(，－m)在方程x2＋(y－1)2＝10所表示的曲线上，
则()2＋(－m－1)2＝10，
解之得m＝2或m＝－.
10．在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称，且·＝4，求动点P的轨迹方程．
【解】 由已知得M(0，y)，N(x，－y)，
∴＝(x，－2y)，
∴·＝(x，y)·(x，－2y)＝x2－2y2，
依题意知，x2－2y2＝4，
因此动点P的轨迹方程为x2－2y2＝4.
11．过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点
M的轨迹方程．
【解】 法一 设点M的坐标为(x，y)，
∵M为线段AB的中点，
∴A点的坐标为(2x,0)，B点的坐标为(0,2y)．
∵l1⊥l2，且l1、l2过点P(2,4)，
∴PA⊥PB，即kPA·kPB＝－1，
而kPA＝＝(x≠1)．
kPB＝＝，
∴·＝－1(x≠1)，
整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)．
∵当x＝1时，A、B的坐标分别为(2,0)、(0,4)，
∴线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x＋2y－5＝0.
综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.
法二 设点M的坐标为(x，y)，则A、B两点的坐标分别是(2x,0)、(0,2y)，连结PM.
∵l1⊥l2，∴2|PM|＝|AB|.
而|PM|＝，
|AB|＝，
∴2＝，
化简，得x＋2y－5＝0，即为所求的点M的轨迹方程.
一、选择题
1．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是
( )
A．m＞3 B．m＜－2
C．m＞3或m＜－2 D．m＞3或－6＜m＜－2
【解析】 ∵椭圆的焦点在x轴上，∴，
∴m＞3或－6＜m＜－2.
【答案】 D
2．(2013·菏泽高二测试)已知椭圆过点P(，－4)和点Q(－，3)，则此椭圆的标准方程是( )
A.＋x2＝1
B.＋y2＝1或x2＋＝1
C.＋y2＝1
D．以上都不对
【解析】 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
则∴
∴椭圆方程为x2＋＝1.
【答案】 A
3．(2013·西安高二检测)椭圆＋＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为( )
A．4 B．2
C．8 D.
【解析】 由＋＝1，知a＝5，
根据椭圆定义，|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，
∴|MF2|＝10－2＝8.
又O为F1F2中点，N为F1M中点，
∴ON为△MF1F2的中位线，所以|ON|＝|MF2|＝4.
【答案】 A
4．已知A(0，－1)、B(0,1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是( )
A.＋＝1(x≠±2) B.＋＝1(y≠±2)
C.＋＝1(x≠0) D.＋＝1(y≠0)
【解析】 ∵2c＝|AB|＝2，∴c＝1，∴|CA|＋|CB|＝6－2＝4＝2a，
∴顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆(A、B、C不共线)．因此，顶点C的轨迹方程＋＝1(y≠±2)．
【答案】 B
5．(2013·吉林松原高二期末)已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1、F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到x轴的距离为( )
A. B.
C. D.
【解析】 由·＝0，得MF1⊥MF2，可设||＝m，||＝n，在△F1MF2中，由m2＋n2＝4c2得(m＋n)2－2mn＝4c2，根据椭圆的定义有m＋n＝2a，所以2mn＝4a2－4c2，∴mn＝2b2，即mn＝2，∴S△F1MF2＝mn＝1.设点M到x轴的距离为h，则：
×|F1F2|×h＝1，又|F1F2|＝2，∴h＝.
【答案】 C
二、填空题
6．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
【解析】 由椭圆的定义知：|F2A|＋|F1A|＋|F2B|＋|F1B|＝4a＝20，∴|F1A|＋|F1B|＝|AB|＝20－12＝8.
【答案】 8
7．椭圆＋＝1的焦距是2，则m＝________.
【解析】 当焦点在x轴时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4，又2c＝2，∴c＝1，∴m－4＝1，∴m＝5；当焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，∴c2＝4－m＝1，∴m＝3.
【答案】 3或5
8．过点(－3,2)且与＋＝1有相同焦点的椭圆的方程是________．
【解析】 ∵c2＝9－4＝5，
∴设椭圆的方程为＋＝1.
∵点(－3,2)在椭圆上，
∴＋＝1，a2＝15.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
三、解答题
9．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点．设椭圆C上一点(，)到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．
【解】 ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4.
∴2a＝4，a2＝4.
∵点(，)是椭圆上一点，
∴＋＝1，∴b2＝3，∴c2＝1，
∴椭圆C的方程为：＋＝1.
焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．
10．已知圆B：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，C为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程．
【解】 如图所示，连结AP，
∵l垂直平分AC，
∴|AP|＝|CP|，
∴|PB|＋|PA|＝|BP|＋|PC|＝4，
∴P点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．
∵2a＝4,2c＝|AB|＝2，
∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3.
∴点P的轨迹方程为＋＝1.
11．已知椭圆的焦点在x轴上，且焦距为4，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项．
(1)求椭圆的方程；
(2)若△PF1F2的面积为2，求P点坐标．
【解】 (1)由题意知，2c＝4，c＝2.
且|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝8，即2a＝8，∴a＝4.
∴b2＝a2－c2＝16－4＝12.
又椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)设P点坐标为(x0，y0)，
依题意知，|F1F2||y0|＝2，
∴|y0|＝，y0＝±，
代入椭圆方程＋＝1，得x0＝±2，
∴P点坐标为(2，)或(2，－)或(－2，)或(－2，－).
一、选择题
1．已知点(3,2)在椭圆＋＝1上，则( )
A．点(－3，－2)不在椭圆上
B．点(3，－2)不在椭圆上
C．点(－3,2)在椭圆上
D．无法判断点(－3，－2)，(3，－2)，(－3,2)是否在椭圆上
【解析】 因为椭圆＋＝1关于x轴、y轴、原点对称，而点(3,2)在椭圆上，故点(3，－2)、(－3,2)、(－3，－2)都在椭圆上．
【答案】 C
2．曲线＋＝1与＋＝1(0A．有相等的焦距，相同的焦点
B．有相等的焦距，不同的焦点
C．有不等的焦距，不同的焦点
D．以上都不对
【解析】 曲线＋＝1的焦距为2c＝8，而曲线＋＝1(0＜k＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B.
【答案】 B
3．(2013·广东高考)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
【解析】 右焦点为F(1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x轴上；c＝1.
又离心率为＝，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，故椭圆的方程为＋＝1，故选D.
【答案】 D
4．(2013·天水高二检测)椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 由题意知a＝2c，∴e＝＝＝.
【答案】 A
5．我国于2007年10月24日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球．嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆．若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m，远地点到地心的距离为n，第二次变轨后两距离分别为2m,2n(近地点是指卫星距离地面最近的点，远地点是距离地面最远的点)，则第一次变轨前的椭圆的离心率与第二次变轨后的椭圆的离心率相比较
( )
A．没变 B．变小
C．变大 D．无法确定
【解析】 由题意，第一次变轨前，.
∴，
第二次变轨后，.
∴∴＝.
【答案】 A
二、填空题
6．椭圆9x2＋y2＝36的短轴长为________．
【解析】 把椭圆化为标准方程得：＋＝1，∴b2＝4，b＝2，∴2b＝4.
【答案】 4
7．(2013·吉林高二检测)已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C、D的椭圆的离心率为________．
【解析】 如图，AB＝2c＝4，∵点C在椭圆上，∴CB＋CA＝2a＝3＋5＝8，∴e＝＝＝.
【答案】
8．(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
【解析】 设椭圆方程为＋＝1，由e＝知＝，故＝.
由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故a＝4.
∴b2＝8.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
三、解答题
9．(1)求与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程；
(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程．
【解】 (1)∵c＝＝，
∴所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0)．
设所求椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵e＝＝，c＝，∴a＝5，b2＝a2－c2＝20，
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)因椭圆的焦点在x轴上，
设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∵2c＝8，∴c＝4，
又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20.
∴椭圆的方程为＋＝1.
10．椭圆以直线3x＋4y－12＝0和两坐标轴的交点分别作顶点和焦点，求椭圆的标准方程．
【解】 直线3x＋4y－12＝0与两坐标轴的交点为(0,3)，(4,0)．
①若以(4,0)为焦点，即焦点在x轴上，
则c＝4，b＝3，a＝5.
∴椭圆的标准方程为＋＝1；
②若以(0,3)为焦点，即焦点在y轴上．
则c＝3，b＝4，a＝5，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
综上，椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
图2－2－3
11．如图2－2－3，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程．
【解】 (1)由∠F1AB＝90°及椭圆的对称性知b＝c，则e＝＝＝＝.
(2)由已知a2－b2＝1，设B(x，y)，A(0，b)，则＝(1，－b)，＝(x－1，y)，由＝2，即(1，－b)＝2(x－1，y)，解得x＝，y＝－，则＋＝1，得a2＝3，因此b2＝2，方程为＋＝1.
一、选择题
1．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是( )
A．－＜a＜ B．a＜－或a＞
C．－2＜a＜2 D．－1＜a＜1
【解析】 ∵点A(a,1)在椭圆＋＝1内部，
∴＋＜1，
∴＜，
则a2＜2，∴－＜a＜.
【答案】 A
2．(2013·潍坊高二检测)直线y＝k(x－2)＋1与椭圆＋＝1的位置关系是
( )
A．相离 B．相交
C．相切 D．无法判断
【解析】 直线y＝k(x－2)＋1过定点P(2,1)，将P(2,1)代入椭圆方程，得＋＜1，∴P(2,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
【答案】 B
3．已知椭圆＋＝1有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆的焦点坐标是( )
A．(±，0) B．(0，±)
C．(±，0) D．(0，±)
【解析】 ∵直线x＋2y＝2过(2,0)和(0,1)点，
∴a＝2，b＝1，∴c＝，
椭圆焦点坐标为(±，0)．
【答案】 A
4．(2013·课标全国卷Ⅱ)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 如图，由题意知sin 30°＝＝，
∴|PF1|＝2|PF2|.
又∵|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴|PF2|＝.
∴tan 30°＝＝＝.
∴＝.
故选D.
【答案】 D
5．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A．m≥1
B．m≥1或0＜m＜1
C．0＜m＜5且m≠1
D．m≥1且m≠5
【解】 由得(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0，
又直线与椭圆有公共点，
∴上述方程的Δ≥0对一切k都成立，
即(10k)2－4(m＋5k2)×5(1－m)≥0，
亦即5k2≥1－m对一切k都成立，
∴1－m≤0，即m≥1，且m≠5.
【答案】 D
二、填空题
6．已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A、B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________．
【解析】 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)，
由消去y，得
3x2－4x＝0.
∴A(0，－1)，B(，)．
又由＋y2＝1知左焦点F1(－1,0)，
则|F1A|＋|F1B|＝＋＝.
【答案】
7．直线l交椭圆＋＝1于A、B两点，AB的中点为M(2,1)，则l的方程为________．
【解析】 由点差法求出kAB＝－，∴l的方程为y－1＝－(x－2)．
化简得：3x＋2y－8＝0.
【答案】 3x＋2y－8＝0
8．过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
【解析】 由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程得
解得A(0，－2)，B(，)，
∴S△AOB＝·|OF|·|yA－yB|＝.
【答案】
三、解答题
9．如图2－2－4所示，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
图2－2－4
【解】 如图建立直角坐标系，则点P(11,4.5)，椭圆方程为＋＝1.
∵P(11,4.5)在椭圆上，
∴＋＝1. ①
又b＝h＝6，代入①式，得a＝.
此时l＝2a＝≈33.3(米)，
因此隧道的拱宽约为33.3米．
10．(2013·西安检测)如图2－2－5，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.
图2－2－5
当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程．
【解】 设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，
由已知得
∵P在圆上，
∴x2＋(y)2＝25，
即C的方程为＋＝1.
11．已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2＋3y2＝4上，C在直线l：y＝x＋2上，且AB∥l.
(1)当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
(2)当∠ABC＝90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．
【解】 (1)∵AB∥l，且AB边通过点(0,0)，
∴AB所在直线的方程为y＝x.
设A，B两点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
由得x＝±1，
∴|AB|＝|x1－x2|＝2，
又∵AB边上的高h等于原点到直线l的距离，
∴h＝，∴S△ABC＝|AB|·h＝2.
(2)设AB所在直线方程为y＝x＋m.
由得4x2＋6mx＋3m2－4＝0.
∵A，B在椭圆上，
∴Δ＝－12m2＋64＞0.
设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1·x2＝，
∴|AB|＝|x1－x2|＝.
又∵BC的长等于点(0，m)到直线l的距离，即|BC|＝.
∴|AC|2＝|AB|2＋|BC|2＝－m2－2m＋10
＝－(m＋1)2＋11.
∴当m＝－1时，AC边最长．(这时Δ＝－12＋64＞0)．
此时AB所在直线方程为y＝x－1.
