课件49张PPT。教师用书独具演示演示结束随机现象 必然发生某种结果多次观察同一现象不一定某种目的 试验的结果 事件一定会发生始终不会发生可能发生也可能不发生A，B，C，…基本事件、基本事件空间 再分 最简单 它们来描绘 集合 Ω 随机现象的判断 事件类型的判断 基本事件与基本事件空间 课时作业（十四）课件50张PPT。教师用书独具演示演示结束频率与概率 频数 常数 越小 常数 P(A) 0≤P(A)≤1 1 0 概率 概率概念的理解 概率与频率的关系 概率的简单应用 课时作业（十五）课件54张PPT。教师用书独具演示演示结束互斥事件与对立事件 不能同时发生 互不相容事件 至少有一个 和 C＝A∪B A∪B P(A)＋P(B) 这n个事件分别发生的概率和 P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An) 同时 必有一个发生 1－P(A) 事件关系的判断 求互斥事件的概率 对立事件的概率 课时作业（十六）课件54张PPT。教师用书独具演示演示结束古典概型 有限个 均等的 同时发生 D＝A∩B(或D＝AB) P(A)＋P(B)－P(A∩B) 基本事件的计数问题 古典概型的概率 较复杂古典概型的概率计算 课时作业（十七）课件67张PPT。教师用书独具演示演示结束几何概型 1．导引中的试验可能结果个数有多少？这个试验是否是古典概型？
【提示】 指针落在阴影部分的位置有无限多种可能，所以试验可能结果有无限多个，所以这个试验不是古典概型．长度 面积 体积 位置和形状 区域Ω的几何度量 子区域A的几何度量 随机数及其产生方法 【问题导思】
种植某种树苗成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，求恰好成活4棵的概率．
1．每棵树苗成活的可能性相同吗？
【提示】 不相同．
2．能用古典概型概率公式求解吗？
【提示】 不能．
3．如何求概率？
【提示】 可用随机数的方法．在一定范围内随机 机会 相同的 rand ( ) rand( )*(b－a)＋a 与长度有关的几何概型 与面积有关的几何概型 与体积有关的几何概型 用随机模拟法估计面积问题 课时作业（十八）课件52张PPT。教师用书独具演示演示结束概率的应用 【问题导思】
1．足球比赛两队谁先开球或谁先选场地，用何种方式决定？
【提示】 投硬币观察选正面向上还是反面向上．
2．体育彩票用摇号的方法决定获奖号码公平吗？
【提示】 公平．
3．这些问题的解决要用到什么知识？
【提示】 概率．可能性大小 很少 经常 游戏的公平性 概率在科学实验和日常生活中的应用 古典概型，几何概型在生活中的应用 课时作业（十九）综合检测(三)
第三章 概率
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．
1．有下列事件：①足球运动员点球命中；②在自然数集中任取一个数为偶数；③在标准大气压下，水在100 ℃时沸腾；④在洪水到来时，河流水位下降；⑤任意两个奇数之和必为偶数；⑥任意两个奇数之和为奇数．
上述事件中为随机事件的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【解析】 ①②是随机事件，③⑤为必然事件，④⑥为不可能事件．
【答案】 C
2．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( )
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排头”
C．“甲站排头”与“乙站排尾”
D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
【解析】 A中事件不可能同时发生为互斥事件，B、C、D中的两个事件都有可能同时发生．
【答案】 A
3．(2013·江西高考)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )
A. B.
C. D.
【解析】 从A，B中各任取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)6个基本事件，满足两数之和等于4的有(2,2)，(3,1)2个基本事件，所以P＝＝.
【答案】 C
4．小明同学的QQ密码是由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中可以重复的6个数字组成的六位数码，由于长时间未登录QQ，小明忘记了密码的最后一个数字，如果小明登录QQ时密码的最后一个数字随意选取，则恰好能登录的概率是
( )
A. B.
C. D.
【解析】 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取一个数字有10个基本事件，恰巧是密码最后一位数字有1个基本事件，则恰好能登录的概率为.
【答案】 D
5．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件“点落在x轴上”包含的基本事件共有( )
A．7个 B．8个
C．9个 D．10个
【解析】 点落在x轴上所包含的基本事件的特征是(x,0)，又依题意x≠0，且A中有9个非零数，故选C.
【答案】 C
6．电脑“扫雷”游戏的操作面被平均分成480块，其中有99块埋有地雷，现在操作面上任意点击一下，碰到地雷的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 P＝＝.
【答案】 D
7．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则抽查一件产品，抽得正品的概率为
( )
A．0.99 B．0.98
C．0.97 D．0.96
【解析】 由题意可知：P＝1－0.03－0.01＝0.96.
【答案】 D
8.
图1
如图1所示，在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为( )
A. B.
C. D.
【解析】 根据几何概型公式：＝，
∴S阴＝×22＝.
【答案】 B
9．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 设3个兴趣小组为1,2,3(甲i，乙j)表示甲参加第i个兴趣小组，乙参加第j个兴趣小组，则所有基本事件有(甲1，乙1)，(甲1，乙2)，(甲1，乙3)，(甲2，乙1)，(甲2，乙2)，(甲2，乙3)，(甲3，乙1)，(甲3，乙2)，(甲3，乙3)，共9个基本事件．这两位同学参加同一个兴趣小组包括(甲1，乙1)，(甲2，乙2)，(甲3，乙3)，共3个基本事件，故所求概率为＝.
【答案】 A
10．如图2所示，设A为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，则弦长超过半径倍的概率是( )
图2
A. B.
C. D.
【解析】 由题意可知，符合条件的点应在与点A相对的另一半圆弧上，故所求概率P＝＝.
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上)
11．一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则目标受损但未完全击毁的概率为________．
【解析】 由题意知P＝1－0.2－0.4＝0.4.
【答案】 0.4
12．如图3，假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率分别为________．
图3
【解析】 设半径为R，则图(1)中的概率P1＝＝.图(2)中的概率为P2＝.
【答案】 ，
13．(2013·浙江高考)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于__________．
【解析】 用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为：AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc，共15种选法，其中都是女同学的选法有3种，即ab，ac，bc，故所求概率为＝.
【答案】
14．口袋中装有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出1个球，摸出白球的概率是0.23，则摸出黑球的概率是________．
【解析】 ∵摸出白球的概率是0.23，∴口袋中白球的个数为0.23×100＝23个，∴袋中黑球共100－45－23＝32个．∴从袋中摸出1个球，摸出黑球的概率为＝0.32.
【答案】 0.32
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知棱长为2的正方体的内切球O.若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为多少？
【解】 球的直径就是正方体的棱长2.
∴球O的体积为V球＝π，
正方体的体积为V＝23＝8.
由于在正方体内任取一点时，点的位置是等可能的，在正方体内每个位置上，由几何概型公式，这点不在球O内(事件A)的概率为P(A)＝＝＝1－.
∴所求概率为1－.
16．(本小题满分12分)A袋中有1个红球和1个黑球，B袋中有2个红球和1个黑球，从A袋中任取一个球与B袋中任取一个球互换，这样的互换进行了一次，求：
(1)A袋中红球恰是1个的概率；
(2)A袋中红球至少是1个的概率．
【解】 将A袋中的1个红球和1个黑球编号为红1，黑1，B袋中的2个红球和1个黑球的编号为红2，红3，黑2，则从A袋中任取一个球与B袋任取一个球互换后所有可能的结果组成的基本事件空间为：{(红2，红1)，(红3，红1)，(黑2，红1)，(红2，黑1)，(红3，黑1)，(黑2，黑1)}由6个基本事件组成．
(1)A袋中红球恰是一个的概率为P＝＝；
(2)A袋中红球至少是一个的概率为P＝.
17．(本小题满分13分)(2013·陕西高考)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表.
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
6
(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
【解】 (1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
3
6
9
9
3
(2)记从A组抽到的3位评委分别为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6位评委分别为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手，从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果如图：
由树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P＝＝.
18．(本小题满分13分)2013年武汉电视台问政直播节目首场内容是“让交通更顺畅”，A、B、C、D四个管理部门的负责人接受问政，分别负责问政A、B、C、D四个管理部门的现场市民代表(每一名代表只参加一个部门的问政)人数的条形图如下．为了了解市民对武汉实施“让交通更顺畅”几个月来的评价，对每位现场市民都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：
满意
一般
不满意
A部门
50%
25%
25%
B部门
80%
0
20%
C部门
50%
50%
0
D部门
40%
20%
40%
图4
(1)若市民甲选择的是A部门，求甲的调查问卷被选中的概率；
(2)若想从调查问卷被选中且填写不满意的市民中再选出2人进行电视访谈，求这两人中至少有一人选择的是D部门的概率．
【解】 (1)由条形图可得，分别负责问政A，B，C，D四个管理部门的现场市民代表共有200人，其中负责问政A部门的市民为40人．
由分层抽样可得从A部门问卷中抽取了20×＝4份．设事件M＝“市民甲被选中进行问卷调查”，所以P(M)＝＝0.1.
∴若甲选择的是A部门，甲被选中问卷调查的概率是0.1.
(2)由图表可知，分别负责问政A，B，C，D四部门的市民分别接受调查的人数为4,5,6,5.其中不满意的人数分别为1,1,0,2个．记对A部门不满意的市民是a；对B部门不满意的市民是b；对D部门不满意的市民是c，d.
设事件N＝“从填写不满意的市民中选出2人，至少有一人选择的是D部门的”．
从填写不满意的市民中选出2人，共有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)共6个基本事件；而事件N有(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)共5个基本事件，所以P(N)＝.
∴这两人中至少有一人选择的是D部门的概率是.
一、选择题
1．(2013·湖北高考)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且＝2.347x－6.423；②y与x负相关且＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且＝－4.326x－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
【解析】 根据正负相关性的定义作出判断．
由正负相关性的定义知①④一定不正确．
【答案】 D
2．设一个回归方程为＝3＋1.2x，则变量x增加一个单位时( )
A．y平均增加1.2个单位
B．y平均增加3个单位
C．y平均减少1.2个单位
D．y平均减少3个单位
【解析】 当变量x增加一个单位时，＝1.2(x＋1)＋3＝(1.2x＋3)＋1.2，
∴y平均增加1.2个单位．
【答案】 A
3．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
【解析】 ∵＝＝，＝＝42，
又＝x＋必过(，)∴42＝×9.4＋，∴＝9.1.
∴线性回归方程为＝9.4x＋9.1.
∴当x＝6时，＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．
【答案】 B
4．(2013·济宁高一检测)对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图2－3－1①；对变量u，v有观测数据(ui，vi)，(i＝1,2，…，10)，得散点图2－3－1②，由这两个散点图可以判断( )
① ②
图2－3－1
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
【解析】 由图①可知，变量x与y负相关；由图②可知，变量u与v正相关．
【答案】 C
5．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
父亲身高x(cm)
174
176
176
176
178
儿子身高y(cm)
175
175
176
177
177
则y对x的线性回归方程为( )
A．y＝x－1 B．y＝x＋1
C．y＝88＋x D．y＝176
【解析】 因为＝＝176，
＝＝176，
又y对x的线性回归方程表示的直线恒过点(，)，所以将(176,176)代入A、B、C、D中检验知选C.
【答案】 C
二、填空题
6．某市民居2005～2009年家庭平均收入x(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表所示：
年份
2005
2006
2007
2008
2009
收入x
11.5
12.1
13
13.3
15
支出Y
6.8
8.8
9.8
10
12
根据统计资料，居民家庭平均收入的中位数是________，家庭年平均收入与年平均支出有________线性相关关系．
【解析】 把2005～2009年家庭年平均收入按从小到大顺序排列为11.5,12.1,13,13.3,15，因此中位数为13(万元)，由统计资料可以看出，当年平均收入增多时，年平均支出也增多，但并非确定关系．因此两者之间具有正线性相关关系．
【答案】 13 正
7．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人，体重Y(kg)对身高x(cm)的回归方程为＝0.72x－58.2，张红同学(20岁)身高178 cm，她的体重应该在________kg左右．
【解析】 我们可以用回归方程对身高为178 cm的人的体重进行预测，当x＝178时，＝0.72×178－58.2＝69.96≈70.
【答案】 70
8．2010年4月份，广东部分地区手足口病流行，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制．下表是某同学记载的2010年4月1日到2010年4月12日每天广州市手足口病治愈出院者数据，根据这些数据绘制散点图如图2－3－2.
日期
1
2
3
4
5
6
人数
100
109
115
118
121
134
日期
7
8
9
10
11
12
人数
141
152
168
175
186
203
图2－3－2
下列说法：
①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系；②根据此散点图，可以判断日期与人数具有一次函数关系；③后三天治愈出院的人数占这12天治愈出院人数的30%多；④后三天治愈出院的人数均超过这12天内北京市治愈出院人数的20%.
其中正确的个数是________．
【解析】 由散点图可以明显地看出日期与人数具有线性相关关系，故①正确，②错误；这12天治愈的人数为100＋109＋…＋203＝1 722(人)，而后三天治愈的人数为175＋186＋203＝564(人)，后三天治愈出院的人数占这12天治愈出院人数的30%多，故③也正确．由于表中只提供了广州市的相关数据，而未提供对应地北京市的相关数据，故④的说法根据不足，故④错误．
【答案】 2
三、解答题
9．下面是某班学生每周用于学习数学的时间x与数学成绩Y的一组观测数据：
x
15
20
25
30
35
40
45
Y
64
66
72
81
92
94
98
(1)将上表中的数据制成散点图；
(2)你能从散点图中发现学习时间与数学成绩近似成什么关系吗？数学成绩会一直随学习时间的增加而增长吗？
【解】 (1)散点图如图所示：
(2)从图中可以发现学习时间与数学成绩具有相关关系，当学习时间由小到大变化时，数学成绩也由小到大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此学习时间和数学成绩近似成线性相关关系，但数学成绩只是在一定范围内随着学习时间的增加而增长．
10．某玩具店经营某种玩具在某周内获纯利y(元)与该周每天销售这种玩具件数x之间有如下表的一组数据：
x
3
4
5
6
7
8
9
y
66
69
73
81
89
90
91
(1)求，；
(2)求纯利y与每天销售件数x之间的回归直线方程．
【解】 (1)＝(3＋4＋5＋…＋9)＝6，
＝(66＋69＋…＋91)≈79.86.
(2)设回归直线方程为＝bx＋a，
a＝－b＝79.86－4.75×6＝51.36.
故所求的回归直线方程为＝4.75x＋51.36.
11．有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出热饮杯数与当天气温的对比表：
温度(℃)
－5
0
4
7
12
15
19
23
27
31
36
热饮杯数
156
150
132
128
130
116
104
89
93
76
54
(1)画出散点图；
(2)你能从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律吗？
(3)求回归方程；
(4)如果某天的气温是2 ℃，预测这天卖出的热饮杯数．
【解】 (1)以x轴表示温度，以y轴表示热饮杯数，可作散点图：
(2)从图中可以看出，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间是负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少．
(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，因此，可用公式求出回归方程的系数为＝－2.352，＝147.767，故所求的回归方程为＝－2.352x＋147.767.
(4)当x＝2时，＝143.063，因此，某天的气温为2 ℃，这天约可以卖出143杯热饮.
一、选择题
1．下列现象是随机现象的是( )
①标准大气压下，水加热到100 ℃沸腾；
②投掷一枚均匀硬币，有数字的一面朝上；
③某人购买福利彩票7注，7注均未中奖．
A．①② B．②③
C．② D．③
【解析】 ①是必然现象；②③是随机现象；此题仍然考查了随机现象与必然现象的定义．故选B.
【答案】 B
2．下列事件中，随机事件是( )
A．向区间(0,1)内投点，点落在(0,1)区间
B．向区间(0,1)内投点，点落在(1,2)区间
C．向区间(0,2)内投点，点落在(0,1)区间
D．向区间(0,2)内投点，点落在(－1,0)区间
【解析】 向(0,2)内投点，点可能落在(0,1)内，也可能不落在(0,1)内．
【答案】 C
3．同时投掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件数是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
【解析】 事件A包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个基本事件．
【答案】 D
4．一个家庭有两个小孩，则基本事件空间Ω是( )
A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}
B．{(男，女)，(女，男)}
C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}
D．{(男，男)，(女，女)}
【解析】 两个小孩有大、小之分，所以(男，女)与(女，男)是不同的基本事件，故选C.
【答案】 C
5．先后抛掷均匀的一分、二分硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个基本事件的是( )
A．“至少一枚硬币正面向上”
B．“只有一枚硬币正面向上”
C．“两枚硬币都是正面向上”
D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”
【解析】 “至少一枚硬币正面向上”包括“1分向上，2分向下”、“1分向下，2分向上”、“1分、2分都向上”三个基本事件．故选A.
【答案】 A
二、填空题
6．(2013·济宁高一检测)从6名男生，2名女生中任选3人，参加数学竞赛，则事件“至少有一个男生”是________事件(填“必然”“不可能”“随机”)．
【解析】 因为只有2名女生，选出3人中肯定至少有一人是男生，因此这是必然事件．
【答案】 必然
7．美国NBA男子职业篮球13～14赛季中，洛杉矶湖人队、迈阿密热火队、凯尔特人队是夺冠的热门球队，则事件“这三支中的一支球队将获得冠军”是________事件(填“必然”“不可能”“随机”)．
【解析】 赛季没有结束，只是这几支球队夺冠的可能性大一些，故该事件是随机事件．
【答案】 随机．
8．投掷两个骰子，点数之和为8的事件所含的基本事件有________种．
【解析】 点数之和为8包含(2,6)，(6,2)，(3,5)，(5,3)，(4,4)5种基本事件．
【答案】 5
三、解答题
9．盒子中现有2只红球，3只黑球，4只绿球，这些球除颜色不同外完全相同，从中任取一只球：
(1)“取出的球是白球”是什么事件？
(2)“取出的球是红球”是什么事件？
(3)“取出的球是红球或黑球或绿球”是什么事件？
【解】 (1)“取出的球是白球”在题设条件下根本不可能发生，故为不可能事件．
(2)“取出的球是红球”可能发生，也可能不发生，为随机事件．
(3)在题设条件下必然要发生，故为必然事件．
10．一套分上、中、下三册的选集，随机地放到书架的某一层上．
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)求这个试验基本事件的总数；
(3)写出“上册在三册中最左边”这一事件所包含的基本事件．
【解】 (1)基本事件空间Ω＝{(上，中，下)，(上，下，中)，(中，上，下)，(中，下，上)，(下，中，上)，(下，上，中)}．
(2)这个试验的基本事件共有6个．
(3)“上册在三册中最左边”这一事件包含下列2个基本事件：(上，中，下)，(上，下，中)．
11．已知关于x的一元二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b.
(1)写出以(a，b)为元素的基本事件空间，共包含多少个基本事件？
(2)指出事件“函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数”的所有基本事件．
【解】 (1)Ω＝{(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)}，
共包含15个基本事件．
(2)∵函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为x＝.
要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，
当且仅当a>0且≤1，即2b≤a.
若a＝1，即b＝－1；
若a＝2，则b＝－1,1；
若a＝3，则b＝－1,1.
即事件“函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上是增函数”的所有基本事件有：
(1，－1)，(2，－1)，(2,1)，(3，－1)，(3,1)共5个.
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．某事件发生的概率为P(A)＝1.1
B．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1
C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然发生的事件
D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的
【解析】 事件发生的概率范围为[0,1]，故A错；当事件为不可能事件时，其发生的概率为0，当事件为必然事件时，其发生的概率为1，故B正确；小概率事件和大概率事件均为随机事件，故C错；概率是频率在理论上的期望值，即稳定值，不随着试验次数的变化而变化，故D错．
【答案】 B
2．下列三个命题，其中正确命题的个数是( )
(1)设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；
(2)做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率是；
(3)随机事件发生的频率是这个随机事件发生的概率．
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 概率反映的是事件发生的可能性大小，随机事件在一次试验中可能发生，也可能不发生，故(1)(2)(3)均不正确．
【答案】 A
3．某次考试共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的．某人说：“每个选项正确的概率是，我每道题都选择第一个选项，则一定有3题选择结果正确．”这句话：( )
A．正确 B．错误
C．不一定 D．无法解释
【解析】 根据随机事件概率的意义可知选B.
【答案】 B
4．某班学生在一次数学考试中的成绩分布如表：
分数段
[0，
80)
[80，
90)
[90，
100)
[100，
110)
[110，
120)
[120，
130)
[130，
140)
[140，
150]
人数
2
5
6
8
12
6
4
2
那么分数在[100,110)中的频率是(精确到0.01)( )
A．0.18 B．0.47
C．0.50 D．0.38
【解析】 班级总人数：2＋5＋6＋…＋2＝45.
在[100,110)中的人数有8人，其频率为≈0.18.
【答案】 A
5．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
10
11
8
8
6
10
18
9
11
9
则取到号码为奇数的频率是( )
A．0.53 B．0.5
C．0.47 D．0.37
【解析】 利用公式fn(A)＝计算出频率值，取到号码为奇数的频率是＝0.53.
【答案】 A
二、填空题
6．下列说法：①频率是反映事件发生的频率程度，概率是反映事件发生的可能性大小；②百分率是频率，但不是概率；③频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，则概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
其中正确的是________．
【解析】 概率也可以用百分率表示，故②错误．
【答案】 ①③④
7．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次10环，3次9环，1次8环，3次7环，1次脱靶．在这次练习中，这个人至少中8环的频率是________，中9环的频率是________．
【解析】 打靶10次2次10环，3次9环，1次8环，所以至少中8环的频率为＝0.6，中9环3次，所以中9环的频率为＝0.3.
【答案】 0.6 0.3
8．某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数(单位：人)如下：
时间
2005年
2006年
2007年
2008年
出生婴儿数
21 840
23 070
20 094
19 982
出生男婴数
11 453
12 031
10 297
10 242
(1)试计算近几年男婴出生的频率分别为________(精确到0.001)．
(2)该市男婴出生的概率约为________．
【解析】 (1)2005年男婴出生的频率为≈0.524.同理可求得2006年、2007年和2008年男婴出生的频率分别为0.521,0.512,0.513.
(2)该市男婴出生的概率约为0.52.
【答案】 (1)0.524,0.521,0.512,0.513 (2)0.52
三、解答题
9．(1)某厂一批产品的次品率为，问任意抽取其中10件产品是否一定会发现一件次品？为什么？
(2)10件产品中次品率为，问这10件必有一件次品的说法是否正确？为什么？
【解】 (1)不一定，此处次品率即指概率．从概率的统计定义看，当抽取件数相当多时，其中出现次品的件数与抽取总件数之比在附近摆动，是随机事件结果，而不是确定性数字结果，事实上这10件产品中有11种可能：全为正品，有1件次品，2件次品，…，10件次品，本题若改为“可能有一件次品”便是正确的了．
(2)正确，这是确定性数学问题．
10．李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩：
成绩
人数
90分以上
43
80～89分
182
70～79分
260
60～69分
90
50～59分
62
50分以下
8
经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位)：
(1)90分以上；(2)60～69分．
【解】 总人数为43＋182＋260＋90＋62＋8＝645，
∴90分以上的概率为≈0.067，
(2)60～69分的人数为90.
∴60～69分的概率为≈0.140.
11．(2013·武汉高一检测)为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：千克)，并将所得数据分组，画出频率分布直方图(如图3－1－2所示)．
图3－1－2
(1)在下面的表格中填写相应的频率；
分组
频率
[1.00,1.05)
[1.05,1.10)
[1.10,1.15)
[1.15,1.20)
[1.20,1.25)
[1.25,1.30)
(2)估计数据落在[1.15,1.30)中的概率为多少；
(3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数．
【解】 (1)根据频率分布直方图可知，频率＝组距×(频率/组距)，故可得下表：
分组
频率
[1.00,1.05)
0.05
[1.05,1.10)
0.20
[1.10,1.15)
0.28
[1.15,1.20)
0.30
[1.20,1.25)
0.15
[1.25,1.30)
0.02
(2)0.30＋0.15＋0.02＝0.47，所以数据落在[1.15，1.30)中的概率约为0.47.
(3)＝2 000，所以估计该水库中鱼的总条数为2 000条
.
一、选择题
1．从1,2,3，…，9这9个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数，上述事件中，对立事件是
( )
A．① B．②④
C．③ D．①③
【解析】 从1,2,3，…，9这9个数中任取两数，按所取的数的奇偶性有3类结果：一个奇数一个偶数或两个奇数或两个偶数，则①②④不是互斥事件；③中至少有一个是奇数与两个都是偶数不可能同时发生，且必有一个发生，是对立事件．
【答案】 C
2．从装有数十个红球和数十个白球的罐子里任取两个球，下列情况中是互斥而不是对立的两个事件是( )
A．至少有一个红球，至少有一个白球
B．恰有一个红球，都是白球
C．至少有一个红球，都是白球
D．至多有一个红球，都是红球
【答案】 B
3．把语文、数学、物理、化学四本书随机地分给甲、乙、丙、丁四位同学．每人一本，则事件“甲同学分得语文书”与事件“乙同学分得语文书”是( )
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．以上答案都不对
【解析】 若甲同学分得语文书，则乙同学一定不可能分得语文书，反之也一样，故二者不可能同时发生，是互斥事件，同时，当甲未分得语文书时，乙也可能未分得语文书，所以二者不是对立事件．
【答案】 C
4．(2013·西安高一检测)下列三个命题：
(1)A、B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
(2)若A、B、C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；
(3)事件A、B满足P(A)＋P(B)＝1，则A、B是对立事件．
其中错误命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 (1)错，只有当A，B为互斥事件时，公式才成立；(2)错，A＋B＋C为必然事件时，才有P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；(3)错，A，B对立，一定有P(A)＋P(B)＝1，反之则不然．
【答案】 D
5．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是( )
A．0.42 B．0.28
C．0.3 D．0.7
【解析】 设事件A＝“摸出红球”，B＝“摸出白球”，C＝“摸出黑球”，由题可知，A、B、C两两互斥，且C与A∪B互斥又对立，所以P(C)＝1－P(A∪B)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.42－0.28＝0.3.
【答案】 C
二、填空题
6．从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张．事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P(A∪B)＝________(结果用最简分数表示)．
【解析】 一副扑克中有1张红桃K,13张黑桃，事件A与事件B为互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
【答案】
7．若A、B为互斥事件，P(A)＝2P(B)，P(A∪B)＝0.6，则P(A)＝________.
【解析】 由P(A∪B)＝0.6，且A、B互斥得，P(A)＋P(B)＝0.6，∴P(B)＝0.2，P(A)＝0.4.
【答案】 0.4
8.如图3－1－3所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是________．
图3－1－3
【解析】 射手命中圆面Ⅰ为事件A，命中圆环Ⅱ为事件B，命中圆环Ⅲ为事件C，不中靶为事件D，则A、B、C互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.
因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10.
【答案】 0.10
三、解答题
9．战士甲射击一次，问：
(1)若事件A(中靶)的概率为0.95，的概率为多少？
(2)若事件B(中靶环数大于5)的概率为0.7，那么事件C(中靶环数小于6)的概率为多少？
(3)在(1)(2)成立的条件下，事件D(中靶环数大于0且小于6)的概率是多少？
【解】 (1)P()＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.
(2)由题意：B与C互为对立事件，∴P(C)＝1－P(B)＝1－0.7＝0.3.
(3)C＝D∪，∴P(C)＝P(D)＋P()，
∴P(D)＝P(C)－P()＝0.3－0.05＝0.25.
10．据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0、1、2的概率分别为0.4、0.5、0.1，求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率．
【解】 方法一 记“该食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0”为事件A，“该食品企业在一个月内被消费者投诉次数为1”为事件B，“该食品企业在一个月内被消费者投诉次数为2”为事件C，“该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次”为事件D，由题意知事件A、B、C彼此互斥，而事件D包含基本事件A与B，所以P(D)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.5＝0.9.
方法二 设事件C表示“该食品企业在一个月内被消费者投诉次数为2”，“该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次”为事件D，由题意知事件C与D是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.1＝0.9.
11．某射手射击一次射中10环，9环，8环，7环的概率分别是0.24,0.28,0.19,0.16，计算这名射手射击一次．
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率．
【解】 设“射中10环”，“射中9环”，“射中8环”，“射中7环”的事件分别为A、B、C、D，则A、B、C、D是互斥事件，
(1)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52；
(2)P(A∪B∪C∪D)
＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)
＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87.
【答案】 射中10环或9环的概率是0.52，至少射中7环的概率为0.87.
一、选择题
1．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】 该生选报的所有可能情况是{数学和计算机}，{数学和航空模型}，{计算机和航空模型}，所以基本事件数为3个．
【答案】 C
2．一枚硬币连掷2次，恰好出现一次正面的概率是( )
A. B.
C. D．0
【解析】 列举出所有基本事件，找出“只有一次正面”包含的结果．一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)共4个，而只有一次出现正面的包括(正，反)，(反，正)2个，故其概率为＝.
【答案】 A
3．从甲、乙、丙三人中任选两人作为代表去开会，甲被选中的概率为( )
A. B.
C. D．1
【解析】 所有的基本事件为：甲、乙，甲、丙，乙、丙，即基本事件共有三个，甲被选中的事件有两个，故P＝.
【答案】 C
4．从1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率是( )
A B
C D
【解析】 基本事件共有20个，而其中大于40的有：41,42,43,45,51,52,53,54，共8个．故所求概率为＝.故选B.
【答案】 B
5．一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取两次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 因为所有基本事件数为8×8＝64(种)，且这些球大小相同，所以每个球被取到的机会相同，属于古典概型．记事件A＝{取得两个球的编号和不小于15}，则A包含的结果有：(7,8)，(8,7)，(8,8)共3种，所以P(A)＝.
【答案】 D
二、填空题
6．下列试验是古典概型的为________．
①从6名同学中选出4名参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；
②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．
【解析】 ①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，受多方面因素影响．
【答案】 ①②④
7．(2013·重庆高考)若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．
【解析】 甲、乙、丙三人随机地站成一排有(甲乙丙)、(甲丙乙)、(乙甲丙)、(乙丙甲)、(丙甲乙)、(丙乙甲)共6种排法，甲、乙相邻而站有(甲乙丙)、(乙甲丙)、(丙甲乙)、(丙乙甲)共4种排法，由概率计算公式得甲、乙两人相邻而站的概率为＝.
【答案】
8．(2013·合肥高一检测)从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．
【解析】 从四条线段中任取三条有4种取法：(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)．其中能构成三角形的取法有3种：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故所求的概率为.
【答案】
三、解答题
9．从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
【解】 每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．
用A表示“取出的两件中恰有一件次品”，这一事件，所以A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．
因为事件A由4个基本事件组成，所以P(A)＝＝.
所以取出的两件产品中恰有一件次品的概率为.
10．(2013·烟台高一检测)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
【解】 (1)甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示．
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：
(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)(C，F)共9种．
从中选出的两名教师性别相同的结果有：(A，D)(B，D)(C，E)(C，F)共4种，选出的两名教师性别相同的概率为P＝.
(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：
(A，B)(A，C)(A，D)(A，E)(A，F)(B，C)(B，D)(B，E)(B，F)(C，D)(C，E)(C，F)(D，E)(D，F)(E，F)共15种，
从中选出两名教师来自同一学校的结果有：
(A，B)(A，C)(B，C)(D，E)(D，F)(E，F)共6种选出的两名教师来自同一学校的概率为P＝＝.
11．某班数学兴趣小组有男生三名，分别记为a1，a2，a3，女生两名，分别记为b1，b2，现从中任选2名学生去参加校数学竞赛．
(1)写出这种选法的基本事件空间；
(2)求参赛学生中恰有一名男生的概率；
(3)求参赛学生中至少有一名男生的概率．
【解】 (1)从3名男生和2名女生中任选2名学生去参加校数学竞赛，其一切可能的结果组成的基本事件空间为
Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}．Ω由10个基本事件组成．
(2)用A表示“恰有一名参赛学生是男生”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)}．
事件A由6个基本事件组成，故P(A)＝＝0.6.
(3)用B表示“至少有一名参赛学生是男生”这一事件，则B＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)}，事件B由9个基本事件组成，故P(B)＝＝0.9.或B的对立事件为：“参加竞赛的2名学生为女生”，则＝{(b1，b2)}．
故P(B)＝1－P()＝1－＝0.9.
一、选择题
1．在区间[1,3]上任取一数，则这个数大于1.5的概率为( )
A．0.25 B．0.5
C．0.6 D．0.75
【解析】 由题意知，此题是与长度有关的几何概型：
P＝＝0.75.
【答案】 D
图3－3－5
2．如图3－3－5，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为
( )
A B
C D 无法计算
【解析】 由几何概率公式知：＝，
∴S阴＝S矩＝.
【答案】 B
3．在半径为2的球O内任取一点P，则|OP|＞1的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 把问题转化为与体积有关的几何概型求解，∴|OP|＞1的概率为＝.
【答案】 A
4．(2013·大庆高一检测)在区间(0,1)上随机取两个数u、v，求关于x的一元二次方程x2－x＋u＝0有实根的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 u，v∈(0,1)，平面区域为如图所示的正方形OABC区域，方程有实根即v－4u≥0，区域如图，D(，1)．阴影部分面积S＝××1＝.∴有实根的概率可由几何概型得P＝＝.
【答案】 D
5．令a1＝rand( )，则将[0,1]内的均匀随机数转化为[－2，6]内的均匀随机数，需实施的变换为( )
A．a＝a1 * 8 B．a＝a1 * 8＋2
C．a＝a1 * 8－2 D．a＝a1 * 6
【解析】 要产生a～b内的随机数，可用变换rand( ) * (b－a)＋a得到，a＝a1]
【答案】 C
二、填空题
6．已知直线y＝x＋b，b∈[－2,3]，则直线在y轴上的截距大于0的概率是________．
【解析】 直线在y轴上截距范围长度为5，满足条件的截距长度为3 ，故所求概率为.
【答案】
图3－3－6
7．如图3－3－6所示是一个边长为1米的正方形木板，上面画着一个边界不规则的地图，板上的点为雨点打上的痕迹，且雨点打在地图上的概率为，则这个地图的面积为________．
【解析】 雨点落在何处是等可能的，因此由P＝＝，知S地图∶S正方形＝9∶29.∴S地圆＝平方米．
【答案】 平方米
8．(2013·湖北高考)在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.
【解析】 由|x|≤m，得－m≤x≤m.
当m≤2时，由题意得＝，解得m＝2.5，矛盾，舍去．
当2【答案】 3
三、解答题
9．在一个表面积为800 cm2的长方体盒子里装有一只小飞虫，假设小飞虫在某时刻飞到盒壁上某一点的机会均等，现在盒子的某个面上开了两个面积都为50 cm2的小洞．试求这只小飞虫在某时刻能飞出盒子的概率．
【解】 ∵区域D的面积为800 cm2，
区域d的面积为50×2＝100 (cm2)．
∴P＝＝.
∴这个小飞虫在某一时刻能飞出盒子的概率是.
图3－3－7
10．利用随机模拟法近似计算图3－3－7中阴影部分(曲线y＝log3x与x＝3及x轴围成的图形)的面积．
【解】 设事件A：“随机向矩形内投点，所投的点落在阴影部分”．
①利用计算器或计算机产生两组0到1区间的均匀随机数，
x1＝RAND，y1＝RAND.②经过伸缩变换x＝x1(N1，N)，即为概率P(A)的近似值．
设阴影部分的面积为S，正方形的面积为9，由几何概率公式得P(A)＝，所以≈.
所以S≈即为阴影部分面积的近似值．
11．街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm的小圆板，规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在正方形的边上，可重掷一次；若掷在正方形内，需再交5角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上，可获得一元钱，试问：
(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？
(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？
【解】 小圆板中心用O表示，考察O落在正方形ABCD的哪个范围时，能使圆板与塑料板ABCD的边相交接，及O落在哪个范围时能使圆板与塑料板ABCD的顶点相交接．
(1)如图1所示．因为O落在正方形ABCD内任何位置是等可能的，圆板与正方形塑料板ABCD的边相交接是在圆板的中心O到与它靠近的边的距离不超过1时，所以O落在图中阴影部分时，小圆板就能与塑料板ABCD的边相交接．
因此，区域Ω是边长为9 cm的正方形，图中阴影部分表示事件A：“小圆板压在塑料板的边上．”
于是μΩ＝9×9＝81(cm2)，μA＝9×9－7×7＝32(cm2)．故所求概率P(A)＝.
(2)小圆板与正方形的顶点相交接是在中心O与正方形的顶点的距离不超过圆板的半径1时，如图2所示的阴影部分，图中阴影部分表示事件B：“小圆板压在塑料板顶点上”．
于是μΩ＝9×9＝81(cm2)，μB＝π·12＝π(cm2)．故所求的概率P(B)＝.
一、选择题
1．某省在校中学生近视率约为37.4%，某配镜商要到一中学给学生配镜，若已知该校学生总数为600人，则该眼镜商应带眼镜的数目为( )
A．374副 B．224副
C．不少于225副 D．不多于225副
【解析】 根据概率，该校近视生人数应为37.4%×600＝224.4，结合实际情况，眼镜商应带眼镜数不少于225副．
【答案】 C
2．用1,2,3,4四个数字编四位密码(不重复)，则密码恰为连号(1234或4321)的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 基本事件数为24，从左到右或从右到左顺序恰为1,2,3,4的基本事件数为2，所以P(A)＝＝.
【答案】 B
图3－4－3
3．(2013·黄石高一检测)如图3－4－3的矩形，长为5，宽为2.在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗．则我们可以估计出阴影部分的面积为( )
A. B.
C. D.
【解析】 设阴影部分面积为S，则＝，解得S′＝.
【答案】 A
4．从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中，任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率是( )
A. B.
C. D.
【解析】 任取两张，可能的结果有
A
B
C
D
E
A
(A，B)
(A，C)
(A，D)
(A，E)
B
(B，A)
(B，C)
(B，D)
(B，E)
C
(C，A)
(C，B)
(C，D)
(C，E)
D
(D，A)
(D，B)
(D，C)
(D，E)
E
(E，A)
(E，B)
(E，C)
(E，D)
共20种，任取两张字母顺序相邻的可能的结果有(A，B)，(B，A)，(B，C)，(C，B)，(C，D)，(D，C)，(D，E)，(E，D)共8种．
故P＝＝.
【答案】 B
5．在等腰Rt△ABC的斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率( )
A. B.
C. D.
【解析】 如图，在AB上截取AC′＝AC，于是P(AM＜AC)＝＝＝.所以AM的长小于AC的长的概率为.
【答案】 C
二、填空题
6．若x可以在－4≤x≤2的条件下任意取值，则x是负数的概率是________．
【解析】 记事件A为“x是负数”，则A的长度为0－(－4)＝4，整个事件长度为2－(－4)＝6，则P(A)＝＝.
【答案】
7．某人在江边码头上乘船摆渡过江，码头仅可供一艘船靠岸上客，若在半小时内大船靠岸的概率为0.6，汽艇靠岸的概率为0.2，那么此人在半小时内能乘船过江的概率是________．
【解析】 P＝0.6＋0.2＝0.8.
【答案】 0.8
8．从1,2，…，10这十个数字中任意取出两个，假设两个数的和是偶数的概率为p，两个数的积是偶数的概率为q，给出下列说法：①p＋q＝1；②p＝q；③|p－q|≤；④p≤，其中正确的有________．(填序号)
【解析】 从1,2，…，10这十个数字中任取两个，事件“两数和为偶数”与“两数积为偶数”并非对立事件．故p＋q≠1；其中p＝＝，q＝＝，∴p≠q，|p－q|＝＞.
因此，①②③都不正确，只有④是正确的．
【答案】 ④
三、解答题
9．甲乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)；
(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？
(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．
【解】 (1)根据题意得，列举知基本事件的总数为5×5＝25(个)，事件A包含的基本事件数共5个：(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)，由此得到P(A)＝＝.
(2)B与C不是互斥事件．因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意．
(3)这种游戏规则不公平．由(1)知，和为偶数的基本事件数13个：(1,1)、(1,3)、(1,5)、(2,2)、(2,4)、(3,1)，(3,3)、(3,5)、(4,2)、(4,4)、(5,1)、(5,3)、(5,5)．
所以甲赢的概率为，乙赢的概率为，因此这种游戏规则不公平．
10．某购物中心举行庆“五一”回报顾客的超低价购物有礼活动，某人对购物中心交款处排队等候付款的人数及其概率统计如下：
排队人数
0
20
30
40
50
50人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
(1)求至多30人排队的概率；
(2)求至少30人排队的概率．
【解】 (1)记“没有人排队”为事件A，“恰有20人排队”为事件B，“恰有30人排队”为事件C.由题意知A，B，C三个事件彼此互斥．故P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)记“至少30人排队”为事件D，“少于30人排队”为事件A∪B，则事件D与事件A∪B是对立事件，故P(D)＝1－P(A∪B)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.1－0.16＝0.74.
11．在每年的植树时节，某市政府都会发动公务员参加植树活动，林业部门在植树前，为了保证树苗的质量，将在植树前对树苗进行检测，现从同一种树的甲、乙两批树苗中各抽测了10株树苗的高度，量出它们的高度如下(单位：cm)
甲：37,21,31,20,29,19,32,23,25,33
乙：10,30,47,27,46,14,26,10,44,46
(1)用茎叶图表示上述两组数据，并根据茎叶图对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出两个统计结论；
(2)分别将两组中高度高于各自平均数的树苗选出并合在一起组成一个新的样本，从这个新的样本中任取两棵树苗，求这两棵树苗分别来自甲、乙两组的概率．
【解】 (1)茎叶图如图所示．
统计结论：(写出以下任意两个即可)
①在树苗高度上，甲批树苗比乙批树苗整齐．
②甲批树苗的高度大多集中在均值附近，乙批树苗的高度分布较为分散．
③甲批树苗的平均高度小于乙批树苗的平均高度．
④甲批树苗高度的中位数为27 cm，乙批树苗高度的中位数为28.5 cm.
(2)甲＝＝27.
乙＝＝30.
∴甲批树苗中高度高于平均数27 cm的有：37,31,29,32,33共5株．
乙批树苗中高度高于平均数30 cm的有：47,46,44,46共4株．
新的样本中共有9株树苗，从中任取2株的基本事件为：(37,31)，(37,29)，…(37,46)，
(31,29)，…(31,46)，
…
(44,46)，
共8＋7＋6＋…＋2＋1＝36(个)．
其中“一株来自甲批，一株来自乙批”为事件A，包含的基本事件有5×4＝20(个)．由古典概型公式得
P(A)＝＝.
