课件36张PPT。向量的线性运算 向量的数量积 向量的坐标运算 向量的应用 数形结合思想 课件60张PPT。教师用书独具演示演示结束向量的概念 大小 方向 同向且等长 长度 |a| 零 不确定 0 同向且等长 同向且等长 a＝b 基线 互相平行或重合 相同或相反 a∥b 唯一确定 向量的有关概念的判断 向量的表示及应用 相等向量与共线向量 课时作业（十三）课件54张PPT。教师用书独具演示演示结束向量的求和法则及运算律 a＋b 0 a a a＋b 终点 始点 b＋a a＋(b＋c) 向量的加法运算 利用向量证明几何问题 向量加法的实际应用 课时作业（十四）课件51张PPT。教师用书独具演示演示结束向量的减法 a－b 始点 终点 终点 始点 相反向量 相反 等长 －a 相反向量 化简向量关系式 用已知向量表示其他向量 向量加减法在平面几何中的应用 课时作业（十五）课件48张PPT。教师用书独具演示演示结束数乘向量 一个向量 相同 |λ|·|a| 相反 0 0 放大或缩小 λa＋μa (λμ)a λa＋λb 向量的线性运算 加法 减法 数乘向量 数乘向量的概念 向量的线性运算 向量的线性运算在平面几何中的应用 课时作业（十六）课件51张PPT。教师用书独具演示演示结束平行向量基本定理 单位向量 同方向 等于1 轴上向量的坐标及坐标运算 基向量 坐标 正数 负数 一一对应 相等 和 x2－x1 |x2－x1| 平行向量基本定理的应用 用平行向量基本定理证明几何问题 轴上向量的坐标及其运算 课时作业（十七）课件53张PPT。教师用书独具演示演示结束平面向量基本定理 不平行 任一向量 一对实数 a1e1＋a2e2 不共线 a1e1＋a2e2 直线的向量参数方程式 任意 唯一 参数 用基底表示向量 直线的向量参数方程式的应用 平面向量基本定理的应用 课时作业（十八）课件56张PPT。教师用书独具演示演示结束向量的正交分解及坐标表示 相同 (a1，a2) (x，y) 向量的直角坐标运算 (a1＋b1，a2＋b2)(a1－b1，a2－b2)(λa1，λa2)(x2－x1，y2－y1)平面向量的坐标表示 平面向量的坐标运算 平面向量坐标运算的应用 课时作业（十九）课件51张PPT。教师用书独具演示演示结束两个向量平行的坐标表示 a1b2－a2b1＝0 相应坐标成比例 平面向量共线的坐标运算 判定向量共线、点共线 向量共线的综合应用 课时作业（二十）课件55张PPT。教师用书独具演示演示结束两个向量的夹角 ∠AOB 〈a，b〉 0≤〈a，b〉 ≤ π 〈b，a〉 a⊥b 任意向量 0 π 向量在轴上的正射影 轴l 轴l的方向上 轴l的正向 |a|cos θ 向量的数量积(内积)的定义 |a||b|cos〈a，b〉| |a||b|cos〈a，b〉 平面向量的数量积的性质 |a|cos〈a，e〉 a·b＝0 a·b＝0 |a|2 |a| ≤ 平面向量数量积的运算律 a·b＝b·a (a＋b)·c＝a·c＋b·c λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb) 向量的数量积运算 与向量模有关的问题 与向量夹角有关的问题 课时作业（二十一）课件51张PPT。教师用书独具演示演示结束两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 a1b1＋a2b2 a1b1＋a2b2＝0 向量的长度、距离和夹角公式 平面向量数量积的坐标运算 向量平行与垂直的坐标形式的应用 平面向量的夹角问题 课时作业（二十二）课件58张PPT。教师用书独具演示演示结束直线与向量平行的条件 垂直 垂直 特殊向量 垂直 平行 力向量 大小 方向 作用点 作用点 速度向量 有向线段 向量在平面几何中的应用 向量在解析几何中的应用 向量在物理中的应用 课时作业（二十三）综合检测(二)
第二章 平面向量
(时间：90分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法中，正确的是( )
A．若向量|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b
B．若a∥b，b∥c，则a∥c
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量
D．若|a|>|b|，则a>b
【解析】 向量是既有大小又有方向的量，大小相等，但方向不一定相同或相反，故A不正确；当b＝0时，a与c不一定平行，故B不正确；尽管两个向量的模有大小之分，但两个向量是不能比较大小的，故D也不正确；由平行向量的定义知选C.
【答案】 C
2．设向量a＝(1,0)，b＝(，)，则下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b| B．a－b＝
C．a－b与b垂直 D．a∥b
【解析】 ∵a－b＝(，－)，
∴(a－b)·b＝(，－)·(，)
＝－＝0，∴(a－b)⊥b.
【答案】 C
3．(2012·辽宁高考)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x＝( )
A．－1 B．－
C. D．1
【解析】 a·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝1?x＝1.
【答案】 D
4．已知＝(2,8)，＝(－7,2)，则＝( )
A．(3,2) B．(－，－)
C．(－3，－2) D．(，4)
【解析】 ∵＝－＝(－7,2)－(2,8)＝(－9，－6)，
∴＝(－9，－6)＝(－3，－2)．
【答案】 C
5．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于( )
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
【解析】 根据力的平衡知f1＋f2＋f3＋f4＝0，
∴f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．
【答案】 D
6．平面向量a与b夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝( )
A. B．2
C．4 D．12
【解析】 |a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4＝12.
∴|a＋2b|＝2.
【答案】 B
7．(2013·乌鲁木齐高一检测)如果向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则a和b的夹角大小为( )
A．30° B．45°
C．75° D．135°
【解析】 ∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a2－a·b
＝1－a·b＝0，∴a·b＝1，
设向量a与b夹角为θ，∴cos θ＝＝＝，又θ∈[0，π]，
∴θ＝45°，即a与b的夹角为45°.
【答案】 B
8．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝2a＋3b，d＝ka－b(k∈R)，且c⊥d，那么k的值为( )
A．－6 B．6
C．－ D.
【解析】 ∵c⊥d，∴c·d＝0.
∴c·d＝(2a＋3b)·(ka－b)
＝2ka2－3b2＋(3k－2)a·b＝5k－14＝0，∴k＝.
【答案】 D
9．A，B，C，D为平面上四个互异点，且满足(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【解析】 ∵(＋－2)·(－)＝(－＋－)·(－)＝(＋)·(－)＝2－2＝0，∴||＝||，∴△ABC为等腰三角形．
【答案】 B
10．(2012·天津高考)已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－，则λ＝( )
A. B.
C. D.
【解析】 ·＝(＋)·(＋)＝[＋(1－λ)]·(＋λ)＝－，所以4λ2－4λ＋1＝0.所以λ＝.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
11．设e1，e2为两个不共线的向量，若a＝e1＋λe2与b＝－(2e1－3e2)共线，则λ等于________．
【解析】 ∵a、b共线，∴由向量共线定理知，存在实数k，
使得a＝kb，即e1＋λe2＝－k(2e1－3e2)＝－2ke1＋3ke2，
又∵e1，e2不共线，∴
解得λ＝－.
【答案】 －
12．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，a＋c＝0，则c在b方向上的投影为__________．
【解析】 a＋c＝(2,3)＋c＝0，∴c＝(－2，－3)，
设c与b夹角为θ，则c在b方向上的投影为|c|·cos θ＝|c|·＝＝＝－.
【答案】 －
13．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
【解析】 ∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，
∴a·b＝|a|·|b|cos 45°＝|b|，
|2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10，
∴|b|＝3.
【答案】 3
14．(2013·天津高考)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．
【解析】 设AB的长为a(a>0)，因为＝＋，＝＋＝－，于是·＝(＋)·＝·－2＋2＝－a2＋a＋1，由已知可得－a2＋a＋1＝1.又a>0，
∴a＝，即AB的长为.
【答案】
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<α<β<π.
(1)求|a|的值；
(2)求证：a＋b与a－b互相垂直．
【解】 (1)|a|＝＝1，∴|a|＝1.
(2)∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2.
又∵|a|2＝cos2α＋sin2α＝1，
∴|b|2＝sin2β＋cos2β＝1.
∴(a－b)·(a＋b)＝0，
∴a＋b与a－b互相垂直．
16．(本小题满分12分)已知向量a，b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b， ＝3(a－b)，
求证：A，B，D三点共线；
(2)求实数k，使ka＋b与2a＋kb共线．
【解】 (1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
∴＝＋＝5a＋5b＝5，
因此与共线．
又点B为与的公共点，
所以A、B、D三点共线．
(2)∵ka＋b与2a＋kb共线，
则存在实数λ使ka＋b＝λ(2a＋kb)，
∴∴k＝±.
17．(本小题满分12分)已知向量a＝3e1－2e2，b＝4e1＋e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．
求：(1)a·b，|a＋b|；
(2)a与b的夹角的余弦值．
【解】 (1)∵a＝3e1－2e2＝3(1,0)－2(0,1)
＝(3,0)－(0,2)＝(3，－2)，
b＝4e1＋e2＝4(1,0)＋(0,1)＝(4,0)＋(0,1)＝(4,1)．
则a·b＝4×3＋(－2)×1＝10.
∵a＋b＝(7，－1)，
∴|a＋b|＝ ＝＝5.
(2)设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝
＝
＝.
18．(本小题满分14分)设函数f(x)＝m·n，其中向量m＝(2cos 2x,1)，n＝(1,3)，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当x∈[0，]时，求f(x)的最大值．
【解】 (1)∵m＝(2cos 2x,1)，n＝(1,3)，
∴f(x)＝m·n＝2cos 2x＋3，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)知，f(x)＝2cos 2x＋3.
∵x∈[0，]，∴2x∈[ 0，]，
∴当2x＝0即x＝0时，f(x)max＝5.
一、选择题
1．下列各量中是向量的是( )
A．密度 B．电流
C．面积 D．浮力
【解析】 只有浮力既有大小又有方向．
【答案】 D
2．(2013·杭州高一检测)下列说法正确的是( )
A．若a∥b，则a与b的方向相同或相反
B．若a∥b，b∥c，则a∥c
C．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
D．若a＝b，b＝c，则a＝c
【解析】
选项
对否
原因分析
A、B
×
当b＝0时均错误
C
×
两个单位向量平行但方向不一定相同
D
√
本结论实际是向量相等的传递性
【答案】 D
3.
图2－1－7
如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是( )
A.＝ B．||＝||
C.＞ D.＜
【解析】 ||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等．
【答案】 B
4．如图所示，在正方形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是( )
图2－1－8
A.与 B.与
C.与 D.与
【解析】 ∵＝，∴与可用同一条有向线段表示．
【答案】 B
5．如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC，AB，BC的中点，则与的模相等的向量共有( )
图2－1－9
A．6个 B．5个
C．4个 D．3个
【解析】 ∵E、F、D分别是边AC、AB和BC的中点，
∴EF＝BC，BD＝DC＝BC.
又∵AB，BC，AC均不相等，从而与的模相等的向量是：，，，，.
【答案】 B
二、填空题
6．如图所示，B、C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点或终点，与相等的向量是________．
图2－1－10
【解析】 以AD的为单位长度，则||＝2，由图知||＝2且与的方向相同．
【答案】
7．如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．
图2－1－11
(1)与向量相等的向量为________；
(2)若||＝3，则向量的模等于________．
【解析】 (1)在平行四边形ABCD和ABDE中，∵＝，＝，∴＝.
(2)由(1)知，＝，∴E、D、C三点共线，||＝||＋||＝2||＝6.
【答案】 (1)， (2)6
8．(2012·榆林高一检测)把平面上一切单位向量归结到共同的始点O，那么这些向量的终点所组成的图形是________．
【解析】 单位向量的长度是一个单位，方向任意，若单位向量有共同的始点O，则其终点构成一个单位圆．
【答案】 以O为圆心的单位圆
三、解答题
9.
图2－1－12
O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图2－1－12所示的向量中：
(1)分别找出与，相等的向量；
(2)找出与共线的向量；
(3)找出与模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
【解】 (1)＝，＝.
(2)与共线的向量有：，，.
(3)与模相等的向量有：，，，，，，.
(4)向量与不相等，因为它们的方向不相同．
10．设在平面内给定一个四边形ABCD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，求证：＝.
【证明】 如图所示，连接AC.在△ABC中，由三角形中位线定理知，
EF＝AC，EF∥AC，
同理HG＝AC，HG∥AC.
所以||＝||且和同向，所以＝.
11．如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是中国象棋的走法，“马”可以从A跳到A1或A2，用向量、表示“马”走了一步．试在图中画出“马”在B、C分别走了一步的所有情况．
图2－1－13
【解】 如图所示，在B处有3种走法；在C处有8种走法．
一、选择题
1．a、b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a、b是方向相反的向量
C．a＝－b
D．a、b无论什么关系均可
【解析】 只有a∥b，且a与b方向相同时才有|a＋b|＝|a|＋|b|成立．故A项正确．
【答案】 A
2．已知菱形的两邻边＝a，＝b, 其对角线交点为D，则等于( )
A.a＋b B.b＋a
C.(a＋b) D．a＋b
【解析】 作出图形，＋＝＝a＋b，
∴＝(a＋b)．
【答案】 C
3．(2013·阜阳高一检测)下列向量的运算结果为零向量的是( )
A.＋ B.＋＋
C.＋＋＋ D.＋＋＋
【解析】 A项，＋＝＋＝；
B项，＋＋＝＋＋＝；
C项，＋＋＋
＝(＋＋)＋＝0＋＝；
D项，＋＋＋＝(＋)＋(＋)
＝＋＝0.
【答案】 D
4．(2013·济南高一检测)在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|＋|，则四边形ABCD是( )
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．不确定
【解析】 ∵|＋|＝||，
|＋|＝|＋|＝||，
∴||＝||，
∴?ABCD是矩形．
【答案】 B
5．(2013·嘉兴高一检测)已知P为△ABC所在平面内一点，当＋＝成立时，点P位于( )
A．△ABC的AB边上 B．△ABC的BC边上
C．△ABC的内部 D．△ABC的外部
【解析】 如图＋＝，则P在△ABC的外部．
【答案】 D
二、填空题
6．化简(＋)＋＋＋＋＝__________.
【解析】 (＋)＋＋＋＋＝＋(＋)＋＋(＋)＝＋＋＋＝＋0＋＝0.
【答案】 0
7．在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝2，则|＋|＝__________.
【解析】 因为＋＝，又AC＝＝＝，
∴|＋|＝.
【答案】
8．当非零向量a，b满足________时，能使a＋b平分a与b的夹角．
【解析】 以a，b为邻边构成的平行四边形为菱形时，a＋b平分a与b的夹角，此时|a|＝|b|.
【答案】 |a|＝|b|
三、解答题
9．已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|.
【解】 如图，∵||＝||＝3，
∴四边形OACB为菱形．
连OC、AB，则OC⊥AB，设垂足为D.
∵∠AOB＝60°，
∴AB＝||＝3.
∴在Rt△BDC中，CD＝.
∴||＝|a＋b|＝×2＝3.
10．如图所示，在?ABCD的对角线BD的延长线上取点E、F，使BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形．
图2－1－18
【证明】 ＝＋，＝＋，
又∵＝，＝.
∴＝.
∴AE綊FC，
∴四边形AECF是平行四边形．
11．如图所示，中心为O的正八边形A1A2…A7A8中，ai＝AiAi＋1(i＝1,2，…，7)，bj＝(j＝1,2，…，8)，试化简a2＋a5＋b2＋b5＋b7.
图2－1－19
【解】 因为＋＝0，所以a2＋a5＋b2＋b5＋b7＝＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋＝＝b6.
一、选择题
1．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，则的相反向量是( )
A．a－b B．b－a
C．a＋b D．－a－b
【解析】 ∵＝－＝b－a，
∴的相反向量为－(b－a)＝a－b.
【答案】 A
2．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A.＝＋ B.＝－
C.＝－＋ D.＝－－
【解析】 ∵O，E，F是不共线的任意三点，∴＋＝，由此可以推出＝－.故选B.
【答案】 B
3.
图2－1－25
如图，D、E、F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则－等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 由图易知＝，
∴－＝－＝，
又＝，∴－＝.
【答案】 D
4.(2013·中山高一检测)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是
( )
图2－1－26
A.＝
B.＋＝
C.－＝
D.＋＝0
【解析】 －＝，故C项错．
【答案】 C
5．O是四边形ABCD所在平面上任一点，∥，且|－|＝|－|，则四边形ABCD一定为( )
A．菱形 B．任意四边形
C．矩形 D．平行四边形
【解析】 由|－|＝|－|知||＝||，且∥，故四边形ABCD是平行四边形．
【答案】 D
二、填空题
6．在△OAB中，已知＝a，＝b，且|a|＝|b|＝4，∠AOB＝60°，则|a－b|＝________.
【解析】 a－b＝－＝，∵|a|＝|b|＝4，∠AOB＝60°，故△AOB为等边三角形，∴||＝4，即|a－b|＝4.
【答案】 4
7．(2013·徐州高一检测)已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则可用、表示为________．
【解析】 ＝＋＝＋2
＝＋2(－)，
∴＝2－.
【答案】 2－
8．给出以下五个命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②任一非零向量的方向都是唯一的；
③|a|－|b|＜|a＋b|；
④若|a|－|b|＝|a|＋|b|，则b＝0；
⑤已知A、B、C是平面上任意三点，则＋＋＝0.
其中正确的命题有________．
【解析】 由|a|＝|b|，得不到a＝b，因为两个向量相等需要模相等，方向相同，故①不正确；当b＝0时，|a|－|b|＝|a＋b|，故③不正确．
【答案】 ②④⑤
三、解答题
9．设O是△ABC内一点，且＝a，＝b，＝c，若以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC、OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示、、.
【解】 由题意可知四边形OADB为平行四边形，
∴＝＋＝a＋b，
∴＝－＝c－(a＋b)＝c－a－b.
又四边形ODHC为平行四边形，
∴＝＋＝c＋a＋b，
∴＝－＝a＋b＋c－b＝a＋c.
10．(2013·泰安高一检测)已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，＝a，＝b，求证：
(1)|a－b|＝|a|；
(2)|a＋(a－b)|＝|b|.
【证明】 如图，在等腰Rt△ABC中，由M是斜边AB的中点，
得||＝||，||＝||.
(1)在△ACM中，＝－＝a－b.
于是由||＝||，
得|a－b|＝|a|.
(2)在△MCB中，＝＝a－b，
所以＝－
＝a－b＋a＝a＋(a－b)．
从而由||＝||，
得|a＋(a－b)|＝|b|.
11．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？
【解】 由向量加法的平行四边形法则，得＝a＋b，同样，由向量的减法知＝－＝a－b.
则有：当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；
当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形；
当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．
一、选择题
1．点C在线段AB上，且＝ ，则等于( )
A. B.
C．－ D．－
【解析】 ∵＝，∴＝－，
∴＝－.
【答案】 D
2．下面四个说法
①对于实数m和向量a、b，恒有m(a－b)＝ma－mb；
②对于实数m、n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na；
③对于实数m和向量a、b，若ma＝mb，则a＝b；
④对于实数m、n和向量a，若ma＝na，则m＝n.
其中正确的个数是( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
【解析】 由向量数乘运算律知①②均正确，对于③，若m＝0，ma＝mb成立，此时a，b任意，未必有a＝b，故③错；对于④，若a＝0，ma＝na成立，此时m，n任意，未必有m＝n，故④错误．
【答案】 C
3．(2013·泉州高一检测)点P满足向量＝2－，则点P与AB的位置关系是( )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB延长线上
C．点P在线段AB反向延长线上
D．点P在直线AB外
【解析】 ∵＝2－，∴－＝－，
∴＝，
∴点P在线段AB反向延长线上，故应选C.
【答案】 C
4．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝( )
A. B．－
C. D.
【解析】 由题意知＝＋， ①
＝＋， ②
且＋2＝0.
①＋②×2得3＝＋2.
∴＝＋，∴λ＝.
【答案】 A
图2－1－31
5．如图2－1－31所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，＝a，＝b，＝c，＝d，且E，F分别为AB，CD的中点，则( )
A.＝(a＋b＋c＋d)
B.＝(a－b＋c－d)
C.＝(c＋d－a－b)
D.＝(a＋b－c－d)
【解析】 如右图，连接OF，OE.＝－＝(＋)－(＋)＝(c＋d)－(a＋b)．∴＝(c＋d－a－b)．
【答案】 C
二、填空题
6．已知|a|＝6，b与a的方向相反，且|b|＝3，a＝mb，则实数m＝__________.
【解析】 ＝＝2，
∴|a|＝2|b|，又a与b的方向相反，
∴a＝－2b，∴m＝－2.
【答案】 －2
7．(2013·黄冈高一检测)已知点M是△ABC的重心，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.
【解析】 如图，＝，而＋＝2，故＋＝2×＝3，∴m＝3.
【答案】 3
图2－1－32
8.如图所示，O是平面内一定点，A、B、C是平面内不共线的三点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________心．
【解析】 设＝，＝，则与分别为单位向量，以它们为邻边作?ADFE，则它为菱形．
∴AF在∠BAC的角平分线上．
∴＝－＝λ(＋)＝λ.
∴与共线．
∴点P的轨迹一定过△ABC的内心．
【答案】 内
三、解答题
9．设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求(a－b)－(a－b)＋(2b－a)．
【解】 原式＝a－b－a＋b＋2b－a
＝(－1－1)a＋(－1＋＋2)b＝－a＋b
＝－(3i＋2j)＋(2i－j)
＝(－5＋)i＋(－－)j
＝－i－5j.
10．(2013·宁德高一检测)在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，求(用a，b表示)．
【解】 法一 如图所示?ABCD中，
连接AC交BD于O点，
则O平分AC和BD.
∵＝3，
∴＝，
∴N为OC的中点，
又M为BC的中点，
∴MN綊BO，
∴＝＝＝(b－a)．
法二 ＝－＝－(＋)
＝－＝(a＋b)－a＝(b－a)．
11．如图所示，点P在直线AB上，O为直线外任意一点，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求证：λ＋μ＝1.
图2－1－33
【证明】 ∵点P在直线AB上，
∴∥，
设＝x，
∵＝－，＝－，
∴－＝x(－)，
∴＝(1－x)＋x.
又＝λ＋μ，
∴λ＝1－x，μ＝x，
∴λ＋μ＝1.
一、选择题
1．已知数轴上两点A、B的坐标分别是－4，－1，则AB与||分别是( )
A．－3,3 B．3,3
C．3，－3 D．－6,6
【解析】 AB＝－1－(－4)＝3，||＝3.
【答案】 B
2．设a，b为不共线向量，＝a＋b，＝－4a－b，＝－5a－2b，则下列关系式中正确的是( )
A.＝ B.＝2
C.＝－ D.＝－2
【解析】 ＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2.
【答案】 B
3．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3a－3b，则( )
A．A、B、D三点共线 B．A、B、C三点共线
C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线
【解析】 ＝＋＋＝2a＋10b＝2(a＋5b)＝2，故A、B、D三点共线．
【答案】 A
4．已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若a∥b，则( )
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0
【解析】 ∵a∥b，∴存在实数k，使得a＝kb，
即(2k－1)e1＝λe2.∵e1≠0，∴若2k－1＝0，则λ＝0或e2＝0；
若2k－1≠0，则e1＝e2，此时e1∥e2，又0与任何一个向量平行，∴有e1∥e2或λ＝0.
【答案】 D
5．设＝(a＋5b)，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则||与||的比值为( )
A．2 B．3
C. D.
【解析】 ∵＋＝＝(－2a＋8b)＋3(a－b)＝a＋5b，
∴＝，∴与平行，
∴＝.
【答案】 C
二、填空题
6．已知A、B、C三点在数轴上，且点B的坐标3，AB＝5，AC＝2，则点C的坐标为________．
【解析】 设A、C的坐标分别为xA、xC，则AB＝3－xA＝5.∴xA＝－2，又AC＝xC－xA＝xC－(－2)＝2，
∴xC＝0.
【答案】 0
7．下面给出三个命题：①非零向量a与b共线，则a与b所在的直线平行；②向量a与b共线，则存在唯一实数λ，使a＝λb；③若a＝λb，则a与b共线．
其中真命题的序号为________．
【解析】 ③正确．
【答案】 ③
8．(2013·绍兴高一检测)设a，b是两个不共线的非零向量，记＝a，＝tb(t∈R)，＝(a＋b)，那么当A、B、C三点共线时，实数t的值为________．
【解析】 ∵＝a，＝tb，＝(a＋b)，
∴＝－＝tb－a，
＝－＝(a＋b)－a＝b－a，
∵A、B、C三点共线，∴存在实数λ，使＝λ，
即tb－a＝λ(b－a)．
由于a，b不共线，∴解得
故当t＝时，A、B、C三点共线．
【答案】
三、解答题
9．已知数轴上A，B两点的坐标为x1，x2，根据下列题中的已知条件，求点A的坐标x1.
(1)x2＝－5，BA＝－3；(2)x2＝－1，|AB|＝2.
【解】 (1)BA＝x1－(－5)＝－3，所以x1＝－8.
(2)|AB|＝|－1－x1|＝2，所以x1＝1或x1＝－3.
10．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ，μ使向量d＝λa＋μb与c共线？
【解】 假设存在这样的实数λ，μ使得d＝λa＋μb与c共线，
∴d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)
＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2.
要使d与c共线．
则有实数k，使得d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，
得
所以λ＝－2μ.
故存在这样的λ，μ，使d与c共线．
11．已知△ABC中，P为其内部一点，且满足＝λ(＋)(λ∈R)，＝μ(＋)(μ∈R)，试判断点P的位置．
【解】 如图，、分别为、的单位向量，长度均为1，设＝，＝，则以、为邻边的平行四边形AMQN为菱形，
∴AQ平分∠BAC.
又＝λ(＋)(λ∈R)＝λ，
∴、共线，则AP也平分∠BAC.
同理，根据＝μ(＋)(μ∈R)
知，BP平分∠ABC，
∴P是△ABC三个内角的平分线的交点，即P是△ABC的内心．
一、选择题
1．(2013·衡水高一检测)设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2
B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2
D．e1和e1＋e2
【解析】 B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，
∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，
∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底．
【答案】 B
2．如图所示，矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于( )
图2－2－8
A.(5e1＋3e2) B.(5e1－3e2)
C.(3e2－5e1) D.(5e2－3e1)
【解析】 ＝＝(－)＝(5e1＋3e2)．
【答案】 A
3．M为△ABC的重心，点D、E、F分别为三边BC，AB，AC的中点，则＋＋等于( )
A．6 B．－6
C．0 D．6
【解析】 ＋＋＝＋2＝＋＝0.
【答案】 C
4．设一直线上三点A、B、P满足＝m(m≠－1)，O是直线所在平面内一点，则用，表示为( )
A.＝＋m
B.＝m＋(1－m)
C.＝
D.＝＋
【解析】 由＝m得－＝m(－)，
∴＋m＝＋m，∴＝.
【答案】 C
5．(2013·三明高一检测)若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为( )
A. B.
C. D.
【解析】
∵＝4＝r＋s，
∴＝＝(－)＝r＋s，
∴r＝，s＝－.
∴3r＋s＝－＝.
【答案】 C
二、填空题
6．已知λ1＞0，λ2＞0，e1，e2是一组基底，且a＝λ1e1＋λ2e2，则a与e1________，a与e2________(填“共线”或“不共线”)．
【解析】 ∵e1，e2不共线，λ1＞0，λ2＞0，
∴a与e1，e2都不共线．
【答案】 不共线 不共线
7．已知e1、e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a、b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为__________．
【解析】 若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb即得λ≠4.
【答案】 (－∞，4)∪(4，＋∞)
8．若A、B、C三点共线，＋λ＝2，则λ＝________.
【解析】 ＝－λ＋2，且A、B、C三点共线，故－λ＋2＝1，∴λ＝1.
【答案】 1
三、解答题
9．判断下列命题的正误，并说明理由：
(1)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a、b、c、d∈R)，则a＝c，b＝d；
(2)若e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e1＋e2、e1－e2表示出来．
【解】 (1)错，当e1与e2共线时，结论不一定成立．
(2)正确，假设e1＋e2与e1－e2共线，则存在实数λ，使e1＋e2＝λ(e1－e2)，即(1－λ)e1＝－(1＋λ)e2.
因为1－λ与1＋λ不同时为0，所以e1与e2共线，这与e1与e2不共线矛盾．
所以e1＋e2与e1－e2不共线，因而它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用e1＋e2、e1－e2表示出来．
10．已知＝λ(λ∈R)，O是平面内任意一点(O不在直线AB上)．
(1)试以，为基底表示；
(2)当λ＝时，试确定点P的位置．
【解】 (1)∵＝－，＝－.
由＝λ得－＝λ(－)，
∴＝λ＋(1－λ).
(2)当λ＝时，由(1)可知＝＋＝(＋)，结合向量加法的几何意义可知，此时点P为线段AB的中点．
图2－2－9
11．如图2－2－9，点L、M、N分别为△ABC的边BC、CA、AB上的点，且＝l，＝m，＝n，若＋＋＝0.
求证：l＝m＝n.
【证明】 令＝a，＝b，＝c，
则由＝l得，＝lb；
由＝m得＝mc；
由＝n得＝na.
∵＋＋＝0，
∴(＋)＋(＋)＋(＋)＝0.
即(a＋lb)＋(b＋mc)＋(c＋na)＝0，
∴(1＋n)a＋(1＋l)b＋(1＋m)c＝0.
又∵a＋b＋c＝0，
∴a＝－b－c，
∴(1＋n)(－b－c)＋(1＋l)b＋(1＋m)c＝0，
即(l－n)b＋(m－n)c＝0.
∵b与c不共线，∴l－n＝0且m－n＝0，∴l＝n且m＝n，
即l＝m＝n.
一、选择题
1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b等于( )
A．(7,3) B．(7,7)
C．(1,7) D．(1,3)
【解析】 a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．
【答案】 A
2．若向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，已知A(1,2)和B(3,2)，则x的值为( )
A．－1 B．－1或4
C．4 D．1或－4
【解析】 ＝(2,0)，∴
∴x＝－1.
【答案】 A
3．设a＝(－1,2)，b＝(－1,1)，c＝(3，－2)，用a，b作基底，可得c＝pa＋qb，则( )
A．p＝4，q＝1 B．p＝1，q＝4
C．p＝0，q＝4 D．p＝1，q＝－4
【解析】 ∵c＝pa＋qb，
∴(3，－2)＝p(－1,2)＋q(－1,1)，
∴解得
【答案】 D
4．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与向量A同向的单位向量是( )
A．(，－) B．(－，)
C．(－，) D．(，－)
【解析】 ∵与A同向的单位向量为，
|A|＝＝5，
A＝(7，－3)－(4,1)＝(3，－4)，
∴＝(，－)．
【答案】 A
5．(2012·佛山高一检测)在△ABC中，点P在BC上，且B＝2P，点Q是AC的中点，若P＝(4,3)，P＝(1,5)，则B＝( )
A．(－2,7) B．(－6,21)
C．(2，－7) D．(6，－21)
【解析】 ∵P＝(4,3)，P＝(1,5)，
∴A＝P－P＝(－3,2)．
又∵Q是AC的中点，∴A＝2A＝(－6,4)，
∴P＝P＋A＝(－2,7)．又∵B＝2P，
∴B＝3P＝3(－2,7)＝(－6,21)．
【答案】 B
二、填空题
6．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝________.
【解析】 ＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．
【答案】 (－3，－5)
7．已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝2，∠xOA＝150°，则向量的坐标为________．
【解析】 过A分别作AM，AN垂直于x轴，y轴，垂足为M，N.易知AM＝1，AN＝，
∴A(－，1)，
∴＝(－，1)．
【答案】 (－，1)
8．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.
图2－2－10
【解析】 以向量a的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)．由c＝λa＋ μb，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－，则＝4.
【答案】 4
三、解答题
9．已知点A(－1,2)，B(2,8)及＝，＝－，求点C、D和的坐标．
【解】 设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由题意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，＝(－1－x2,2－y2)，
＝(－3，－6)．
∵＝，＝－，
∴(x1＋1，y1－2)＝(3,6)＝(1,2)．
∴(－1－x2,2－y2)＝－(－3，－6)＝(1,2)，则有和解得和∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，
∴＝(－2，－4)．
10．设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝(m，＋sin α)，其中λ、m、α为实数，若a＝2b，求的取值范围．
【解】 ∵a＝2b，
∴
①代入②消去λ整理得
(sin α－1)2＝－4m2＋9m－2.
∵－1≤sin α≤1，∴0≤(sin α－1)2≤4，
从而0≤－4m2＋9m－2≤4，
由得≤m≤2.
易证＝2－在[，2]上是增函数，
∴－6≤≤1，即∈[－6,1]．
11．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t·，试问：
(1)当t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第三象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，则求出t的值；若不能，请说明理由．
【解】 (1)＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)，
则P(1＋3t,2＋3t)，
若P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－；
若P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－；
若P在第三象限，则所以t＜－.
(2)因为＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)，
若四边形OABP是平行四边形，则＝，
所以此方程组无解，
故四边形OABP不能成为平行四边形．
一、选择题
1．设k∈R，下列向量中，与向量a＝(1，－1)一定不平行的向量是( )
A．b＝(k，k) B．c＝(－k，－k)
C．d＝(k2＋1，k2＋1) D．e＝(k2－1，k2－1)
【解析】 由向量共线的判定条件，当k＝0时，向量b，c与a平行；当k＝±1时，向量e与a平行．
对任意k∈R,1·(k2＋1)＋1·(k2＋1)≠0，∴a与d不平行．
【答案】 C
2．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于( )
A．(－5，－10) B．(－4，－8)
C．(－3，－6) D．(－2，－4)
【解析】 由a∥b得m＋2×2＝0，∴m＝－4，
∴b＝(－2，－4)．
∴2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．
【答案】 B
3．在?ABCD中，已知＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC、BD相交于O点，则的坐标是( )
A．(－，5) B．(－，－5)
C．(，－5) D．(，5)
【解析】 ∵＝－＝－(＋)
＝－(－2,3)－(3,7)＝(－，－5)．
【答案】 B
4．已知向量a＝(，sin α)，b＝(sin α，)，若a∥b，则锐角α为( )
A．30° B．60°
C．45° D．75°
【解析】 ∵a∥b，∴sin2 α＝×＝，
∴sin α＝±.∵α为锐角，∴α＝30°.
【答案】 A
5．与a＝(12,5)平行的单位向量为( )
A．(，－)
B．(－，－)
C．(，)或(－，－)
D．(±，±)
【解析】 设与a平行的单位向量为e＝(x，y)，则
∴或
【答案】 C
二、填空题
6．已知A，B，C三点的坐标分别为(0，－1)，(2,3)，(－1，－3)，则A，B，C三点的位置关系是________．
【解析】 ＝(2,4)，＝(－1，－2)，∴＝－2.
∴A，B，C三点共线．
【答案】 共线
7．(2013·福州高一检测)设向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，若向量λa＋b与向量c＝(6,2)共线，则实数λ＝________.
【解析】 λa＋b＝λ(1,0)＋(1,1)＝(λ＋1,1)，因为向量λa＋b与c＝(6,2)共线，所以(λ＋1)×2＝6×1，∴λ＝2.
【答案】 2
8．(2013·宿州高一检测)已知：＝(6,1)，＝(4，k)，＝(2,1)．若A、C、D三点共线，则k＝________.
【解析】 ∵＝(6,1)，＝(4，k)，＝(2,1)，
∴＝＋＝(10，k＋1)，又∵A、C、D三点共线，
∴∥.
∴10×1－2(k＋1)＝0，
解得k＝4.
【答案】 4
三、解答题
9．已知向量A＝(6,1)，C＝(－2，－3)，B＝(x，y)
且|B|＝，B∥D，求x，y的值．
【解】 由题意得D＝－A＝－(A＋B＋C)
＝－[(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)]＝(－x－4，－y＋2)，
B＝(x，y)．又∵B∥D，
∴x(－y＋2)－y(－x－4)＝0.
化简得x＋2y＝0.
即x，y应满足的关系为x＋2y＝0.①
又∵|B|＝，即x2＋y2＝5.②
由①②解得或
10．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，试证明四边形ABCD是梯形．
【证明】 ∵＝(3,3)，＝(－2，－2)，
∴＝－.
又∵A、B、C、D四点不共线，∴∥.
又∵＝(0,2)－(1,0)＝(－1,2)，
＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)．
且－1×1－2×(－2)≠0，∴AD与BC不平行，
∴四边形ABCD是梯形．
11．已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E为AB的中点，点F在BC上，且BF∶FC＝2∶1，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积．
【解】 以A为坐标原点，为x轴建立直角坐标系，如图所示，
∴A(0,0)，B(6,0)，C(6,6)，D(0,6)．
∴F(6,4)，E(3,0)，
设P(x，y)，＝(x，y)，
＝(6,4)，＝(x－3，y)，＝(3,6)．
由点A，P，F和点C，P，E分别共线，
得∴
∴S四边形APCD＝S正方形ABCD－S△AEP－S△CEB
＝36－×3×3－×3×6＝.
一、选择题
1．|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
【解析】 c⊥a，设a与b的夹角为θ，则(a＋b)·a＝0，所以a2＋a·b＝0，所以a2＋|a||b|cos θ＝0，
则1＋2cos θ＝0，所以cos θ＝－，所以θ＝120°.故选C.
【答案】 C
2．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为( )
A．2 B．4
C．6 D．12
【解析】 ∵(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2
＝|a|2－|a|·|b|cos 60°－6|b|2
＝|a|2－2|a|－96＝－72，
∴|a|2－2|a|－24＝0，
∴|a|＝6.
【答案】 C
3．若m·n≤0，则m与n的夹角θ的取值范围是( )
A．[0，) B．[，π)
C．[，π] D．[0，]
【解析】 ∵m·n≤0，∴|m|·|n|cos θ≤0，∴cos θ≤0，∴≤θ≤π.
【答案】 C
4．△ABC中，·＜0，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
【解析】 ∵·＝||||cos A＜0，
∴cos A＜0.∴A是钝角．∴△ABC是钝角三角形．
【答案】 C
5．点O是△ABC所在平面上一点，且满足·＝·＝·，则点O是△ABC的( )
A．重心 B．垂心
C．内心 D．外心
【解析】 ∵·＝·，
∴·(－)＝0，
即·＝0，则⊥.
同理⊥，⊥.
所以O是△ABC的垂心．
【答案】 B
二、填空题
6．已知|a|＝8，e为单位向量，a与e的夹角为150°，则a在e方向上的射影为________．
【解析】 a在e方向上的射影为|a|cos 150°＝8×(－)＝－4.
【答案】 －4
7．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于________．
【解析】 ∵(3a＋2b)⊥(λa－b)
∴(λa－b)·(3a＋2b)＝0，
∴3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0.
又∵|a|＝2，|b|＝3，a⊥b，
∴12λ＋(2λ－3)×2×3×cos 90°－18＝0，
∴12λ－18＝0，
∴λ＝.
【答案】
8．已知|a|＝|b|＝|c|＝1，且满足3a＋mb＋7c＝0，其中a与b的夹角为60°，则实数m＝________.
【解析】 ∵3a＋mb＋7c＝0，∴3a＋mb＝－7c，
∴(3a＋mb)2＝(－7c)2，
化简得9＋m2＋6ma·b＝49.
又a·b＝|a||b|cos 60°＝，∴m2＋3m－40＝0，
解得m＝5或m＝－8.
【答案】 5或－8
三、解答题
9．已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b.
【解】 ①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18；
若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18.
②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°，
∴a·b＝0.
③当a与b的夹角是60°时，
有a·b＝|a||b|cos 60°＝3×6×＝9.
10．已知向量a、b的长度|a|＝4，|b|＝2.
(1)若a、b的夹角为120°，求|3a－4b|；
(2)若|a＋b|＝2，求a与b的夹角θ.
【解】 (1)a·b＝|a||b|cos 120°
＝4×2×(－)＝－4.
又|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2
＝9×42－24×(－4)＋16×22＝304，
∴|3a－4b|＝4.
(2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝42＋2a·b＋22＝(2)2，
∴a·b＝－4，∴cos θ＝＝＝－.
又 θ∈[0，π]，∴θ＝.
11．已知a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，若有两个不同时为零的实数k，t，使得a＋(t－3)b与－ka＋tb垂直，试求k的最小值．
【解】 ∵a⊥b，∴a·b＝0，
又由已知得[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，
∴－ka2＋t(t－3)b2＝0.
∵|a|＝2，|b|＝1，∴－4k＋t(t－3)＝0.
∴k＝(t2－3t)＝(t－)2－(t≠0)．
故当t＝时，k取最小值－.
一、选择题
1．a＝(－4,3)，b＝(5,6)，则3|a|2－4a·b＝( )
A．23 B．57
C．63 D．83
【解析】 |a|2＝a2＝a·a＝(－4)2＋32＝25，
a·b＝(－4,3)·(5,6)＝－20＋18＝－2.
∴3|a|2－4a·b＝3×25－4×(－2)＝83.
【答案】 D
2．(2013·宿州高一检测)若a＝(2,1)，b＝(3,4)，则向量a在向量b方向上的射影为( )
A．2 B．2
C. D．10
【解析】 |a|cos θ＝|a|＝＝＝2.
【答案】 B
3．已知a＝(－1,3)，b＝(2，－1)且(ka＋b)⊥(a－2b)，则k＝( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 由题意知(ka＋b)·(a－2b)＝0，
而ka＋b＝(2－k,3k－1)，a－2b＝(－5,5)，
故－5(2－k)＋5(3k－1)＝0，解得k＝.
【答案】 C
4．已知＝(－2,1)，＝(0,2)，且∥，⊥，则点C的坐标是( )
A．(2,6) B．(－2，－6)
C．(2,6) D．(－2,6)
【解析】 设C(x，y)，则＝(x＋2，y－1)，
＝(x，y－2)，＝(2,1)．
由∥，⊥，得
解得
∴点C的坐标为(－2,6)．
【答案】 D
5．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)、B(4,1)、C(0，－1)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．以上均不正确
【解析】
＝(－1，－3)，
＝(3，－1)．
∵·＝－3＋3＝0，
∴AC⊥AB.
又∵||＝，||＝，
∴AC＝AB.
∴△ABC为等腰直角三角形．
【答案】 C
二、填空题
6．(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2,2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．
【解析】 ∵∠ABO＝90°，∴⊥，∴·＝0.
又＝－＝(2,2)－(－1，t)＝(3,2－t)，
∴(2,2)·(3,2－t)＝6＋2(2－t)＝0.
∴t＝5.
【答案】 5
7．若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝4，则b＝________.
【解析】 由题意可设b＝λa＝(λ，－2λ)，λ<0，
则|b|2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，
∴b＝－4a＝(－4,8)．
【答案】 (－4,8)
8．设平面向量a＝(－2,1)，b＝(λ，－1)(λ∈R)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是_________．
【解析】 a·b＜0?(－2,1)·(λ，－1)＜0?λ＞－.又设b＝ta(t＜0)，则(λ，－1)＝(－2t，t)，∴t＝－1，λ＝2，即λ＝2时，a和b反向，且共线，此时，不满足题意．∴λ∈(－，2)∪(2，＋∞)．
【答案】 (－，2)∪(2，＋∞)
三、解答题
9．(2013·徐州高一检测)在平面直角坐标系内，已知三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求：
(1)，的坐标；
(2)|－|的值；
(3)cos∠BAC的值．
【解】 (1)＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
＝(2,5)－(1,0)＝(1,5)．
(2)因为－＝(－1,1)－(1,5)＝(－2，－4)，所以|－|＝＝2.
(3)因为·＝(－1,1)·(1,5)＝4，
||＝，||＝，
cos∠BAC＝＝＝.
10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)、B(2,3)、C(－2，－1)．
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
【解】 (1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则
＋＝(2,6)，－＝(4,4)，
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线的长分别为2，4.
(2)由题设知：＝(－2，－1)，
－t＝(3＋2t,5＋t)．
由(－t)·＝0，
得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，
所以t＝－.
11．已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求点D的坐标与||.
【解】 设点D的坐标为(x，y)，则
＝(x－2，y＋1)，
＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)．
∵D在直线BC上，即与共线，
∴－3(x－3)＋6(y－2)＝0.
即x－2y＋1＝0.又AD⊥BC，
∴·＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，
即2x＋y－3＝0.
联立方程组解得
∴点D的坐标为(1,1)，
||＝＝.
一、选择题
1．用力F推动一物体水平运动s m，设F与水平面的夹角为θ，则力F对物体所做的功为( )
A．|F|·s B．F·cos θ·s
C．F·sin θ·s D．|F|·cos θ·s
【解析】 W＝F·s＝|F|·|s| ·cos θ＝|F|cos θ·s.
【答案】 D
2．(2013·福建高考)在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )
A. B．2
C．5 D．10
【解析】 ∵·＝(1,2)·(－4,2)＝－4＋4＝0，∴⊥，∴S四边形ABCD＝||·||＝××2＝5.
【答案】 C
3．一船从某河一岸驶向另一岸，航速为υ1、水速为υ2，已知船垂直到达对岸，则( )
A．|υ1|＜|υ2| B．|υ1|＞|υ2|
C．|υ1|≤|υ2| D．|υ1|≥|υ2|
【解析】 速度是向量，要使船垂直到达对岸，则向量υ1在水流方向上的分量与向量υ2大小相等、方向相反，由此即得|υ1|＞|υ2|.
【答案】 B
4．(2013·漳州高一检测)若四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是( )
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．直角梯形
【解析】 ∵＋＝0，∴＝，四边形ABCD是平行四边形，由(－)·＝0，得·＝0，∴⊥，即此四边形对角线互相垂直，故为菱形．
【答案】 C
5．过点M(2,3)，且垂直于向量u＝(2,1)的直线方程为( )
A．2x＋y－7＝0 B．2x＋y＋7＝0
C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0
【解析】 设P(x，y)是所求直线上任一点，则⊥u，
又∵＝(x－2，y－3)，∴2(x－2)＋(y－3)＝0，即2x＋y－7＝0.
【答案】 A
二、填空题
6．飞机以300 km/h的速度斜向上飞行，方向与水平面成30°角，则飞机在水平方向的分速度大小是________km/h.
【解析】 在水平方向上的速度为v·cos 30°＝150 km/h.
【答案】 150
7．在△ABC中，若∠C＝90°，AC＝BC＝4，则·＝________.
【解析】 由∠C＝90°，AC＝BC＝4，知△ABC是等腰直角三角形．∴BA＝4，∠ABC＝45°，
∴·＝4×4×cos 45°＝16.
【答案】 16
图2－4－2
8.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图所示，已知物体的重力大小为10 N，则每根绳子的拉力大小是________．
【解析】 因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10 N.
【答案】 10 N
三、解答题
图2－4－3
9.如图所示，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
【解】 设＝a，＝b，
则＝a－b，＝a＋b.
而||＝|a－b|
＝＝
＝＝，
∴||2＝5－2a·b＝4，∴2a·b＝1.
又||2＝|a＋b|2＝a2＋2ab＋b2＝|a|2＋2ab＋|b|2
＝1＋4＋2ab，
∴||2＝6，∴||＝，即AC＝.
10.
图2－4－4
如图所示，作用于同一点O的三个力F1、F2、F3处于平衡状态，已知|F1|＝1，|F2|＝2，F1与F2的夹角为，求F3的大小．
【解】 ∵F1、F2、F3三个力处于平衡状态，
∴F1＋F2＋F3＝0，
即F3＝－(F1＋F2)，
∴|F3|＝|F1＋F2|
＝
＝
＝＝.
11．△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分线所在的直线的方程．
【解】 向量＝(7,5)－(4,1)＝(3,4)，＝(－4，7)－(4,1)＝(－8,6)，从而∠A的平分线的一个方向向量为＋＝(，)＋(－，)＝(－，)，则∠A的平分线方程可设为x＋y＋m＝0，将点(4,1)的坐标代入，得m＝－，整理得7x＋y－29＝0，即∠A的平分线所在直线的方程为7x＋y－29＝0.
