课件33张PPT。任意角的三角函数的定义及三角函数线 同角三角函数的关系式及诱导公式 三角函数的图象及变换 三角函数的性质 转化与化归的思想 课件50张PPT。教师用书独具演示演示结束角的概念 一条射线 端点 旋转 O OA OB 逆时针方向旋转 顺时针方向旋转 没有旋转 象限角 顶点 始边 终边 终边相同的角 角的基本概念 终边相同的角 象限角与区域角的表示 课时作业（一）课件44张PPT。教师用书独具演示演示结束度量角的两种单位制 角度制 60分 半径 圆心角 弧度 角度制与弧度制的换算 2π2πππ弧度制下的扇形的弧长及面积公式 αr 角度制与弧度制的互化 用弧度表示终边相同的角 扇形的弧长、面积公式的应用 课时作业（二）课件48张PPT。教师用书独具演示演示结束任意角的三角函数 三角函数值在各象限的符号 用三角函数的定义求三角函数值 三角函数符号的判断 三角函数的定义域 课时作业（三）课件49张PPT。教师用书独具演示演示结束单位圆 单位圆 余弦 正弦 三角函数线 作三角函数线 解三角不等式 比较三角函数值的大小 课时作业（四）课件46张PPT。教师用书独具演示演示结束同角三角函数的基本关系式 1 tan α 平方和 商 利用同角三角函数关系求值 利用同角关系式化简三角函数式 证明三角恒等式 课时作业（五）课件47张PPT。教师用书独具演示演示结束诱导公式一 cos α sin α tan α 诱导公式二 cos α -sin α -tan α 利用诱导公式求值 利用诱导公式化简 利用诱导公式证明 课时作业（六）课件52张PPT。教师用书独具演示演示结束诱导公式三 －cos α －sin α tan α 诱导公式四 -sin α cos α sin α cos α 角α＋nπ的三角函数值 -sin α sin α -cos α cos α tan α 利用诱导公式求值 利用诱导公式化简三角函数式 利用诱导公式解决给值求值问题 利用诱导公式证明三角恒等式 课时作业（七）课件57张PPT。教师用书独具演示演示结束正弦函数的图象 沿x轴平移±2π，±4π… 函数的周期性 非零常数T 每一个 f(x＋T)＝f(x) 周期 所有周期中 最小的正数 最小正数 正弦函数的性质 2π 五点法作函数的图象 求三角函数的周期 正弦函数的单调性及应用 课时作业（八）课件59张PPT。教师用书独具演示演示结束正弦型函数 [－|A|，|A|] φ |A| 利用图象变换法作y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象 y＝sin(x＋φ) y＝sinωx y＝Asinx y＝sinx＋b的图象 正弦型函数的性质 R [－A，A] (k∈Z) 正弦型函数的图象与性质 运用图象变换作函数图象 求三角函数的解析式 课时作业（九）课件45张PPT。教师用书独具演示演示结束余弦函数的图象 余弦函数的性质 2kπ 2π [2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z) [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 2kπ 2kπ＋π －1 1 用“五点法”作余弦型函数的图象 求余弦型函数的单调区间 有关三角函数的最值问题 课时作业（十）课件52张PPT。教师用书独具演示演示结束正切函数的图象 正切函数的性质 R 奇函数 π 与正切函数有关的定义域问题 正切函数的单调性及应用 正切函数图象的应用 课时作业（十一）课件45张PPT。教师用书独具演示演示结束已知三角函数值求角的相关概念 arcsin y [0，π] arccos y arctan y 已知正弦值求角 已知余弦值求角 已知正切值求角 课时作业（十二）综合检测(一)
第一章 基本初等函数(Ⅱ)
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共计50分，请把答案填在题中的横线上)
1．在“①160°；②480°；③－960°；④1 530°”这四个角中，属于第二象限角的是( )
A．① B．①②
C．①②③ D．①②③④
【解析】 ∵480°＝360°＋120°，－960°＝－3×360°＋120°，
∴①②③均是第二象限角．
又1 530°＝4×360°＋90°，④不是第二象限角．
【答案】 C
2．点P从(1,0)点出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为( )
A．(，) B．(－，－)
C．(－，－) D．(－，)
【解析】 设∠POQ＝θ，则θ＝.
又设Q(x，y)，则x＝cos＝，y＝sin＝.
【答案】 A
3．已知角α的终边经过点(3a，－4a)(a<0)，则sin α＋cos α等于( )
A. B.
C．－ D．－
【解析】 r＝＝－5a.
∴sin α＝＝，cos α＝＝－，
∴sin α＋cos α＝－＝.
【答案】 A
4．(2013·郑州高一检测)对于函数y＝sin(π－x)，下列说法中正确的是( )
A．函数是最小正周期为π的奇函数
B．函数是最小正周期为π的偶函数
C．函数是最小正周期为2π的奇函数
D．函数是最小正周期为2π的偶函数
【解析】 y＝sin(π－x)＝sin(－x)＝cos x，故D项正确．
【答案】 D
5．(2012·天津高考)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 若φ＝0，则f(x)＝cos x是偶函数，但是若f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件．
【答案】 A
6.
图1
(2013·陕西师大附中高一检测)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图1所示，则( )
A．ω＝2，φ＝
B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝1，φ＝
D．ω＝2，φ＝－
【解析】 由图可知T＝4(π－)＝π.
又T＝，ω＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ)，
代入点(，1)，得sin(π＋φ)＝1，又|φ|＜，
∴φ＝－.
【答案】 D
7．函数y＝2cos(2x－)＋1在区间[－，]上的值域为( )
A．[1－，1＋] B．[1－，3]
C．[－1,3] D．[－1,1＋]
【解析】 ∵－≤x≤，∴－≤2x－≤，
∴－≤cos(2x－)≤1，
∴1－≤2cos(2x－)＋1≤3，故选B.
【答案】 B
8．已知sin(α＋)＝，α∈(－，0)，则tan α等于( )
A．－2 B．2
C．－ D.
【解析】 由sin(α＋)＝，
得cos α＝，又α∈(－，0)．
∴sin α＝－＝－.
故tan α＝＝－2.
【答案】 A
9．下列函数中，以π为周期且在区间(0，)上为增函数的函数是( )
A．y＝sin B．y＝sin x
C．y＝－tan x D．y＝－cos 2x
【解析】 C、D中周期为π，A、B不满足T＝π.
又y＝－tan x在(0，)为减函数，C错．
y＝－cos 2x在(0，)为增函数．
∴y＝－cos 2x满足条件．
【答案】 D
10．(2013·福建高考)将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则φ的值可以是( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵P在f(x)的图象上，
∴f(0)＝sin θ＝.
∵θ∈，∴θ＝，
∴f(x)＝sin，
∴g(x)＝sin .
∵g(0)＝，
∴sin＝.
验证，φ＝π时，
sin＝sin＝sin＝成立．
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
11．函数f(x)＝sin(2x＋)的最小正周期为________．
【解析】 由题意知，ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋)的最小正周期为T＝＝π.
【答案】 π
12．sin(－120°)cos 1 290°＋cos (－1 020°)sin (－1 050°)＝______.
【解析】 原式＝－sin 120°cos 210°＋cos 60°sin 30°
＝－×(－)＋×＝1.
【答案】 1
13．(2013·玉溪高一检测)若θ是△ABC的一个内角，且sin θcos θ＝－，则sin θ－cos θ的值为________．
【解析】 由sin θcos θ＝－＜0知＜θ＜π，∴sin θ＞0，cos θ＜0，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－2×(－)＝.
又sin θ－cos θ＞0，∴sin θ－cos θ＝.
【答案】
14．设f(x)＝2sin ωx，(0<ω<1)在闭区间[0，]上的最大值为，则ω的值为__________．
【解析】 ∵0<ω<1，∴T＝，∴＝>.
∴f(x)＝2sin ωx在[0，]上为增函数．
∴f(x)max＝f()＝2sinω＝.
∴sinω＝，即ω＝，∴ω＝.
【答案】
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知角x的终边过点P(1，)．
(1)求：sin(π－x)－sin(＋x)的值；
(2)写出角x的集合S.
【解】 ∵x的终边过点P(1，)，
∴r＝|OP|＝＝2.
∴sin x＝，cos x＝.
(1)原式＝sin x－cos x＝.
(2)由sin x＝，cos x＝.
若x∈[0,2π]，则x＝，
由终边相同角定义，∴S＝{x|x＝2kπ＋，k∈Z}.
16．(本小题满分12分)(2013·邯郸高一检测)(1)已知cos α＝－，且α为第三象限角，求sin α的值；
(2)已知tan α＝3，计算的值．
【解】 (1)∵cos2α＋sin2α＝1，α为第三象限角，
∴sin α＝－＝－ ＝－.
(2)显然cos α≠0，
∴＝＝＝＝.
17．(本小题满分12分)已知f(x)＝sin(2x＋)＋，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间．
(2)函数f(x)的图象可以由函数y＝sin 2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？
【解】 (1)T＝＝π，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，知kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以所求函数的最小正周期为π，所求的函数的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)变换情况如下：
18．(本小题满分14分)(2013·徐州高一检测)在已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M(，－2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[，]时，求f(x)的值域．
【解】 (1)由最低点为M(，－2)，得A＝2.
由x轴上相邻两个交点之间的距离为，
得＝，即T＝π，∴ω＝＝＝2.
由点M(，－2)在图象上得
2sin(2×＋φ)＝－2，
即sin(＋φ)＝－1，
故＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
∴φ＝2kπ－(k∈Z)．
又φ∈(0，)，∴φ＝，
故f(x)＝2sin(2x＋)．
(2)∵x∈[，]，
∴2x＋∈[，]，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1.
故f(x)的值域为[－1,2]．
一、选择题
1．已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，那么A、B、C关系是( )
A．B＝A∩C B．B∪C＝C
C．A?C D．A＝B＝C
【解析】 锐角大于0°小于90°，故C?B，选项B正确．
【答案】 B
2．把－1 485°转化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是( )
A．45°－4×360° B．－45°－4×360°
C．－45°－5×360° D．315°－5×360°
【解析】 B、C选项中α不在0°～360°范围内，A选项的结果不是－1 485°，只有D正确．
【答案】 D
3．若α是第二象限角，则180°－α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【解析】 可借助于取特殊值法，取α＝120°，则180°－120°＝60°.
【答案】 A
4．若α与β的终边互为反向延长线，则有( )
A．α＝β＋180°
B．α＝β－180°
C．α＝－β
D．α＝β＋(2k＋1)·180°，k∈Z
【解析】 α与β的终边互为反向延长线，则两角的终边相差180°的奇数倍，可得α＝β＋(2k＋1)·180°，k∈Z.
【答案】 D
5．以下命题正确的是( )
A．若α是第一象限角，则2α是第二象限角
B．A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，则A?B
C．若k·360°<αD．终边在x轴上的角可表示为k·360°(k∈Z)
【解析】 A不正确，如α＝30°时，2α＝60°为第一象限角．
在B中，当k＝2n，k∈Z时，β＝n·180°，n∈Z.
∴A?B，∴B正确．
又C中，α为第一或第二象限角，或在y轴的非负半轴上，∴C不正确．显然D不正确．
【答案】 B
二、填空题
6．(2013·哈尔滨高一检测)与－2 002°终边相同的最小正角是________．
【解析】 与－2 002°终边相同的角的集合为{β|β＝－2 002°＋k·360°，k∈Z}，与－2 002°终边相同的最小正角是当k＝6时，β＝－2 002°＋6×360°＝158°.
【答案】 158°
7．若将时钟拨慢5分钟，则分针转了________度，时针转了________度．
【解析】 拨慢时钟为逆时针形成正角，分针每分钟转过的度数为＝6°，5分钟转过30°，时针每分钟转过的度数为＝0.5°，5分钟转过2.5°.
【答案】 30 2.5
8．(2013·宁波高一检测)在四个角－20°，－400°，－2 000°，600°中，第四象限的角的个数是________．
【解析】 －20°是第四象限的角；－400°＝－360°－40°，也是第四象限的角；－2000°＝(－6)×360°＋160°，是第二象限的角；600°＝360°＋240°，是第三象限的角．所以第四象限的角的个数是2个．
【答案】 2个
三、解答题
9．若角α的终边和函数y＝－x的图象重合，试写出角α的集合．
【解】 在0°～360°范围内所对应的两个角分别为135°和315°，
∴终边为y＝－x的角的集合是{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°，k∈Z}
＝{α|α＝2k·180°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋135°，k∈Z}
＝{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．
10．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)－720°到－360°的角．
【解】 与530°终边相同的角为k·360°＋530°，k∈Z.
(1)由－360°＜k·360°＋530°＜0°，且k∈Z可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°.
(2)由0°＜k·360°＋530°＜360°且k∈Z可得k＝－1，
故所求的最小正角为170°.
(3)由－720°≤k·360°＋530°≤－360°且k∈Z得k＝－3，故所求的角为－550°.
11．如图1－1－4所示．
图1－1－4
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
【解】 (1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}．
终边落在OB位置上的角的集合为
{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
(2)由题图可知，终边落在阴影部分(包括边界)角的集合是由大于或等于－30°而小于或等于135°范围内的所有与之终边相同的角组成的集合，故终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}.
一、选择题
1．已知函数y＝cos x(x∈R)，下面结论错误的个数是( )
①函数f(x)的最小正周期为2π；
②函数f(x)在区间[0，]上是增函数；
③函数f(x)的图象关于直线x＝0对称；
④函数f(x)是奇函数．
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 余弦函数的最小正周期是2π，在[0，]上是减函数，图象关于x＝0对称，是偶函数，故②④错误．
【答案】 C
2．从函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象来看，对应于sin x＝的x有( )
A．1个值 B．2个值
C．3个值 D．4个值
【解析】 当x∈[0,2π]时，sin＝sin＝.
【答案】 B
3．函数y＝1－2cosx的最小值，最大值分别是( )
A．－1,3 B．－1,1
C．0,3 D．0,1
【解析】 ∵cosx∈[－1,1]，∴－2cosx∈[－2,2]，
∴y＝1－2cosx∈[－1,3]，
∴ymin＝－1，ymax＝3.
【答案】 A
4．下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°【解析】 ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°
＝cos 78°，sin 11°＝cos(90°－79°)＝cos 79°.
由余弦函数的单调性得cos 79°【答案】 C
5．设函数f(x)＝cos ωx(ω＞0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )
A. B．3
C．6 D．9
【解析】 将f(x)向右平移个单位长度得g(x)＝f(x－)＝cos[ω(x－)]
＝cos(ωx－ω)，则－ω＝2kπ，
∴ω＝－6k，又ω＞0，∴k＜0，当k＝－1时，
ω有最小值6，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．函数y＝2cos(－ωx)的最小正周期为4π，则ω＝_____________________.
【解析】 ∵4π＝，∴ω＝±.
【答案】 ±
7．利用余弦曲线，写出满足cos x>0，x∈[0,2π]的x的区间是__________．
【解析】 画出y＝cos x，x∈[0,2π]上的图象如下图所示．
cos x>0的区间为[0，)∪(，2π]．
【答案】 [0，)∪(，2π]
8．若已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝sin 2x＋cos x．则x<0时，f(x)＝__________.
【解析】 当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝sin(－2x)＋cos(－x)，
∴f(－x)＝－sin 2x＋cos x.
∵f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)，
∴f(x)＝－(－sin 2x＋cos x)＝sin 2x－cos x.
【答案】 sin 2x－cos x
三、解答题
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)y＝；
(2)y＝.
【解】 (1)要使函数有意义，须有sin (cos x)≥0，
又∵cos x∈[－1,1]，∴cos x∈[0,1]，
∴函数的定义域为
{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z}，
关于原点对称，
又∵f(－x)＝＝＝f(x)，
∴y＝是偶函数．
(2)要使函数有意义，
须有sin x－cos x≠0，
即x≠kπ＋，k∈Z，
∴函数的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}，不关于原点对称，
∴y＝既不是奇函数也不是偶函数．
10．已知函数y＝cos x＋|cos x|.
(1)画出函数的简图；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；
(3)指出这个函数的单调区间．
【解】 (1)y＝cos x＋|cos x|
＝
函数图象如图所示．
(2)由图象知函数是周期函数，且它的周期是2π.
(3)由图象知函数的单调增区间为[2kπ－，2kπ](k∈Z)．
11．已知函数f(x)＝2cos ωx(ω＞0)，且函数y＝f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f()的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间．
【解】 (1)∵f(x)的周期T＝π，故＝π，∴ω＝2.
∴f(x)＝2cos 2x.∴f()＝2cos ＝.
(2)将y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝f(x－)的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y＝f(－)的图象，
所以g(x)＝f(－)
＝2cos[2(－)]＝2cos(－)．
当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，
即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减，
因此g(x)的单调递减区间为[4kπ＋，4kπ＋](k∈Z).
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．y＝tan x是增函数
B．y＝tan x在第一象限是增函数
C．y＝tan x在每个区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)内是增函数
D．y＝tan x在某一区间上是减函数
【解析】 由y＝tan x是周期函数，知A、B不正确．又y＝tan x在(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上是增函数，没有减区间，∴C正确，D错误．
【答案】 C
2．函数y＝tan(x＋)，x∈R且x≠π＋kπ，k∈Z的一个对称中心是( )
A．(0,0) B．(，0)
C．(π，0) D．(π，0)
【解析】 由x＋＝，k∈Z，得x＝π－，
令k＝2，得x＝π.
【答案】 C
3．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得线段长为，则f()的值是( )
A．0 B.
C．1 D.
【解析】 正切函数图象上的相邻两支曲线之间的距离为周期T，则＝，所以ω＝4，从而f()＝tan(4×)＝tan＝.
【答案】 D
4．下列各式中正确的是( )
A．tan ＞tan B．tan(－)＜tan(－)
C．tan 4＞tan 3 D．tan 281°＞tan 665°
【解析】 对于A，tan ＜0，tan ＞0.
对于B，tan(－)＝tan(－)＝－tan ＝－1，
tan(－)＝tan(－)＝－tan ＜－tan .
∴tan(－)＞tan(－)．
对于D，tan 281°＝tan 101°＜tan 665°＝tan 125°.故选C.
【答案】 C
5．函数y＝lg(1＋tan x)的定义域是( )
A．(kπ－，kπ＋)(k∈Z)
B．(kπ－，kπ＋)(k∈Z)
C．(kπ－，kπ＋)(k∈Z)
D．(kπ－，kπ＋)(k∈Z)
【解析】 由题意得1＋tan x＞0，即tan x＞－1，
由正切函数的图象得 kπ－＜x＜kπ＋(k∈Z)．
【答案】 C
二、填空题
6．函数y＝的奇偶性是________．
【解析】 由得：x≠kπ＋且x≠(2k＋1)π，
k∈Z.
∴函数的定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝＝＝－f(x)，
∴函数y＝为奇函数．
【答案】 奇函数
7．(2013·南通高一检测)f(x)＝asin x＋btan x＋1，满足f(5)＝7，则f(－5)＝________.
【解析】 ∵f(5)＝asin 5＋btan 5＋1＝7，
∴asin 5＋btan 5＝6，
∵f(－5)＝asin(－5)＋btan(－5)＋1
＝－(asin 5＋btan 5)＋1
＝－6＋1＝－5.
【答案】 －5
8．已知函数y＝tan ωx在(－，)内是减函数，则ω的取值范围为__________．
【解析】 由题意可知ω<0，又(ω，－ω)?(－，)．
故－1≤ω<0.
【答案】 －1≤ω<0
三、解答题
9．求函数y＝tan(3x－)的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．
【解】 由3x－≠kπ＋，k∈Z，
得x≠＋，k∈Z.
∴所求定义域为{x|x∈R，且x≠＋，k∈Z}．
值域为R，周期T＝，是非奇非偶函数．
在区间(－，＋)(k∈Z)上是增函数．
10．利用函数图象，解不等式－1≤tan x≤.
【解】 作出函数y＝tan x的图象，如图所示．观察图象可得：在(－，)内，满足条件的x为－≤x≤，由正切函数的周期性可知，满足不等式的x的解集为{x|－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z}．
11．求函数y＝－tan2x＋10tan x－1，x∈[，]的值域．
【解】 设tan x＝t，∵x∈[，]，∴t∈[1，]，
∴y＝－tan2x＋10tan x－1
＝－t2＋10t－1
＝－(t－5)2＋24.
∴当t＝1，即x＝时，ymin＝8；
当t＝，即x＝时，ymax＝10－4.
∴函数的值域为[8,10－4].
一、选择题
1．已知sin α＝－，－＜α＜0，则α等于( )
A．π－arcsin(－) B．π＋arcsin(－)
C．arcsin(－) D．－arcsin(－)
【解析】 －＜α＜0，sin α＝－，所以α＝
arcsin(－)．
【答案】 C
2．若＜x＜π且cos x＝－，则x等于( )
A．arccos B．－arccos
C．π－arccos D．π＋arccos
【解析】 ∵x∈(，π)，
∴x＝arccos(－)＝π－arccos .
【答案】 C
3．若tan x＝－，则角x的值为( )
A.或 B．2kπ＋(k∈Z)
C．kπ＋(k∈Z) D．2kπ±(k∈Z)
【解析】 x＝kπ－(k∈Z)等价写成x＝kπ＋(k∈Z)．
【答案】 C
4．函数y＝cos x·tan x的值域是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．[－1,1]
C．(－1,1) D．[－1,0)∪(0,1]
【解析】 化简得y＝sin x，由cos x≠0，得sin≠±1，故得函数的值域为(－1,1)．
【答案】 C
5．计算式子arctan(－1)＋arcsin ＋arccos(－)的值为( )
A．0 B．－
C. D.
【解析】 原式＝－＋＋＝.
【答案】 D
二、填空题
6．tan[arccos(－)]＝________.
【解析】 令α＝arccos(－)，α∈[0，π]，则cos α＝－，sin α＝，∴tan α＝－.
【答案】 －
7．函数y＝＋π－arccos(2x－3)的定义域是__________________________________________________．
【解析】 由得1≤x≤，
∴函数的定义域是[1，]．
【答案】 [1，]
8．已知点P(sin，cos)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π]，则θ的值为________．
【解析】 r＝＝1，
由三角函数的定义，知
tan θ＝＝＝－1.
又∵sin>0，cos<0，
∴P在第四象限，∴θ＝.
【答案】 π
三、解答题
9．已知sin ＝－，且α是第二象限的角，求角α.
【解】 ∵α是第二象限角，∴是第一或第三象限的角．
又∵sin ＝－＜0，∴是第三象限角．
又sin ＝－，∴＝2kπ＋π(k∈Z)．
∴α＝4kπ＋π(k∈Z)．
10．已知cos(2x＋)＝－，x∈(－，)，求角x.
【解】 ∵x∈(－，)，∴0＜2x＋＜π.
又cos(2x＋)＝－，
∴2x＋＝，∴x＝.
11．若f(arcsin x)＝x2＋4x，求f(x)的最小值，并求f(x)取得最小值时的x的值．
【解】 令t＝arcsin x，t∈[－，]，即sin t＝x，
sin t∈[－1,1]，于是f(t)＝sin2t＋4sin t，即f(x)＝(sin x＋2)2－4，x∈[－，]．∵－1≤sin x≤1，
∴当sin x＝－1，即x＝－时，f(x)取得最小值(－1＋2)2－4＝－3.
一、选择题
1．(2013·重庆高一检测)已知α＝π，则α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 α＝π∈(，π)，
∴α的终边在第二象限．
【答案】 B
2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( )
A.π B．－π
C.π D．－π
【解析】 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的，用弧度制表示就是－4π－×2π＝－π.
【答案】 B
图1－1－5
3．若角α的终边在如图1－1－5所示的阴影部分，则角α的取值范围是( )
A．{α|＜α＜}
B．{α|＜α＜}
C．{α|≤α≤}
D．{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}
【解析】 易知阴影部分的两条边界分别是和的终边，所以α的取值范围是{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
【答案】 D
4．下列角的终边相同的是( )
A．kπ＋与2kπ±，k∈Z
B．2kπ－，k∈Z与π＋
C.与kπ＋，k∈Z
D．(2k＋1)π与3kπ，k∈Z
【解析】 选项B中，2kπ－，k∈Z，与π＋的终边都与的角的终边相同．
【答案】 B
5．(2013·玉溪高一检测)已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )
A．2 B．sin 2
C．2sin 1 D.
【解析】 设圆的半径为R，则sin 1＝，∴R＝，故所求弧长为l＝α·R＝2·＝.
【答案】 D
二、填空题
6.rad＝________度，________rad＝－300°.
【解析】 ＝＝15°.
－300°＝－300×＝－.
【答案】 15 －
7．已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角α的弧度数为__________．
【解析】 由题意得?或，
∴α＝8或.又∵0<α<2π，∴α＝.
【答案】
8．若角θ的终边与的终边相同，则在[0,2π]内终边与角的终边相同的角是________．
【解析】 θ＝＋2kπ，k∈Z，所以＝＋，k∈Z.当k＝0,1,2,3时，＝，，，且∈[0,2π]．
【答案】 ，，，
三、解答题
9．把下列角化为2kπ＋α(0≤α＜2kπ，k∈Z)的形式：
(1)；(2)－315°.
【解】 (1)＝4π＋.∵0≤＜2π.
∴＝4π＋.
(2)∵－315°＝－315×＝－＝－2π＋，
∵0≤＜2π，∴－315°＝－2π＋.
10.
图1－1－6
如图1－1－6已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求
(1) 的长；
(2)扇形所含弓形的面积．
【解】 (1)∵120°＝π＝π，
∴l＝6×π＝4π，
∴的长为4π.
(2)∵S扇形OAB＝lr
＝×4π×6＝12π，
如题干图所示有
S△OAB＝×AB×OD(D为AB中点)
＝×2×6cos 30°×6sin 30°＝9.
∴S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.
即弓形的面积是12π－9.
11．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km，一列火车用每小时30 km的速度通过，求火车10 s转过的弧度数．
【解】 ∵圆弧半径为R＝2 km＝2 000 m，速度v＝30 km/h＝ m/s，
∴10 s走过的弧长为 m，
∴火车10 s转过的弧度数
|α|＝＝＝.
一、选择题
1．如果角α的终边经过点P(－1,0)，则不存在的是( )
A．sin α B．cos α
C．tan α D．cot α
【解析】 x＝－1，y＝0，r＝1，∴cot α＝不存在．
【答案】 D
2．已知角α终边经过P(，)，则cos α＝( )
A. B.
C. D．±
【解析】 由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，故cos α＝.
【答案】 B
3．(2013·铜川高一检测)已知角α的终边过点P(－3,4)，则sin α＋cos α＝( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 ∵r＝＝＝5，
∴sin α＋cos α＝＝.
【答案】 C
4．(2013·周口高一检测)如果点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，那么θ在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 由题意知，∴sin θ＞0且cos θ＜0，故θ在第二象限．
【答案】 B
5．α是第二象限角，则sin α，sin 2α，sin中必取正数的个数有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【解析】 ∵α是第二象限角，即sin α＞0，
∴2kπ＋＜α＜2kπ＋π，k∈Z，
∴4kπ＋π＜2α＜4kπ＋2π，k∈Z，
kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z
∴sin 2α＜0，sin 的正负不确定．
综上知选B.
【答案】 B
二、填空题
6．已知角α的终边经过点(，－)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α________.
【解析】 由题意x＝，y＝－，∴r＝2.
∴sin α＝＝－，cos α＝＝，tan α＝＝－1.
【答案】 － －1
7．当α为第二象限时，－的值是________．
【解析】 因为α为第二象限角，所以＝1，＝－1.
【答案】 2
8．角α的终边上有一点M(a，a)，a∈R且a≠0，则sin α的值为________．
【解析】 当a＞0时，r＝＝a，sin α＝＝＝.
当a＜0时，r＝＝－a，sin α＝＝＝－.
∴sin α＝或－.
【答案】 或－
三、解答题
9．判断下列各式的符号．
(1)sin 105°·cos 230°；
(2)sin 240°·sin 300°；
(3)cos ·sin π；
(4)cos 4·cos 5.
【解】 (1)∵105°是第二象限角，
∴sin 105°＞0，
又∵230°是第三象限角，
∴cos 230°＜0，
∴sin 105°·cos 230°＜0.
(2)∵240°是第三象限角，
∴sin 240°＜0；
又∵300°是第四象限角，
∴sin 300°＜0，
∴sin 240°·sin 300°＞0.
(3)∵sin π＝0.
∴cos π·sin π＝0.
(4)∵4是第三象限角，
∴cos 4＜0，又∵5是第四象限角，
∴cos 5＞0，
∴cos 4·cos 5＜0.
10．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝lgsin 2x＋＋.
【解】 (1)由cos x·cot x≥0得
或
∴2kπ∴f(x)＝的定义域为
{x|2kπ(2)由f(x)有意义得
∴
∴∴0＜x＜.
∴f(x)＝lgsin 2x＋＋的定义域为
{x|0＜x＜}．
11．若角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α＜0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝，求m－n的值．
【解】 由题意，P(m，n)是角α终边上一点，sin α＝＝＜0，∴n＜0.
又角α的终边与y＝3x重合，
故n＝3m＜0，∴m＜0，
由OP＝，则m2＋n2＝10，
10m2＝10，m2＝1，∴m＝－1，
由n＝3m，∴n＝－3，
∴m－n＝－1－(－3)＝2.
一、选择题
1．已知α(0＜α＜2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( )
A.或 B.或
C.或 D.或
【解析】 由题意α的终边为一、三象限的平分线，且0＜α＜2π，故得α＝或π.
【答案】 C
2．下列四个命题中：
①α一定时，单位圆中的正弦线一定；
②单位圆中，有相同正弦线的角相等；
③α和α＋π有相同的正切线；
④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上．
不正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 由三角函数线的定义①③正确，②④不正确．
【答案】 C
3．在[0,2π]上满足sin x≥的x的取值范围是( )
A．[0，] B．[，π]
C．[，] D．[，π]
【解析】 画出单位图，结合正弦线得出sin x≥的取值范围是[，π]．
【答案】 B
4．若－＜α＜－，则sin α、cos α、tan α的大小关系是( )
A．sin α＜tan α＜cos α B．tan α＜sin α＜cos α
C．cos α＜sin α＜tan α D．sin α＜cos α＜tan α
【解析】 在单位圆中，作出－＜α＜－内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线，易知选D.
【答案】 D
5．点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 因为＜3＜π，作出单位圆如图所示．
设，的数量分别为a，b，
所以sin 3＝a＞0，cos 3＝b＜0.
所以sin 3－cos 3＞0.
因为|MP|＜|OM|，即|a|＜|b|，
所以sin 3＋cos 3＝a＋b＜0.
故点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限．
【答案】 D
二、填空题
6．依据三角函数线，作出如下四个判断：①sin ＝sin ；②cos(－)＝cos ；③tan ＞tan ；
④sin ＞sin ，其中正确的判断有________个．
【解析】 ①③错误，②④正确．
【答案】 2
7．函数y＝＋ 的定义域是________．
【解析】 由sin x≥0得2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z，①
由cos x≥得
2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z②
由①②可得2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.
∴定义域是{x|2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
【答案】 {x|2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z}
8．用三角函数线比较sin 1和cos 1的大小，结果是_____________________．
【解析】 如图，借助三角函数线可知sin 1>cos 1.
【答案】 sin 1>cos 1
三、解答题
9．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．
(1)sin α＝；(2)cos α＝－.
【解】 (1)作直线y＝交单位圆于P，Q两点，则OP与OQ为角α的终边，如图甲．
甲 乙
(2)作直线x＝－交单位圆于M、N两点，则OM与ON为角α的终边，如图乙．
10．若0＜α＜β＜，试比较sin α－α与sin β－β的大小．
【解】 如图①，在单位圆中，由扇形面积公式与三角形面积公式可得弓形AmC的面积S1＝α－sin α＝(α－sin α)，其中sin α为△OAC的面积，α为扇形OAC的面积．
同理，如图②，S2＝(β－sin β)为弓形AnD的面积．由图可以看出，S1＜S2，故sin α－α＞sin β－β.
11．若α、β是关于x的二次方程x2＋2(cos θ＋1)x＋cos2 θ＝0的两根，且(α－β)2≤8.求θ的范围．
【解】 由题意得Δ≥0
∴[2(cos θ＋1)]2－4cos2θ≥0，
∴cos θ≥－.
又(α－β)2≤8，
∴(α＋β)2－4αβ≤8，
∴[2(cos θ＋1)]2－4×cos2θ≤8，
∴cos θ≤.
∴－≤cos θ≤.
∴由三角函数线得
＋2kπ≤θ≤＋2kπ或＋2kπ≤θ≤＋2kπ(k∈Z)．
∴＋kπ≤θ≤＋kπ(k∈Z)．
一、选择题
1．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( )
A．tan α＝－ B．cos α＝－
C．sin α＝－ D．tan α＝
【解析】 由商数关系可知A、D均不正确，当α为第二象限角时，cos α＜0，sin α＞0，故B正确．
【答案】 B
2．已知α∈(，π)，sin α＝，则cos α等于( )
A. B．－
C．－ D.
【解析】 ∵α∈(，π)，∴cos α<0，∵sin2α＋cos2α＝1.∴cos α＝－＝－.
【答案】 B
3．已知α是第四象限角，tan α＝－，则sin α＝( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 ∵α是第四象限角，∴sin α<0.
由tan α＝－得＝－，
∴cos α＝－sin α，
由sin2α＋cos2α＝1得
sin2α＋(－sin α)2＝1，
∴sin2α＝1，sin α＝±.
∵sin α<0，∴sin α＝－.
【答案】 D
4．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为( )
A．－4 B．4
C．－8 D．8
【解析】 tan α＋＝＋
＝＝.
∵sin α－cos α＝－，∴1－2sin αcos α＝，
∴sin αcos α＝－，∴＝－8.
【答案】 C
5．若sin θ＝，cos θ＝，则m的值为( )
A．0 B．8
C．0或8 D．3＜m＜9
【解析】 由sin2 θ＋cos2 θ＝1得
()2＋()2＝1
解得m＝0或8，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．(2013·长沙高一检测)若α为第三象限角，则＋的值为________．
【解析】 ∵α为第三象限角，
∴sin α<0，cos α<0，
∴原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3.
【答案】 －3
7．(2013·唐山高一检测)若＝10，则tan α的值为________．
【解析】 ∵＝10，
∴4sin α－2cos α＝50cos α＋30sin α，
∴26sin α＝－52cos α，即sin α＝－2cos α.
∴tan α＝－2.
【答案】 －2
8．(2013·德州高一检测)在△ABC中，sin A＝，则角A＝________.
【解析】 由题意知cos A＞0，即A为锐角．
将sin A＝两边平方得2sin2 A＝3cos A.
∴2cos2 A＋3cos A－2＝0，
解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)，
∴A＝.
【答案】
三、解答题
9．求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ·(1＋)＝＋.
【证明】 左边＝sin θ(1＋)＋cos θ·(1＋)
＝sin θ＋＋cos θ＋
＝(sin θ＋)＋(cos θ＋)
＝()＋()
＝＋＝右边．
∴原等式成立．
10．若<α<2π，化简 ＋.
【解】 ∵<α<2π，∴sin α<0.
∴原式＝＋
＝ ＋
＝＋.
∵sin α<0，
∴原式＝－－
＝－.
11．已知tan α＝3，求下列各式的值：
(1)； (2)2sin2α－3sin αcos α；
(3).
【解】 因为已知tan α＝3，所以逆用公式把弦函数化成切函数．
∵tan α＝3，∴cos α≠0.
(1)原式＝＝
＝＝＝－2＋.
(2)原式＝
＝
＝＝＝.
(3)法一：
原式＝
＝＝.
法二：原式＝
＝＝.
一、选择题
1．cos(－)的值为( )
A. B．－
C. D.
【解析】 cos(－)＝cos(－14π＋)＝cos＝.
【答案】 A
2．sin(－1 560°)的值是( )
A．－ B．－
C. D.
【解析】 sin(－1 560°)＝－sin 1 560°＝－sin(4×360°＋120°)＝－sin 120°＝－.
【答案】 A
3．α是第四象限的角，cos α＝，则sin(20kπ－α)＝( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 由题意得sin α＝－＝－，
∴sin(20kπ－α)＝sin(－α)＝－sin α＝.
【答案】 A
4.等于( )
A．sin 2－cos 2 B．sin 2＋cos 2
C．±(sin 2－cos 2) D．cos 2－sin 2
【解析】 原式＝＝＝|sin 2－cos 2|.
而sin 2＞cos 2，故应选A.
【答案】 A
5．设f(α)＝，则f(－π)的值为( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 f(α)＝
＝＝－.
∴f(－π)＝－＝－＝－.
【答案】 D
二、填空题
6．(2013·沈阳高一检测)cos 1 110°的值为________．
【解析】 cos 1 110°＝cos(3×360°＋30°)＝cos 30°＝.
【答案】
7．sin 690°＋cos(－1 140°)＋tan 1 020°的值为________．
【解析】 原式＝sin(2×360°－30°)＋cos(－3×360°－60°)＋tan(3×360°－60°)
＝sin(－30°)＋cos(－60°)＋tan(－60°)
＝－sin 30°＋cos 60°－tan 60°＝－＋－＝－.
【答案】 －
8．若tan(－α－)＝－3，则tan(π＋α)＝________.
【解析】 ∵tan(－α－)＝tan[－(α＋)]＝－3，
∴tan(α＋)＝3.
∴tan(π＋α)＝tan[2π＋(α＋)]＝tan(α＋)＝3.
【答案】 3
三、解答题
9．化简求值：
(1)sin(－1 320°)cos(1 110°)＋cos(－1 020°)sin 750°；
(2)cos(－π)＋tan.
【解】 (1)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)
＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°
＝×＋×＝1.
(2)原式＝cos[＋(－4)×2π]＋tan(＋2×2π)
＝cos＋tan＝＋1＝.
10．化简：.
【解】 原式＝
＝
＝
＝1.
11．已知sin(2π＋α)＋cos(－α)＝，α∈(，π)，求sin α－cos α的值．
【解】 由sin(2π＋α)＋cos(－α)＝sin α＋cos α，故sin α＋cos α＝.
两边平方并整理得sin αcos α＝－.
又由α∈(，π)，
得sin α＞cos α，
∴sin α－cos α＝
＝
＝ ＝.
一、选择题
1．sin 600°＋tan(－300°)的值是( )
A．－ B.
C．－＋ D.＋
【解析】 原式＝sin(360°＋240°)＋tan(－360°＋60°)
＝sin 240°＋tan 60°＝－sin 60°＋tan 60°＝.
【答案】 B
2．(2013·杭州高一检测)cos(－)＋sin(－)的值为( )
A．－ B.
C. D.
【解析】 原式＝cos－sin＝cos－sin＝－cos＋sin＝.
【答案】 C
3．(2013·广东高考)已知sin＝，那么cos α＝( )
A．－ B．－
C. D.
【解析】 sin(＋α)＝cos α，故cos α＝，故选C.
【答案】 C
4．若f(cos x)＝2－sin 2x，则f(sin x)＝( )
A．2－cos 2x B．2＋sin 2x
C．2－sin 2x D．2＋cos 2x
【解析】 ∵f(cos x)＝2－sin 2x，
∴f(sin x)＝f[cos(－x)]＝2－sin[2(－x)]
＝2－sin(π－2x)＝2－sin 2x.
【答案】 C
5．(2013·吉安高一检测)若α∈(，π)，tan(α－7π)＝－，则sin α＋cos α的值为( )
A．± B．－
C. D．－
【解析】 tan(α－7π)＝tan(α－π)＝tan[－(π－α)]＝tan α，
∴tan α＝－，∴＝－，
∵cos2α＋sin2α＝1，α∈(，)且tan α＝－，
∴α为第二象限角．
∴cos α＝－，sin α＝，∴sin α＋cos α＝－.
【答案】 B
二、填空题
6．已知tan(π＋2α)＝－，则tan 2α＝__________.
【解析】 tan(π＋2α)＝tan 2α＝－.
【答案】 －
7.的值等于________．
【解析】 原式＝
＝
＝
＝＝－2.
【答案】 －2
8．若函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 009)＝2，则f(2 010)＝__________.
【解析】 ∵f(2 009)＝asin(2 009π＋α)＋bcos(2 009π＋β)＝2.
∴f(2 010)＝asin(2 010π＋α)＋bcos(2 010π＋β)
＝asin[π＋(2 009π＋α)]＋bcos[π＋(2 009π＋β)]
＝－[asin(2 009π＋α)＋bcos(2 009π＋β)]
＝－2.
【答案】 －2
三、解答题
9．求sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°的值．
【解】 原式＝－sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＋tan(2×360°＋225°)
＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＋tan(180°＋45°)
＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°
＝×＋×＋1＝2.
10．已知角α的终边经过点P.
(1)求·的值；
(2)求的值．
【解】 (1)∵r＝|OP|＝ ＝1，
∴sin α＝＝－，cos α＝＝，
∴·＝·＝＝.
(2)∵tan α＝－，
∴
＝
＝
＝.
11．(2013·湛江高一检测)已知<α<，cos＝m(m≠0)，求tan的值．
【解】 因为－α＝π－，
所以cos＝cos
＝－cos＝－m.
由于<α<，所以0<－α<.
于是sin＝
＝.
所以tan＝＝－.
一、选择题
1．函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是( )
【解析】 ∵y＝sin(－x)＝－sin x，由五点法知应选B.
【答案】 B
2．函数y＝的定义域是( )
A．[，]
B．[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)
C．[，]
D．[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)
【解析】 由2sin x－≥0得≤sin x≤1.
∴＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，故选D.
【答案】 D
3．正弦函数y＝sin x，x∈R的图象的一条对称轴是( )
A．y轴 B．x轴
C．直线x＝ D．直线x＝π
【解析】 当x＝时，y取最大值，∴x＝是一条对称轴．
【答案】 C
4．函数y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是( )
A．0 B.
C. D．π
【解析】 当φ＝时，y＝sin(2x＋)＝cos 2x，而y＝cos 2x是偶函数，故选C.
【答案】 C
5．函数f(x)＝3sin(x＋)在下列区间内递减的是( )
A．[－，] B．[－π，0]
C．[－π，] D．[，]
【解析】 令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z可得
2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，
∴函数f(x)的递减区间为[2kπ＋，2kπ＋]，k∈Z.
【答案】 D
二、填空题
6．y＝sin(ωx＋)(ω＞0)的周期是π，则ω＝________.
【解析】 T＝＝π，且ω＞0，∴ω＝3.
【答案】 3
7．函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为________．
【解析】 y＝(sin x＋)2－，
∵－1≤sin x≤1，
∴0≤(sin x＋)2≤.
－≤y≤1.
【答案】 [－，1]
8．如果直线y＝m与函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象只有一个交点，则m＝________；有且只有两个交点，则m的取值范围是________．
【解析】 画出y＝sin x，x∈[0,2π]及y＝m的图象如下：
由图可知，当m＝1或m＝－1时二图象只有一个交点；当－1【答案】 1或－1 (－1,0)∪(0,1)
三、解答题
9．求函数y＝3sin(－)的单调递增区间．
【解】 y＝3sin(－)＝－3sin(－)．
由＋2kπ≤－≤＋2kπ，k∈Z，
解得：＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，
∴函数y＝3sin(－)的单调增区间为[＋4kπ，＋4kπ](k∈Z)．
10．已知函数f(x)＝2asin(2x－)＋b的定义域为[0，]，最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．
【解】 ∵0≤x≤，
∴－≤2x－≤π，
∴－≤sin(2x－)≤1，易知a≠0.
当a>0时，f(x)max＝2a＋b＝1，
f(x)min＝－a＋b＝－5.
由，
解得.
当a<0时，f(x)max＝－a＋b＝1，
f(x)min＝2a＋b＝－5.
由，解得.
11．已知直线y＝a，函数y＝sin x，x∈[0,2π]，试探求以下问题．
(1)当a为何值时，直线y＝a与函数y＝sin x的图象只有一个交点？
(2)当a为何值时，直线与函数图象有两个交点？
(3)当a为何值时，直线与函数图象有三个交点？
(4)当a为何值时，直线与函数图象无交点？
【解】 作出直线y＝a，与函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象(如图所示)，由图象可知．
(1)当a＝1或－1时，直线与函数图象有一个交点．
(2)当－1＜a＜0或0＜a＜1时，直线与函数图象有两个交点．
(3)当a＝0时，直线与函数图象有三个交点．
(4)当a＜－1或a＞1时，直线与函数图象无交点．
一、选择题
1．已知简谐运动f(x)＝2sin(x＋φ)(|φ|<)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
【解析】 T＝＝＝6，代入(0,1)点得sin φ＝.
∵－<φ<，∴φ＝.
【答案】 A
2．函数y＝8sin(6x＋)取最大值时，自变量x的取值集合是( )
A．{x|x＝－＋，k∈Z}
B．{x|x＝＋，k∈Z}
C．{x|x＝，k∈Z}
D．{x|x＝＋，k∈Z}
【解析】 由题意知sin(6x＋)＝1，此时6x＋＝2kπ＋(k∈Z)，
∴x＝＋(k∈Z)．
【答案】 B
3．把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标不变，再把图象向左平移个单位，这时对应于这个图象的解析式为( )
A．y＝cos 2x B．y＝－sin 2x
C．y＝sin(2x－) D．y＝sin(2x＋)
【答案】 A
4．(2013·绍兴高一检测)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图象如图1－3－4所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则( )
图1－3－4
A．A＝4 B．ω＝1
C．φ＝ D．B＝4
【解析】 由题图可知A＝＝2，B＝2，T＝4(π－)＝π，∴ω＝＝＝2.
∴y＝2sin(2x＋φ)＋2，代入点(，4)得φ＝.
【答案】 C
5．为了得到函数y＝sin(2x－)的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
【解析】 y＝sin(2x－)
＝cos[－(2x－)]＝cos(－2x)
＝cos(2x－)＝cos 2(x－)．
故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．已知f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f(＋x)＝f(－x)，则f()等于__________．
【解析】 由f(＋x)＝f(－x)知x＝是f(x)的一条对称轴，故f()＝±3.
【答案】 ±3
7．把函数y＝2sin(x＋)的图象向左平移m个单位，所得图象关于y轴对称，则m的最小正值是________．
【解析】 把y＝2sin(x＋)的图象向左平移m个单位，则y＝2sin(x＋m＋)，其图象关于y轴对称，
∴m＋＝kπ＋，即m＝kπ－，k∈Z.
∴取k＝1，m的最小正值为.
【答案】 π
8．关于函数f(x)＝4sin(2x＋)(x∈R)，有下列命题：
①y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos(2x－)；
②y＝f(x)是奇函数；
③y＝f(x)的图象关于点(－，0)对称；
④y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称．
其中正确命题的序号为________．
【解析】 4sin(2x＋)＝4cos(－2x)＝4cos(2x－)，所以①正确，②④不正确，而③中f(－)＝0，故(－，0)是对称中心，所以③正确．
【答案】 ①③
三、解答题
9．(1)利用“五点法”画出函数y＝sin(x＋)在长度为一个周期的闭区间的简图列表：
x＋
x
y
作图：
图1－3－5
(2)并说明该函数图象可由y＝sin x(x∈R)的图象经过怎样变换得到的．
【解】 先列表，后描点并画图.
x＋
0
π
2π
x
－
y
0
1
0
－1
0
(2)把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin(x＋)的图象，再把所得图象的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(x＋)的图象．
或把y＝sin x的图象横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin x的图象．再把所得图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin (x＋)，即y＝sin (x＋)的图象．
10．已知函数f(x)＝2sin(2x－)，x∈R.
(1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间；
(2)求函数f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值．
【解】 (1)由2x－＝kπ＋，k∈Z，解得f(x)的对称轴方程是x＝＋π，k∈Z；由2x－＝kπ，k∈Z解得对称中心是(＋π，0)，k∈Z；由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z解得单调递增区间是[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z；由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，解得单调递减区间是[＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤π.
∴当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取最小值为－1；
当2x－＝，即x＝时，f(x)取最大值为2.
11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<)的周期为π，且图象上一个最低点为M(，－2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[0，]时，求f(x)的值域．
【解】 (1)由最低点为M(，－2)，得A＝2.
由T＝π，得ω＝＝＝2.
由点M(，－2)在图象上，得2sin(＋φ)＝－2，
k∈Z.
即sin(＋φ)＝－1，
∴＋φ＝2kπ－，k∈Z，
即φ＝2kπ－，k∈Z.
又φ∈(0，)，∴φ＝.
∴f(x)＝2sin(2x＋)．
(2)∵x∈[0，]，
∴2x＋∈[，]．
∴当2x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最小值1；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值.
∴f(x)的值域为[1，].
