课件53张PPT。教师用书独具演示演示结束正弦定理 正弦 三个角A，B，C 对边a，b，c 几个元素 元素 已知两角及一边解三角形 已知两边及一边的对角解三角形 判断三角形的形状 课时作业（一）课件56张PPT。教师用书独具演示演示结束余弦定理 平方 平方 和 余弦的积 两 b2＋c2－2bccos A a2＋c2－2accos B a2＋b2－2abcos C 余弦定理的推论 已知两边一角解三角形 已知三边解三角形 判断三角形的形状 课时作业（二）课件52张PPT。教师用书独具演示演示结束基线的概念 线段 基线 长度 精确度 高 测量中的有关概念 水平面 水平宽度 目标 垂直 求两点间可视但不可到达的距离问题 求不可到达两点之间的距离问题 求底部不可到达的物体的高度问题 课时作业（三）课件50张PPT。教师用书独具演示演示结束方位角与方向角 顺时针方向 0°～360° 90° 正南 向西 俯角、仰角与坡角 夹角 仰角 俯角 ∠1 ∠2 水平面 坡面的垂直高度和水平宽度的比 确定航向的角度问题 不确定航向的角度问题 课时作业（四）课件49张PPT。教师用书独具演示演示结束三角形的面积公式 三角形中的面积计算 三角形中的证明问题 三角形中的综合问题 课时作业（五）综合检测(一)
第一章 解三角形
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，已知a＝11，b＝20，A＝130°，则此三角形( )
A．无解 B．只有一解
C．有两解 D．解的个数不定
【解析】 根据大角对大边，∵b>a，∴B>A，
∵A＝130°，∴本题无解．
【答案】 A
2．(2012·广东高考)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝( )
A．4 B．2
C. D.
【解析】 在△ABC中，＝，
∴AC＝＝＝2.
【答案】 B
3．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵A＝180°－45°－60°＝75°，
∴A>C>B，∴边b最短．
由＝，得b＝＝＝.
【答案】 A
4．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c＝( )
A.∶1∶1 B．2∶1∶1
C.∶1∶2 D．3∶1∶1
【解析】 由A∶B∶C＝4∶1∶1，得A＝120°，B＝30°，C＝30°，
所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝∶∶＝∶1∶1.
【答案】 A
5．(2013·聊城高二期中)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
【解析】 sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝5∶11∶13，且C是△ABC的最大内角，又因为52＋112－132<0，故cos C<0，∴角C为钝角．
【答案】 B
6．(2012·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝( )
A. B．－
C．± D.
【解析】 由＝，且8b＝5c，C＝2B，所以5csin 2B＝8csin B，所以cos B＝.所以cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝.
【答案】 A
7．符合下列条件的三角形有且只有一解的是( )
A．a＝1，b＝2，c＝3
B．a＝1，b＝，A＝30°
C．a＝1，b＝2，A＝100°
D．b＝c＝1，B＝45°
【解析】 A：a＋b＝3＝c不能构成三角形；B：bsin A
∴B＝C＝45°，∴A＝90°，故只有一解．
【答案】 D
8．如图1所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60 m，则树的高度为( )
图1
A．(30＋30) m B．(30＋15) m
C．(15＋30) m D．(15＋15) m
【解析】 由正弦定理可得＝，PB＝＝，h＝PB·sin 45°＝·sin 45°＝(30＋30)(m)．
【答案】 A
9．(2013·菏泽高二期中)在锐角三角形中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，设B＝2A，则的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(0,2)
C．(1,2) D．(，)
【解析】 ∵＝＝＝2cos A，而30°【答案】 D
10．已知△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为( )
A. B.
C. D.
【解析】 由p∥q得：(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，
即c2－a2－b2＋ab＝0，∴a2＋b2－c2＝ab.
由余弦定理得：cos C＝＝＝.
∴C＝.
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
11．(2012·北京高考)在△ABC中，若a＝3，b＝，∠A＝，则∠C的大小为________．
【解析】 在△ABC中，由正弦定理可知＝，
即sin B＝＝＝.
又∵a>b，∴∠B＝.
∴∠C＝π－∠A－∠B＝.
【答案】
12．(2013·枣庄高二检测)在△ABC中，如果S△BAC＝(a2＋b2－c2)，那么C＝________.
【解析】 由三角形面积公式S△BAC＝absin C＝(a2＋b2－c2)，
∴sin C＝，而由余弦定理cos C＝，
∴sin C＝cos C，∴C＝45°.
【答案】 45°
13．如图2，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．
图2
【解析】 在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，＝，
∴BC＝＝10m，在Rt△ABC中，tan 60°＝，∴AB＝BCtan 60°＝10(m)．
【答案】 10
14．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，给出下列结论：
①由已知条件，这个三角形被唯一确定；
②△ABC一定是钝角三角形；
③sin A∶sin B∶sin C＝7∶5∶3；
④若b＋c＝8，则△ABC的面积是.
其中正确结论的序号是________．
【解析】 由(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，可设a＝7k，b＝5k，c＝3k(k>0)，a，b，c随着k的变化而变化，可知结论①错误．
∵cos A＝<0，
∴结论②正确．
∵sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝7∶5∶3，
∴结论③正确．
∵cos A＝－，∴sin A＝，若b＋c＝8，不妨设b＝5，c＝3，a＝7，则S△ABC＝，∴结论④不正确．
【答案】 ②③
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)(1)在△ABC中，已知C＝45°，A＝60°，b＝2，求此三角形最小边的长及a与B的值．
(2)在△ABC中，已知A＝30°，B＝120°，b＝5，求C及a、c的值．
【解】 (1)∵A＝60°，C＝45°，
∴B＝180°－(A＋C)＝75°.
∴C由正弦定理可得a＝＝＝3－，
c＝＝＝2－2.
综上可知，最小边c的长为2－2，a＝3－，B＝75°.
(2)∵A＝30°，B＝120°，
∴C＝180°－(A＋B)＝30°.
∴A＝C.∴a＝c.
由正弦定理可得a＝＝＝.
综上可知，C＝30°，a＝c＝.
16．(2013·课标全国卷)(本小题满分12分)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝asin C－ccos A.
(1)求A；
(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.
【解】 (1)由c＝asin C－ccos A，及正弦定理得
sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0.
由于sin C≠0，
所以sin(A－)＝.
又0(2)△ABC的面积S＝bcsin A＝，故bc＝4.
而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8.
解得b＝c＝2.
17．(本小题满分12分)在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．
【解】 法一 由正弦定理，得2sin B＝sin A＋sin C.
∵B＝60°，∴A＋C＝120°，
A＝120°－C，代入上式，得
2sin 60°＝sin(120°－C)＋sin C，
展开整理得：sin C＋cos C＝1.
∴sin(C＋30°)＝1，∴C＋30°＝90°，
∴C＝60°，故A＝60°.
∴△ABC为正三角形．
法二 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B.
∵B＝60°，b＝，
∴()2＝a2＋c2－2accos 60°.
整理得(a－c)2＝0，∴a＝c，从而a＝b＝c.
∴△ABC为正三角形．
18．(本小题满分14分)(2012·东营高二检测)一缉私艇发现在方位角45°方向，距离12海里的海面上有一走私船正以10海里/小时的速度沿方位角为105°方向逃窜，若缉私艇的速度为14海里/小时，缉私艇沿方位角45°＋α的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追及所需时间和α角的正弦．
(注：方位角是指指北方向按顺时针方向旋转形成的角)．
【解】 设缉私艇与走私船原来的位置分别为A、B，在C处两船相遇，
由条件知∠ABC＝120°，AB＝12(海里)，
设t小时后追及，∴BC＝10t，AC＝14t，由正弦定理得
＝?sin α＝，cos α＝.
再由余弦定理得100t2＝196t2＋144－2×12×14tcos α
?12t2－33t＋18＝0，∴t＝2或t＝，
但当t＝时，AC＝<12＝AB，不合，
∴t＝2(小时)，sin α＝.
一、选择题
1．(2013·枣庄高二测试)在△ABC中，a＝3，A＝30°，B＝15°，则c＝( )
A．1 B. C．3 D.
【解析】 C＝180°－30°－15°＝135°，c＝＝＝3.应选C.
【答案】 C
2．(2013·烟台高二期中)在△ABC中，若b＝2asin B，则A等于( )
A．30°或60° B．45°或60°
C．120°或60° D．30°或150°
【解析】 ∵b＝2asin B，∴sin B＝2sin Asin B，
∴sin A＝，
∴A＝30°或150°.应选D.
【答案】 D
3．(2013·济宁高二检测)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝( )
A．－ B.
C．－ D.
【解析】 sin B＝＝＝，且B∴cos B＝＝.
【答案】 D
4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若acos A＝bsin B，则sin A·cos A＋cos2B＝( )
A．－ B. C．－1 D．1
【解析】 ∵acos A＝bsin B，∴sin Acos A＝sin2B，
即sin A·cos A＝1－cos2B，∴sin Acos A＋cos2B＝1－cos2B＋cos2B＝1.
【答案】 D
5．在△ABC中，a＝1，b＝，A＝30°，则c＝( )
A．1 B．2
C．1或2 D．无解
【解析】 由＝，
得sin B＝＝.
∵a＜b，
∴B＞A＝30°.
∴B为60°或120°.
①当B＝60°时，C＝180°－60°－30°＝90°.
此时，c＝＝＝2.
②当B＝120°时，C＝180°－120°－30°＝30°.
此时，c＝a＝1.
【答案】 C
二、填空题
6．(2012·福建高考)在△ABC中，已知∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，BC＝，则AC＝________.
【解析】 根据正弦定理，得＝，故AC＝＝＝＝.
【答案】
7．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sin C＝________.
【解析】 ∵A＋B＋C＝180°且A＋C＝2B，∴B＝60°.
由正弦定理得sin A＝＝＝，
又a【答案】 1
8．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶3∶5，则＝________.
【解析】 ∵a∶b∶c＝1∶3∶5，∴b＝3a，c＝5a，由正弦定理得：2Rsin B＝3×2Rsin A,2Rsin C＝5×2Rsin A，
∴sin B＝3sin A，sin C＝5sin A，
∴＝＝－.
【答案】 －
三、解答题
9．在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状．
【解】 由已知得＝，由正弦定理的推广得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B(R为△ABC的外接圆的半径)，
∴＝，
∴sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B.
∴2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
10．在△ABC中，已知D为边BC上的一点，BD＝33，sin B＝，cos ∠ADC＝.求AD.
【解】 由cos ∠ADC＝>0，知B<.
又由已知可得cos B＝，sin ∠ADC＝.
从而sin ∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin ∠ADCcos B－cos ∠ADCsin B＝×－×＝.
由正弦定理得＝，
所以AD＝＝＝25.
11．已知在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c.a＝4，A＝30°，b＝x(x>0)，当x为何值时，三角形有两解？一解？无解？
【解】 a＝4，b＝x，A＝30°.
当x≤4时，由大边对大角知B为锐角，
sin B＝≤，此时△ABC有一解．
当4∴∴B有两种结果，此时△ABC有两解．
当x＝8时，sin B＝1，
∴B＝90°，此时△ABC有一解．
当x>8时，sin B＝>1，B无解，△ABC无解．
综上，当x≤4或x＝8时，△ABC有一解；
当48时，无解.
一、选择题
1．在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为( )
A. B.
C. D.或
【解析】 由a2＝b2＋bc＋c2，
得b2＋c2－a2＝－bc，
由余弦定理的推论得：cos A＝＝－，
∴A＝.
【答案】 C
2．△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为( )
A．19 B．14
C．－18 D．－19
【解析】 由余弦定理的推论知
cos B＝＝，
∴·＝||·||·cos(π－B)＝7×5×(－)＝－19.
【答案】 D
3．(2013·莱芜高二检测)在△ABC中，若acos B＝bcos A，则△ABC的形状一定是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
【解析】 法一 由正弦定理有sin Acos B＝sin Bcos A，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0，即sin(A－B)＝0.
∴A＝B，
∴△ABC为等腰三角形．
法二 由余弦定理有a·＝b·，
∴a2＋c2－b2＝b2＋c2－a2，
∴a2－b2＝0，即a＝b.
∴△ABC为等腰三角形．
【答案】 D
4．在不等边三角形中，a是最大的边，若a2( )
A．(，π) B．(，)
C．(，) D．(0，)
【解析】 因为a是最大的边，所以A>，
又∵a2由余弦定理cos A＝>0，∴A<.
故【答案】 C
5．(2013·东营高二检测)如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．由增加长度决定
【解析】 设直角△ABC三边为a，b，c且满足a2＋b2＝c2，三边增加同样的长度m(m>0)，则c＋m为最长边，
则(a＋m)2＋(b＋m)2＝a2＋b2＋2(a＋b)m＋2m2，
(c＋m)2＝c2＋2mc＋m2.
∵a＋b>c，
∴(a＋m)2＋(b＋m)2>(c＋m)2，
由余弦定理得：
cos C＝>0，
∴最大角C为锐角．
【答案】 A
二、填空题
6．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝，c＝2，则b＝________.
【解析】 ∵a＝2，B＝，c＝2，
∴b＝＝＝2.
【答案】 2
7．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为________．
【解析】 由余弦定理得：cos B＝＝＝，
∴(a－c)2＝0，∴a＝c.
又B＝60°，∴△ABC为等边三角形．
【答案】 等边三角形
8．若三边分别为a，a＋1，a＋2的三角形是钝角三角形，则a的取值范围是________．
【解析】 由题意知a＋2是三角形的最大边，则
，
∴1【答案】 (1,3)
三、解答题
9．在△ABC中，
(1)a＝3，b＝4，c＝，求最大角．
(2)b＝，c＝2，B＝60°，求a.
【解】 (1)显然角C最大，
∴cos C＝＝
＝－，∴C＝120°.
(2)法一 由正弦定理＝，得sin C＝c＝＝＝，
∴C＝45°或C＝135°.
∵b>c，∴B>C，又∵B＝60°，∴C＝45°.
∵A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－(60°＋45°)＝75°，
∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝6＋4－4×cos 75°＝10－4×＝4＋2，
∴a＝＝＋1.
法二 ∵b2＝a2＋c2－2accos B，
∴6＝a2＋4－4acos 60°＝a2＋4－2a.
∴a2－2a－2＝0.
解得a＝1＋或a＝1－(不合题意，舍去)，
∴a＝1＋.
10．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a、b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，且2cos(A＋B)＝1.求：
(1)角C的度数；
(2)AB的长度．
【解】 (1)cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)
＝－，又C∈(0°，180°)，
∴C＝120°.
(2)由题知：
∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C
＝b2＋a2－2abcos 120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝(2)2－2＝10，
∴AB＝.
11．a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，且(sin B＋sin C＋sin A)(sin B＋sin C－sin A)＝sin Bsin C，边b和c是关于x的方程x2－9x＋25cos A＝0的两根(b>c)．
(1)求角A的正弦值；
(2)求边a，b，c；
(3)判断△ABC的形状．
【解】 (1)∵(sin B＋sin C＋sin A)(sin B＋sin C－sin A)＝sin B·sin C，
结合正弦定理得
(b＋c＋a)(b＋c－a)＝bc，整理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cos A＝＝，
∴sin A＝.
(2)由(1)知方程x2－9x＋25cos A＝0，
可化为x2－9x＋20＝0，
解之得x＝5或x＝4.
∵b>c，∴b＝5，c＝4.
由余弦定理知：a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴a＝3.
(3)由(1)(2)知，a2＋c2＝b2，
∴△ABC为直角三角形.
一、选择题
1．已知A、B两地间的距离为10 km，B、C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地间的距离为( )
A．10 km B．10 km
C．10 km D．10 km
【解析】 由余弦定理可知：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos ∠ABC.又∵AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，
∴AC2＝700，AC＝10.
【答案】 D
图1－2－10
2．如图1－2－10，从山顶望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB等于( )
A．100米 B．50米
C．50米 D．50(＋1)米
【解析】 设山高为h，则由题意知
CB＝h，DB＝h，
所以h－h＝100，
即h＝50(＋1)．
【答案】 D
图1－2－11
3．在一个高为h的建筑物顶看一旗杆，测得杆顶仰角为30°，杆底俯角为60°，则旗杆高为( )
A.h B.h
C.h D.h
【解析】 在△ACE中，
AE＝tan 30°×h＝h.
在△ADE中，DE＝AE×tan 30°＝h×＝，
∴DC＝DE＋EC＝＋h＝h.
【答案】 A
4．(2013·吉林高二检测)如图1－2－12：D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点仰角分别是β，α(α<β)，则A点离地面的高度AB等于( )
图1－2－12
A. B.
C. D.
【解析】 在△ADC中，∠DAC＝β－α.
由正弦定理得：＝，
∴AC＝，
∴AB＝AC·sin β＝.
【答案】 A
5．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长( )
A．1千米 B.千米
C.千米 D．2千米
【解析】 如图，∠BAO＝75°，C＝30°，AB＝1，
∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.
在△ABC中，＝，
∴AC＝＝＝(千米)．
【答案】 B
二、填空题
图1－2－13
6．(2013·枣庄高二检测)如图1－2－13，一艘船上午8∶00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8∶30到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距4n mile，则此船的航行速度是________n mile/h.
【解析】 如题图△ABS中，S＝45°.由正弦定理：
＝，∴AB＝＝8，
∴船的航行速度为8÷＝16 n mile/h.
【答案】 16
7．在200 m的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为________．
【解析】 如图，设塔AB高为h，在Rt△CDB中，CD＝200 m，∠BCD＝90°－60°＝30°，
∴BC＝＝(m)．
在△ABC中，∠ABC＝∠BCD＝30°，∠ACB＝60°－30°＝30°，
∴∠BAC＝120°.
在△ABC中，由正弦定理得＝，
∴AB＝＝ m.
【答案】 m
8．如图1－2－14，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是________．
图1－2－14
【解析】 tan 30°＝，tan 75°＝，
又AD＋DB＝120，
∴AD·tan 30°＝(120－AD)·tan 75°，
∴AD＝60，故CD＝60.
【答案】 60 m
三、解答题
图1－2－15
9．A、B、C、D四个景点，如图1－2－15，∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，∠ADC＝15°.A、D相距2 km，C、D相距(3－)km，求A、B两景点的距离．
【解】 在△BCD中，
∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°，
由正弦定理得＝，
即BD＝＝2.
在△ABD中，∠ADB＝45°＋15°＝60°，
BD＝AD，∴△ABD为等边三角形，
∴AB＝2.
答：A、B两景点的距离为2 km.
10．A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD.
【解】 如图，由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.
因此，只需在△ABD中求出AD即可，
在△ABD中，
∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，
由＝，
得AD＝＝
＝800(＋1)(m)．
∴CD＝AD＝800(＋1)≈2 186(m)．
所以山高CD约为2 186 m.
11．为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内，如图1－2－16，飞机能测量的数据有俯角和A、B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤．
图1－2－16
【解】 ①需要测量的数据有A到M、N的俯角α1、β1，B到M、N的俯角α2、β2，A、B的距离d(如图所示)．
②方案一 第一步：计算AM，由正弦定理AM＝；
第二步：计算AN，
由正弦定理AN＝；
第三步：计算MN，由余弦定理
MN＝.
方案二 第一步：计算BM，由正弦定理BM＝；
第二步：计算BN，
由正弦定理BN＝；
第三步：计算MN，由余弦定理
MN＝.
一、选择题
1．某人沿着倾斜角为α的斜坡前进c m，那么他上升的高度是( )
A．csin α B．ctan α
C．ccos α D.
【解析】 设上升的高度h，则sin α＝，∴h＝csin α.
【答案】 A
2．有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6 m，下底长为10 m，高为2m，那么此栏水坝斜坡的坡度和坡角分别是( )
A.，60° B.，60°
C.，30° D.，30°
【解析】 如图所示，横断面是等腰梯形ABCD，AB＝10 m，CD＝6 m，高DE＝2 m，则AE＝＝2 m，
∴tan ∠DAE＝＝＝，∴∠DAE＝60°.
【答案】 B
3．有一两岸平行的河流，水速为1 m/s，小船的速度为 m/s，为使所走路程最短，小船应朝________方向行驶．( )
A．与水速成45° B．与水速成135°
C．垂直于对岸 D．不能确定
【解析】 如图所示，AB是水速，AD为船速，AC是船的实际速度，且AC⊥AB.在Rt△ABC中，cos ∠ABC＝＝＝＝，
∴∠ABC＝45°，∴∠DAB＝90°＋45°＝135°.
【答案】 B
4．我军设在南沙群岛相距10 n mile的A，B两小岛上的两个观测站，同时发现一外国船只C非法进入我领海．若在A望C和B成60°的视角，在B望C和A成75°的视角，则船只C距离最近观测站( )
A．5 n mile B．5 n mile
C．5 n mile D．5n mile
【解析】 结合题意作图如右图，由B>A得BC故船只C距离观测站B近．
∵在△ABC中，
∴＝，
∴BC＝＝＝5(n mile)．
【答案】 C
5．若甲船在B岛的正南方A处，AB＝10 km，甲船以4 km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是( )
A.min B.h
C．21.5 min D．2.15 h
【解析】 当时间t<2.5 h时，如图．
∠CBD＝120°，BD＝10－4t，BC＝6t.
在△BCD中，利用余弦定理得
CD2＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos 120°＝28t2－20t＋100.
当t＝＝(h)，即min时，CD2最小，即CD最小为 .
当t≥2.5 h时，CF＝15×，CF2＝>CD2，
故距离最近时，t<2.5 h，即t＝ min.
【答案】 A
二、填空题
6．△ABC中，a2＝b2＋c2－bc，则A＝________.
【解析】 由于a2＝b2＋c2－bc，则b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝＝.又0°∴A＝60°.
【答案】 60°
7．(2013·莘县实验高中高二检测)一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔距离为________km.
【解析】 如图，由题意，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，
∴B＝45°，AC＝60 km，
由正弦定理＝，
∴BC＝30 km.
【答案】 30
8．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东________，大小为________km/h.
【解析】 如图，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos 120°＝1 200，故OC＝20，∠COY＝30°＋30°＝60°.
【答案】 60°，20
三、解答题
9．(2013·青岛高二检测)某海轮以30海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离．
【解】 如图，在△ABP中，AB＝30×＝20，
∠APB＝30°，∠BAP＝120°，
由＝，
得＝，∴BP＝20.
在△BPC中，BC＝30×＝40，
由已知，∠PBC＝90°，
∴PC＝＝＝20(海里)．
∴P，C间的距离为20海里．
10．一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号，正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A处获悉后，即测出该商船在方位角为45°距离10 n mile的C处，并沿方位角为105°的方向以9 n mile/h的速度航行，“黄山”舰立即以21 n mile/h的速度前去营救．求“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程．
【解】 如图所示，若“黄山”舰
以最少时间在B处追上商船，则A，B，C构成一个三角形．
设所需时间为t小时，
则AB＝21t，BC＝9t.
又已知AC＝10，
依题意知，∠ACB＝120°.
根据余弦定理，
AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BCcos∠ACB.
∴(21t)2＝102＋(9t)2－2×10×9tcos 120°，
∴(21t)2＝100＋81t2＋90t，
即360t2－90t－100＝0.
∴t＝或t＝－(舍)．
∴AB＝21×＝14(n mile)．
即“黄山”舰需要用小时靠近商船，共航行14 n mile.
11．如图1－2－23，在一个山坡上的一点A测得山顶一建筑物顶端C(相对于山坡)的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B点后，又测得顶端C的斜度为30°，依据所测得的数据，能否计算出山顶建筑物CD的高度，若能，请写出计算的方案(只需用文字和公式写出计算的步骤)；若不能，请说明理由．
图1－2－23
【解】 仅依据所测得的数据，不能计算出山顶建筑物CD的高度．因为依据所测得的三个数据(∠CAB＝15°，∠CBD＝30°，|AB|＝100)，只能确定△ABC的形状与大小，图形中其余的量还是不确定的．
例如山坡的坡度(相对于水平面)θ显然是变量．
则∠CDB＝θ＋90°，在△ABC中，∠BAC＝∠BCA＝15°，
所以|AB|＝|BC|＝100.
在△BCD中，由正弦定理得＝，
∴|CD|＝与山坡的坡度θ有关，所以依据所测得的数据，不能计算出山顶建筑物CD的高度．
一、选择题
1．在△ABC中，若＝，则( )
A．A＝C B．A＝B
C．B＝C D．以上都不正确
【解析】 ∵＝＝，
∴sin Bcos C＝cos Bsin C，
∴sin(B－C)＝0.又∵－π即B＝C.
【答案】 C
2．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( )
A．75° B．60°
C．45° D．30°
【解析】 由△ABC的面积为3，且BC＝4，CA＝3，
可知BC·CAsin C＝3，
∴sin C＝.
又△ABC为锐角三角形，∴C＝60°.
【答案】 B
图1－2－24
3．某市在“旧城改造”工程中计划在如右图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境．已知这种草皮的价格为a元/m2，则购买这种草皮需要( )
A．450a元 B．225a元
C．150a元 D．300a元
【解析】 由面积公式知三角形区域面积为×20×30×sin 150°＝150 m2，所以购买这种草皮需150a元．
【答案】 C
4．(2013·滨州高二检测)在△ABC中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则此三角形的外接圆的半径R＝( )
A. B．1
C．2 D.
【解析】 S△ABC＝acsin B＝c＝2，∴c＝4.
b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋32－8×＝25，
∴b＝5.∴R＝＝＝.
【答案】 D
图1－2－25
5．如图1－2－25，在四边形ABCD中，已知B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于( )
A.
B．5
C．6
D．7
【解析】 连接BD，在△BCD中，由余弦定理知：
BD2＝22＋22－2×2×2·cos 120°＝12，
即BD＝2.
∵BC＝CD，∴∠CBD＝30°，
∴∠ABD＝90°，即△ABD为直角三角形．
故S四边形ABCD＝S△BCD＋S△ABD＝×2×2×sin 120°＋×4×2＝5.
【答案】 B
二、填空题
6．有一三角形的两边长分别为3 cm,5 cm，其夹角α的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则此三角形的面积是________cm2.
【解析】 解方程5x2－7x－6＝0，得x＝2或x＝－，
∵|cos α|≤1，∴cos α＝－，sin α＝.
故S△＝×3×5×＝6(cm2)．
【答案】 6
7．在钝角△ABC中，已知a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围是________．
【解析】 设最大边c所对的角为θ，则cos θ＝＜0，
∴5－c2＜0，∴c＞.
又由三边关系得：1＋2＞c，
综上c的取值范围为(，3)．
【答案】 (，3)
8．在△ABC中，已知A＝60°，b＝1，面积为，则等于________．
【解析】 ∵S△＝bcsin A，
∴c＝＝＝4.
∴a2＝b2＋c2－2bccos A
＝1＋16－2×4×cos 60°＝13，
∴a＝.
∴＝＝.
【答案】
三、解答题
9．如图1－2－26所示，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．
图1－2－26
【解】 在△ABD中，设BD＝x，
则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，
即：142＝x2＋102－2·10x·cos 60°.
整理得：x2－10x－96＝0，
解得：x1＝16，x2＝－6(舍去)．
由正弦定理：＝，
∴BC＝·sin 30°＝8.
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos A＝，·＝3.
(1)求△ABC的面积；
(2)若b＋c＝6，求a的值．
【解】 (1)因为cos A＝，所以sin A＝.
又由·＝3，得bccos A＝3，
所以bc＝5.
因此S△ABC＝bcsin A＝2.
(2)由(1)知，bc＝5，
又b＋c＝6，
所以b＝5，c＝1或b＝1，c＝5.
由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bccos A＝20，
所以a＝2.
11．(2013·西安高二检测)在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶5∶6.
(1)求cos B；
(2)若△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【解】 (1)根据正弦定理及sin A∶sin B∶sin C＝2∶5∶6可得a∶b∶c＝2∶5∶6，于是可设a＝2k，b＝5k，c＝6k(k>0)，由余弦定理可得
cos B＝＝＝，
即cos B＝.
(2)由(1)可知sin B＝＝，
由面积公式S△ABC＝acsin B可得
S△ABC＝·(2k)·(6k)·＝，
∴k＝1.
故△ABC的周长＝2k＋5k＋6k＝13k＝13.
一、选择题
1．(2013·长春高二检测)已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．常数列
【解析】 由已知得an＋1－an＝3>0，故{an}为递增数列．
【答案】 A
2．(2013·洛阳高二检测)数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式为( )
A．an＝2n－1 B．an＝(－1)n(1－2n)
C．an＝(－1)n(2n－1) D．an＝(－1)n(2n＋1)
【解析】 各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，其通项公式为2n－1，而符号为先正再负的规律，故应为(－1)n＋1，观察四个选项，只有B可以变形为(－1)n＋1(2n－1)．
【答案】 B
3．(2013·蒙阴高二检测)数列，，，，…的第100项是( )
A. B.
C. D.
【解析】 观察所给数列，其通项公式应为an＝，当n＝100时，a100＝.
【答案】 C
4．数列，3，，，3，…的通项公式可以是( )
A. B.
C. D.
【解析】 数列可写为，，，，，…，
被开方数分别为6×1－3,6×2－3,6×3－3,6×4－3，6×5－3，…，
故通项公式写为an＝.
【答案】 A
5．已知数列{an}中，a1＝1，以后各项由公式a1·a2·a3·…·an＝n2给出，则a3＋a5等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 由a1·a2＝4，得a2＝4，
由a1·a2·a3＝32，得a3＝.
∵a1·a2·a3·a4＝42，
又a1·a2·a3·a4·a5＝52，
∴42·a5＝52，
∴a5＝，
∴a3＋a5＝＋＝.
【答案】 C
二、填空题
6．数列1，2，3，4，…的一个通项公式为________．
【解析】 分两部分观察，
整数部分为n，分数部分为，
∴通项公式为
an＝n＋＝＝.
【答案】 an＝
7．已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.
【解析】 ∴a2－a＝2，
∴a＝2或－1，又a<0，∴a＝－1.
又a＋m＝2，∴m＝3，
∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.
【答案】 2
8．下列有三种说法，其中正确的说法是________．
①数列a，a，a，…是无穷数列；
②数列{f(n)}可以看作是一个定义域为正整数N*或它的有限子集{1,2，…，n}的函数值；
③已知数列{an}，则数列{an＋1－an}也是一个数列．
【解析】 ①③显然正确．对于②，数列可以看作是一个定义域为正整数N*或它的有限子集{1,2,3…，n}的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，故②不正确．
【答案】 ①③
三、解答题
9．根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来．
(1)an＝(－1)n＋2；
(2)an＝.
【解】 (1)a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1.图象如图1.
(2)a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝.图象如图2.
图1 图2
10．写出下列数列的一个通项公式．
(1)1，－2,3，－4,5，…；
(2)7,77,777,7 777，…；
(3)1，3，5，7，…；
(4)，，，，…；
(5)－，，－，，….
【解】 (1)这个数列的前4项1，－2,3，－4的绝对值都是序号且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n＋1·n.
(2)将原数列改写为×9，×99，×999，…，
易知数列9,99,999，…的通项公式为10n－1，
故所求数列的通项公式为an＝(10n－1)．
(3)此数列的整数部分为1,3,5,7，…是奇数列，与序号的关系是2n－1，分数部分为，，，，…，与序号的关系是，所以数列的一个通项公式为
an＝(2n－1)＋.
(4)这个数列的前4项，，，的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，所以它的一个通项公式是an＝.
(5)这个数列的前4项－，，－，的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an＝.
11．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q(p，q∈R)，且a1＝－，a2＝－.
(1)求{an}的通项公式；
(2)－是{an}中的第几项？
(3)该数列是递增数列还是递减数列？
【解】 (1)∵an＝pn＋q，
又a1＝－，a2＝－，
∴解得
因此{an}的通项公式是an＝()n－1.
(2)令an＝－，即()n－1＝－，
所以()n＝，n＝8.故－是{an}中的第8项．
(3)由于an＝()n－1，且()n随n的增大而减小，因此an的值随n的增大而减小，故{an}是递减数列.
一、选择题
1．数列，，，，…的递推公式可以是a1＝且( )
A．an＝(n∈N*) B．an＝(n∈N*)
C．an＋1＝an(n∈N*) D．an＋1＝2an(n∈N*)
【解析】 数列从第二项起，后项是前项的.
【答案】 C
2．在数列{an}中，a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，那么这个数列的第5项为( )
A．6 B．－3
C．－12 D．－6
【解析】 ∵a1＝3，a2＝6，∴a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－6.
【答案】 D
3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，…中，x的值为( )
A．10 B．11
C．12 D．13
【解析】 a1＝1，a2＝1，a3＝2＝a1＋a2，a4＝3＝a2＋a3，a5＝5＝a3＋a4，a6＝8＝a4＋a5，∴x＝5＋8＝13.
【答案】 D
4．已知数列an<0，且2an＋1＝an，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．无法判断
【解析】 an＋1－an＝an－an＝－an.
∵an<0，∴－an>0，∴an＋1>an，
∴{an}为递增数列．
【答案】 A
5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，则an＝( )
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
【解析】 a2＝a1＋ln 2，a3＝a2＋ln ，a4＝a3＋ln ，…，an－1＝an－2＋ln ，an＝an－1＋ln ，故an＝a1＋ln 2＋ln ＋ln ＋…＋ln ＋ln ＝a1＋ln(2×××…××)＝a1＋ln n＝2＋ln n.
【答案】 A
二、填空题
6．数列{an}中，若an＋1－an－n＝0，则a2 012－a2 011＝________.
【解析】 由已知a2 012－a2 011－2 011＝0，∴a2 012－a2 011＝2 011.
【答案】 2 011
7．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a2 012＝________.
【解析】 a1＝3，a2＝6，a3＝a2－a1＝3，
a4＝a3－a2＝－3，
a5＝a4－a3＝－3－3＝－6，
a6＝a5－a4＝－6＋3＝－3，
a7＝3，a8＝6，a9＝a3，a10＝a4，
∴a2 012＝a6×335＋2＝a2＝6.
【答案】 6
8．依次写出数列a1＝1，a2，a3，…，an(n∈N*)的法则如下：如果an为自然数，则写an＋1＝an－2，否则就写an＋1＝an＋3，则a6＝________.(注意0是自然数)
【解析】 ∵a1＝1是自然数，
∴a2＝a1－2＝－1，
∵a2＝－1不是自然数，
∴a3＝a2＋3＝2，
∴a4＝a3－2＝2－2＝0，
∴a5＝a4－2＝－2.
∵a5不是自然数，
∴a6＝a5＋3＝－2＋3＝1.
【答案】 1
三、解答题
9．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出．
(1)写出此数列的前5项；
(2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项．
【解】 (1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2，
∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，
a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.
故数列{an}的前5项依次为
a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.
(2)∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，
∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝.
故b1＝，b2＝，b3＝，b4＝.
10．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求通项an.
【解】 ∵an＋1＝，
∴an＋1(an＋3)＝3an，
∴an＋1an＝3an－3an＋1.
两边同除以3an＋1·an得＝－，
∴－＝，－＝，…，－＝，
把以上这(n－1)个式子累加，
得－＝.
∵a1＝1，∴an＝.
11．已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·()n，试求数列{an}的最大项．
【解】 假设第n项an为最大项，则
即
解得即4≤n≤5，
所以n＝4或5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝.
一、选择题
1．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋1，则a2 012等于( )
A．2 012 B．2 011 C．2 010 D．2 013
【解析】 由an＋1－an＝1知{an}为等差数列且d＝1.
又a1＝1，∴an＝a1＋(n－1)·d＝n，
∴a2 012＝2 012.
【答案】 A
2．等差数列1，－1，－3，…，－89共有( )项．
A．92 B．47
C．46 D．45
【解析】 由题意首项a1＝1，d＝－2，故－89＝1＋(n－1)(－2)，解得n＝46.
【答案】 C
3．已知等差数列{an}中，a1＝2，且有a5＋a7＝2a4＋4，则a3＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
【解析】 由a5＋a7＝2a4＋4得
2a1＋10d＝2a1＋6d＋4，
∴d＝1，由a1＝2得an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，
∴a3＝4.
【答案】 B
4．在首项为81，公差为－7的等差数列中，值最接近零的项是( )
A．第11项 B．第12项
C．第13项 D．第14项
【解析】 由an＝a1＋(n－1)d得an＝－7n＋88，
令an≥0，解得n≤＝12.而a12＝4，a13＝－3，
故a13的值最接近零．
【答案】 C
5．等差数列{an}中，前3项依次是，，，则a101＝( )
A．50 B．13
C．24 D．8
【解析】 ∵2×＝＋，∴x＝2，∴a1＝，a2＝，∴d＝，∴a101＝8.
【答案】 D
二、填空题
6．数列{an}是等差数列，且an＝an2＋n，则实数a＝______.
【解析】 ∵{an}是等差数列，∴an＋1－an＝常数，
∴[a(n＋1)2＋(n＋1)]－(an2＋n)＝2an＋a＋1＝常数，
∴2a＝0，∴a＝0.
【答案】 0
7．等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则此数列的通项公式为________．
【解析】 由得或
∵d<0，∴a2＝6，a4＝2，∴d＝－2，∴an＝10－2n.
【答案】 an＝10－2n
8．若x≠y，两个数列：x，a1，a2，a3，y和x，b1，b2，b3，b4，y都是等差数列，则＝________.
【解析】 设两个数列的公差分别为d1，d2，则a2－a1＝d1＝，b3－b2＝d2＝，故＝.
【答案】
三、解答题
9．在等差数列{an}中，
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.
【解】 (1)由题意知解得
(2)∵∴
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
∴a9＝2×9－1＝17.
10．假设某市2012年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增加50万平方米．那么从哪一年年底开始，该市每年新建住房的面积开始大于820万平方米？
【解】 设从2011年年底开始，n年后该市每年新建的住房面积为an万平方米．
由题意，得{an}是等差数列，首项a1＝400，公差d＝50.
则an＝a1＋(n－1)d＝350＋50n.
令350＋50n>820，
解得n>.
由于n∈N*，则n≥10.
即从2021年年底开始，该市每年新建住房的面积大于820万平方米．
11．已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且n∈N*)确定．
(1)求证：{}是等差数列；
(2)当x1＝时，求x100.
【解】 (1)证明：xn＝f(xn－1)＝(n≥2且n∈N*)，
∴＝＝＋，
即－＝(n≥2且n∈N*)．
∴{}是等差数列．
(2)＝＋(n－1)×＝2＋＝，
∴＝＝35，∴x100＝.
