课件36张PPT。空间几何体的三视图与直观图 空间几何体的表面积、体积 空间中的平行关系 空间中的垂直关系 等价转化思想 课件45张PPT。教师用书独具演示演示结束平面的概念 点 直线 平行四边形 α，β，γ 对角顶点 构成空间几何体的基本元素 各个矩形 相邻两个面 棱和棱 点、线、面 空间中直线与平面、平面与平面
的位置关系 没有 一个 互相垂直 没有 平面概念的理解 从运动观点认识几何体 长方体中基本元素间的位置关系 课时作业（一）课件53张PPT。教师用书独具演示演示结束多面体的有关概念 平面多边形 都在这个平面的同一侧 棱柱的结构特征 互相平行四边形互相平行平行其余各面公共边边数三棱柱四棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′矩形 底面是 棱长都 相等 直平行六面体棱锥的结构特征 多边形有一个公共顶点多边形公共顶点公共边公共顶点三棱锥四棱锥S－ABCD棱台的结构特征 平行于棱锥底面截面底面公共边侧面与上(下)底面三棱台四棱台ABCD－A′B′C′D′棱柱、棱锥、棱台的概念 对多面体的识别和判断 几何体的计算问题 课时作业（二）课件53张PPT。教师用书独具演示演示结束圆柱 矩形一边旋转轴垂直于轴平行于轴不垂直于轴圆柱O′O圆锥 一直角边旋转轴垂直于轴圆面曲面圆锥SO斜圆台 平行于圆锥底面底面和截面垂直于底边的腰旋转轴垂直于轴不垂直于轴圆台O′O球 半圆的直径半圆面圆心半径直径球O球心 半径 直径 组合体 基本几何体 拼接 截去 挖去 旋转体结构特征 组合体的结构特征 有关几何体的计算问题 课时作业（三）课件56张PPT。教师用书独具演示演示结束投影的概念 不透明 影子 光线 留下影子的屏幕 一点 一点 平行 投影线 斜二测画法 45o 135o 水平平面x′轴 或y′轴的线段 保持原长度不变 一半不变 中心投影与平行投影 空间几何体的直观图的画法 由直观图还原平面图形 课时作业（四）课件50张PPT。教师用书独具演示演示结束三视图 垂直 点 直线 一部分 主、俯 主、左 俯、左 右边 下边 基本几何体的三视图 组合体的三视图 由三视图还原空间几何体 课时作业（五）课件48张PPT。教师用书独具演示演示结束棱柱、棱锥、棱台的表面积 和 面积 圆柱、圆锥、圆台的表面积 球的表面积 4πR2 求棱柱、棱锥、棱台的表面积 求圆柱、圆锥、圆台的表面积 球的表面积问题 课时作业（六）课件53张PPT。教师用书独具演示演示结束柱体、锥体、台体与球的体积 夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等 等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等 求柱体的体积 求锥体的体积 求台体的体积 求球的体积 课时作业（七）课件61张PPT。教师用书独具演示演示结束平面的基本性质 两点所有点在平面内经过直线l?α有且只有一个确定有一个公共点有且只有直线外 相交直线 平行直线 点、直线、平面之间的关系 A∈l A?l A∈α A?α l?α l?α α∩β＝l 几个点 几条直线 不相交 不平行 三种语言的转换 点线共面问题 点共线与线共点问题 课时作业（八）课件64张PPT。教师用书独具演示演示结束平行公理 不相交 有且只有 互相平行 a∥c 等角定理 平行 方向相同 直线和平面的位置关系 直线与平面平行的判定及性质 性质4与等角定理的应用 直线与平面的位置关系 直线与平面平行的判定 线面平行的性质定理的应用 课时作业（九）课件62张PPT。教师用书独具演示演示结束两个平面的位置关系 α∥β0个α∩β＝l无数个点(共线)平面与平面平行的判定 相交 a∩b＝P 平面与平面平行的性质 平行 β∩γ＝b 平行 对应线段成比例 平面与平面间的位置关系 平面与平面平行的判定 面面平行的性质定理的应用 课时作业（十）课件65张PPT。教师用书独具演示演示结束直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义 经过平移后 直角 任何直线都垂 直 AB⊥α垂直垂线垂面垂足垂线段距离任意一条直线和平面垂直的判定与性质 两条相交 平行直线 垂直于同一个平面 任意 直线和平面垂直的定义 线面垂直的判定 线面垂直的性质及应用 课时作业（十一）课件59张PPT。教师用书独具演示演示结束平面与平面的垂直 交线 垂直 互相垂直 垂线 平面与平面垂直的性质定理 一个平面内 交线 垂直 a?α a⊥l 平面与平面垂直判定定理的应用 平面与平面垂直的性质定理的应用 线线、线面、面面垂直的综合应用 课时作业（十二）综合检测(一)
第一章 立体几何初步
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2013·嘉峪关高一检测)观察图1中四个几何体，其中判断正确的是( )
(1) (2) (3) (4)
图1
A．(1)是棱台 B．(2)是圆台
C．(3)是棱锥 D．(4)不是棱柱
【解析】 结合柱、锥、台、球的定义可知(3)是棱锥，(4)是棱柱，故选C.
【答案】 C
2．下列图2几何体中，主视图、左视图、俯视图都相同的几何体的序号是
( )
(1) (2) (3) (4)
图2
A．(1)(2) B．(2)(3)
C．(3)(4) D．(1)(4)
【解析】 正方体的三视图都相同都是正方形，球的三视图都相同都为圆面．
【答案】 D
图3
3．(2013·吉林高一检测)如图3，α∩β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，则平面ABC与平面β的交线是( )
A．直线AC
B．直线AB
C．直线CD
D．直线BC
【解析】 D∈l，l?β，∴D∈β，
又C∈β，∴CD?β；
同理，CD?平面ABC，
∴平面ABC∩平面β＝CD.故选C.
【答案】 C
4．如果两个球的体积之比为8∶27，那么两个球的表面积之比为( )
A．8∶27 B．2∶3
C．4∶9 D．2∶9
【解析】 设两个球的半径分别为r1，r2，则由题意可知V1∶V2＝8∶27，∴r1∶r2＝2∶3.
∴S表1∶S表2＝4∶9.
【答案】 C
5．若直线l不平行于平面α，且l?α，则( )
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
【解析】 由题意知，直线l与平面α相交，则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B是正确的．
【答案】 B
6．(2013·湖南高考)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )
A. B．1
C. D.
【解析】 由于该正方体的俯视图是面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，因此该几何体的正视图是一个长为，宽为1的矩形，其面积为.
【答案】 D
图5
7．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图5所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面积是( )
A. B．2
C. D.
【解析】 依据斜二测画法的原则可得，
BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝2×＝，
由图易得AO⊥BC，
∴S＝×2×＝，故选A.
【答案】 A
8．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )
A．120° B．150°
C．180° D．240°
【解析】 设圆锥底半径为R，母线长为L.
由题意，πR2＋πRL＝3(πR2)，∴L＝2R，
圆锥的底面圆周长l＝2πR，
展开成扇形后，设扇形圆心角为n，
扇形的弧长l＝＝，
∴2πR＝，∴n＝180°，
即展开后扇形的圆心角为180°.
【答案】 C
图6
9．如图6所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
【解析】 梯形ABCD中AD∥BC，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，AD＝AB，
∴∠ADB＝45°，∠BDC＝90°.
∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴CD⊥平面ABD，即CD⊥AB，又AD⊥AB，CD∩AD＝D，
∴AB⊥平面ADC，从而平面ADC⊥平面ABC.
【答案】 D
10．(2013·浏阳高一检测)设a，b，c是空间的三条直线，给出以下五个命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c；其中正确的命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 借助正方体中的线线关系易知①②③④全错；由公理4知⑤正确．
【答案】 B
二、填空题(本小题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
11．(2012·辽宁高考)一个几何体的三视图如图7所示，则该几何体的表面积为________．
图7
【解析】 根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱，所以S＝2×(4＋3＋12)＋2π－2π＝38.
【答案】 38
12．(2013·课标全国Ⅱ卷)已知正四棱锥O—ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．
【解析】 V四棱锥O—ABCD＝××h＝，得h＝，
∴OA2＝h2＋2＝＋＝6.
∴S球＝4πOA2＝24π.
【答案】 24π
13．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α⊥β；⑤α∥β.
(1)当满足条件________时，有m∥β；
(2)当满足条件________时，有m⊥β.
【解析】 (1)当m?α，且α∥β时，有m∥β，故填③⑤.
(2)当m⊥α，且α∥β时，有m⊥β，故填②⑤.
【答案】 ③⑤ ②⑤
14．在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．
【解析】 由直四棱柱可知CC1⊥面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1，要使B1D1⊥A1C，只要B1D1⊥平面A1CC1，所以只要B1D1⊥A1C1，还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形，正方形等条件．
【答案】 B1D1⊥A1C1(答案不唯一)
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)(2013·郑州高一检测)如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是4 cm与2 cm，如图9所示，俯视图是一个边长为4 cm的正方形．
(1)求该几何体的表面积；
(2)求该几何体的外接球的体积．
图9
【解】 (1)由题意可知，该几何体是长方体，
底面是正方形，边长是4，高是2，
因此该几何体的表面积是：2×4×4＋4×4×2＝64(cm2)，
即几何体的表面积是64 cm2.
(2)由长方体与球的性质可得，长方体的体对角线是球的直径，记长方体的体对角线为d，球的半径是r，
d＝＝＝6(cm)，
所以球的半径为r＝3(cm)．
因此球的体积V＝πr3＝×27π＝36π(cm3)，
所以外接球的体积是36π cm3.
图10
16．(本小题满分12分)如图10，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝2，BC＝6.求证：平面PBD⊥平面PAC.
【证明】 ∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥PA.
又tan∠ABD＝＝，tan∠BAC＝＝，
∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，
∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，
∴BD⊥平面PAC.
又∵BD?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC.
17．(本小题满分12分)如图11，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、P、Q分别是BC、C1D1、AD1、BD的中点．
图11
(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；
(2)求证：AC⊥EF.
【证明】 (1)如图所示，连接CD1.
∵P、Q分别为AD1、AC的中点．
∴PQ∥CD1.
而CD1?平面DCC1D1，PQ?平面DCC1D1，
∴PQ∥平面DCC1D1.
(2)如图，取CD中点H，连接EH，FH.
∵F、H分别是C1D1、CD的中点，在平行四边形CDD1C1中，FH綊D1D.
而D1D⊥平面ABCD，∴FH⊥平面ABCD，而AC?平面ABCD，∴AC⊥FH.
又E、H分别为BC、CD的中点，∴EH∥DB.而AC⊥BD，∴AC⊥EH.
因为EH、FH是平面FEH内的两条相交直线，所以AC⊥平面EFH，
而EF?平面EFH，所以AC⊥EF.
18．(本小题满分14分)(2012·北京高考)如图12中的(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．
图12
(1)求证：DE∥平面A1CB.
(2)求证：A1F⊥BE.
(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．
【解】 (1)因为D，E分别为AC，AB的中点，
所以DE∥BC.
又因为DE?平面A1CB，
所以DE∥平面A1CB.
(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，
所以DE⊥AC.
所以DE⊥A1D，DE⊥CD.
所以DE⊥平面A1DC.
而A1F?平面A1DC，
所以DE⊥A1F.
又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，
所以A1F⊥平面BCDE，又BE?平面BCDE
所以A1F⊥BE.
(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：
如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.
又因为DE∥BC，
所以DE∥PQ.
所以平面DEQ即为平面DEP.
由(2)知，DE⊥平面A1DC，
所以DE⊥A1C.
又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，
所以A1C⊥DP.又DP∩DE＝D
所以A1C⊥平面DEP.
从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．水平放置的平面是大小确定的平行四边形
B．平面ABCD就是四边形ABCD的四条边围起来的部分
C．100个平面重叠在一起比10个平面重叠在一起厚
D．通常把平行四边形的锐角画成45°，一般根据需要也可画成90°，60°，30°，…
【解析】 A平面不是平行四边形；B平面是无限延伸的；C平面没有厚度，故A、B、C都不对．
【答案】 D
2．如图1－1－4，平面α，β，γ可将空间分成( )
图1－1－4
A．五部分 B．六部分
C．七部分 D．八部分
【解析】 由平面α，β，γ的位置关系可知，三平面将空间分成六部分，故选B.
【答案】 B
3．下图表示两个相交平面的画法中正确的是( )
【解析】 两个平面相交一定要将公共直线作为交线，并且看不见的部分要用虚线．
【答案】 D
4．(2013·厦门高一检测)若空间三个平面两两相交，则它们的交线条数是
( )
A．1或2 B．2或3
C．1或3 D．1或2或3
【解析】 若三个平面经过同一条直线，则有1条交线；若三个平面不过同一条直线，则有3条交线．
【答案】 C
5．下面的图形可以围成正方体的是( )
【解析】 以其中的一个面为正方体的底面，分别对折，易知C可以围成正方体．
【答案】 C
二、填空题
6．下列说法：
①长方体是由六个平面围成的几何体；
②长方体可以看作一个矩形ABCD(水平放置)上各点沿铅垂线方向向上移动相同的距离到矩形A′B′C′D′所形成的几何体；
③长方体一个面上任一点到对面的距离相等．
其中正确命题的序号是________．
【解析】 ①错，平面和矩形是有区别的．②③正确．
【答案】 ②③
图1－1－5
7．在如图1－1－5所示的长方体ABCD－A′B′C′D′中，互相平行的平面共有________对，与A′A垂直的平面是________．
【解析】 面ABCD与面A′B′C′D′平行，面ABB′A′与面CDD′C′平行，面ADD′A′与面BCC′B′平行，共3对．
与AA′垂直的平面是面ABCD，面A′B′C′D′.
【答案】 3 面ABCD、面A′B′C′D′
图1－1－6
8．一个正方体表面的一种展开图如图1－1－6所示，图中的4条线段AB，CD，EF和GH在原正方体中不在同一平面内的有________对．
【解析】 将展开图恢复为正方体，如图所示，则有AB与CD，AB与GH，EF与GH不在同一平面内．
【答案】 3
三、解答题
图1－1－7
9．如图1－1－7所示，长方体ABCD－A1B1C1D1可以看成是由哪些面进行怎样的移动而得到的？
【解】 ①将矩形ABCD上各点向上平移相同距离到矩形A1B1C1D1处得到长方体ABCD－A1B1C1D1.
②将矩形A1B1C1D1上各点向下平移相同距离到矩形ABCD处得到长方体ABCD－A1B1C1D1.
③将矩形ADD1A1上各点向右平移相同距离到矩形BCC1B1处得到长方体ABCD－A1B1C1D1.
④将矩形BCC1B1上各点向左平移相同距离到矩形ADD1A1处得到长方体ABCD－A1B1C1D1.
⑤将矩形ABB1A1上各点向后平移相同距离到矩形DCC1D1处得到长方体ABCD－A1B1C1D1.
⑥将矩形DCC1D1上各点向前平移相同距离到矩形ABB1A1处得到长方体ABCD－A1B1C1D1.
11．试指出下列各几何体的基本元素(如图1－1－8)：
(1) (2) (3) (4)
图1－1－8
【解】 (1)中几何体有6个顶点，12条棱和8个三角形面；
(2)中几何体有12个顶点，18条棱和8个面；
(3)中几何体有6个顶点，10条棱和6个面；
(4)中几何体有2条曲线，3个面(2个圆面和1个曲面)．
10.
图1－1－9
如图1－1－9是边长为1 m的正方体，有一蜘蛛潜伏在A处，B处有一小虫被蜘蛛网粘住，请制作出实物模型，将正方体剪开，描述蜘蛛爬行的最短路线．
【解】
制作实物模型(略)．通过正方体的展开图(如图所示)．
可以发现，AB间的最短距离为A、B两点间的线段的长，为＝.由展开图可以发现，C点为其中一条棱的中点．
爬行的最短路线如图(1)～(6)所示．
一、选择题
1．a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是( )
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面或相交
【解析】 如图(1)，(2)，(3)所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交．
【答案】 D
2．下列说法中正确的是( )
A．如果两个平面α、β只有一条公共直线a，就说平面α、β相交，并记作α∩β＝a
B．两平面α、β有一个公共点A，就说α、β相交于过A点的任意一条直线
C．两平面α、β有一个公共点A，就说α、β相交于A点，并记作α∩β＝A
D．两平面ABC与DBC相交于线段BC
【解析】 B不正确，若A∈α∩β，则α，β相交于过A点的一条直线；同理C不正确；D不正确，两个平面相交，其交线为直线而非线段．
【答案】 A
3．(2013·威海高一检测)平面α与β平行的条件可能是( )
A．α内有无穷多条直线与β平行
B．直线a∥α，a∥β
C．直线a?α，直线b?β，且a∥β，b∥α
D．α内的任何直线都与β平行
【解析】
如图①，α内可有无数条直线与β平行，但α与β相交．
如图②，a∥α，a∥β，但α与β相交．
如图③，a?α，b?β，a∥β，b∥α，但α与β相交．故选D.
【答案】 D
4．(2013·德州高一检测)设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，所有的动点C( )
A．不共面
B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．无论点A、B如何移动都共面
【解析】 无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．
【答案】 D
5．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．可能重合
【解析】 若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．
【答案】 C
二、填空题
6．过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．
【解析】 因为过A1，C1，B三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为A1C1，与底面ABCD的交线为l，由于正方体的两底面互相平行，则由面面平行的性质定理知l∥A1C1.
【答案】 l∥A1C1
7．过平面外两点作该平面的平行平面，可以作平面的个数是________．
【解析】 当这两点的连线不与平面平行时，过这两点不存在与已知平面平行的平面．当这两点的连线与已知平面平行时，能作一个平面与已知平面平行，故填0或1.
【答案】 0或1
图1－2－21
8．如图1－2－21，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则＝________.
【解析】 由平面α∥平面ABC，
得AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′，
由等角定理得∠ABC＝∠A′B′C′，
∠BCA＝∠B′C′A，∠CAB＝∠C′A′B′，
从而△ABC∽△A′B′C′，△PAB∽△PA′B′，
＝()2＝()2＝.
【答案】
三、解答题
9．试画图说明三个平面可把空间分成几个部分？
【解】 三个平面可把空间分成4(如图①)、6(如图②③)、7(如图④)或8(如图⑤)个部分．
10．(2013·嘉峪关高一检测)如图1－2－22，平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，点E，F分别在线段AB与CD上，且＝，求证；EF∥平面β.
图1－2－22
【证明】 (1)若直线AB和CD共面，
∵α∥β，平面ABDC与α，β分别交于AC，BD两直线，
∴AC∥BD.又∵＝，
∴EF∥AC∥BD，∴EF∥平面β.
(2)若AB与CD异面，连接BC并在BC上取一点G，使得＝，则在△BAC中，EG∥AC，AC?平面α，
∴EG∥α，
又∵α∥β，∴EG∥β.
同理可得：GF∥BD，而BD?β.
∴GF∥β，
∵EG∩GF＝G，∴平面EGF∥β.
又∵EF?平面EGF，∴EF∥β.
综合(1)(2)得EF∥β.
图1－2－23
11．如图1－2－23所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1.
【证明】 由棱柱性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC，
又D，E分别为BC，B1C1的中点，
所以C1E∥DB，C1E＝DB，
则四边形C1DBE为平行四边形，
因此EB∥C1D，
又C1D?平面ADC1，
EB?平面ADC1，
所以EB∥平面ADC1.
连接DE，同理，EB1∥BD，EB1＝BD，
所以四边形EDBB1为平行四边形，
则ED∥B1B，ED＝B1B.
因为B1B∥A1A，B1B＝A1A，
所以ED∥A1A，ED＝A1A，
则四边形EDAA1为平行四边形，
所以A1E∥AD，
又A1E?平面ADC1，AD?平面ADC1，
所以A1E∥平面ADC1.
由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，
A1E?平面A1EB，EB?平面A1EB，且A1E∩EB＝E，
所以平面A1EB∥平面ADC1.
一、选择题
1．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是( )
①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；
④正六边形的两条边．
A．①③ B．②
C．②④ D．①②④
【解析】 由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面．对于②④图形中的两边不一定是相交直线，故该直线与它们所在的平面不一定垂直．
【答案】 A
图1－2－28
2．如图1－2－28所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
【解析】 ∵??BC⊥面PAC?BC⊥PC，
∴直角三角形有△PAB，△PAC，△ABC，△PBC，故选A.
【答案】 A
3．(2013·德州高一检测)空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是( )
A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交
【解析】 取BD的中点E，连接AE，CE.
可证BD⊥AE，BD⊥CE，
而AE∩CE＝E，
即得BD⊥平面AEC.
得BD⊥AC，故选C.
【答案】 C
4．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；
④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.
其中真命题的序号是( )
A．①② B．②③
C．①④ D．③④
【解析】 对于①，由基本性质4“平行于同一直线的两条直线互相平行”可知，①正确；对于②，如长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB⊥AD，CD⊥AD，此时AB平行于CD，因此②不正确．对于③，如当平面α∥γ时，平面α内的任意两条直线a，b都平行于平面γ，显然此时直线a，b可能相交，因此③不正确．对于④，由“垂直于同一平面的两条直线平行”可知其正确性．综上所述，其中真命题的序号是①④.
【答案】 C
5．(2013·汕头高一检测)已知三条相交于点P的线段PA，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，则垂足H是三角形ABC的( )
A．外心 B．内心
C．垂心 D．重心
【解析】 如图，∵PA、PB、PC两两垂直，∴PA⊥平面PBC，∴PA⊥BC.
又BC⊥PH，PA∩PH＝P，
∴BC⊥平面PAH，
∴BC⊥AH.
同理AB⊥CH，AC⊥BH.
∴点H为△ABC的垂心．
【答案】 C
二、填空题
图1－2－29
6．如图1－2－29所示：直角△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．则直线SD与平面ABC的位置关系为________．
【解析】 ∵SA＝SC，点D为斜边AC的中点，
∴SD⊥AC.
连接BD，在Rt△ABC中，则AD＝DC＝BD，
∴△ADS≌△BDS，
∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，
∴SD⊥平面ABC.
【答案】 垂直
7．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形一定是________．
【解析】 如图，PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥PA，又BD⊥PC，PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.
AC?平面PAC，∴BD⊥AC.
∴ABCD为菱形．
【答案】 菱形
8．设α表示平面，a，b表示直线．
①a⊥α，a∥b?b⊥α；②a⊥α，a⊥b?b∥α；
③a⊥α，b⊥α?a∥b.
上述说法中正确的序号是________．
【解析】 ①正确；②中b与α可能平行，也可能在α内，故不正确；③易知正确．
【解析】 ①③
三、解答题
图1－2－30
9．(2013·临沂高一检测)如图1－2－30，已知△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC于D，求证：AD⊥平面SBC.
【证明】 ∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.
又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.
又AC∩SA＝A，∴BC⊥平面SAC.
∵AD?平面SAC，∴BC⊥AD.
又SC⊥AD，SC∩BC＝C，∴AD⊥平面SBC.
10．(2013·广东高考)如图(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图(2)所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝.
(1) (2)
图1－2－31
(1)证明：DE∥平面BCF；
(2)证明：CF⊥平面ABF；
(3)当AD＝时，求三棱锥F－DEG的体积VF－DEG.
【解】 (1)法一 在折叠后的图形中，因为AB＝AC，AD＝AE，所以＝，所以DE∥BC.
因为DE?平面BCF，BC?平面BCF，
所以DE∥平面BCF.
法二 在折叠前的图形中，因为AB＝AC，AD＝AE，
所以＝，所以DE∥BC，即DG∥BF，EG∥CF.
在折叠后的图形中，仍有DG∥BF，EG∥CF.
又因为DG?平面BCF，BF?平面BCF，
所以DG∥平面BCF，同理可证EG∥平面BCF.
又DG∩EG＝G，DG?平面DEG，EG?平面DEG，
故平面DEG∥平面BCF.
又DE?平面DEG，所以DE∥平面BCF.
(2)证明：在折叠前的图形中，因为△ABC为等边三角形，BF＝CF，
所以AF⊥BC，则在折叠后的图形中，AF⊥BF，AF⊥CF.
又BF＝CF＝，BC＝，
所以BC2＝BF2＋CF2，所以BF⊥CF.
又BF∩AF＝F，BF?平面ABF，AF?平面ABF，
所以CF⊥平面ABF.
(3)由(1)知，平面DEG∥平面BCF，
由(2)知AF⊥BF，AF⊥CF，
又BF∩CF＝F，所以AF⊥平面BCF，
所以AF⊥平面DEG，即GF⊥平面DEG.
在折叠前的图形中，AB＝1，BF＝CF＝，AF＝.
由AD＝知＝，又DG∥BF，
所以＝＝＝，
所以DG＝EG＝×＝，AG＝×＝，
所以FG＝AF－AG＝.
故三棱锥F－DEG的体积为V三棱锥F－DEG＝S△DEG·FG＝××2×＝.
图1－2－32
11．如图1－2－32，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，问BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，并说明理由．
【解】 假设存在点Q，使得PQ⊥QD.连接AQ.
由已知PA⊥平面ABCD，且DQ?平面ABCD，
∴PA⊥DQ.
又∵PQ⊥DQ，且PQ∩PA＝P，PQ，PA?平面PAQ，
∴DQ⊥平面PAQ.
∵AQ?平面PAQ，∴AQ⊥DQ.
设BQ＝x，则CQ＝a－x，AQ2＝x2＋1，DQ2＝(a－x)2＋1.
∵AQ2＋DQ2＝AD2，∴x2＋1＋(a－x)2＋1＝a2，
即x2－ax＋1＝0(*)．
方程(*)的判别式Δ＝a2－4.
∵a>0，
∴当Δ<0，即0
当Δ＝0，即a＝2时，方程(*)有唯一实根，此时x＝1；
当Δ>0，即a>2时，方程(*)有两个不等实根，设两个实根分别为x1，x2.由于x1＋x2＝a>0，x1x2＝1>0，
则这两个实根均为正数．
因此，当0当a＝2时，BC边上存在唯一一点Q(即BC中点)，使PQ⊥QD；
当a>2时，BC边上存在不同的两点Q，使PQ⊥QD.
一、选择题
1．(2013·郑州高一检测)空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有( )
A．平面ABC⊥平面ADC
B．平面ABC⊥平面ADB
C．平面ABC⊥平面DBC
D．平面ADC⊥平面DBC
【解析】
【答案】 D
2．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图1－2－41)．图中互相垂直的平面有( )
图1－2－41
A．1对 B．2对
C．3对 D．5对
【解析】 ∵DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA＝A，
∴DA⊥平面PAB，同样BC⊥平面PAB，
又易知AB⊥平面PAD，
∴DC⊥平面PAD.
∴平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．
【答案】 D
3．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则( )
A．直线a必垂直于平面β
B．直线b必垂直于平面α
C．直线a不一定垂直于平面β
D．过a的平面与过b的平面垂直
【解析】 当b＝α∩β时，必有a⊥β，当b不是α与β的交线时，直线a不一定垂直于平面β.
【答案】 C
4．(2013·安阳高一检测)已知平面α、β和直线m、l，则下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β
B．若α∩β＝m，l?α，l⊥m，则l⊥β
C．若α⊥β，l?α，则l⊥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，l?α，l⊥m，则l⊥β
【解析】 根据面面垂直的性质定理逐一判断．选项A缺少了条件：l?α；选项B缺少了条件：α⊥β；选项C缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件，故选D.
【答案】 D
5．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( )
A．0个 B．1个
C．无数个 D．1个或无数个
【解析】 如果平面内一点与平面外一点的连线与平面垂直，则可以作无数个平面与已知平面垂直，如果两点连线与已知平面不垂直，则只能作一个平面与已知平面垂直．
【答案】 D
二、填空题
6．(2013·临沂高一检测)下列四个命题中，正确的序号有________．
①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；
②α∥β，β∥γ，则α∥γ；
③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ；
④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ.
【解析】 ③④不正确，如图所示，α⊥β，γ⊥β，但α，γ相交且不垂直．
【答案】 ①②
7．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．
【解析】 ∵α⊥β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，∴n⊥α，
又m⊥α，∴m∥n.
【答案】 平行
8．如图1－2－42所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________．
图1－2－42
【解析】 取CD的中点G，连接MG，NG.
因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝.
因为平面ABCD⊥平面DCEF，
所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG，所以MN＝＝.
【答案】
三、解答题
9．如图1－2－43，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a?β，a⊥AB.求证：a∥l.
图1－2－43
【证明】 因为EA⊥α，α∩β＝l，即l?α，所以l⊥EA.同理l⊥EB，又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.
因为EB⊥β，a?β，所以EB⊥a，
又a⊥AB，EB∩AB＝B，
所以a⊥平面EAB.
因此，a∥l.
10．如图1－2－44所示，已知：α⊥β，α∩β＝l，AB?α，AB⊥l，BC?β，BC⊥DE.求证：AC⊥DE.
图1－2－44
【证明】 ∵α⊥β，α∩β＝l，AB?α，AB⊥l，∴AB⊥β.
又DE?β，故AB⊥DE.
又BC⊥DE，AB∩BC＝B，
故DE⊥平面ABC，又AC?平面ABC，
故DE⊥AC.
图1－2－45
11．(2013·威海高一检测)如图1－2－45：三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△ACP是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.
【证明】 ∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，
∴PA⊥平面ABC.又BC?平面ABC，
∴PA⊥BC.
又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB?平面PAB，PA?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB.又BC?平面PBC，
∴平面PAB⊥平面PBC.
一、选择题
1．棱柱的侧面都是( )
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．矩形
【解析】 由棱柱的性质可知，棱柱的侧面都是四边形．
【答案】 B
2．棱锥的侧面和底面可以都是( )
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
【解析】 三棱锥的侧面和底面均是三角形．
【答案】 A
3．四棱柱有几条侧棱，几个顶点( )
A．四条侧棱、四个顶点 B．八条侧棱、四个顶点
C．四条侧棱、八个顶点 D．六条侧棱、八个顶点
【解析】 四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得)．
【答案】 C
图1－1－17
4．如图1－1－17，能推断这个几何体可能是三棱台的是( )
A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
【解析】 由于棱台是由平行于底面的平面截棱锥得到的几何体，所以要使结论成立，只需＝＝便可．
经验证C选项正确．
【答案】 C
5．(2013·郑州高一检测)观察如图1－1－18的四个几何体，其中判断不正确的是( )
图1－1－18
A．①是棱柱 B．②不是棱锥
C．③不是棱锥 D．④是棱台
【解析】 结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误．
【答案】 B
二、填空题
图1－1－19
6．在如图1－1－19所示的长方体中，连接OA，OB，OD和OC所得的几何体是________．
【解析】 此几何体由△OAB，△OAD，△ODC，△OBC和正方形ABCD围成，是四棱锥．
【答案】 四棱锥
7．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．
【解析】 面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．
【答案】 5 6 9
8．用6根长度相等的木棒，最多可以搭成______个三角形．
【解析】 用三根木棒，摆成三角形，用另外3根木棒，分别从三角形的三个顶点向上搭起，搭成一个三棱锥，共4个三角形．
【答案】 4
三、解答题
9．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：
(1)由6个平行四边形围成的几何体；
(2)由7个面围成，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；
(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．
【解】 (1)这是一个上、下底面是平行四边形，四个侧面也是平行四边形的四棱柱．
(2)这是一个六棱锥，其中六边形面是底，其余的三角形面是侧面．
(3)这是一个三棱台，其中相似的两个三角形面是底面，其余三个梯形面是侧面．
10．如图1－1－20，在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.
问：(1)依据题意知该几何体是什么几何体？
(2)这个几何体有几个面构成，每个面的三角形是什么三角形？
图1－1－20
【解】 (1)三棱锥．
(2)这个几何体由四个面构成，即面DEF，面DFP，面DEP，面EFP.由平面几何知识可知DE＝DF，∠DPE＝∠EPF＝∠DPF＝90°，所以△DEF为等腰三角形，△DFP、△DEP为直角三角形，△EFP为等腰直角三角形．
11．如图1－1－21，在透明塑料制成的长方体ABCD—A1B1C1D1容器中灌进一些水，将容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，水的形状形成如下图(1)(2)(3)三种形状．(阴影部分)
请你说出这三种形状分别是什么名称，并指出其底面．
图1－1－21
【解】 (1)是四棱柱，底面是四边形EFGH和四边形ABCD；(2)是四棱柱，底面是四边形ABFE和四边形DCGH；(3)是三棱柱，底面是△EBF和△HCG.
一、选择题
1．(2013·兰州高一检测)下列几何体是台体的是( )
A B C D
【解析】 台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面与圆锥底面不平行．C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确．
【答案】 D
2．圆柱的母线长为10，则其高等于( )
A．5 B．10
C．20 D．不确定
【解析】 圆柱的母线长和其高相等．
【答案】 B
3．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是
( )
A．圆锥 B．圆柱
C．球 D．棱柱
【解析】 用一个平面去截圆锥、圆柱、球均可以得到圆面，但截棱柱一定不会产生圆面．
【答案】 D
图1－1－28
4．如图1－1－28的组合体的结构特征是( )
A．一个棱柱中截去一个棱柱
B．一个棱柱中截去一个圆柱
C．一个棱柱中截去一个棱锥
D．一个棱柱中截去一个棱台
【解析】 该组合体的结构特征是一个棱柱中截去一个棱锥．
【答案】 C
5．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是( )
A．圆柱 B．圆锥
C．圆台 D．两个圆锥
【解析】 连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥．
【答案】 D
二、填空题
6．如图1－1－29所示的蒙古包可以看作是由________和________构成的几何体．
图1－1－29
【解析】 上半部分为圆锥，下半部分为圆柱．
【答案】 圆锥 圆柱
7．给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体，其中说法正确的是________．
【解析】 (1)正确，圆柱的底面是圆面；
(2)正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；
(3)不正确，圆台的母线延长相交于一点；
(4)不正确，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．
【答案】 (1)(2)
8．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________．
【解析】 设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高h＝.
所以由题意可知
·(2r)·h＝r＝8，
∴r2＝8，∴h＝2.
【答案】 2
三、解答题
9．说出下面几何体的结构特征：
(1)某单位的公章 (2)运动器材—空竹
图1－1－30
【解】 (1)由一个半球，一个圆柱和一个圆台组合而成．(2)由两个大圆柱，两个小圆柱和两个小圆台组合而成．
10．(2013·杭州高一检测)一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长．
【解】 (1)如图，过圆台的轴作截面为等腰梯形ABCD，由已知可得上底半径O1A＝2 cm，下底半径OB＝5 cm，且腰长AB＝12 cm，
∴AM＝
＝3(cm)，
即圆台的高为3 cm.
(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l，
则由△SAO1∽△SBO，可得＝，
∴l＝20(cm)，
即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
11．如图1－1－31中(1)，(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的几何体是由哪些基本几何体构成的？
(1) (2)
图1－1－31
【解】 图(1)，(2)的几何图形旋转后形成的图形分别如图(3)，(4)所示，图(1)旋转形成的几何体是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的．图(2)旋转形成的几何体是由一个圆台O1O3(其中挖去一个圆锥O1O2)，一个圆柱O3O4和一个圆锥O4O5组成的．
(3) (4)
一、选择题
1．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是( )
A．直角三角形的直观图仍是直角三角形
B．梯形的直观图是平行四边形
C．正方形的直观图是菱形
D．平行四边形的直观图仍是平行四边形
【解析】 由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确．
【答案】 D
图1－1－38
2．(2013·泉州高一检测)利用斜二测画法画一个水平放置的平行四边形的直观图，得到的直观图是一个边长为1的正方形(如图1－1－38所示)，则原图形的形状是( )
【解析】 直观图中正方形的对角线为，故在平面图形中平行四边形的高为2，只有A项满足条件，故A正确．
【答案】 A
3．已知△ABC，选定的投影面与△ABC所在平面平行，则经过中心投影后得到的△A′B′C′与△ABC( )
A．全等 B．相似
C．不相似 D．以上都不对
【解析】 本题主要考查对中心投影的理解，根据题意画出图形如图所示．由图易得＝＝＝＝，则△ABC∽△A′B′C′.故正确答案为B.
【答案】 B
4．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶1 000的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )
A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm
B．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
C．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm
D．2 cm,0.25 cm,1 cm,0.8 cm
【解析】 由比例尺可知长方体的长、宽、高和锥高分别为2 cm,0.5 cm,1 cm和0.8 cm，再结合直观图的画法可知，直观图中相应尺寸分别为2 cm,0.25 cm,1 cm和0.8 cm.
【答案】 D
5．(2013·威海高一检测)如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个边长为2的正三角形，那么原平面图形的面积是( )
A. B．2
C. D．2
【解析】 如图所示，过△O′B′C′的顶点C′，作C′D′∥y′轴，C′A′⊥x′轴，在△O′C′B′中易知C′A′＝.
又在Rt△C′D′B′中，C′D′＝C′A′＝.
故原平面图形的面积S＝O′B′×2C′D′＝2×＝2.
【答案】 B
二、填空题
图1－1－39
6．如图1－1－39所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长线段是________．
【解析】 画出原图形如图，△ABC为直角三角形，显然，AC边为最长．
【答案】 AC
图1－1－40
7．如图1－1－40所示为一个水平放置的矩形ABCO，在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(4,2)，则用斜二测画法画出的该矩形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
【解析】 直观图如图所示，则O′A′＝B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，故B′到x′轴的距离为.
【答案】
8．(2013·信阳高一检测)已知用斜二测画法，画得的正方形的直观图面积为18，则原正方形的面积为________．
【解析】 如图所示，正方形OABC的直观图O′A′B′C′的面积为18.
S直观图＝O′A′×C′D′.又S正方形＝OC×OA.
∴＝.
又在Rt△O′D′C′中O′C′＝C′D′，即C′D′＝O′C′，
结合平面图与直观图间的关系可知OA＝O′A′，OC＝2O′C′，
∴＝＝＝2.
又S直观图＝18，∴S正方形＝2×18＝72.
【答案】 72
三、解答题
9．画出水平放置的四边形OBCD(如图1－1－41)的直观图．
图1－1－41
【解】 (1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图①所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示．
(2)如图②所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D，使得O′D′＝OD；过E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝EC.
(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．
10．用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定)
【解】 (1)画出六棱锥P－ABCDEF的底面．如图①所示，在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于O.
(2)画相应的x′轴、y′轴和z′轴，三轴相交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°；在图②中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，以O′为中点，在y′轴上取M′N′＝MN，以N′点为中点画B′C′平行于x′轴，并且等于BC；再以M′为中点画E′F′平行于x′轴，并且等于EF；连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′.
(3)画正六棱锥P－ABCDEF的顶点．在O′z′轴上取点P′，使P′O′＝PO.
(4)成图．连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并进行整理，便得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′—A′B′C′D′E′F′.如图③所示．
图1－1－42
11．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图1－1－42所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求原平面图形的面积．
【解】 过A作AE⊥BC，垂足为E，
又∵DC⊥BC且AD∥BC，
∴四边形ADCE是矩形，
∴EC＝AD＝1，由∠ABC＝45°，AB＝AD＝1知BE＝，
∴原平面图形是梯形且上下两底边长分别为1和1＋，高为2，∴原平面图形的面积为×(1＋1＋)×2＝2＋.
一、选择题
1．一条直线在平面上的正投影是( )
A．直线 B．点
C．线段 D．直线或点
【解析】 当直线与平面垂直时，其正投影为点，其他位置关系时的正投影均为直线．
【答案】 D
2．已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体，其三视图如图1－1－54所示，则这个组合体的上、下两部分分别是( )
图1－1－54
A．上部是一个圆锥，下部是一个圆柱
B．上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱
C．上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱
D．上部是一个三棱锥，下部是一个圆柱
【解析】 由几何体的三视图可知，该组合体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱．
【答案】 A
3．如图1－1－55是一个正四棱锥，它的俯视图是( )
图1－1－55
【解析】 由三视图的俯视图，易知D为正四棱锥的俯视图．故选D.
【答案】 D
4．(2013·济南高一检测)下列图1－1－56几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )
图1－1－56
A．①② B．①③
C．①④ D．②④
【解析】 ①的三个视图都是相同的，都是正方形；②的主视图与左视图相同，都是等腰三角形，俯视图不同；③的三个视图各不相同；④的主视图与左视图相同，都是等腰三角形，俯视图不同．故选D.
【答案】 D
5．(2012·湖南高考)某几何体的主(正)视图和左(侧)视图均如图1－1－57所示，则该几何体的俯视图不可能是( )
图1－1－57
【解析】 由于该几何体的主视图和左视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是D.
【答案】 D
二、填空题
图1－1－58
6．太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一个皮球上，皮球在地面上的投影长是10(如图1－1－58)，则皮球的直径是________．
【解析】 设球半径为R，由题意得DC＝2R，DE＝10，∠CED＝60°，
∴DC＝DEsin 60°＝15.
【答案】 15
7．如图1－1－59所示的三视图表示的几何体是________．
图1－1－59
【解析】 该三视图表示的是一个四棱台．
【答案】 四棱台
8．一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的______(填入所有可能的几何体前的编号)．
①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．
【解析】 三棱锥、四棱锥和圆锥的主视图都是三角形．当三棱柱的一个侧面平行于水平面，底面对着观测者时其主视图是三角形，四棱柱、圆柱无论怎样放置，其主视图都不可能是三角形．
【答案】 ①②③⑤
三、解答题
9．如图1－1－60是截去一角的长方体，画出它的三视图．
图1－1－60
【解】 物体三个视图的构成都是矩形，长方体截去一角后，截面是一个三角形，在每个视图中反映为不同的三角形，三视图如图．
10．已知一个几何体的三视图如图1－1－61，试根据三视图想象物体的原形，并试着画出实物草图．
图1－1－61
【解】 由三视图知，该物体下部为长方体，上部为一个与长方体等高的圆柱，且圆柱的底面相切于长方体的上底面，由此可画出实物草图如图．
11．一个物体由几块相同的正方体组成，其三视图如图1－1－62所示，试据图回答下列问题：
图1－1－62
(1)该物体有多少层？
(2)该物体的最高部分位于哪里？
(3)该物体一共由几个小正方体构成？
【解】 (1)该物体一共有两层，从主视图和左视图都可以看出来．
(2)该物体最高部分位于左侧第一排和第二排．
(3)从左视图及俯视图可以看出，该物体前后一共三排，第一排左侧2个，右侧1个；第二排左侧2个，右侧没有；第三排左侧1个，右侧1个．该物体一共由7个小正方体构成.
一、选择题
1．已知正六棱柱的高为h，底面边长为a，则它的表面积为( )
A．3a2＋6ah B.a2＋6h
C．4a2＋6ah D.a2＋6ah
【解析】 柱体的表面积是侧面积加上底面积，据正六棱柱的性质，得其表面积为S侧＋2S底＝3a2＋6ah.
【答案】 A
2．长方体的体对角线长度是5，若长方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )
A．20π B．25π
C．50π D．200π
【解析】 ∵对角线长为5，∴2R＝5，
S＝4πR2＝4π×()2＝50π.
【答案】 C
3．(2013·汕头高一检测)如图1－1－66所示一个空间几何体的主视图、左视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为( )
图1－1－66
A．2 B．4 C．4 D．8
【解析】 由三视图和已知条件知8个侧面是全等的等腰三角形，且底边和斜高均为1.故表面积为×1×1×8＝4.
【答案】 C
4．某四面体的三视图如图1－1－67所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )
图1－1－67
A. B．6
C．10 D．8
【解析】 将三视图还原成几何体的直观图如图所示．
它的四个面的面积分别为8, 6,10,6，故最大的面积应为10.
【答案】 C
5．(2013·威海高一检测)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积之比为( )
A. B.
C. D.
【解析】 设圆柱的底面半径为r，高为h，则有h＝2πr，所以表面积与侧面积的比为2π(r2＋rh)∶2πrh＝(r＋h)∶h＝(2π＋1)∶2π.
【答案】 A
二、填空题
6．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________．
【解析】 S圆柱＝2·π()2＋2π·()·a＝πa2，
S圆锥＝π()2＋π··a＝πa2，∴S圆柱∶S圆锥＝2∶1.
【答案】 2∶1
图1－1－68
7．(2013·兰州高一检测)如图1－1－68所示，圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________．
【解析】 设圆台的上底半径为r，则下底半径为4r，高为4r.
由母线长为10可知10＝＝5r，∴r＝2.
故圆台的上、下底半径和高分别为2,8,8.
所以圆台的侧面积为π(2＋8)×10＝100π.
【答案】 100π
8．如图1－1－69所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为________．
图1－1－69
【解析】 该几何体是底面直径为1，母线长为1的圆柱，则其表面积是2π××1＋2π×()2＝π.
【答案】 π
三、解答题
9.
图1－1－70
如图1－1－70所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积为多少？
【解】 几何体的表面积为：
S＝6×22－π×(0.5)2×2＋2π×0.5×2
＝24－0.5π＋2π
＝24＋1.5π.
10．正四棱台的两底面边长分别是6 cm和10 cm，高为4 cm，求它的表面积．
【解】 如图，设上、下底面中心分别为O1、O，边A1D1、AD的中点分别为E1、E，连结O1O，O1E1，E1E、EO，作O1F∥E1E交OE于点F，则O1E1＝3，OE＝5，OO1＝4，所以OF＝OE－O1E1＝2.
在Rt△OO1F中，O1F＝＝＝2，
∴EE1＝2.
∴S棱台表＝S棱台侧＋S上底＋S下底
＝4×(A1D1＋AD)·EE1＋A1D＋AD2
＝4×(6＋10)×2＋62＋102
＝(64＋136)(cm2)．
11．一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在其中有一个高为x cm的内接圆柱．
(1)求圆锥的侧面积；
(2)当x为何值时，圆柱侧面积最大？求出最大值．
【解】 (1)圆锥的母线长为＝2 cm，
∴圆锥的侧面积S＝π×2×2＝4π cm2.
(2)画出轴截面如图所示：
设圆柱的半径为r .
由题意知：＝，
∴r＝，
∴圆柱的侧面积S＝2πrx＝(－x2＋6x)，
∴当x＝3 cm时，S最大＝6πcm2.
一、选择题
1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为( )
A．48 B．64
C．16 D．96
【解析】 设正方体的棱长为a，则6a2＝96，∴a＝4，故V＝a3＝43＝64.
【答案】 B
2．(2013·临沂高一检测)设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是
( )
A.π B.
C．4π D．32π
【解析】 由题意可知，6a2＝24，∴a＝2.
设正方体外接球的半径为R，则
a＝2R，∴R＝，∴V球＝πR3＝4π.
【答案】 C
3．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是
( )
A.π B．2
C.π D.π
【解析】 S1＝π，S2＝4π，
∴r＝1，R＝2，S侧＝6π＝π(r＋R)l，
∴l＝2，∴h＝.
∴V＝π(1＋4＋2)×＝π.故选D.
【答案】 D
4．(2013·广东高考)某四棱台的三视图如图1－1－76所示，则该四棱台的体积是( )
图1－1－76
A．4 B.
C. D．6
【解析】 由三视图可还原出四棱台的直观图如图所示，其上底和下底都是正方形，边长分别是1和2，与底面垂直的棱为棱台的高，长度为2，故其体积为V＝×(12＋＋22)×2＝，选B.
【答案】 B
5．(2013·日照高一检测)如图1－1－77是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
图1－1－77
A．9π＋42 B．36π＋18
C.π＋12 D.π＋18
【解析】 由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V＝π()3＋3×3×2＝π＋18.
【答案】 D
二、填空题
图1－1－78
6．(2012·山东高考)如图1－1－78，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．
【解析】 VD1－EDF＝VF－DD1E＝S△D1DE·AB＝××1×1×1＝.
【答案】
7．已知长方体的8个顶点在同一个球面上，且长方体的对角线长为4，则该球的体积是________．
【解析】 长方体的对角线即为球的直径，
∴2R＝4，∴R＝2，
∴该球的体积V＝π×23＝π.
【答案】
8．(2013·武威高一检测)半径为2的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为________．
【解析】 由题意可知该圆锥的侧面展开图为半圆，如图所示，设圆锥底面半径为r，高为h，
则 ∴
∴它的体积为×π×12×＝π.
【答案】 π
三、解答题
9．一个三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图如图1－1－79所示，AA1＝3.
(1)请画出它的直观图；(2)求这个三棱柱的表面积和体积．
主视图 左视图 俯视图
图1－1－79
【解】 (1)直观图如图所示．
(2)由题意可知，S△ABC＝×3×＝.
S侧＝3AC×AA1＝3×3×3＝27.
故这个三棱柱的表面积为27＋2×＝27＋.
这个三棱柱的体积为×3＝.
图1－1－80
10．如图1－1－80所示，△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，作CD⊥AB，垂足为D.以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．
【解】 在△ABC中，由AC＝3，BC＝4，AB＝5，知AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.∴CD＝，记为r＝，那么△ABC以AB为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底半径r＝，母线长分别是AC＝3，BC＝4，
∴S表面积＝πr·(AC＋BC)＝π××(3＋4)＝π.
V＝πr2(AD＋BD)＝πr2·AB＝π×()2×5＝π.
所以，所求旋转体的表面积是π，体积是π.
图1－1－81
11．(2013·郑州高一检测)如图1－1－81，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．
【解】 因为V半球＝×πR3＝×π×43＝π(cm3)，
V圆锥＝πr2h＝π×42×10
＝π(cm3)，
因为V半球所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子．
一、选择题
1．异面直线是( )
A．空间不相交的两条直线
B．分别位于两个平面内的直线
C．平面内的一条直线与这个平面外的一条直线
D．不同在任何一个平面内的两条直线
【解析】 根据异面直线的概念可知．
【答案】 D
2．如图所示是表示两个相交平面，其中画法正确的是( )
【解析】 依据的是空间图形的画法要求及平面的基本性质．A不正确，因为图中没有标出两平面的交线；B不正确，在空间图形中，被某一平面遮住的部分应画成虚线或不画；C不正确，因为图形要表示两个相交平面，而不是要画两个平面四边形的摆放情况．两个相交平面必须相交于一条直线而不是一个点；D正确．
【答案】 D
3．(2013·邵阳高一检测)在下列三个判断：正确的个数为( )
①两条相交的直线确定一个平面；
②两条平行的直线确定一个平面；
③一条直线和直线外一点确定一个平面
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 ①正确，如图a所示，l1∩l2＝P，分别在l1，l2上取点R，Q，则易知P、Q、R三点不共线，故三点必确定一个平面，故l1与l2必确定一个平面．②正确，如图b，在l1
上任取一点P，在l2上任取两点Q，R，显然P，Q，R三点不共线，故可确定一个平面，故②正确，同理可证③正确．
【答案】 D
4．在三棱锥A－BCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF∩HG＝P，则点P( )
A．一定在直线BD上
B．一定在直线AC上
C．在直线AC或BD上
D．不在直线AC上，也不在直线BD上
【解析】 如图所示，
∵EF?平面ABC，HG?平面ACD，
EF∩HG＝P，
∴P∈平面ABC，
P∈平面ACD.
又∵平面ABC∩平面ACD＝AC，
∴P∈AC，
故选B.
【答案】 B
5．空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中( )
A．必有三点共线 B．必有三点不共线
C．至少有三点共线 D．不可能有三点共线
【解析】 如图(1)(2)所示，A、C、D均不正确，只有B正确．
【答案】 B
二、填空题
图1－2－4
6．看图填空：
(1)AC∩BD＝________；
(2)平面AB1∩平面A1C1＝________；
(3)平面A1C1CA∩平面AC＝________；
(4)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝________；
(5)平面A1C1∩平面AB1∩平面B1C＝________；
(6)A1B1∩B1B∩B1C1＝________.
【答案】 (1)O (2)A1B1 (3)AC (4)OO1 (5)B1 (6)B1
7．经过空间任意三点可以作________个平面．
【解析】 若三点不共线，只可以作一个平面；若三点共线，则可以作出无数个平面．
【答案】 一个或无数
图1－2－5
8．如图1－2－5所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是________．
①A、M、O三点共线；
②A、M、O、A1四点共面；
③A、O、C、M四点共面；
④B、B1、O、M四点共面．
【解析】 因为A、M、O三点既在平面AB1D1内，又在平面AA1C内，故A、M、O三点共线，从而易知①②③均正确．
【答案】 ④
三、解答题
9．如图2－1－7，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，试画出平面AB1D1与平面ACC1A1的交线．
图2－1－7
【解】 根据公理3，只要找到两平面的两个公共点即可．
如图，设A1C1∩B1D1＝O1.
∵O1∈A1C1，A1C1?平面ACC1A1，
∴O1∈平面ACC1A1.
又∵O1∈B1D1，
B1D1?平面AB1D1，
∴O1∈平面AB1D1.
∴O1是平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点．
而点A显然也是平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点．
连接AO1，根据公理3知AO1是平面AB1D1与平面ACC1A1的交线．
图1－2－6
10．(2013·临沂高一检测)如图1－2－6所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB中点，F为AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
【证明】 (1)分别连结EF，A1B，D1C.
∵E，F分别是AB和AA1的中点，∴EF綊A1B.
又∵A1D1綊B1C1綊BC.
∴四边形A1D1CB是平行四边形，
∴A1B∥CD1，从而EF∥CD1.
由推论3，EF与CD1确定一个平面．
∴E，F，D1，C四点共面．
(2)如图所示，∵EF綊CD1，
∴直线D1F和CE必相交，设D1F∩CE＝P，
∵D1F?平面AA1D1D，P∈D1F，
∴P∈平面AA1D1D.
又CE?平面ABCD，P∈EC，∴P∈平面ABCD.
即P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点，而平面ABCD∩平面AA1D1D＝AD，∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点．
11．定线段AB所在直线与定平面α相交，P为直线AB外的任一点，且P?α，若直线AP、BP与α分别交于A′、B′点．求证：不论P在什么位置，直线A′B′必过一定点．
【证明】 ∵AP∩BP＝P，
∴AP、BP确定平面β.
又∵A′∈AP，
∴A′∈β，同理B′∈β.
∵A′∈α，B′∈α，
∴α∩β＝A′B′.
设AB ∩α＝O.
则O∈α，O∈β.
∴O∈A′B′.
即直线A′B′过定点O(AB与平面α的交点).
一、选择题
1．(2013·临沂高一检测)直线l与平面α不平行，则( )
A．l与α相交 B．l?α
C．l与α相交或l?α D．以上结论都不对
【解析】 若l与α不平行，则l与α相交或l?α.
【答案】 C
2．下列命题中正确的是( )
A．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
B．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行
C．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
D．若直线l与平面α平行，则l与平面α没有公共点
【解析】 A项中，若l∩α＝A时，除A点所有的点均不在α内；B项中，l∥α时，α中有无数条直线与l异面；C项中，另一条直线可能在平面内．
【答案】 D
3．(2011·四川高考)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是
( )
A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面
【解析】 当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1也可能与l3相交或异面，故A不正确；l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3，故B正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．
【答案】 B
4．在长方体ABCD－A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
【解析】 如图所示，结合图形可知AA1∥平面BC1，AA1∥平面DC1，AA1∥平面BB1D1D.
【答案】 B
5．如图1－2－11，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H、M、N分别是棱AB、BC、A1B1、BB1、C1D1、CC1的中点，则下列结论正确的是( )
图1－2－11
A．直线GH和MN平行，GH和EF相交
B．直线GH和MN平行，MN和EF相交
C．直线GH和MN相交，MN和EF异面
D．直线GH和EF异面，MN和EF异面
【解析】 易知GH∥MN，又∵E、F、M、N分别为中点，由平面基本性质3可知EF、DC、MN交于一点，故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．平行四边形的一组对边平行于一个平面，则另一组对边与这个平面的位置关系是________．
【答案】 平行或相交
7.
图1－2－12
如图1－2－12，ABCD－A1B1C1D1是正方体，若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与AC的关系是________．
【解析】 ∵AC∥A1C1，∴AC∥面A1B1C1D1，
又∵AC?面AB1C，面AB1C∩面A1B1C1D1＝l，
∴AC∥l.
【答案】 平行
8．(2013·银川高一检测)过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．
【解析】 如图所示，与平面ABB1A1平行的直线有6条：D1E1，E1E，ED，DD1，D1E，DE1.
【答案】 6
三、解答题
9．过正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1.求证：BB1∥EE1.
【证明】 如图所示，∵CC1∥BB1，
∴CC1∥平面BEE1B1(直线和平面平行的判定定理)．
又∵平面CEE1C1过CC1且交平面BEE1B1于EE1，
∴CC1∥EE1(直线和平面平行的性质定理)．
由于CC1∥BB1，∴BB1∥EE1(平行公理)．
10.
图1－2－13
一块长方体木块如图1－2－13所示，要经过平面A1C1内一点P和棱BC将木块锯开，应该怎样画线？
【解】
在平面A1B1C1D1内，经过点P作EF∥B1C1，且交A1B1于E，交D1C1于F；连接BE、CF，则BE、CF即为平面与长方体侧面的交线，可知，要满足题意，只要沿BE、EF、FC画线即可．如图所示．
图1－2－14
11．(思维拓展题)如图1－2－14所示，已知P是?ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.
(1)求证：l∥BC；
(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
【解】 (1)因为BC∥AD，
BC?平面PAD，AD?平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
又因为平面PBC∩平面PAD＝l，
所以BC∥l.
(2)平行．取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM.
可知四边形AMNE为平行四边形．
所以MN∥AE，又因为MN?平面APD，AE?平面APD，所以MN∥平面APD.
