课件47张PPT。教师用书独具演示演示结束空间向量的概念 大小和方向 同向且等长 起点与终点 有向线段的长度 基线 互相平行或重合 空间向量的线性运算 a＋b a－b λa 向量 a＋b＝b＋a (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (λ＋μ)a＝λa＋μa λ(a＋b)＝λa＋λb 空间向量的有关概念 空间向量的化简 空间向量的线性运算 课时作业（十五）课件51张PPT。教师用书独具演示演示结束共线向量定理 a＝xb 共面向量定理 c＝xa＋yb 空间向量分解定理 xa＋yb＋zc a，b，c xa＋yb＋zc {a，b，c} 共线向量的判定 共面向量的判定 空间向量分解定理的应用 课时作业（十六）课件59张PPT。教师用书独具演示演示结束空间向量的夹角 非零向量π0 = 异面直线 不同在任何一个平面 平移到同一个平面 （锐角或直角） 垂直 两个向量的数量积 空间向量数量积的运算 利用数量积证明空间的垂直关系 利用数量积求两异面直线的夹角 利用数量积求距离(或线段长) 课时作业（十七）课件54张PPT。教师用书独具演示演示结束空间向量坐标的定义 单位正交基底 坐标向量 空间向量运算的坐标表示及平行、垂直的条件 (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) (λa1，λa2，λa3) a1b1＋a2b2＋a3b3 终点 起点 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 两个向量的夹角与向量长度的坐标计算公式 空间向量的坐标运算 利用坐标运算解决平行与垂直问题 两向量夹角及向量长度计算公式的应用 课时作业（十八）课件64张PPT。教师用书独具演示演示结束用向量表示直线或点在直线上的位置 平行或共线 用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行 v1∥v2 充要 v1∥β且v2∥β 用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 v1⊥v2 |cos〈v1，v2〉| 向量法证明直线与直线平行 利用向量证明直线与平面平行 利用向量法求两异面直线所成的角 课时作业（十九）课件60张PPT。教师用书独具演示演示结束平面的法向量及应用 平面的斜线 垂直 斜线 三垂线定理及其逆定理 求平面的法向量 利用法向量证明垂直或平行问题 三垂线定理及逆定理的应用 课时作业（二十）课件77张PPT。教师用书独具演示演示结束直线与平面所成的角 最小角定理 二面角的有关概念 其中的每一部分 从一条直线出发的两个半平面 直线 每个半平面 α－l－β A－l－B [0，π] α－l－β 任取一点O ∠AOB α－l－β n1，n2 π－m1，m2 m1，m2 定义法求斜线和平面的夹角 用向量法求线与面的夹角 定义法求二面角 向量法求二面角 课时作业（二十一）课件66张PPT。教师用书独具演示演示结束距离的概念 最小值 点到平面的距离 垂线段 正射影 直线与它的平行平面的距离 相等 各点到面α的距离相等 任一点 距离 两平行平面的距离 垂直的直线 夹在平行平面间的部分 公垂线段的长度 求点到平面的距离 直线与它的平行平面的距离 两平行平面之间的距离 课时作业（二十二）
一、选择题
1．如图3－1－6所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则等于( )
图3－1－6
A．a＋b－c B．a－b＋c
C．－a＋b＋c D．－a＋b－c
【解析】 如题图＝－＝－(＋)＝b－(a＋c)＝－a＋b－c.
【答案】 D
2．下列命题：
①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成了一个圆；
②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；
③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有A＝；
④向量与的模相等；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中假命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 ①空间中所有单位向量移到同一起点，应为球面，故错误；
②a，b方向不一定相同，故错误；
③在正方体中与方向相同，长度也相等，故正确；
④正确；
⑤任意两个单位向量其模为1，但方向可以不同，故错误．
【答案】 C
3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为的是( )
①(－)－；②(＋)－；
③(－)－2；④(－)＋.
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
【解析】 对于①(－)－＝－＝；
对于②(＋)－＝－＝＋＝；
③④化简结果不为.
【答案】 A
4．(2013·佛山高二检测)如图3－1－7，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则( )
图3－1－7
A.＋＋＝0
B.－－＝0
C.＋－＝0
D.－＋＝0
【解析】 由图观察，、、平移后可以首尾相接，故有：＋＋＝0.
【答案】 A
5．已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b， ＝c，则＝( )
A．a＋b－c B．－a－b＋c
C．－a＋b＋c D．－a＋b－c
【解析】 ＝－＝－(＋)＝－－＝－＋＝c－a＋b，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6.(2a－2b＋c)－(a＋3b－c)＝________.
【解析】 原式＝a－b＋c－a－b＋c＝a－2b＋c.
【答案】 a－2b＋c
7．平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，用、、表示＝________.
【解析】 ＝－＝－(＋＋)＝－－＝－－.
【答案】 －－
8．已知点G是正方形ABCD的中心，P是正方形ABCD所在平面外一点，则＋＋＋等于______．
【解析】 ＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)＋(＋)
＝4＋(＋＋＋)
＝4 ＋0＝4
【答案】 4
三、解答题
9．如图3－1－8，以长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，
图3－1－8
(1)单位向量共有多少个？
(2)试写出模为的所有向量；
(3)试写出与相等的所有向量；
(4)试写出的相反向量．
【解】 (1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量、、、、、、、共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．
(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为，
故模为的向量有、、、、、、、，共8个．
(3)与向量相等的所有向量(除它自身之外)共有、及，共3个．
(4)向量的相反向量为、、、，共4个．
图3－1－9
10．如图3－1－9，已知长方体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量．
(1)－；
(2)＋＋；
(3) ＋ －
11．已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点．求下列各式中x、y的值．
(1)＝＋x＋y；
(2)＝x＋y＋.
【解】
如图所示，
(1)∵＝－
＝－(＋)
＝－－，
∴x＝y＝－.
(2)∵＋＝2，∴＝2－.
又∵＋＝2，∴＝2－.
从而有＝2－(2－)＝2－2＋.
∴x＝2，y＝－2.
一、选择题
1．下列说法中正确的是( )
A．平面内的任意两个向量都共线
B．空间中的任意三个向量都不共面
C．空间中的任意三个向量都共面
D．空间中的任意两个向量都共面
【解析】 A平面内可以有两个向量不共线，如基向量，B、C空间中的任意三个向量可能共面也可能不共面，故选D.
【答案】 D
2．设a、b是不共线的两个向量，λ，u∈R且λa＋ub＝0，则( )
A．λ＝u＝0 B．a＝b＝0
C．λ＝0，b＝0 D．u＝0，a＝0
【解析】 ∵a，b不共线，故a、b不能为0，B、C、D均错误，选A.
【答案】 A
3．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A、B、D B．A、B、C
C．B、C、D D．A、C、D
【解析】 ＝＋＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b，＝－＝－a－2b，
∴＝－2，
∴与共线，又它们经过同一点B，
∴A、B、D三点共线．
【答案】 A
4．对空间一点O，若＝ ＋ ＋ ，则A、B、C、P四点( )
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．四点共线
【答案】 B
5．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是上底面A1C1的对角线的交点，若＝＋x＋y，则x，y的值分别为( )
A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝
C．x＝，y＝ D．x＝，y＝1
【解析】 如图在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
＝＋
＝＋(＋)
＝＋＋.
∴x＝y＝，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．(2013·临沂高二期末)设e1、e2是空间两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A、B、D三点共线，则k＝________.
【解析】 ∵＝＋＝(－e1－3e2)＋(2e1－e2)＝e1－4e2，
又∵A、B、D三点共线，∴＝λ，
即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，
∴∴k＝－8.
【答案】 －8
7．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，若a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________．
①a与e1共线；②a与e2共线；③a与e1，e2共面．
【解析】 当λ＝0时，a＝μe2，故a与e2共线，同理当μ＝0时，a与e1共线，由a＝λe1＋μe2知，a与e1、e2共面．
【答案】 ①②③
8.
图3－1－16
如图3－1－16，在空间平移△ABC到△A′B′C′，连接对应顶点，设＝a，＝b，＝c，M是BC′的中点，N是B′C′的中点，则＝________，＝________.
【解析】 ＝＋
＝b＋(＋)＝b＋(a＋c－b)
＝a＋b＋c，
＝＋＋＝b＋a＋＝b＋a＋(c－b)＝a＋b＋c.
【答案】 (a＋b＋c) a＋b＋c
三、解答题
9．如图3－1－17所示，设E、F分别为AB、CD的中点，
图3－1－17
求证：与、共面．
【证明】 ∵＝＋＋， ①
又＝＋＋， ②
又E、F分别为AB、CD的中点，
∴＝－，＝－，
∴①＋②得，2＝＋，
即＝＋，
∴与、共面．
10．已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量＝k，＝k，＝k，＝k，求证：
(1)点E，F，G，H共面；
(2)AB∥平面EG.
【证明】 (1)∵＋＝，
∴k＋k＝k，
而＝k，＝k，
∴＋k＝.
又＋＝，∴＝k.
同理：＝k，＝k.
∵ABCD是平行四边形，
∴＝＋，
∴＝＋，
即＝＋.又它们有同一公共点E，
∴点E，F，G，H共面．
(2)由(1)知＝k，∴AB∥EF.
又AB?平面EG，∴AB与平面EG平行，即AB∥平面EG.
11．如图3－1－18所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
图3－1－18
(1)证明A、E、C1、F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z.
【解】 (1)证明 因为＝＋＋
＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)
＝＋＋＋
＝＋，所以A、E、C1、F四点共面．
(2)因为＝－＝＋－(＋)
＝＋－－BB1
＝－＋＋，
所以x＝－1，y＝1，z＝.
所以x＋y＋z＝.
一、选择题
1．设a、b、c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：
①(a·b)c－(c·a)b＝0；
②|a|＝；
③a2b＝b2a；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确的有( )
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中|a|2·b＝|b|2·a不一定成立，④运算正确．
【答案】 D
2．(2013·西安高二检测)已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，由a与b的夹角〈a，b〉＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不对
【解析】 ∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|c|2，∴a·b＝，∴cos〈a，b〉＝＝.
【答案】 D
3．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
【解析】
如图所示，设＝a，＝b，＝c，
∵·＝(a－b)·(c－b)
＝a·c－b·c－a·b＋b2
＝b2>0.
同理·>0，·>0.
∴∠CBD，∠BCD，∠BDC均为锐角．
【答案】 B
4．正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，则EF的长是( )
A．2 B.
C. D.
【解析】 如图，＝＋＋，且||＝||＝1，|AA1|＝2，·＝0，·＝0，〈，〉＝120°，∴2＝||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝1＋4＋1－1＝5，∴||2＝5，即EF的长为.
【答案】 C
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③与的夹角为60°；④正方体的体积为|··|.
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 如图所示，
(＋＋)2＝(＋＋)2＝2＝32；·(－)＝·＝0；与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60°，故与的夹角为120°；正方体的体积为||||||.综上可知，①②正确，故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．已知空间四边形ABCD，则·＋·＋·＝________.
【解析】 ·＋·＋·
＝·(－)＋(－)·＋(－)·(－)＝0.
【答案】 0
7．(2013·吉林高二检测)已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|＝________.
【解析】 |2a－3b|2＝(2a－3b)2＝4a2－12a·b＋9b2
＝4×|a|2＋9×|b|2－12×|a|·|b|·cos 60°＝61，
∴|2a－3b|＝.
【答案】
8．(2013·蒙阴高二期末)已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．
【解析】 由题意知
即?λ2＋2λ－2<0.
∴－1－<λ<－1＋.
【答案】 (－1－，－1＋)
三、解答题
图3－1－26
9．在空间四边形OABC中(如图3－1－26)，OA⊥BC，OB⊥AC.求证：OC⊥AB.
【证明】 由已知得⊥，⊥，
∴·＝0，
·＝0，
·(－)＝0，
·(－)＝0.
∴·＝·，·＝·，
∴·－·＝0，(－)·＝0，·＝0.
∴OC⊥AB.
10．如图3－1－27所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E1，F1分别在A1B1，C1D1上，且E1B1＝A1B1，D1F1＝D1C1，求BE1与DF1所成角的余弦值．
图3－1－27
【解】 设＝4a，＝b，
则|a|＝|b|，且a⊥b，
由题意知||2＝||2＝(4a)2＋b2＝17a2，
·＝(4a＋b)·(4a－b)＝15a2，
∴cos〈，〉＝＝.
∴BE1与DF1所成角的余弦值为.
11．如图3－1－28所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离．
图3－1－28
【解】 ∵∠ACD＝90°，∴·＝0.
同理·＝0.∵AB与CD成60°角，
∴〈，〉＝60°或120°.
又∵＝＋＋，
∴||2＝·＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·
＝3＋2×1×1×cos〈，〉
＝
∴||＝2或，即B，D间的距离为2或.
一、选择题
1．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是( )
A．向量的坐标与点B的坐标相同
B．向量的坐标与点A的坐标相同
C．向量与向量的坐标相同
D．向量与向量－的坐标相同
【解析】 因为A点不一定为坐标原点，所以A不对，B、C都不对，由于＝－，故D正确．
【答案】 D
2．已知A、B、C三点的坐标分别为A(4,1,3)、B(2，－5,1)、C(3,7，λ)，若⊥，则( )
A．λ＝28 B. λ＝－28
C．λ＝14 D．λ＝－14
【解析】 由题意可得＝(－2，－6，－2)，
＝(－1,6，λ－3)，∵⊥，
∴·＝(－2)×(－1)＋(－6)×6＋(－2)(λ－3)＝0.∴λ＝－14.
【答案】 D
3．已知向量a＝(2，－3,5)与向量b＝(－4，x，y)平行，则x，y的值分别是
( )
A．6和－10 B．－6和10
C．－6和－10 D．6和10
【解析】 ∵a∥b，∴＝＝，
∴x＝6，y＝－10.
故选A.
【答案】 A
4．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)则|b－a|的最小值是( )
A. B.
C. D.
【解析】 b－a＝(1＋t,2t－1,0)，
∴|b－a|＝ ＝ .
∴当t＝时，|b－a|min＝.
【答案】 C
5．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，＋λ与的夹角为120°(O为坐标原点)，则λ的值为( )
A．± B.
C．－ D．±
【解析】 ∵＋λ＝(1，－λ，λ)，
∴(＋λ)·＝λ＋λ＝2λ，
|＋λ|＝，||＝.
∴cos 120°＝＝－，
∴λ＝－，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为________．
【解析】 ∵＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)，
∴||＝3，||＝，
·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，
∴cos?，?＝＝，
∴?，?＝60°.
【答案】 60°
7．(2013·南通高二检测)已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝，且λ＞0，则λ＝________.
【解析】 ∵a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，∴λa＋b＝(4,1－λ，λ)．
又∵|λa＋b|＝，∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29，∴λ＝3或－2.又∵λ＞0，∴λ＝3.
【答案】 3
8．已知点A，B，C的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0，－1)，(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若⊥， ⊥，则P点的坐标为______．
【解析】 ＝(－x,1，－z)，＝(－1，－1，－1)，＝(2,0,1)，
由⊥，得x－1＋z＝0，
由⊥，得－2x－z＝0.
解得x＝－1，z＝2.
【答案】 (－1,0,2)
三、解答题
9．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
若|a|＝，且a分别与、垂直，求向量a的坐标．
【解】 设a＝(x，y，z)，＝(－2，－1,3)，
＝(1，－3,2)，
根据题意，
得解得或
∴a＝(1,1,1)或(－1，－1，－1)．
10．已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1,3,1)，求：
(1)(a－2b)·(2a＋b)；
(2)以a，b为邻边的平行四边形的面积．
【解】 (1)a－2b
＝(3，－2，－3)－2(－1,3,1)＝(5，－8，－5)，
2a＋b＝2(3，－2，－3)＋(－1,3,1)＝(5，－1，－5)．
∴(a－2b)·(2a＋b)＝(5，－8，－5)·(5，－1，－5)
＝5×5＋(－8)×(－1)＋(－5)×(－5)＝58.
(2)∵cos?a，b?＝＝＝－，
∴sin?a，b?＝＝＝.
∴S?＝|a|·|b|sin?a，b?
＝××＝7.
∴以a，b为邻边的平行四边形的面积为7.
11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，问当点N位于AB何处时，MN⊥MC1?
【解】 以A为坐标原点，棱AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a，
则M(0,0，)，C1(a，a，a)，N(x,0,0)．
＝(a，a，)，＝(x,0，－)，
·＝xa－＝0，得x＝.
所以点N的坐标为(，0,0)，即N为AB的四等分点且靠近A点时，MN⊥MC1.
一、选择题
1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(1,2,3) B．(1,3,2)
C．(2,1,3) D．(3,2,1)
【解析】 ＝(2,4,6)＝2(1,2,3)．
【答案】 A
2．下列各组向量中不平行的是( )
A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)
B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)
C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)
D．g＝(－2,3,5)，h＝(16,24,40)
【解析】 ∵b＝(－2，－4,4)＝－2(1,2，－2)＝－2a，∴a∥b，同理：c∥d，e∥f.
【答案】 D
3．(2013·青岛高二检测)若＝λ＋μ，则直线AB与平面CDE的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．在平面内 D．平行或在平面内
【解析】 ∵＝λ＋μ，∴、、共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．
【答案】 D
4．如图3－2－6，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于( )
图3－2－6
A．45° B．60°
C．90° D．30°
【解析】 以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立直角坐标系．
设棱长为1，EF与GH夹角为θ，则E(1,0，)，F(1，，0)，G(1,1，)，H(，1,1)，
∴＝(0，，－)，＝(－，0，)，
cos θ＝|cos〈，〉|＝||＝，
∵θ∈[0，]，θ＝＝60°.
【答案】 B
图3－2－7
5．如图3－2－7，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则( )
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥平面DCC1D1；
④A1M∥平面D1PQB1.
以上正确说法的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 ＝＋＝＋，＝＋＝＋，∴∥，所以A1M∥D1P，由线面平行的判定定理可知，A1M∥面DCC1D1，A1M∥面D1PQB1，①③④正确．
【答案】 C
二、填空题
6．已知直线l的方向向量v＝(2，－1,3)，且过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y＝________，z＝________.
【解析】 由题意知，A＝(－1,2－y，z－3)，
v∥A，
∴＝＝，∴y＝，z＝.
【答案】
7．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，点P(x，－1,3)在平面ABC内，则x＝________.
【解析】 ＝(－2,2，－2)，＝(－1,6，－8)，＝(x－4，－2,0)，由题意知A、B、C、P共点共面，∴＝λ＋μ＝(－2λ，2λ，－2λ)＋(－μ，6μ，－8μ)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)．
∴.∴.而x－4＝－2λ－μ，∴x＝11.
【答案】 11
8．如图3－2－8，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
图3－2－8
【解析】 ＝＋，＝＋，设棱长为1.
又∵·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝－＋0＋0＋＝0，
∴cos〈，〉＝＝0.
∴⊥.
∴直线AB1与BM所成的角为90°.
【答案】 90°
三、解答题
9．两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB，∠EBC＝90°，M、N分别是BD、AE上的点，且AN＝DM.
(1)求证：MN∥平面EBC；
(2)求MN长度的最小值．
【解】 (1)证明 如图
，以、、为单位正交基底建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，D(1,1,0)，E(0,0,1)，B(0,0,0)．设AN＝DM＝λAE＝λDB，则＝＋＋＝λ＋＋λ
＝λ(1,1,0)＋(0，－1,0)＋λ(－1,0,1)＝(0，λ－1，λ)．
∵0<λ<1，
∴λ－1≠0，λ≠0，
且M的x轴坐标为0，
∴MN∥平面EBC.
(2)由(1)知，||＝
＝
＝.
∴当λ＝时，MN长度的最小值为.
10．直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，AA1＝3.M是BC的中点．在DD1上是否存在一点N，使MN⊥DC1？并说明理由．
【解】 如图所示，建立以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴的坐标系，
则C1(0,2,3)，M(，2,0)，D(0,0,0)，
设存在N(0,0，h)(0≤h≤3)，
则＝(－，－2，h)，
＝(0,2,3)．
·＝(－，－2，h)·(0,2,3)
＝－4＋3h，
∴当h＝时，·＝0，
此时⊥，
∴存在N∈DD1，
使MN⊥DC1.
图3－2－9
11．如图3－2－9，在三棱锥V－ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A、B、V分别在x、y、z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝θ.
当θ＝时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值．
【解】 易得C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)．当θ＝时，在Rt△VCD中，CD＝，故V(0,0，)．
所以＝(－2,0,0)．
＝(1,1，－)．
所以cos〈，〉＝
＝＝－.
所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为.
一、选择题
1．给定下列命题：
①若a是平面α的斜线，直线b垂直于a在α内的射影，则a⊥b；
②若a是平面α的斜线，平面β内的一条直线b垂直于a在α内的射影，则a⊥b；
③若a是平面α的斜线，b?α，且b垂直于a在另一个平面内的射影，则a⊥b；
④若a是平面α的斜线，b?α，且b垂直于a在α内的射影，则a⊥b.
其中，正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 ①b必须在α内，②b也必须在α内，不能在β内，③b应垂直于a在α内的射影，④正确，故选B.
【答案】 B
2．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l?α D．l与α斜交
【解析】 ∵a＝－n，∴a∥n，即a⊥α，
∴l⊥α.
【答案】 B
3．已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的一个单位法向量为( )
A. B.
C. D.
【解析】 设平面ABC的法向量n为(x，y,1)．
∴解得，∴n为，
又∵|n|＝.
∴单位法向量为±＝±，故选B.
【答案】 B
4．如图3－2－15，正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1ACC1的一个法
图3－2－15
向量可以是( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵A1A⊥BD，AC⊥BD，
∴BD⊥面A1ACC1，
∴为平面A1ACC1的一个法向量．
【答案】 D
5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．BD
C．A1D D．A1A
【解析】 CE在底面ABCD内的射影为AC，又BD⊥AC，∴BD⊥CE，故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝______.
【解析】 ∵α∥β，∴u1∥u2.∴＝＝.
∴y＝1，z＝－4.∴y＋z＝－3.
【答案】 －3
7．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________．
【解析】 ∵·＝0，·＝0，
∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．
又与不平行，
∴是平面ABCD的法向量，则③正确．
由于＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)，
∴与不平行，故④错误．
【答案】 ①②③
图3－2－16
8．如图3－2－16所示，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于______．
【解析】 ∵PA⊥平面ABCD，则AQ是PQ在面ABCD内的射影，由PQ⊥QD，得AQ⊥QD，则△AQD为Rt△，
设BQ＝x，则CQ＝a－x，
所以AQ2＝1＋ x2，QD2＝1＋(a－x)2，
那么a2＝1＋x2＋1＋(a－x)2，
整理得x2－ax＋1＝0.
由题意，该方程有两个相等的实根，故Δ＝0，即a2＝4，
又a＞0，∴a＝2.
【答案】 2
三、解答题
9.
图3－2－17
如图3－2－17，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE.
【证明】 如图，连接OP，以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，则
O(0,0,0)，B(8,0,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(4,0,3)，G(0,4,0).
因为＝(8,0,0)，
＝(0，－4,3)，
设平面BOE的法向量为n＝(x，y，z)，则
解得x＝0,4y＝3z，令z＝4，则n＝(0,3,4)，
所以平面BOE的一个法向量n＝(0,3,4)．
由＝(－4,4，－3)，得n·＝0.
又直线FG不在平面BOE内．
所以FG∥平面BOE.
图3－2－18
10．如图3－2－18，在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.
求证：平面GEF⊥平面PBC.
【证明】 如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标
系，设PA＝PB＝PC＝3，
则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)．
于是＝(3,0,0)，F＝(1,0,0)，
故＝3，∴PA∥FG.
而AP⊥平面PBC，
∴FG⊥平面PBC.
又FG?平面EFG，
∴平面EFG⊥平面PBC.
11.
图3－2－19
如图3－2－19，直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，问在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF，若存在，求||；若不存在，说明理由．
【解】 以B为原点，BA、BC、BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则C(0，a,0)，
C1(0，a,3a)，
B1(0,0,3a)，
D，
假设存在点F，使CF⊥平面B1DF，
只需⊥，
⊥，
设AF＝b，则F(a,0，b)，
＝(a，－a，b)
＝(a,0，b－3a)
＝，
∵·＝a2－a2＝0，∴⊥，
令·＝2a2＋b(b－3a)＝0，
得b＝a或b＝2a.
∴当||＝a或||＝2a时，
CF⊥平面B1DF.
一、选择题
1．直线l与平面α成45°角，若直线l在α内的射影与α内的直线m成45°角，则l与m所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【解析】 由最小角定理知，设l与m成θ角，则cos θ＝cos 45°·cos 45°，
∴cos θ＝，∴θ＝60°.故选C.
【答案】 C
2．已知A∈α，P?α，＝(－，，)，平面α的一个法向量n＝(0，－，－)，则直线PA与平面α所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．150°
【解析】 设直线PA与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|
＝
＝.∴θ＝60°.
【答案】 C
3．正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【解】 如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1.则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．于是＝(0,1,0)．
取PD中点为E，
则E(0，，)，
∴＝(0，，)，
易知是平面PAB的法向量，是平面PCD的法向量，
∴cos?，?＝，
∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°.
【答案】 B
4．(2013·西安高二检测)一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角( )
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．无法确定
【解析】 举例说明，如图所示两个二面角的半平面分别垂直，则半平面γ绕轴l旋转时，总有γ⊥β，故两个二面角大小无法确定关系．
【答案】 D
5．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为( )
A．60° B．90°
C．45° D．以上都不对
【解析】 以点D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图．
由题意知，A1(1,0,2)，E(1,1,1)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)，所以＝(0,1，－1)，＝(1,1，－1)，＝(0，－1，－1)．
设平面A1ED1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则?
令z＝1，得y＝1，x＝0，所以n＝(0,1,1)，
cos〈n，〉＝＝＝－1.
所以〈n，〉＝180°.
所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90°.
【答案】 B
二、填空题
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD1与平面A1B1C1D1所成角的正切值为______．
【解析】 连接B1D1，
∴B1D1为BD1在平面A1B1C1D1内的射影，
∴∠BD1B1为BD1与平面A1B1C1D1所成的角，
设正方体棱长为a，则tan ∠BD1B1＝＝.
【答案】
图3－2－24
7．如图3－2－24，在三棱锥O－ABC中，OA＝OB＝OC＝1，∠AOB＝90°，OC⊥平面AOB，D为AB的中点，则OD与平面OBC的夹角为________．
【解析】 ∵OA⊥平面OBC，
∴是平面OBC的一个法向量．
而D为AB的中点，OA＝OB，
∴∠AOD＝〈，〉＝45°.
∴OD与平面OBC所成的角θ＝90°－45°＝45°.
【答案】 45°
8．在空间中，已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a)(a＞0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________.
【解析】 平面xOy的法向量为n＝(0,0,1)，设平面α的法向量为u＝(x，y，z)，则
即3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝(，，1)．
而cos〈n，u〉＝＝，
又∵a＞0，∴a＝.
【答案】
三、解答题
图3－2－25
9．在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，
求：二面角E－AC－D的大小．
【解】 如图以A为原点，以AC、AB、AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
设PA＝AB＝a，AC＝b.
连接BD与AC交于O，取AD中点F，
连接OE，OF，EF，
则C(b,0,0)，B(0，a,0)，＝.
∴D(b，－a,0)，P(0,0，a)．
∴E，O，
＝，＝(b,0,0)，
∵·＝0，
∴⊥，＝＝，·＝0，∴⊥.
∴∠EOF为二面角E－AC－D的平面角．
cos〈，〉＝＝.
∴二面角E－AC－D的大小为45°.
10．四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；
(2)当PD＝AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．
【解】 如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，设AB＝a，PD＝h，则
A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)，
(1)证明：∵＝(－a，a,0)，＝(0,0，h)，＝(a，a,0)，
∴·＝0，·＝0，
∴AC⊥DP，AC⊥DB，又DP∩DB＝D，∴AC⊥平面PDB，
又AC?平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.
(2)当PD＝AB且E为PB的中点时，P(0,0，a)，E(a，a，a)，
设AC∩BD＝O，O(，，0)，连接OE，由(1)知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，
∵＝(a，－a，－a)，＝(0,0，－a)，
∴cos∠AEO＝＝，
∴∠AEO＝45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°.
图3－2－26
11．(2013·课标全国卷Ⅱ)如图3－2－26，直三棱柱ABC—A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB.
(1)证明：BC1∥平面A1CD.
(2)求二面角D—A1C—E的正弦值．
【解】 (1)证明 连接AC1，交A1C于点F，则F为AC1的中点．又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.
因为DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD.
(2)由AC＝CB＝AB，得AC⊥BC.
以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz.设CA＝2，则D(1，
1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,2)．
设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，
则
即
可取n＝(1，－1，－1)．
同理，设m是平面A1 CE的法向量，
则可取m＝(2,1，－2)．
从而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝.
即二面角D—A1C—E的正弦值为.
一、选择题
1．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则点O到平面ABC1D1的距离为( )
A. B.
C. D.
【解析】 由题意知A1到ABC1D1的距离是A1D＝.
又∵O是A1C1的中点，
∴O到面的距离为A1到面距离的.∴距离为，故选B.
【答案】 B
2．已知夹在两平行平面α，β内的两条斜线段AB＝8 cm，CD＝12 cm，AB和CD在α内的射影长的比为3∶5，则α与β的距离为( )
A. cm B. cm
C. cm D. cm
【解析】 如图所示，设AB和C
D在α内的射影长分别为3x和5x，则有82－(3x)2＝122－(5x)2，解得x＝，则α、β间的距离为 cm.故选C.
【答案】 C
3.
图3－2－32
如图3－2－32所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′的侧面ABB′A′内有一动点P，点P到直线A′B′的距离与到直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为( )
【解析】 在平面ABB′A′内作PM⊥A′B′，连接PB，则PB⊥BC，
∵PM＝PB，
故点P的轨迹是以A′B′为准线以B为焦点的抛物线(一部分)．故选C.
【答案】 C
4.
图3－2－33
如图3－2－33已知ABC－A1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，点C1到平面AB1D的距离为( )
A.a B.a
C.a D.a
【解析】 ∵ABB1A1为正方形，∴A1B⊥AB1，又平面AB1D⊥平面ABB1A1，
∴A1B⊥面AB1D，
∴是平面AB1D的一个法向量，
由于C1D＝CD，所以C1到平面AB1D的距离等于C到平面AB1D的距离，
设点C到平面AB1D的距离为d，则
d＝＝
＝＝
＝a.
【答案】 A
5．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为( )
A.a B.a
C.a D.a
【解析】 由正方体的性质易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．
明显，A1C⊥平面AB1D1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1,1)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，＝(0，－a,0)，则两平面间的距离d＝|·|＝＝a.
【答案】 D
二、填空题
6．已知点M(－1,1,2)，平面α过点P(0,0,2)且垂直于向量n＝(1，－2,2)，则点M到平面α的距离为________．
【解析】 d＝＝＝1.
【答案】 1
7．若平面α∥平面β，直线l?α，且平面α与β之间的距离为d，下面给出了四个命题：
①β内有且仅有一条直线与l的距离等于d；
②β内所有直线与l的距离等于d；
③β内无数条直线与l的距离等于d；
④β内所有的直线与α的距离都等于d.
其中正确的命题的序号为________．
【解析】 由面面平行的性质可知③④正确．
【答案】 ③④
8．设A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，则点D到平面ABC的距离为________．
【解析】 设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，∵n·＝0，n·＝0，
∴，即
?.令z＝－2，则n＝(3,2，－2)．
又＝(－7，－7,7)，∴点D到平面ABC的距离d＝|·|＝||＝＝.
【答案】
三、解答题
9．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，试求点F到平面A1D1E的距离．
【解】 取AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．如图，则
A1(0,0,1)，E(1,0，)，
D(0,1,0)，F(，1,0)，
D1(0,1,1)．
∴＝(1,0，－)，＝(0,1,0)．
设平面A1D1E的一个法向量为n＝(x，y，z)．
则，即.
令z＝2，则x＝1.
∴n＝(1,0,2)．
又＝(，1，－1)，
∴点F到平面A1D1E的距离
d＝＝＝.
图3－2－34
10．如图3－2－34，已知正方体A1B1C1D1－ABCD的棱长为a.
求证：(1)平面A1BD∥平面CB1D1；
(2)求平面A1BD与平面CB1D1的距离．
【解】 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，
B(a，a,0)，D1(0,0，a)，B1(a，a，a)，C(0，a,0)，C1(0，a，a)，
∴＝(0，a，－a)，
＝(－a,0，－a)．
＝(－a,0,0)，＝(－a,0，－a)，＝(－a，－a,0)．
(1)设平面A1BD的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则，即.
令z1＝1，则y1＝1，x1＝－1.∴n1＝(－1,1,1)．
设平面CB1D1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则，即.
令x2＝1，则y2＝z2＝－1，
∴n2＝(1，－1，－1)．∴n1∥n2，
∴平面A1BD∥平面CB1D1.
(2)由(1)可知点D1到平面A1BD的距离为d＝＝＝a.
即平面A1BD与平面CB1D1的距离为a.
图3－2－35
11．如图3－2－35，在五面体ABCDEF中，AB∥DC，∠BAD＝，CD＝AD＝2，四边形ABFE为平行四边形，FA⊥平面ABCD，FC＝3，ED＝，求：
(1)直线AB到平面EFCD的距离；
(2)二面角F－AD－E的平面角的正切值．
【解】 (1)如图，以A点为坐标原点， ， ， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)．
设F(0,0，z0)(z0＞0)，可得＝(2,2，－z0)，
由| |＝3，得＝3，
解得z0＝1，即F(0,0,1)．
因为AB∥DC，DC?平面EFCD，AB?平面EFCD，所以AB∥平面EFCD，所以直线AB到平面EFCD的距离等于点A到平面EFCD的距离．设A点在平面EFCD上的射影点为G(x1，y1，z1)，
则＝(x1，y1，z1)．
因为＝(0，－2,1)， ＝(－2,0,0)，
所以 ①
解得x1＝0，知G点在面yOz上，故G点在FD上．
又∥， ＝(－x1，－y1，－z1＋1)，＝(0，－2,1)，
故有＝－z1＋1， ②
联立①②，解得G(0，，)．
因为||为直线AB到平面EFCD的距离，而＝(0，，)，即||＝.
所以直线AB到平面EFCD的距离为.
(2)因为四边形ABFE为平行四边形，
所以可设E(x0,0,1)(x0＜0)，
则＝(－x0,2，－1)，由||＝，
即＝，
解得x0＝－，即E(－，0,1)，
故＝(－，0,1)．
由＝(0,2,0)， ＝(0,0,1)，
有·＝0，又·＝0，
故∠FAE为二面角F－AD－E的平面角．
又＝(，0,0)，所以| |＝，||＝1，
所以tan∠FAE＝＝.
