课件49张PPT。教师用书独具演示演示结束函数的平均变化率 求函数的平均变化率 平均变化率的大小比较平均变化率的应用 课时作业（一）课件54张PPT。教师用书独具演示演示结束瞬时速度、导数的概念 Δt趋近于 0 瞬时变化率 f′(x) 都是可导 确定的导数f′(x) f′(x)或y′(或y′x) 平均速度与瞬时速度 函数在某点处的导数 利用导数的定义求值 课时作业（二）课件48张PPT。教师用书独具演示演示结束导数的几何意义 函数的平均变化率 曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率 求曲线在某点处的切线方程 求切点坐标 求曲线过某点的切线方程 课时作业（三）课件45张PPT。教师用书独具演示演示结束常用函数及基本初等函数的导数公式 基本初等函数的导数公式 y′＝nxn－1y′＝μxμ－1axln acos x 用导数公式求函数的导数 求函数在某点处的导数 导数公式的应用 课时作业（四）课件55张PPT。教师用书独具演示演示结束导数运算法则 f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) Cf′(x) 复合函数的导数 导数四则运算法则的应用 复合函数的导数 导数运算法则的综合应用 课时作业（五）课件58张PPT。教师用书独具演示演示结束函数的单调性与导数之间的关系 f′(x)＞0 f′(x)＜0 导数与单调性的关系 利用导数研究函数的单调性 已知函数的单调性求参数的范围 课时作业（六）课件84张PPT。教师用书独具演示演示结束极值点与极值概念 函数极值的求法 f′(x)＝0 从左到右 函数的最值 最大值 最小值 求函数的极值 已知函数的极值求参数 求已知函数的最值 与最值有关的恒成立问题 课时作业（七）课件61张PPT。教师用书独具演示演示结束导数的实际应用 极值点 极值点 端点 面积、容积的最值问题 用料最省、成本(费用)最低问题 利润最大问题 课时作业（八）课件77张PPT。教师用书独具演示演示结束曲边梯形 y＝f(x) 定积分的定义 和式In的极限 函数f(x)在区间[a，b] 被积函数 积分下限 积分上限 可积 定积分的几何意义 C 以曲线f(x)为曲边的曲边梯形的面积 面积的代数和 正号 负号 求曲边梯形的面积 求变速运动的路程 利用定积分的几何意义求定积分 课时作业（九）课件55张PPT。教师用书独具演示演示结束微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式) F(b)－F(a) F(b)－F(a) 用微积分基本定理计算定积分 求分段函数的定积分 利用定积分求平面图形的面积 课时作业（十）
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )
A．0.40 B．0.41
C．0.43 D．0.44
【解析】 Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2.12＋1－(22＋1)
＝0.41，故选B.
【答案】 B
2．若已知函数f(x)＝2x的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则的值为( )
A．4 B．4x
C．2＋Δx D．2
【解析】 ＝＝2.
【答案】 D
3．质点运动规律s＝t2＋3，则在时间3到3＋Δt之间的平均速度等于( )
A．6＋Δt B．6＋Δt＋
C．3＋Δt D．9＋Δt
【解析】 平均速度等于＝＝6＋Δt.
【答案】 A
4．函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1、k2的大小关系是( )
A．k1k2
C．k1＝k2 D．无法确定
【解析】 ∵k1＝＝＝2x0＋Δx，
k2＝＝＝2x0－Δx.
又∵k1－k2＝2Δx，
∴k1与k2无法比较大小．故选D.
【答案】 D
5．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝中，平均变化率最大的是( )
A．① B．②
C．③ D．④
【解析】 ∵①＝＝1；②＝＝2＋Δx＝2.3；
③＝＝3＋3Δx＋Δx2＝3.99；
④＝＝－，所以平均变化率最大的是③.故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，＝________.
【解析】 ＝＝(Δx)2＋6Δx＋12.
【答案】 (Δx)2＋6Δx＋12
7．已知曲线y＝x2－1上两点A(3,2)，B(3＋Δx,2＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________．
【解析】 ∵Δx＝1，∴k＝＝＝6＋Δx＝7.
【答案】 7
8．已知函数f(x)＝x2－2x＋3，且y＝f(x)在[2，a]上的平均变化率，则a＝________.
【解析】 ＝＝a，
由题意得＝，∴a＝.
【答案】
三、解答题
9．求函数y＝－x2，y＝2x＋1，y＝在x＝1附近的平均变化率，当Δx很小时，哪一点附近的平均变化率最大？
【解】 y＝－x2在x＝1附近的平均变化率为
k1＝－(2＋Δx)；y＝2x＋1在x＝1附近的平均变化率为k2＝2；y＝在x＝1附近的平均变化率为
k3＝.当Δx很小时，k1＜0，k2＜1，
0＜k3＜1，∴最大的是k2，即y＝2x＋1在x＝1附近的平均变化率最大．
10．求f(x)＝x3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并计算当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．
【解】 当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为＝＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2.
当x0＝1，Δx＝时，平均变化率的值为3×12＋3×1×＋()2＝.
11．2010年冬至2011年春，我国北部八省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部门统计，该市小麦受旱面积如图1－1－2所示，据图回答：
图1－1－2
(1)2010年11月至2010年12月间，小麦受害面积变化大吗？
(2)哪个时间段内，小麦受害面积增幅最大？
(3)从2010年11月到2011年2月，与从2011年1月到2011年2月间，试比较哪个时间段内，小麦受害面积增幅较大？
【解】 (1)在2010年11月至2010年12月间，Δs变化不大，即小麦受害面积变化不大．
(2)由图形知，在2011年1月至2011年2月间，平均变化率较大，故小麦受害面积增幅最大．
(3)在t∈[2010.11,2011.2]时，平均变化率＝，
在t∈[2011.1,2011.2]时，平均变化率＝＝SB－SC，
显然SB－SC＞，∴在2011年1月至2011年2月间，小麦受害面积增幅较大.
一、选择题
1．设a＝ dx，b＝x2dx，c＝x3dx，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．c>a>b
C．a>c>b D．c>b>a
【解析】 ∵a＝；b＝x2dx＝＝，c＝x3dx＝＝，∴a>b>c.
【答案】 A
2．已知f(x)＝(其中e为自然对数的底数)，则的值为( )
A. B.
C. D.
【解析】 ＝x2dx＋＝x3＋ln x＝＋2＝.
【答案】 C
3．(2013·安阳高二检测)|1－x|dx＝( )
A．0 B．1
C．2 D．－2
【解析】 (1－x)dx＋(x－1)dx
＝(x－x2)＋(x2－x)
＝(1－)＋(×4－2)－(－1)
＝1.
【答案】 B
4．设f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
【解析】 ∵f(x)dx＝(ax3＋cx)＝a＋c，∴ax＋c＝a＋c，
∴x＝.∵0≤x0≤1.∴x0＝.
【答案】 B
5．(2013·郑州高二检测)由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为( )
A. B.
C. D.
【解析】 由题可知y＝x2，y＝x3围成的封闭图形的面积为
(x2－x3)dx＝(x3－x4)
＝－＝.
【答案】 A
二、填空题
6．已知函数f(a)＝sin xdx，则f[f()]＝________.
【解析】 ∵f(a)＝sin xdx＝(－cos x)＝1－cos a.
∴f()＝1－cos ＝1.
∴f[f()]＝f(1)＝1－cos 1.
【答案】 1－cos 1
7．若a＝x2dx，b＝x3dx，c＝sin xdx，则a，b，c的大小关系是________．
【解析】 a＝x2dx＝x3＝；b＝x3dx＝x4＝4；c＝sin xdx＝－cos x＝1－cos 2，∴b>a>c.
【答案】 b>a>c
8．(2013·福州高二检测)(＋)dx＝________.
【解析】 ∵(＋)dx＝(ln x－)
＝(ln 2－)－(ln 1－1)＝ln 2＋.
【答案】 ln 2＋
三、解答题
9．计算下列定积分：
(1)dx；
【解】 (1)∵dx＝(－)dx
＝[ln x－ln(x＋1)]＝ln .
10．(2013·哈尔滨高二检测)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.
(1)求y＝f(x)的表达式；
(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．
【解】 (1)∵f′(x)＝2x＋2，
∴可设f(x)＝x2＋2x＋c.
又∵f(x)＝0有两个相等的实根，
∴4－4c＝0，c＝1，
∴f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)y＝f(x)与两坐标轴的交点分别为(－1,0)，(0,1)，故所求面积为
＝(x3＋x2＋x)＝，
所以所求图形的面积为.
11．已知f(x)＝求使f(x)dx＝恒成立的k值．
【解】 (1)当k∈(2,3]时，
f(x)dx＝(1＋x2)dx
＝(x＋x3)
＝3＋×33－(k＋k3)＝
整理得k3＋3k＋4＝0，
即k3＋k2－k2＋3k＋4＝0，
∴(k＋1)(k2－k＋4)＝0，
∴k＝－1.
而k∈(2,3]，∴k＝－1舍去．
(2)当k∈[－2,2]时，
f(x)dx＝(2x＋1)dx＋(1＋x2)dx
＝(x2＋x)＋(x＋x3)
＝(22＋2)－(k2＋k)＋(3＋×33)－(2＋×23)
＝－(k2＋k)＝，
∴k2＋k＝0，
解得k＝0或k＝－1，
综上所述，k＝0或k＝－1.
一、选择题
1．下列各式正确的是( )
A．＝
B．f′(x0)＝
C．＝
D．f′(x0)＝
【解析】 由导函数定义知C正确．
【答案】 C
2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( )
A．－3 B．3
C．6 D．－6
【解析】 由平均速度和瞬时速度的关系可知，
V＝s′(1)＝li (－3Δt－6)＝－6.
【答案】 D
3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是图中的( )
【解析】 本题主要考查导数的物理意义，位移关于时间的函数．故选A.
【答案】 A
4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
【解析】 ∵f′(x0)＝li
＝li ＝li (a＋bΔx)＝a，
∴f′(x0)＝a.
【答案】 C
5．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．3
【解析】 ∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x＝3xΔx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2，
∴f′(x0)＝[3x＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x，
由f′(x0)＝3得3x＝3，∴x0＝±1.
【答案】 C
二、填空题
图1－1－3
6．如图1－1－3，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝________；函数f(x)在x＝1处的导数f′(1)＝________.
【解析】 ∵f(0)＝4，
∴f(f(0))＝f(4)＝2.
由A(0,4)，B(2,0)，得函数f(x)＝－2x＋4，
∴f′(1)＝ ＝－2.
【答案】 2 －2
7．设c是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为c＝c(q)，当产量为q0时，产量的变化Δq对成本的影响可用增量比＝刻画，如果Δq无限趋近于0时，无限趋近于常数A，经济学上称A为边际成本，它表明当产量为q0时，增加单位产量需付出的成本为A，它是实际付出成本的一个近似值．若某一产品的成本c与产量q满足函数关系c＝3q2＋1，则当产量q＝30时的边际成本是________．
【解析】 ∵Δc＝3(30＋Δq)2＋1－(3×302＋1)
＝180Δq＋3(Δq)2，
∴＝＝180＋3Δq.
∴A＝li ＝li (180＋3Δq)＝180.
∴当产量q＝30时的边际成本为180.
【答案】 180
8．设函数f(x)＝mx3＋2，若f′(－1)＝3，则m＝________.
【解析】 ∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝m(－1＋Δx)3＋m＝3mΔx－3m(Δx)2＋m(Δx)3，
∴＝3m－3mΔx＋m(Δx)2，
∴f′(－1)＝[3m－3mΔx＋m(Δx)2]＝3m，
由f′(－1)＝3得3m＝3，∴m＝1.
【答案】 1
三、解答题
9．利用导数的定义，求函数y＝＋2在点x＝1处的导数．
【解】 ∵Δy＝[＋2]－(＋2)＝，
∴＝.
∴y′＝ ＝－.
∴y′|x＝1＝－2.
10．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移：m；时间：s)．
(1)求此物体的初速度．
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．
(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．
【解】 (1)初速度v0＝ ＝ ＝ (3－Δt)＝3(m/s)．
即物体的初速度为3 m/s.
(2)v＝
＝
＝ ＝ (－Δt－1)＝－1(m/s)．
即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反．
(3)＝＝＝1(m/s)．
即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.
11．柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的，铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成粘稠液体状．如果开始加热后第x小时的沥青温度(单位：℃)为
f(x)＝
求开始加热后第15分钟和第4小时沥青温度变化的瞬时速度，并说明它们的意义．
【解】 ∵15分钟＝0.25小时，且当0≤x≤1时，f(x)＝80x2＋20，
∴＝
＝
＝＝40＋80Δx.
∴f′(0.25)＝li ＝li (40＋80Δx)＝40.
又当1∴当x＝4时，
＝
＝＝－(6＋Δx)，
∴f′(4)＝li ＝li[－(6＋Δx)]
＝－×6＝－.
在第15分钟与第4 h时，沥青温度的瞬时变化率分别为40与－，它说明在第15分钟附近，沥青的温度大约以40 ℃/h的速率上升；在第4 h附近，沥青温度大约以 ℃/h的速率下降.
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2等于( )
A．1 B．－1
C．－3 D．3
【解析】 由题意知f′(2)＝3，即y′|x＝2＝3.
【答案】 D
2．在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是( )
A．(0,0) B．(2,4)
C．(，) D．(，)
【解析】 k＝ ＝
＝ (2x＋Δx)＝2x，
∴2x＝tan ＝1，
∴x＝.从而y＝.故选D.
【答案】 D
3．已知函数y＝f(x)的图象如图1－1－7所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是( )
图1－1－7
【解析】 由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时，f′(x)＝0，当x>0时，f′(x)<0，故B符合．
【答案】 B
4．已知曲线f(x)＝ax3＋1在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－1＝0，则a＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 因为切点在切线上，所以3×1－f(1)－1＝0，即f(1)＝2，又因为切点(1，f(1))也在曲线y＝f(x)上，所以2＝a×13＋1，即a＝1.
【答案】 A
5．设曲线y＝ax2在点(2,4a)处的切线与直线4x－y＋4＝0垂直，则a＝( )
A．2 B．－
C. D．－1
【解析】 由y＝ax2得：
Δy＝a(x＋Δx)2－ax2
＝2axΔx＋a(Δx)2，
则＝2ax＋aΔx，所以y′＝2ax，
则y′|x＝2＝4a，
又y＝ax2在点(2,4a)处的切线与直线4x－y＋4＝0垂直，
∴4a＝－，∴a＝－.
【答案】 B
二、填空题
6．如果函数f(x)在x＝x0处的切线的倾斜角是钝角，那么函数f(x)在x＝x0附近的变化情况是________(填“逐渐上升”或“逐渐下降”)．
【解析】 由题意知f′(x0)<0，根据导数的几何意义知，f(x)在x＝x0附近的变化情况是“逐渐下降”．
【答案】 逐渐下降
7．已知函数f(x)＝ex，且其导函数f′(x)＝ex，则函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为________．
【解析】 ∵f(0)＝e0＝1，
f′(0)＝e0＝1，
故由点斜式得切线方程为
y－1＝1×(x－0)，
即x－y＋1＝0.
【答案】 x－y＋1＝0
8．若曲线y＝2x2－4x＋p与直线y＝1相切，则p的值为________．
【解析】 设切点坐标为(x0,1)，
∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝2(x0＋Δx)2－4(x0＋Δx)＋p－(2x－4x0＋p)
＝4x0Δx－4Δx＋2(Δx)2，
∴＝4x0－4＋2Δx，
∴f′(x0)＝ (4x0－4＋2Δx)＝4x0－4.
由题意知4x0－4＝0.∴x0＝1，即切点坐标为(1,1)．
∴1＝2－4＋p，∴p＝3.
【答案】 3
三、解答题
9．如果曲线y＝x2＋x－3的某一条切线与直线y＝3x＋4平行，求切点坐标与切线方程．
【解】 ∵切线与直线y＝3x＋4平行，
∴斜率为3，设切点坐标为(x0，y0)，
则＝3.
又＝
＝
＝
＝ (Δx＋2x0＋1)＝2x0＋1，
∴2x0＋1＝3.从而x0＝1，代入y＝x2＋x－3得y0＝－1，∴切点坐标为(1，－1)．
切线的方程为y＋1＝3(x－1)，即3x－y－4＝0.
10．试求过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程．
【解】 y′＝ ＝ ＝2x.
设所求切线的切点为A(x0，y0)．
∵点A在曲线y＝x2上，
∴y0＝x，
又∵A是切点，
∴过点A的切线的斜率＝2x0，
∵所求切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点，
∴其斜率为＝.
∴2x0＝，
解之得x0＝1或x0＝5.
从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)．
当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2；
当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10.
∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，即y＝2x－1和y＝10x－25.
11．已知曲线y＝x2＋1，问是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解】 存在．
由导数的定义知
y′＝ ＝ ＝2x.
设切点为(t，t2＋1)，因为y′＝2x，
所以切线的斜率为y′|x＝t＝2t，
于是可得切线方程为y－(t2＋1)＝2t(x－t)．
将(1，a)代入，得a－(t2＋1)＝2t(1－t)，
即t2－2t＋(a－1)＝0，因为切线有两条，
所以Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2.故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，2).
一、选择题
1．已知函数f(x)＝5，则f′(1)等于( )
A．5 B．1
C．0 D．不存在
【解析】 ∵f(x)＝5，
∴f′(x)＝0，
∴f′(1)＝0.
【答案】 C
2．已知f(x)＝xn且f′(－1)＝－4，则n等于( )
A．4 B．－4
C．5 D．－5
【解析】 ∵f′(x)＝nxn－1，∴f′(－1)＝n(－1)n－1＝－4.
若(－1)n－1＝－1，则n＝4，此时满足(－1)n－1＝－1；
若(－1)n－1＝1，则n＝－4，此时不满足(－1)n－1＝1.
∴n＝4
【答案】 A
3．正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( )
A．[0，]∪[π，π) B．[0，π)
C．[，π] D．[0，]∪[，π]
【解析】 ∵(sin x)′＝cos x，
∴直线l的斜率kl＝cos x，
∴－1≤kl≤1，
∴直线l的倾斜角的范围是[0，]∪[π，π)．
【答案】 A
4．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为( )
A. B．－
C．－e D．e
【解析】 设切点坐标为(x0，y0)，∵y′＝(ex)′＝ex，
【答案】 D
5．若曲线y＝在点(a，)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝( )
A．64 B．32
C．16 D．8
【答案】 A
二、填空题
6．若y＝10x，则y′|x＝1＝________.
【解析】 ∵y′＝10xln 10，∴y′|x＝1＝10ln 10.
【答案】 10ln 10
7．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________.
【解析】 设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝ln x0.
∵y′＝(ln x)′＝，
∴＝，由题意知＝，
∴x0＝2，y0＝ln 2.
由ln 2＝×2＋b，得b＝ln 2－1.
【答案】 ln 2－1
8．抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的距离的最小值为________．
【解析】 与直线x－y－2＝0平行的抛物线的切线的切点到直线x－y－2＝0距离最小．易知切点为(，)，∴d＝.
【答案】
三、解答题
9．若质点P的运动方程是s＝(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t＝8 s时的瞬时速度．
∴质点P在t＝8 s时的瞬时速度为 m/s.
10．已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
【解】 ∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，
则＝2x0，
又∵PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于PQ，
∴k＝2x0＝1，即x0＝，
所以切点为M(，)．
∴所求的切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
11．求证：曲线xy＝1上任何一点处的切线与坐标轴构成的三角形面积为常数．
【证明】 由xy＝1，得y＝，
所以y′＝－.
在曲线xy＝1上任取一点P(x0，)，则过点P的切线的斜率k＝－，
切线方程为y－＝－(x－x0)，即y＝－x＋.
设该切线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，则A(2x0,0)、B(0，)，
故S△OAB＝|OA|·|OB|＝|2x0|·||＝2，
所以曲线上任意一点处的切线与坐标轴构成的三角形面积为常数.
一、选择题
1．(2013·深圳高二检测)函数y＝cos (－x)的导数是( )
A．cos x B．－cos x
C．－sin x D．sin x
【解析】 y′＝－sin (－x)(－x)′＝－sin x.
【答案】 C
2．若f(x)＝，则f(x)的导数是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 f′(x)＝＝.
【答案】 A
3．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A．－9 B．－3
C．9 D．15
【解析】 ∵ y′＝3x2，∴y′|x＝1＝3，切线方程为y－12＝3(x－1)，即y＝3x＋9，令x＝0，得y＝9.
【答案】 C
4．某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝，则在时刻t＝40 min的降雨强度为( )
A．20 mm B．400 mm
C. mm/min D. mm/min
【解析】 f′(t)＝·10＝，
∴f′(40)＝＝.
【答案】 D
5．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
【解析】 设切点P(x0，y0)，则y0＝x0＋1＝ln(x0＋a)．
又由＝＝1，解得x0＋a＝1，
∴y0＝0，x0＝－1，
∴a＝2.
【答案】 B
二、填空题
6．(2013·广东高考)若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.
【解析】 因为y′＝2ax－，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，a＝.
【答案】
7．已知函数f(x)＝f′()sin x＋cos x，则f′()＝________.
【解析】 ∵f′(x)＝f′()cos x－sin x，
∴f′()＝f′()cos －sin ＝－1，
∴f′(x)＝－cos x－sin x，
∴f′()＝－cos －sin ＝－.
【答案】 －
8．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形面积是________．
【解析】 ∵y′＝－2e－2x，
∴y′|x＝0＝－2，切线方程为y＝－2x＋2.
∴所围成的三角形的三个顶点为(0,0)，(1,0)，(，)．
∴S＝×1×＝.
【答案】
三、解答题
9．已知函数f(x)＝ln(ax＋1)＋，x≥0，其中a＞0，若f′(1)＝0，求a的值．
【解】 f′(x)＝[ln(ax＋1)]′＋()′
＝＋，
∴f′(1)＝－＝0，
∴a＝1.
因此实数a的值为1.
10．若函数f(x)＝在x＝c处的导数值与函数值互为相反数，求c的值．
【解】 由于f(x)＝，∴f(c)＝，
又f′(x)＝＝，
∴f′(c)＝.
依题意知f(c)＋f′(c)＝0，
∴＋＝0，
∴2c－1＝0得c＝.
11．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
【解】 (1)由7x－4y－12＝0得y＝x－3.
当x＝2时，y＝，∴f(2)＝2a－＝， ①
又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝a＋＝. ②
由①②得解之，得
故f(x)＝x－.
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知，
曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(1＋)(x－x0)，
即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．
令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－)．
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
一、选择题
1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
【解析】 f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝ex(x－2)，令f′(x)>0，即ex(x－2)>0得x>2，因此函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．
【答案】 D
2．设y＝x－ln x，则此函数在区间(0,1)内为( )
A．单调递增 B．有增有减
C．单调递减 D．不确定
【解析】 y′＝1－，当x∈(0,1)时，y′<0，则函数y＝x－ln x在区间(0,1)内单调递减．
【答案】 C
3．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是
( )
A．[1，＋∞) B．[0,1]
C．(－∞，1] D．(0,1)
【解析】 f′(x)＝3x2－2ax－1.由题意知，不等式3x2－2ax－1≤0在x∈(0,1)内恒成立．
∴即∴a≥1.
当a＝1时，f′(x)＝3x2－2x－1不恒为0，故实数a的取值范围是[1，＋∞)．
【答案】 A
4．已知函数f(x)，g(x)满足当x∈R时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，若a>b，则有( )
A．f(a)·g(a)＝f(b)g(b)
B．f(a)g(a)>f(b)g(b)
C．f(a)g(a)D．f(a)g(a)与f(b)g(b)的大小关系不定
【解析】 由题意知[f(x)g(x)]′>0，从而f(x)g(x)在R上是增函数，又a>b，∴f(a)g(a)>f(b)g(b)．
【答案】 B
5．(2013·大连高二检测)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2.则f(x)>2x＋4的解集为( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
【解析】 构造函数g(x)＝f(x)－(2x＋4)，
则g(－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f′(x)>2.
∴g′(x)＝f′(x)－2>0，∴g(x)是R上的增函数．
∴f(x)>2x＋4?g(x)>0?g(x)>g(－1)，
∴x>－1.
【答案】 B
二、填空题
6．当x>1时，lnx＋与1的大小关系为ln x＋________1(填“>”或“<”)．
【解析】 设f(x)＝ln x＋，则f′(x)＝－＝，∵x>1，∴f′(x)>0.
∴函数f(x)在[1，＋∞)内为增函数，故当x>1时，f(x)>f(1)＝1.
从而ln x＋>1.
【答案】 >
7．若函数y＝－x3＋bx在定义域内不单调，则b的取值范围是________．
【解析】 若函数y＝－x3＋bx在定义域内不单调，则其导数y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0.
【答案】 (0，＋∞)
8．(2013·广州高二检测)已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a的取值范围为________．
【解析】 ∵f′(x)＝且函数f(x)在(－2，＋∞)上单调递减，∴f′(x)≤0在(－2，＋∞)上恒成立．
∴a≤.
当a＝ 时，f′(x)＝0恒成立，不合题意，应舍去．
∴a<.
【答案】 a<
三、解答题
9．(2013·广东高考改编)设函数f(x)＝(x－1)ex－x2.求函数f(x)的单调区间．
【解】 ∵f(x)＝(x－1)ex－x2，
∴f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝x(ex－2)．
由f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝ln 2>0.
由f′(x)>0，得x<0或x>ln 2.
由f′(x)<0，得0所以函数f(x)的单调增区间为(－∞，0)和(ln 2，＋∞)，单调减区间为(0，ln 2)．
10．已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)是否存在a，使f(x)的单调减区间是(－1,1)．
(2)若f(x)在R上是增函数，求a的取值范围．
【解】 f′(x)＝3x2－a.
(1)∵f(x)的单调减区间是(－1,1)，
∴－1∴x＝±1是方程3x2－a＝0的两根，所以a＝3.
(2)∵f(x)在R上是增函数，
∴f′(x)＝3x2－a≥0对x∈R恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立．
∵y＝3x2在R上的最小值为0.
∴a≤0.
11．设函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax(a>0)．
(1)求f(x)的单调区间．
(2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．
【解】 (1)∵ f(x)＝a2ln x－x2＋ax，其中x>0，
∴f′(x)＝－2x＋a
＝－，
由于a>0，∴f(x)的增区间为(0，a)，减区间(a，＋∞)．
(2)由题意得，f(1)＝a－1≥e－1，
即a≥e，
由(1)知f(x)在[1，e]上单调递增，
要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立，
只要
解得a＝e.
一、选择题
1．(2012·陕西高考)设函数f(x)＝＋ln x，则( )
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
【解析】 f′(x)＝－，令f′(x)＝0，即－＝0得x＝2，
当x∈(0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.
因此x＝2为f(x)的极小值点，故选D.
【答案】 D
2．(2013·威海高二检测)函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则( )
A．0C．b>0 D．b<
【解析】 f′(x)＝3x2－3b，要使f(x)在(0,1)内有极小值，则有即∴0【答案】 A
3．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( )
A．－37 B．－29
C．－5 D．－11
【解析】 由f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)＝0，解得x＝0或x＝2，又f(0)＝m，f(2)＝m－8，f(－2)＝m－40，所以f(x)max＝m＝3，f(x)min＝m－40＝3－40＝－37.
【答案】 A
4．设函数f(x)＝x－ln x(x>0)，则y＝f(x)( )
A．在区间(，1)，(1，e)内均有零点
B．在区间(，1)，(1，e)内均无零点
C．在区间(，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间(，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点
【解析】 由题意，得f′(x)＝－＝.令f′(x)>0，得x>3；令f′(x)<0，得00，故选D.
【答案】 D
5．(2013·长沙高二检测)设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为( )
A．1 B.
C. D.
【解析】 由题意，设|MN|＝F(t)＝t2－ln t(t>0)，
令F′(t)＝2t－＝0，得t＝或t＝－(舍去)．
F(t)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，
故t＝时，F(t)＝t2－ln t(t>0)有极小值，也为最小值，即|MN|达到最小值，故选D.
【答案】 D
二、填空题
6．(2013·佛山高二检测)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．
【解析】 由题意得f′(x)＝3x2－6x＝3x·(x－2)．
当x<0时，f′(x)>0；当0当x>2时，f′(x)>0.故当x＝2时取得极小值．
【答案】 2
7．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图1－3－8所示，给出下列判断：
图1－3－8
(1)函数y＝f(x)在区间(－3，－)内单调递增；
(2)函数y＝f(x)在区间(－，3)内单调递减；
(3)函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；
(4)当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；
(5)当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．
则上述判断中正确的是________．
【解析】 由导函数的图象知：
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(2,4)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(4，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
在x＝－2时，f(x)取极小值；
在x＝2时，f(x)取极大值；
在x＝4时，f(x)取极小值．
所以只有(3)正确．
【答案】 (3)
8．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意的x∈(0,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是________．
【解析】 因为x∈(0,1]，
所以f(x)≥0可化为a≥－.
设g(x)＝－，则g′(x)＝.
令g′(x)＝0，得x＝.
当00；
当所以g(x)在(0,1]上有极大值g()＝4，它也是最大值，故a≥4.
【答案】 a≥4
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x3－x2－x.
(1)求f(x)的极值；
(2)画出它的大致图象；
(3)指出y＝f(x)零点的个数．
【解】 (1)由已知得f′(x)＝3x2－2x－1＝0，
解得x1＝－，x2＝1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
所以f(x)的极大值是f(－)＝，极小值是f(1)＝－1.
(2)令f(x)＝0得x＝0或x＝，结合函数的单调性及极值画出f(x)的大致图象如图所示：
(3)由(2)可知f(x)图象与x轴有3个交点，即y＝f(x)有3个零点．
10．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)≥2 010对于?x∈[－2,2]恒成立，求a的取值范围．
【解】 (1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.由f′(x)<0，得x<－1或x>3，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．
(2)由f′(x)＝0，－2≤x≤2，得x＝－1.
因为f(－2)＝2＋a，f(2)＝22＋a，f(－1)＝－5＋a，
故当－2≤x≤2时，f(x)min＝－5＋a.
要使f(x)≥2 010对于?x∈[－2,2]恒成立，只需f(x)min＝－5＋a≥2 010，解得a≥2 015.
11．(2013·重庆高考)设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中x∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
【解】 (1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，
故f′(x)＝2a(x－5)＋.
令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)．
由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln x(x>0)，
f′(x)＝x－5＋＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.
当03时，f′(x)>0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln 2，
在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.
一、选择题
1．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x>0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产
( )
A．6千台 B．7千台
C．8千台 D．9千台
【解析】 设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x>0)，
又由y′＝－6x2＋36x＝0得x＝6，且当x∈(0,6)时，y′>0，当x∈(6，＋∞)时，y′<0，
∴当x＝6时，y最大，故应生产6千台．
【答案】 A
2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则其高为
( )
A. cm B．10 cm
C．15 cm D. cm
【解析】 设圆锥的高为x，则底面半径为，其体积V＝πx(202－x2)(0V′＝(400－3x2)，令V′＝0得x＝，又当00；∴当x＝时，V取最大值．
【答案】 D
3．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为( )
A．0.016 2 B．0.032 4
C．0.024 3 D．0.048 6
【解析】 依题意，存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x∈(0,0.048 6)．所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3(0令y′＝0，得x＝0.032 4或x＝0(舍去)．
当00；
当0.032 4所以当x＝0.032 4时，y取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．
【答案】 B
4．一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100 km/h，要使从甲城开往乙城的总费用最少，则速度应为( )
A．10 km/h B．20 km/h
C．5 km/h D. km/h
【解析】 设速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km.
则总费用f(x)＝(kx3＋200)·＝a(kx2＋)．
由已知条件，得40＝k·203，∴k＝.
∴f(x)＝a(x2＋)．
由f′(x)＝＝0，得x＝10.
当0当100.
∴当x＝10时，f(x)有最小值，
即速度为10 km/h时，总费用最少．
【答案】 A
5．有一边长分别为8与5的长方形，各角剪去相同的小正方形，把四边折起做成一个无盖小盒，则小盒的最大容积是( )
A．20 B．18
C．16 D．14
【解析】 正方形边长为x，则
V＝(8－2x)·(5－2x)x＝2(2x3－13x2＋20x)(0V′＝4(3x2－13x＋10)(0V′＝0得x＝1，根据实际情况，小盒容积最大值是存在的，
∴当x＝1时，容积V取得最大值18.
【答案】 B
二、填空题
6．(2013·开封高二检测)做一个容积为256升的方底无盖水箱，那么用料最省时，它的底面边长为________．
【解析】 设底面边长为x分米，则高h＝，其表面积s＝x2＋，s′＝2x－，令s′＝0，则x＝8.
【答案】 8分米
7．已知矩形的两个顶点A、D位于x轴上，另两个顶点BC位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边长为________．
【解析】 由题意，设矩形边长AD＝2x，则AB＝4－x2，
∴矩形面积为S＝2x(4－x2)＝8x－2x3(0令S′＝0，解之得x1＝，x2＝－(舍去)．
当00；
当∴当x＝时，S取得最大值为.
即矩形的边长分别是，时，矩形的面积最大．
【答案】 ，
8．某厂生产某种产品x件的总成本C(x)＝1200＋x3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为________件时，总利润最大．
【解析】 设产品的单价为p万元，根据已知，可设p2＝，其中k为比例系数．因为当x＝100时，p＝50，所以k＝250 000，所以p2＝，p＝，x>0.
设总利润为y万元，则y＝·x－1 200－x3＝500－x3－1 200.
求导数得，y′＝－x2.
令y′＝0得x＝25.
故当x<25时，y′>0；
当x>25时，y′<0.
因此，当x＝25时，函数y取得极大值，也是最大值．
【答案】 25
三、解答题
9．某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．
(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？
(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x百万元，可增加的销售额约为－x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入)
【解】 (1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)，
则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，
∴当t＝2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．
(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，
则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)，又设由此获得的收益是g(x)(百万元)，
则g(x)＝(－x3＋x2＋3x)＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3
＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)，
∴g′(x)＝－x2＋4，
令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.
又当0≤x<2时，g′(x)>0；当2∴当x＝2时，g(x)取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．
10．已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水航行到B地，水流的速度为8千米/时，船在静水中的速度为v千米/时(8【解】 设全程燃料费为y，每小时的燃料费为y1，比例系数为k(k>0)，则y1＝kv2.
当v＝12时，y1＝720，所以720＝k·122，解得k＝5.
由题意，得y＝，
所以y′＝
＝.
令y′＝0，得v＝0(舍去)或v＝16，所以v＝16(千米/时)．
∵8当v0<16时，v∈(8，v0]，y′<0，y在(8，v0]上是单调递减函数，
所以当v＝v0时，y有最小值，最小值为.
综上可知，当v0≥16，v＝16千米/时时，全程燃料费最省，为32000元；
当v0<16，v＝v0千米/时时，全程燃料费最省，为元．
11．某商场预计2012年1月份起前x个月，顾客对某商品的需求总量p(x)(单位：件)与x的关系近似地满足p(x)＝x(x＋1)(39－2x)(x∈N＋，x≤12)．该商品第x月的进货单价q(x)(单位：元)与x的近似关系是：
q(x)＝
(1)写出2012年第x月的需求量f(x)(单位：件)与x的函数关系式；
(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问商场2012年哪个月销售该商品的月利润最大，最大月利润为多少元？
【解】 (1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37，
当2≤x≤12，且x∈N＋时，
f(x)＝p(x)－p(x－1)
＝x(x＋1)(39－2x)－(x－1)x·(41－2x)＝－3x2＋40x，
验证x＝1时也符合，
∴f(x)＝－3x2＋40x(x∈N＋，且1≤x≤12)．
(2)该商场预计第x月销售该商品的月利润为g(x)＝
即g(x)＝
当1≤x≤6，且x∈N＋时，
g′(x)＝18x2－370x＋1 400，令g′(x)＝0，解得x＝5，x＝(舍去)．
当1≤x<5时，g′(x)>0，当5g(x)max＝g(5)＝3 125；
当7≤x≤12，且x∈N＋时，
g(x)＝－480x＋6 400是减函数，
当x＝7时，g(x)max＝g(7)＝3 040，
综上，商场2012年5月份的月利润最大，最大利润为3 125元.
一、选择题
1．把区间[1,3]n等分，所得n个小区间，每个小区间的长度为( )
A. B.
C. D.
【解析】 区间长度为2，n等分后每个小区间的长度都是，故选B.
【答案】 B
2．在求由函数y＝与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n个小区间，则第i个小区间为( )
A．[，] B．[，]
C．[i－1，i] D．[，]
【解析】 把区间[1,2]等分成n个小区间后，每个小区间的长度为，且第i个小区间的左端点不小于1，故选B.
【答案】 B
3．设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0A．与f(x)和区间[a，b]有关，与分点的个数n和ξi的取法无关
B．与f(x)和区间[a，b]和分点的个数n有关，与ξi的取法无关
C．与f(x)和区间[a，b]和ξi的取法有关，与分点的个数n无关
D．与f(x)和区间[a，b]和分点的个数n和ξi的取法都有关
【解析】 Sn即为实际的S近似代替后的和式，其与f(x)、区间[a，b]、分点个数、ξi的取法均有关．
【答案】 D
4．下列值等于1的是( )
A.xdx B.(x＋1)dx
C.1dx D.dx
【解析】 根据定积分的几何意义可求得：
xdx＝×1×1＝，(x＋1)dx＝×(1＋2)×1＝，1dx＝1×1＝1，dx＝1×＝，故选C.
【答案】 C
5．汽车以10米/秒的速度行驶，在某处需要减速停车，设汽车以加速度－2米/秒2刹车，若把刹车时间5等分，则从开始刹车到停车，汽车刹车距离的过剩估计值(取每个小区间的左端点对应的函数值)为( )
A．80米 B．60米
C．40米 D．30米
【解析】 由题意知，v(t)＝v0＋at＝10－2t.
令v(t)＝0，得t＝5，即t＝5秒时，汽车将停车．
将区间[0,5]5等分，用每个小区间的左端点的函数值近似替代每个小区间上的平均速度，可得汽车刹车距离的过剩近似值为S＝(10＋10－2×1＋10－2×2＋10－2×3＋10－2×4)×1＝30(米)．
【答案】 D
二、填空题
6. 的值为________．
【解析】 ＝3×(1＋2＋3＋…＋10)＝165.
【答案】 165
7．曲线y＝x2与直线x＝0，x＝1，y＝1所围成的图形的面积可用定积分表示为________．
【解析】 如图所示，阴影部分的面积可表示为
1dx－x2dx＝(1－x2)dx.
【答案】 (1－x2)dx
8．汽车以v＝(3t＋2)m/s做变速直线运动时，第1 s到第2 s间的1 s内经过的路程是________m.
【解析】 由题意知，所求路程为直线x＝1，x＝2，y＝0与y＝3x＋2所围成的直角梯形的面积，故S＝×(5＋8)×1＝6.5.
【答案】 6.5
三、解答题
9．利用分割，近似代替，求和，取极限的办法求函数y＝1＋x，x＝1，x＝2的图象与x轴围成梯形的面积并用梯形的面积公式加以验证．
【解】 f(x)＝1＋x在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]分成n等份，则每个区间的长度为Δxi＝，在[xi－1，xi]＝[1＋，1＋]上取ξi＝xi－1＝1＋(i＝1,2,3，…，n)，于是f(ξi)＝f(xi－1)＝1＋1＋＝2＋，
则S＝Sn＝ (－)＝.
如下进行验证：
如图所示：梯形的面积公式
S＝×(2＋3)×1＝.
10．火箭发射后t s的速度为v(t)(单位：m/s)，假定0≤t≤10，对函数v(t)，按v(t1)Δt＋v(t2)Δt＋…＋v(tn)Δt所作的和具有怎样的实际意义．
【解】 将区间[0,10]等分成n个小区间，每个小区间长度为Δt，在每个小区间上取一点，依次为：t1，t2，t3，…，ti，…，tn，虽然火箭的速度不是常数，但在一个小区间内其变化很小，所以用v(ti)代替第i个区间上的速度，这样v(ti)Δt≈火箭在第i个时间段内运行的路程．
从而sn＝v(t1)·Δt＋…＋v(ti)·Δt＋…＋v(tn)Δt≈s(火箭在10 s内运行的路程)，
这就是函数v(t)在时间区间[0,10]上按v(t1)Δt＋v(t2)Δt＋…＋v(tn)Δt所求的和的实际背景．
当分割无限变细(Δt无限趋向于0)时，sn就无限趋向于火箭在10 s内运行的总路程．
11．已知函数f(x)＝求f(x)在区间[－2,2π]上的积分．
【解】
