课件28张PPT。三角函数的求值 三角函数式的化简与证明 三角恒等变形的综合运用 转化与化归的思想 课件50张PPT。教师用书独具演示演示结束两角和与差的余弦公式 运用公式求值 给值求值 给值求角 课时作业（二十四）课件52张PPT。教师用书独具演示演示结束两角和与差的正弦公式 sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β 给角求值 给值求值 给值求角 课时作业（二十五）课件52张PPT。教师用书独具演示演示结束两角和与差的正切公式 化简求值 条件求值(角)问题 综合应用 课时作业（二十六）课件49张PPT。教师用书独具演示演示结束倍角公式 2sin αcos α cos2α－sin2α 2cos2α－1 1－2sin2α 利用二倍角公式给角求值 利用二倍角公式给值求值 二倍角公式的综合应用 课时作业（二十七）课件44张PPT。教师用书独具演示演示结束半角公式 应用半角公式求值 三角函数式的化简 恒等式的证明 课时作业（二十八）课件56张PPT。教师用书独具演示演示结束积化和差与和差化积公式 积化和差与和差化积公式在给角求值中的应用 积化和差与和差化积公式在给值求值中的应用 三角恒等式的证明 课时作业（二十九）综合检测(三)
第三章 三角恒等变换
(时间：90分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2013·新余高一检测)cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°的值是( )
A．－ B.
C. D．－
【解析】 原式＝cos 43°sin 13°－sin 43°cos 13°＝sin(13°－43°)＝sin(－30°)＝－.
【答案】 D
2．已知tan(π－α)＝2，则等于( )
A. B.
C．－ D．－
【解析】 由tan(π－α)＝2，得tan α＝－2，
∴＝＝＝－.
【答案】 C
3．(2013·德州高一检测)函数f(x)＝2sin(－x)
cos(＋x)－1是( )
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数
D．最小正周期为π的偶函数
【解析】 f(x)＝2sin(－x)cos(＋x)－1
＝2cos[－(－x)]·cos(＋x)－1
＝2cos(＋x)·cos(＋x)－1＝2cos2(＋x)－1
＝cos 2(＋x)＝cos(＋2x)＝－sin 2x.
∴T＝π，且f(x)是奇函数．故选B.
【答案】 B
4．(2013·合肥高一检测)tan(α＋β)＝，tan(α＋)＝，那么tan(β－)＝( )
A. B.
C. D.
【解析】 tan(β－)＝tan[(α＋β)－(α＋)]＝＝＝.
【答案】 C
5．函数f(x)＝sin x－cos x(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )
A．[－π，－] B．[－，－]
C．[－，0] D．[－，0]
【解析】 f(x)＝2sin(x－)，x∈[－π，0]，
由2kπ－≤x－≤2kπ＋，得2kπ－≤x≤2kπ＋π
∴递增区间为[－，0]．
【答案】 D
6．(2013·江西高考)若sin ＝，则cos α＝( )
A．－ B．－
C. D.
【解析】 cos α＝1－2sin2＝1－2×2＝1－＝.
【答案】 C
7．(2013·洋浦高一检测)在△ABC中，若sin C＝2cos Asin B，则此三角形必是( )
A．等腰三角形 B．正三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】 △ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝2cos Asin B，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0，即sin(A－B)＝0，
∴A＝B.
【答案】 A
8．在锐角△ABC中，设x＝sin Asin B，y＝cos Acos B，则x，y的大小关系为( )
A．x≤y B．x＞y
C．x＜y D．x≥y
【解析】 x－y＝sin Asin B－cos Acos B＝－cos(A＋B)，因为△ABC是锐角三角形，故＜A＋B＜π，
∴－cos(A＋B)＞0，∴x＞y.
【答案】 B
9．已知sin(－θ)＋cos(－θ)＝，则cos 2θ的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
【解析】 将sin(－θ)＋cos(－θ)＝两边平方得，1＋2sin(－θ)cos(－θ)＝，
即1＋sin(－2θ)＝，cos 2θ＝－.
【答案】 C
10．若cos α＝－，α是第三象限的角，则＝( )
A．－ B.
C．2 D．－2
【解析】 α是第三象限的角且cos α＝－，
∴sin α＝－.
tan＝＝＝－3，
∴＝＝－.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
11．若cos α＝，α∈(0，)，则cos(α－)＝________.
【解析】 由题意知sin α＝，
cos(α－)＝cos α·cos＋sin α·sin.
＝·＋·＝.
【答案】
12．tan(－θ)＋tan(＋θ)＋tan(－θ)tan(＋θ)的值是________．
【解析】 ∵tan ＝tan(－θ＋＋θ)
＝＝，
∴＝tan(－θ)＋tan(＋θ)＋tan(－θ)tan(＋θ)．
【答案】
13．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，那么log＝________.
【解析】 由题意有sin αcos β＋cos αsin β＝，
sin αcos β－cos αsin β＝，
两式相加得sin αcos β＝，两式相减得cos αsin β＝.
则＝5，故log＝2.
【答案】 2
14．(2013·四川高考)设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．
【解析】 ∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.
∵α∈，sin α≠0，
∴cos α＝－.
又∵α∈，∴α＝π，
∴tan 2α＝tan π＝tan＝tan ＝.
【答案】
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)化简：.
【解】 原式＝
＝
＝
＝
＝＝－4.
16．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Acos(＋)，x∈R，且f()＝.
(1)求A的值；
(2)设α，β∈[0，]，f(4α＋π)＝－，f(4β－π)＝，求cos(α＋β)的值．
【解】 (1)由f()＝得Acos(＋)＝，
即A·cos ＝，∴A＝2.
(2)由(1)知f(x)＝2cos(＋)．
由
得解得
∵α，β∈[0，]，∴cos α＝＝，
sin β＝＝.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.
17．(本小题满分12分)(2013·辽宁高考)设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
【解】 (1)由|a|2＝(sin x)2＋sin2 x＝4sin2x，
|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，
及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.
又x∈，从而sin x＝，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x
＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，
当x＝∈时，sin取最大值1.
所以f(x)的最大值为.
18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝2sin2(－x)－cos 2x.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)若f(x)＜m＋2在x∈[0，]上恒成立，求实数m的取值范围．
【解】 (1)∵f(x)＝1－cos(－2x)－cos 2x
＝－(sin 2x＋cos 2x)＋1
＝－2sin(2x＋)＋1，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴f(x)的单调递减区间为[kπ－π，kπ＋](k∈Z)．
(2)∵x∈[0，]，
∴≤2x＋≤π，∴≤sin(2x＋)≤1，
∴当sin(2x＋)＝时，f(x)取得最大值为1－，即f(x)max＝1－.
要使f(x)＜m＋2恒成立，需f(x)max＜m＋2，
∴1－＜m＋2，解得m＞－1－，
∴m的取值范围是(－1－，＋∞)．
一、选择题
1．cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°的值为( )
A．－ B.
C. D．－
【解析】 cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝.
【答案】 B
2．若α∈(0，π)，且cos(α＋)＝，则cos α等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵α∈(0，π)且cos(α＋)＝，
∴sin(α＋)＝.
cos α＝cos[(α＋)－]
＝×＋×＝.
【答案】 C
3．已知：cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－，且180°＜α＜270°，则tan α等于( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 由已知得cos[(α＋β)－β]＝－，即cos α＝－.又180°＜α＜270°，所以sin α＝－，所以tan α＝＝.
【答案】 A
4．设α∈(0，)，sin α＝，则cos(α＋)＝( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 ∵α∈(0，)，sin α＝，∴cos α＝，
∴cos(α＋)＝(cos αcos －sin αsin )＝cos α－sin α＝－＝.
【答案】 A
5．若sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos(α－β)的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
【解析】 ∵(sin α－sin β)2＋(cos α－cos β)2＝2－2cos(α－β)＝(1－)2＋()2，∴cos(α－β)＝.
【答案】 D
二、填空题
6．化简：＝________.
【解析】 ＝
＝＝.
【答案】
7．(2013·成都高一检测)若cos θ＝－，θ∈(π，)，则cos(θ＋)＝________.
【解析】 ∵cos θ＝－，θ∈(π，)，
∴sin θ＝－，
∴cos(θ＋)＝cos θcos －sin θsin ＝－×－(－)×＝－.
【答案】 －
8．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，α，β∈(0，π)且a⊥b，则α－β的值为________．
【解析】 ∵a⊥b，∴a·b＝0，
即cos αcos β＋sin αsin β＝0，从而cos(α－β)＝0.
∵α，β∈(0，π)，∴－π＜α－β＜π，
∴α－β＝或－.
【答案】 ±
三、解答题
9．已知α、β为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α＋β的值．
【解】 ∵α，β为锐角，∴sin α＝，sin β＝，
∴cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝·－·＝－＝－.
又0＜α＋β＜π，∴α＋β＝.
10．(2013·广东高考)已知函数f(x)＝cos，x∈R.
(1)求f的值；
(2)若cos θ＝，θ∈，求f.
【解】 (1)因为f(x)＝cos，
所以f＝cos＝cos＝×＝1.
(2)因为θ∈，cos θ＝，
所以sin θ＝－＝－＝－.
所以f＝cos
＝cos
＝×
＝cos θ＋sin θ＝－＝－.
11．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝.
(1)求cos(α－β)；
(2)若0<α<，－<β<0，且sin β＝－，求sin α.
【解】 (1)∵a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，
∴a－b＝(cos α－cos β，sin α－sin β)．
∵|a－b|＝，
∴＝，
即2－2cos(α－β)＝，∴cos(α－β)＝.
(2)∵0<α<，－<β<0，∴0<α－β<π.
∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝.
∵sin β＝－，∴cos β＝.
∴cos α＝cos[(α－β)＋β]
＝cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β
＝×－×(－)＝.
又0<α<，∴sin α＝＝.
一、选择题
1．化简：sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°＝( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°＝sin(21°－81°)＝－sin 60°＝－.
【答案】 D
2.的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 原式
＝
＝＝2sin 30°＝1.
【答案】 A
3．已知＜β＜，sin β＝，则sin(β＋)＝( )
A．1 B．2
C. D.
【解析】 ∵＜β＜，∴cos β＝＝＝，
∴sin(β＋)＝sin β＋cos β＝×＋×＝.
【答案】 C
4．cos(－α)sin α＋cos(＋α)cos α＝( )
A．－ B.
C. D．－
【解析】 由于cos(＋α)＝sin(－α)，
所以原式＝sin(－α)cos α＋cos(－α)sin α
＝sin(－α＋α)＝sin ＝.
【答案】 B
5．在△ABC中，2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是( )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
【解析】 在△ABC中，C＝π－(A＋B)，
∴2cos Bsin A＝sin[π－(A＋B)]
＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B.
∴－sin Acos B＋cos Asin B＝0.
即sin(B－A)＝0.∴A＝B.
【答案】 C
二、填空题
6．若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________.
【解析】 由8sin α＋5cos β＝6，两边平方，
得64sin2α＋80sin αcos β＋25cos2β＝36. ①
由8cos α＋5sin β＝10，两边平方，
得64cos2α＋80 cos α sin β＋25sin2β＝100. ②
①＋②，得64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β)＝136.
∴sin(α＋β)＝.
【答案】
7．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β等于________．
【解析】 由条件知cos α＝，cos(α－β)＝(因为－＜α－β＜0)，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×(－)＝，又β为锐角，所以β＝.
【答案】
8．求值：＝________.
【解析】
＝
＝＝＝－2.
【答案】 －2
三、解答题
9．设α∈(，π)，β∈(，2π)，若cos α＝－，sin β＝－，求sin(α＋β)的值．
【解】 ∵α∈(，π)，cos α＝－，∴sin α＝，
∵β∈(，2π)，sin β＝－，
∴cos β＝.
∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×＋(－)×(－)＝.
10．已知：＜α＜，且cos(α－)＝，求cos α，sin α的值．
【解】 因为＜α＜，所以0＜α－＜.
因为cos(α－)＝，
所以sin(α－)＝＝.
所以sin α＝sin[(α－)＋]
＝sin(α－)cos ＋cos(α－)sin ＝，
cos α＝cos[(α－)＋]
＝cos(α－)cos －sin(α－)sin ＝.
11．求证：－2cos(α＋β)＝.
【证明】 ∵左边＝
＝
＝
＝＝＝右边．
∴原等式得证.
一、选择题
1.＝( )
A．－ B.
C．－ D.
【解析】 原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝.
【答案】 D
2．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵4＝tan(α＋β)＝
＝，∴tan αtan β＝.
【答案】 A
3．已知α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 tan(α＋β)＝＝tan ＝－1，所以tan α＋tan β＝－1＋tan αtan β，从而(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝1－(－1＋tan αtan β)＋tan αtan β＝2.
【答案】 B
4．tan 18°＋tan 42°＋tan 18°tan 42°＝( )
A．1 B.
C. D．2
【解析】 tan 60°＝tan(18°＋42°)＝，
所以tan 18°＋tan 42°＝tan 60°(1－tan 18°tan 42°)，
tan 18°＋tan 42°＋tan 18°tan 42°
＝tan 60°(1－tan 18°tan 42°)＋tan 18°tan 42°＝.
【答案】 C
5．已知tan α，tan β是关于x的一元二次方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则＝( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
【解析】 ∵tan α，tan β是关于x的一元二次方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，∴tan α＋tan β＝－6，tan α·tan β＝2.则＝
＝＝＝－2.
【答案】 C
二、填空题
6．已知tan α，tan β是方程x2＋6x＋7＝0的两个实根，则tan(α－β)的值等于________．
【解析】 由已知tan α＝－3＋，tan β＝－3－或tan α＝－3－，tan β＝－3＋，
∴tan(α－β)＝＝±.
【答案】 ±
7．设tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，则tan(α＋)的值是________．
【解析】 ∵α＋＝(α＋β)－(β－)．
∴tan(α＋)＝＝＝.
【答案】
8．已知tan(α＋β)＝7，tan α＝，且β∈(0，π)，则β的值为________．
【解析】 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝1，又β∈(0，π)，所以β＝.
【答案】
三、解答题
9．已知tan(＋α)＝，tan(β－)＝2，
(1)求tan(α＋β－)的值；
(2)求tan(α＋β)的值．
【解】 (1)tan(α＋β－)＝tan[(＋α)＋(β－)]
＝＝＝－.
(2)tan(α＋β)＝tan[(α＋β－)＋]
＝＝
＝2－3.
10．已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两个根，且α，β∈(－，)，求α＋β的值．
【解】 由题意，有，
tan α＜0且tan β＜0.又因为α，β∈(－，)，
所以α，β∈(－，0)，α＋β∈(－π，0)．
又因为tan(α＋β)＝＝＝.
在(－π，0)内，正切值为的角只有－，
所以α＋β＝－.
11．是否存在锐角α和β，使得①α＋2β＝和②tan ·tan β＝2－同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．
【解】 由①得＋β＝，
∴tan(＋β)＝＝.
将②代入上式得tan ＋tan β＝3－.
因此，tan 与tan β是一元二次方程x2－(3－)x＋2－＝0的两根．解之，得x1＝1，x2＝2－.
若tan ＝1，由于0＜＜，
∴这样的α不存在．
故只能是tan ＝2－，tan β＝1.
由于α，β均为锐角，∴α＝，β＝.
故存在锐角α＝，β＝使①②同时成立.
一、选择题
1.·＝( )
A．tan 2α B．tan α
C．1 D.
【解析】 原式＝·＝tan 2α.
【答案】 A
2．函数f(x)＝sin xcos x的最小值是( )
A．－1 B．－
C. D．1
【解析】 f(x)＝sin 2x，∴f(x)min＝－.
【答案】 B
3．(2013·课标全国卷Ⅱ)已知sin 2α＝，是cos2＝( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵sin 2α＝，∴cos2＝＝＝＝.
【答案】 A
4．设sin α＝(＜α＜π)，tan(π－β)＝，则tan(α－2β)＝( )
A．－ B．－
C. D.
【解析】 ∵sin α＝，α∈(，π)，
∴cos α＝－，∴tan α＝－.
又∵tan(π－β)＝，∴tan β＝－，
∴tan 2β＝＝－.
∴tan(α－2β)＝
＝＝.
【答案】 D
5.＋2的化简结果是( )
A．2cos 4－4sin 4 B．2sin 4
C．2sin 4－4cos 4 D．－2sin 4
【解析】 原式＝＋2＝×＋2
＝2|sin 4|＋2|sin 4－cos 4|，
∵sin 4<0，sin 4
∴原式＝－2sin 4＋2(cos 4－sin 4)＝2cos 4－4sin 4.
【答案】 A
二、填空题
6．(2013·广州高一检测)已知sin(－x)＝，则sin 2x的值等于________．
【解析】 法一 ∵sin(－x)＝，∴cos(－2x)＝1－2sin2(－x)＝1－2×()2＝，
∴sin 2x＝cos(－2x)＝.
法二 由sin(－x)＝，得(sin x－cos x)＝－，
∴sin x－cos x＝－，两边平方得
1－sin 2x＝，∴sin 2x＝.
【答案】
7．在△ABC中，已知cos 2C＝－，则sin C的值为________．
【解析】 cos 2C＝1－2sin2C＝－且0所以sin C＝.
【答案】
8．函数f(x)＝sin(2x－)－2·sin2x的最小正周期是________．
【解析】 f(x)＝sin(2x－)－2sin2x
＝sin 2x－cos 2x－2×
＝sin 2x＋cos 2x－
＝sin(2x＋)－，
故该函数的最小周期为＝π.
【答案】 π
三、解答题
9．(1)求函数f(x)＝cos(x＋π)＋2cos2，x∈R的值域；
(2)已知tan α＝3，α∈(，)，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．
【解】 (1)f(x)＝cos xcosπ－sin xsinπ＋cos x＋1＝－cos x－sin x＋cos x＋1＝cos x－sin x＋1＝sin(x＋)＋1，因此f(x)的值域为[0,2]．
(2)∵α∈(，)，tan α＝3，∴sin α＝，cos α＝.
∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－，
∴tan 2α＝＝－.
10．已知sin(＋α)sin(－α)＝，且α∈(，π)，求sin 4α的值．
【解】 因为(＋α)＋(－α)＝.
所以sin(－α)＝cos(＋α)
因为sin(＋α)sin(－α)＝，
所以2sin(＋α)·cos(＋α)＝，
即sin(＋2α)＝.
所以cos 2α＝.
又因为α∈(，π)，所以2α∈(π，2π)，
所以sin 2α＝－＝－.
所以sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝－.
11．(2013·安徽高考)已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ω＞0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
【解】 (1)f(x)＝4cos ωx·sin
＝2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx
＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋＝2sin＋.
因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，
从而有＝π，故ω＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x＋)＋.
若0≤x≤，则≤2x＋≤.
当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；
当＜2x＋≤，即＜x≤时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.
一、选择题
1．下列各式与tan α相等的是( )
A. B.
C. D.
【解析】 ＝＝＝tan α.
【答案】 D
2．若函数f(x)＝sin 2x－(x∈R)，则f(x)是( )
A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数
D．最小正周期为π的偶函数
【解析】 y＝sin 2x－
＝－
＝－cos 2x，
∴函数是最小正周期为π的偶函数．
【答案】 D
3．如果|cos θ|＝，<θ<3π，那么sin的值等于( )
A．－ B.
C．－ D.
【解析】 |cos θ|＝，<θ<3π，θ为第二象限的角，则cos θ＝－，又<<，为第三象限的角，则sin＝－＝－＝－.
【答案】 C
4．已知sin θ＝－，3π＜θ＜π，则tan 的值为( )
A．3 B．－3
C. D．－
【解析】 ∵3π＜θ＜π，sin θ＝－，
∴cos θ＝－＝－，∴tan θ＝.
∵3π＜θ＜π，∴π＜＜π，
又tan θ＝＝，
∴tan ＝－3或(舍去)．
【答案】 B
5．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有( )
A．cC．a【解析】 a＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°，
b＝2sin 13° ·cos 13°＝sin 26°，
c＝sin 25°，
y＝sin x在[0，]上是递增的．
∴a【答案】 C
二、填空题
6.＋2的化简结果是________．
【解析】 原式＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|.
∵π＜4，∴cos 4＜0，sin 4＜cos 4.
∴原式＝－2cos 4＋2cos 4－2sin 4＝－2sin 4.
【答案】 －2sin 4
7．5π<θ<6π，cos＝a，则sin＝________.
【解析】 ∵5π<θ<6π，∴<<，∴sin<0.
sin ＝－ ＝－ .
【答案】 －
8．(2013·常熟高一检测)函数y＝cos2(x－)＋sin2(x＋)－1的最小正周期为________．
【解析】 y＝cos2(x－)＋sin2(x＋)－1＝＋－1
＝
＝sin 2x，
∴T＝＝π.
【答案】 π
三、解答题
9．设π＜θ＜2π，cos ＝a，求
(1)sin θ的值；(2)cos θ的值；(3)sin2的值．
【解】 (1)∵π＜θ＜2π，∴＜＜π，
又cos ＝a，∴sin ＝＝，
∴sin θ＝2sin cos ＝2a.
(2)cos θ＝2cos2－1＝2a2－1.
(3)sin2＝＝.
10．已知向量a＝(cos ，sin )，b＝(cos ，－sin )，且x∈[0，]，求：a·b及|a＋b|.
【解】 a·b＝cos cos －sin sin ＝cos 2x；
|a＋b|＝
＝＝ ＝2
＝2|cos x|.
∵x∈[0，]，∴cos x≥0，∴|a＋b|＝2cos x.
11．若π＜α＜，化简＋
.
【解】 ∵π＜α＜，∴＜＜，
∴cos ＜0，sin ＞0.
∴原式＝＋
＝＋
＝－＋＝－cos .
一、选择题
1．sin 37.5°cos 7.5°＝( )
A. B.
C. D.
【解析】 原式＝[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]
＝(sin 45°＋sin 30°)＝×(＋)＝.
【答案】 C
2．化简：＝( )
A．sin 10° B．tan 10°
C．sin 20° D．tan 20°
【解析】 原式＝＝＝tan 20°.
【答案】 D
3．函数f(x)＝sin(2x－)cos(2x＋)的周期是( )
A. B．π
C．2π D．4π
【解析】 ∵f(x)＝[sin 4x＋sin(－)]
＝sin 4x－，
∴T＝＝.
【答案】 A
4．(2013·临沂高一检测)求值：sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80 °＝( )
A. B.
C. D．1
【解析】 sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80°
＝2sin 30°cos(－10°)＋sin 60°－sin 80°
＝2××sin 80°＋－sin 80°＝.
【答案】 C
5．已知α－β＝，且cos α＋cos β＝，则cos(α＋β)等于( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 ∵cos α＋cos β＝，∴2cos cos ＝，
∵α－β＝π，
∴cos ＝.
∴cos ＝
则cos(α＋β)＝2cos2()－1＝－.
【答案】 D
二、填空题
6．函数y＝cos(＋2x)cos(－2x)的最大值是________．
【解析】 y＝cos(＋2x)cos(－2x)＝{cos[(＋2x)＋(－2x)]＋cos[(＋2x)－(－2x)]}＝(cos ＋cos 4x)＝cos 4x－.
∴ymax＝.
【答案】
7．直角三角形中两锐角为A和B，则sin Asin B的最大值为________．
【解析】 ∵A＋B＝，
sin Asin B＝[cos(A－B)－cos(A＋B)]
＝cos(A－B)，
又－＜A－B＜，∴0＜cos(A－B)≤1，
∴sin Asin B有最大值.
【答案】
8.＋＝________.
【解析】 原式＝
＝
＝
＝＝2cos 30°＝.
【答案】
三、解答题
9．已知A，B，C是△ABC的三个内角，y＝tan ＋
，若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？并证明你的结论．
【解】 ∵A，B，C是△ABC的三个内角，
∴A＋B＋C＝π，
＝－.
∴y＝tan ＋
＝tan ＋
＝tan ＋tan ＋tan .
因此，任意交换两个角的位置，y的值不变．
10．求函数f(x)＝sin x[sin x－sin(x＋)]的最小正周期与最值．
【解】 f(x)＝sin x[sin x－sin(x＋)]
＝sin x·2cos(x＋)sin(－)
＝－sin xcos(x＋)
＝－[sin(2x＋)＋sin(－)]
＝－sin(2x＋)＋.
∴最小正周期为T＝＝π.
∵sin(2x＋)∈[－1,1]，
∴f(x)max＝，f(x)min＝－.
11．已知3tan(α－)＝tan(α＋)，求证：sin 2α＝1.
【证明】 ∵3tan(α－)＝tan(α＋)，
∴＝.
∴3sin(α－)cos(α＋)＝sin(α＋)cos(α－)．
∴(sin 2α－sin )＝(sin 2α＋sin )．
∴3sin 2α－＝sin 2α＋，∴sin 2α＝1.
