模块学习评价
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2013·课标全国卷Ⅰ)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )
A．－4 B．－
C．4 D.
【解析】 ∵(3－4i)z＝|4＋3i|，∴z＝＝＝＝＋i，∴z的虚部为.
【答案】 D
2．一物体的运动方程是s＝3＋2t, 则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为
( )
A．0.41 B．2
C．0.3 D．0.2
【解析】 ＝＝＝2.
【答案】 B
3．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A.e2 B．2e2
C．e2 D.
【解析】 ∵f′(x)＝ex，∴曲线在点(2，e2)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝e2，切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即e2x－y－e2＝0，切线与x轴和y轴的交点坐标分别为A(1,0)，B(0，－e2)，则切线与坐标轴围成的△OAB的面积为×1×e2＝.
【答案】 D
4．若复数z满足3－i＝z(－2i)，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 z＝＝＝＋i，其对应点在第一象限．
【答案】 A
5．(2013·浙江高考)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图1所示，则该函数的图象是( )
图1
【解析】 从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．A项，在x＝0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误．B项正确．
【答案】 B
6．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则( )
A．a≤0 B．a<1
C．a<2 D．a≤
【解析】 由题意可知f′(x)＝3ax2－1≤0在R上恒成立，则a≤0.
【答案】 A
7.|cos x|dx等于( )
A．－2 B．0
C．2 D．1
【解析】 ∵|cos x|＝
＝sin x＋(－sin x)
＝1＋1＝2.
【答案】 C
8．(2013·宁波高二检测)函数y＝ln x(x>0)的图象与直线y＝x＋a相切，则a等于( )
A．ln 2－1 B．ln 2＋1
C．ln 2 D．2ln 2
【解析】 因为函数y＝ln x的导数y′＝，又函数y＝ln x(x>0)的图象与直线y＝x＋a相切，所以＝，即x＝2，所以切点P(2，ln 2)，所以ln 2＝1＋a，即a＝ln 2－1.
【答案】 A
9．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且(x－1)f′(x)>0，a＝f(0)，b＝f()，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．c>a>b
C．b>a>c D．c>b>a
【解析】 因为(x－1)f′(x)>0，所以当x>1，f′(x)>0，即函数y＝f(x)在(1，＋∞)上是增函数，又f(x)＝f(2－x)，所以a＝f(0)＝f(2)，b＝f()＝f()，所以c>a>b.
【答案】 B
10．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n＝k时成立推导n＝k＋1时成立时，f(n)＝1＋＋＋…＋增加的项数是( )
A．1 B．2k＋1
C．2k－1 D．2k
【解析】 ∵f(k)＝1＋＋＋……＋，
又f(k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋.
从f(k)到f(k＋1)是增加了(2k＋1－1)－2k＋1＝2k项．
【答案】 D
11．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S－ABC的体积为V，则R＝( )
A. B.
C. D.
【解析】 四面体中以内切球的球心为顶点，四面体的各个面为底面，可把四面体分割成四个高均为R的三棱锥，从而有S1R＋S2R＋S3R＋S4R＝V.即(S1＋S2＋S3＋S4)R＝3V.
∴R＝.
【答案】 C
12．(2013·辽宁高考)设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，f(2)＝，则x>0时，f(x)( )
A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值
D．既无极大值也无极小值
【解析】 由题意知f′(x)＝－＝.令g(x)＝ex－2x2f(x)，则g′(x)＝ex－2x2f′(x)－4xf(x)＝ex－2(x2f′(x)＋2xf(x))＝ex－＝ex.由g′(x)＝0得x＝2，当x＝2时，g(x)min＝e2－2×22×＝0，即g(x)≥0，则当x>0时，f′(x)＝≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，既无极大值也无极小值．
【答案】 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．(2013·西安高二检测)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．
【解析】 第i个等式左边为1到i＋1的立方和，右边为1＋2＋3＋…＋(i＋1)的平方，所以第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.
【答案】 13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
14．(2013·江苏高考)设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________．
【解析】 z＝(2－i)2＝3－4i，所以|z|＝|3－4i|＝＝5.
【答案】 5
15．如果复数1，a＋i,3＋a2i(a∈R)成等比数列，那么a的值为________．
【解析】 由题意知，(a＋i)2＝1×(3＋a2i)，即a2－1＋2ai＝3＋a2i，
∴解得a＝2.
【答案】 2
16．(2013·佛山高二检测)若曲线f(x)＝ax2＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
【解析】 f′(x)＝2ax＋，∵f(x)存在垂直于y轴的切线．
∴f′(x)＝0有解，即2ax＋＝0有解，
∴a＝－，∴a∈(－∞，0)
【答案】 (－∞，0)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知复数z满足：|z|＝1＋3i－z，求的值．
【解】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，而|z|＝1＋3i－z，
即－1－3i＋a＋bi＝0，
则
解得z＝－4＋3i，
＝
＝＝3＋4i.
18．(本小题满分12分)已知数列，，…，，…，Sn为该数列的前n项和，计算得S1＝，S2＝，S3＝，S4＝.
观察上述结果，推测出Sn(n∈N＋)，并用数学归纳法加以证明．
【解】 推测Sn＝(n∈N＋)．
用数学归纳法证明如下：
(1)当n＝1时，S1＝＝，等式成立；
(2)假设当n＝k时等式成立，
即Sk＝，那么当n＝k＋1时，
Sk＋1＝Sk＋
＝＋
＝
＝
＝
＝＝.
也就是说，当n＝k＋1时，等式成立．
根据(1)和(2)，可知对一切n∈N＋，等式均成立．
19．(本小题满分12分)函数f(x)＝4x3＋ax2＋bx＋5在(－∞，－1)和(，＋∞)单调递增，在(－1，)单调递减．
(1)求函数的解析式；
(2)求f(x)在[－1,2]上的最大值和最小值．
【解】 (1)∵f′(x)＝12x2＋2ax＋b，且由题意可知
－1，是f′(x)＝0的两个实根，
∴
解得a＝－3，b＝－18，
∴f(x)＝4x3－3x2－18x＋5.
(2)由(1)得f′(x)＝6(2x－3)(x＋1)，
当x∈[，2]时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
当x∈[－1，]时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
又f(－1)＝16，f()＝－，f(2)＝－11.
故f(x)max＝16，f(x)min＝－.
20．(本小题满分12分)(1)在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋.
(2)在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．
【解】 (1)证明：如图所示，由射影定理
AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，
AC2＝BC·DC，
∴＝
＝＝，
又BC2＝AB2＋AC2，
∴＝＝＋.
∴＝＋.
(2)猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC猜想在四面体A－BCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD.
则＝＋＋.
如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，
∴AB⊥平面ACD.
而AF?平面ACD，
∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴＝＋.易知在Rt△ACD中，AF⊥CD，
∴＝＋，
∴＝＋＋，
故猜想正确．
21．(本小题满分12分)(2013·南京高二检测)设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)设g(x)＝f′(x)e－x，求函数g(x)的极值．
【解】 (1)因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，故f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，由已知f′(1)＝2a，
因此3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.
又令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，由已知f′(2)＝－b，
因此12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.
因此f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.
又因为f′(1)＝2×(－)＝－3，故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(－)＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.
(2)由(1)知g(x)＝(3x2－3x－3)e－x，
从而有g′(x)＝(－3x2＋9x)e－x.
令g′(x)＝0，得－3x2＋9x＝0，解得x1＝0，x2＝3.当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，故g(x)在(－∞，0)上为减函数；
当x∈(0,3)时，g′(x)>0，故g(x)在(0,3)上为增函数；
当x∈(3，＋∞)时，g′(x)<0，故g(x)在(3，＋∞)上为减函数．
从而函数g(x)在x1＝0处取得极小值g(0)＝－3，在x2＝3处取得极大值g(3)＝15e－3.
22．(本小题满分12分)(2013·北京高考)已知函数f(x)＝x2＋xsin x＋cos x.
(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．
【解】 由f(x)＝x2＋xsin x＋cos x，得f′(x)＝x(2＋cos x)．
(1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)．
解得a＝0，b＝f(0)＝1.
(2)令f′(x)＝0，得x＝0.
f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x
(－∞，0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
1
?
所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1是f(x)的最小值．
当b≤1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b最多只有一个交点；当b>1时，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1>4b－2b－1>b，f(0)＝1所以存在x1∈(－2b,0)，x2∈(0,2b)，
使得f(x1)＝f(x2)＝b.
由于函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，所以当b>1时曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．
综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)．
课件43张PPT。导数的几何意义及其应用 利用导数判断函数的单调性 利用导数求函数的极值和最值 利用导数证明不等式 定积分及其应用 函数与方程的思想 课件43张PPT。合情推理 综合法与分析法 反证法 数学归纳法 转化与化归思想 课件28张PPT。复数的有关概念 复数或复数加减法的几何意义 复数代数形式的四则运算 化归思想 综合检测(一)
第一章 导数及其应用
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝( )
A．1 B.
C．－ D．－1
【解析】 y′＝2ax，于是切线斜率k＝y′|x＝1＝2a，由题意知2a＝2，∴a＝1.
【答案】 A
2．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f(x)的单调递增区间为( )
A．(－1,0) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)
【解析】 f′(x)＝2x－2－＝＝，由f′(x)＞0得x＞2.
【答案】 C
3．f(x)＝ax3＋2，若f′(1)＝4，则a的值等于( )
A. B.
C. D．1
【解析】 f′(x)＝3ax2＋，∴f′(1)＝3a＋1＝4，
∴a＝1.
【答案】 D
4．使函数y＝xsin x＋cos x是增函数的区间可能是( )
A．(，) B．(π，2π)
C．(，) D．(2π，3π)
【解析】 y′＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，故当x∈(，)时，y′>0，函数为增函数．
【答案】 C
5．一汽车沿直线轨道前进，刹车后列车速度为v(t)＝18－6t，则列车的刹车距离为( )
A．27 B．54
C．81 D．13.5
【解析】 令v(t)＝0得18－6t＝0得t＝3，
∴列车的刹车距离为v(t)dt＝(18－6t)dt
＝(18t－3t2)＝27.
【答案】 A
图1
6．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图1所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
【解析】 由图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值，选D.
【答案】 D
7．由y＝－x2与直线y＝2x－3围成的图形的面积是( )
A. B.
C. D．9
【解析】 解
得交点A(－3，－9)，B(1，－1)．
由y＝－x2与直线y＝2x－3围成的图形的面积
＝－x3－(x2－3x)＝.
【答案】 B
8．若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为( )
A．－5 B．7
C．10 D．－19
【解析】 ∵y′＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)，
所以函数在[－2，－1]内单调递减，
所以最大值为f(－2)＝2＋a＝2.
∴a＝0，最小值f(－1)＝a－5＝－5.
【答案】 A
9．已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝2，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)＜1(x∈R)，则不等式f(x)＜x＋1的解集为( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【解析】 不等式f(x)＜x＋1可化为f(x)－x＜1，设g(x)＝f(x)－x，
由题意g′(x)＝f′(x)－1＜0，g(1)＝f(1)－1＝1，
故原不等式?g(x)＜g(1)，故x＞1.
【答案】 A
10．(2013·课标全国卷Ⅰ)函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图象大致为
( )
【解析】 在[－π，π]上，
∵f(－x)＝[1－cos(－x)]sin(－x)
＝(1－cos x)(－sin x)＝－(1－cos x)sin x＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数，
∴f(x)的图象关于原点对称，排除B.
取x＝，则f()＝(1－cos )sin ＝1＞0，排除A.
∵f(x)＝(1－cos x)sin x，
∴f′(x)＝sin x·sin x＋(1－cos x)cos x
＝1－cos2x＋cos x－cos2x＝－2cos2x＋cos x＋1.
令f′(x)＝0，则cos x＝1或cos x＝－.
结合x∈[－π，π]，求得f(x)在(0，π]上的极大值点为π，靠近π，选C.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
11．(2013·江西高考)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.
【解析】 令ex＝t，则x＝ln t，所以f(x)＝ln x＋x，即f′(x)＝1＋，则f′(1)＝1＋1＝2.
【答案】 2
12．已知函数f(x)＝x3－(a＋)x2＋x(a＞0)，则f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率最大时的切线方程是________．
【解析】 f′(x)＝x2－(a＋)x＋1，故f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率k＝2－(a＋)，显然当a＝1时，a＋最小，k最大为0，又f(1)＝，∴切线方程为y＝.
【答案】 y＝
13．若函数f(x)＝在区间(m,2m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围是________．
【解析】 f′(x)＝，令f′(x)>0，得－1又f(x)在(m,2m＋1)上单调递增，
所以解得－1【答案】 (－1,0]
14．周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________．
【解析】 设矩形的长为x，则宽为10－x(0∴V′(x)＝20πx－3πx2.
由V′(x)＝0得x＝0(舍去)，x＝，
且当x∈(0，)时，V′(x)>0，当x∈(，10)时，V′(x)<0，
∴当x＝时，V(x)取得最大值为π cm3.
【答案】 π cm3
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)＋ax(a>0)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为，求a的值．
【解】 函数f(x)的定义域为(0,2)，
f′(x)＝－＋a.
(1)当a＝1时，f′(x)＝，
所以f(x)的单调递增区间为(0，)，
单调递减区间为(，2)．
(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝＋a>0，即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.
16．(本小题满分12分)(2013·课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
【解】 (1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.故b＝4，a＋b＝8.
从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，
f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).
令f′(x)＝0，得x＝－ln 2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；
当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
17．(本小题满分12分)(2013·合肥高二检测)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2,1)内x＝－1时取极小值，x＝时取极大值．
(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；
(2)求函数y＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值．
【解】 (1)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b.
又x＝－1，x＝分别对应函数取得极小值、极大值，
所以－1，为方程－3x2＋2ax＋b＝0的两个根．
所以a＝－1＋，－＝(－1)×.
于是a＝－，b＝2，
则f(x)＝－x3－x2＋2x.
当x＝－2时，f(－2)＝2，即(－2,2)在曲线上．
又切线斜率为k＝f′(－2)＝－8，
所求切线方程为y－2＝－8(x＋2)，
即为8x＋y＋14＝0.
(2)当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
x
－2
(－2，－1)
－1
(－1，)
(，1)
1
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
2
?
－
?
?
则f(x)在[－2,1]上的最大值为2，最小值为－.
18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－1与x＝2处都取得极值．
(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；
(2)若对x∈[－2,3]，不等式f(x)＋c【解】 (1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题意得
即
解得
∴f(x)＝x3－x2－6x＋c，f′(x)＝3x2－3x－6.
令f′(x)<0，解得－1令f′(x)>0，解得x<－1或x>2.
∴f(x)的减区间为(－1,2)，
增区间为(－∞，－1)，(2，＋∞)．
(2)由(1)知，f(x)在(－∞，－1)上单调递增；在(－1,2)上单调递减；在(2，＋∞)上单调递增．
∴x∈[－2,3]时，f(x)的最大值即为
f(－1)与f(3)中的较大者．
f(－1)＝＋c，f(3)＝－＋c.
∴当x＝－1时，f(x)取得最大值．
要使f(x)＋c只需c2>f(－1)＋c，
即2c2>7＋5c，解得c<－1或c>.
∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(，＋∞)．
综合检测(二)
第二章 推理与证明
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2013·开封高二检测)根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是( )
A．归纳推理 B．类比推理
C．演绎推理 D．非以上答案
【解析】 根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.
【答案】 C
2．下面四个推理不是合情推理的是( )
A．由圆的性质类比推出球的有关性质
B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°
C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分
D．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的
【解析】 A是类比推理，B、D是归纳推理，C不是合情推理．
【答案】 C
3．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(6)>，f(8)>3，f(10)>，观察上述结果，可推测出一般结论为( )
A．f(2n)＝ B．f(2n)>
C．f(2n)≥ D．f(n)>
【解析】 观察所给不等式，不等式左边是f(2n)，右边是，故选C.
【答案】 C
4．(2013·厦门高二检测)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N＋)，可归纳猜想出Sn的表达式为( )
A. B.
C. D.
【解析】 由a1＝1，得a1＋a2＝22a2，
∴a2＝，S2＝；
又1＋＋a3＝32a3，
∴a3＝，S3＝＝；
又1＋＋＋a4＝16a4，得a4＝，
S4＝.
由S1＝，S2＝，S3＝，
S4＝可以猜想Sn＝.
【答案】 A
5．(2013·广州高二检测)已知x＞0，由不等式x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，…，可以推出结论：
x＋≥n＋1(n∈N＋)，则a＝( )
A．2n B．3n
C．n2 D．nn
【解析】 可以推出结论(x＞0)：
即x＋≥n＋1(n∈N＋)，所以a＝nn.
【答案】 D
6．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，从n＝k到n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是( )
A．(k－1)2＋2k2
B．(k＋1)2＋k2
C．(k＋1)2
D.(k＋1)[2(k＋1)2＋1]
【解析】 n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2…＋22＋12，n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，
∴从n＝k到n＝k＋1，左边应添加的式子为(k＋1)2＋k2.
【答案】 B
7．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N＋)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b11＝1，则有
( )
A．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b19－n
B．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b21－n
C．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b19－n
D．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b21－n
【解析】 令n＝10时，验证即知选B.
【答案】 B
8．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边的变化情况为( )
A．增加
B．增加＋
C．增加＋，减少
D．增加，减少
【解析】 当n＝k时，不等式的左边＝＋＋…＋，当n＝k＋1时，不等式的左边＝＋＋…＋，所以＋＋…＋－(＋＋…＋)＝＋－，所以由n＝k到n＝k＋1时，不等式的左边增加＋，减少.
【答案】 C
9．(2013·黄山高二检测)将石子摆成如图1的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差，即a2 012－5＝
( )
图1
A．2018×2012 B．2018×2011
C．1009×2012 D．1009×2011
【解析】 an－5表示第n个梯形有n－1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n＋2个．
∴an－5＝，∴a2 012＝
＝1 009×2 011.
【答案】 D
10．(2012·江西高考)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28 B．76
C．123 D．199
【解析】 利用归纳法，a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
11．已知x，y∈R，且x＋y<2，则x，y中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．
【解析】 “至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x，y都大于1”．
【答案】 x，y都大于1
12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．
【解析】 由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．
即T4，，，成等比数列．
【答案】
13．(2013·湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数 N(n,3)＝n2＋n，
正方形数 N(n,4)＝n2，
五边形数 N(n,5)＝n2－n，
六边形数 N(n,6)＝2n2－n，
……
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝________.
【解析】 由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，…，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)＝n2－n，于是N(n，24)＝11n2－10n.故N(10,24)＝11×102－10×10＝1 000.
【答案】 1 000
14．(2013·中山高二检测)在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比＝，把这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中(如图2所示)，面DEC平分二面角A－CD－B且与AB相交于E，则得到的类比的结论是________．
图2
【解析】 CE平分角ACB，而面CDE平分二面角A－CD－B.
∴可类比成，故结论为＝.
【答案】 ＝
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)用综合法或分析法证明：
(1)如果a，b>0，则lg ≥；
(2)＋>2＋2.
【证明】 (1)当a，b>0时，有≥，∴lg≥lg，
∴lg ≥lg ab＝.
(2)要证＋>2＋2，
只要证(＋)2>(2＋2)2，
即2>2，这是显然成立的，
所以，原不等式成立．
16．(本小题满分12分)(2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
【解】 法一 (1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°
＝1－sin 30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.
法二 (1)同法一．
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝＋－sin α(cos 30°cos α＋
sin 30°sin α)
＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α
＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)
＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.
17．(本小题满分12分)等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N＋)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
【解】 (1)由已知得∴d＝2.
故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋.
假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0，
∵p，q，r∈N＋，
∴∴()2＝pr，(p－r)2＝0.
∴p＝r，与p≠r矛盾．
∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．
18．(本小题满分14分)设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)．
求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n·[f(n)－1](n≥2，n∈N＋)．
【证明】 当n＝2时，左边＝f(1)＝1，
右边＝2(1＋－1)＝1，
左边＝右边，等式成立．
假设n＝k时，结论成立，即
f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，
那么，当n＝k＋1时，
f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)
＝k[f(k)－1]＋f(k)
＝(k＋1)f(k)－k
＝(k＋1)[f(k＋1)－]－k
＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)
＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，
∴当n＝k＋1时结论仍然成立．
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)
＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N＋)．
综合检测(三)
第三章 数系的扩充与复数
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2012·天津高考)i是虚数单位，复数＝( )
A．2＋i B．2－i
C．－2＋i D．－2－i
【解析】 ＝＝＝2－i.
【答案】 B
2．(2013·课标全国卷Ⅱ)＝( )
A．2 B．2
C. D．1
【解析】 由＝＝＝1－i，
∴＝|1－i|＝.故选C.
【答案】 C
3．(2013·哈尔滨高二检测)若复数(a＋i)2的对应点在y轴负半轴上，则实数a的值是( )
A．－1 B．1
C．－ D.
【解析】 因为(a＋i)2＝a2－1＋2ai，又复数(a＋i)2的对应点在y轴负半轴上，所以即a＝－1.
【答案】 A
4．已知＝2＋i，则复数z＝( )
A．－1＋3i B．1－3i
C．3＋i D．3－i
【解析】 ∵＝2＋i，
∴＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i，
∴z＝1－3i.
【答案】 B
5．设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则等于( )
A．i B．－i
C．±1 D．±i
【解析】 设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则＝x－yi，则z＋＝4，z·＝8得，
??
∴＝＝＝±i.
【答案】 D
6．(2013·武汉高二检测)i为虚数单位，则()2 013＝( )
A．－i B．－1
C．i D．1
【解析】 因为＝i，故()2 013＝i2 013＝(i2)506·i＝i，所以选C.
【答案】 C
7．(2013·杭州高二检测)若复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b＝( )
A. B.
C．－ D．2
【解析】 因为＝
＝－i，又复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数，所以＝，即b＝－.
【答案】 C
8．已知复数z1＝m＋2i，z2＝3－4i，若为实数，则实数m的值为( )
A. B.
C．－ D．－
【解析】 因为＝＝＝＋i，又为实数，所以＝0，即m＝－.
【答案】 D
9．(2012·陕西高考)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 ∵a＋＝a－bi为纯虚数，∴必有a＝0，b≠0，
而ab＝0时有a＝0或b＝0，
∴由a＝0，b≠0?ab＝0，反之不成立．
∴“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．
【答案】 B
10．(2013·陕西高考)设z是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若z2≥0，则z是实数
B．若z2<0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0
D．若z是纯虚数，则z2<0
【解析】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
选项A，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，则故b＝0或a，b都为0，即z为实数，正确．
选项B，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，则则故z一定为虚数，正确．
选项C，若z为虚数，则b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，
由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误．
选项D，若z为纯虚数，则则z2＝－b2<0，正确．
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
11．(2012·湖南高考)已知复数z＝(3＋i)2(i为虚数单位)，则|z|＝________.
【解析】 法一 ∵z＝(3＋i)2，∴|z|＝|(3＋i)2|＝|3＋i|2＝10.
法二 ∵z＝(3＋i)2＝9＋6i＋i2＝8＋6i，
∴|z|＝＝10.
【答案】 10
12．复数i2(1＋i)的实部是________．
【解析】 i2(1＋i)＝－1－i，实部为－1.
【答案】 －1
13．(2013·湖北高考)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.
【解析】 ∵(2，－3)关于原点的对称点是(－2,3)，
∴z2＝－2＋3i.
【答案】 －2＋3i
14．若关于x的方程x2＋(2－i)x＋(2m－4)i＝0有实数根，则纯虚数m＝________.
【解析】 设m＝bi(b∈R)，则x2＋(2－i)x＋(2bi－4)i＝0，化简得(x2＋2x－2b)＋(－x－4)i＝0，即
解得∴m＝4i.
【答案】 4i
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，z1·z2是实数，求z2.
【解】 (z1－2)(1＋i)＝1－i?z1＝2－i.
设z2＝a＋2i，a∈R，则z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i，
∵z1z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.
16．(本小题满分12分)m为何实数时，复数z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)是
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
【解】 z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)
＝2m2＋m2i－3mi－3m－2＋2i
＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
(1)由m2－3m＋2＝0得m＝1或2，即m＝1或2时，z为实数．
(2)由m2－3m＋2≠0得m≠1且m≠2，
即m≠1且m≠2时，z为虚数．
(3)由
得m＝－，
即m＝－时，z为纯虚数．
17．(本小题满分12分)已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i.
(1)求|z|；
(2)若z2＋az＋b＝，求实数a，b的值．
【解】 z＝(1－i)2＋1＋3i＝－2i＋1＋3i＝1＋i.
(1)|z|＝＝.
(2)z2＋az＋b＝(1＋i)2＋a(1＋i)＋b
＝2i＋a＋ai＋b
＝a＋b＋(a＋2)i，
∵＝1－i，
∴a＋b＋(a＋2)i＝1－i，
∴∴a＝－3，b＝4.
18．(本小题满分14分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
【解】 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝1.
