【课堂新坐标】2013-2014学年高中数学新课标版必修五教学课件+配套作业+综合检测：第三章 不等式（14份）

课件53张PPT。教师用书独具演示演示结束不等式与不等关系 不等式 >、<、≥、≤、≠ 作差法比较两实数的大小 a－b>0 a－b<0 a－b＝0 差 0 不等式的基本性质 bc > > < > > 用不等式(组)表示不等关系 作差法比较两数(式)的大小 不等式的基本性质及应用 课时作业（十六）课件49张PPT。教师用书独具演示演示结束一元二次不等式 一个 2 “三个二次”之间的关系 {x|xx2} {x|x1第三章　不等式
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2013·泰安高二检测)下列命题正确的是(　　)
A．若a>b，则ac2>bc2　　 B．若a>－b，则－a>b
C．若ac>bc，则a>b D．若a>b，则a－c>b－c
【解析】　当c＝0时，A选项错误；若a>－b，则－a【答案】　D
2．直线3x＋2y＋5＝0把平面分成两个区域．下列各点与原点位于同一区域的是(　　)
A．(－3,4) B．(－3，－4)
C．(0，－3) D．(－3,2)
【解析】　当x＝y＝0时，3x＋2y＋5＝5>0，则原点一侧对应的不等式是3x＋2y＋5>0，可以验证仅有点(－3，4)满足3x＋2y＋5>0.
【答案】　A
3．(2013·菏泽高二检测)不等式x2－ax－12a2<0(其中a<0)的解集为(　　)
A．(－3a,4a) B．(4a，－3a)
C．(－3,4) D．(－4,3)
【解析】　方程x2－ax－12a2＝0的两根为4a，－3a，且4a<－3a，故4a【答案】　B
4．若a，b∈R，则下列不等式恒成立的是(　　)
A.≥ B．ab＋≥2
C.≥()2 D．a2＋b2≥a＋b
【解析】　选项A、B当a、b同号时才成立，D不一定成立．如a＝b＝.对于C，a、b∈R时，－()2＝＝≥0，故≥()2成立．
【答案】　C
5．(2013·福州高二检测)已知A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|<0}，则A∪B＝
(　　)
A．(1,2) B．(2,3)
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(1,2)
【解析】　A＝{x|x>2或x<0}，B＝{x|1∴A∪B＝{x|x<0或x>1}．
【答案】　C
6．(2013·宁波高二检测)设x>0，那么3－－x有(　　)
A．最大值1 B．最小值1
C．最大值5 D．最小值－5
【解析】　∵x>0，∴3－－x＝3－(＋x)≤3－2＝1，
当且仅当x＝即x＝1时，取等号．
【答案】　A
7．(2013·临沂高二检测)若f(x)＝的定义域为R，则实数k的取值范围是(　　)
A．{k|0＜k≤1} B．{k|k＜0或k＞1}
C．{k|0≤k≤1} D．{k|k＞1}
【解析】　①当k＝0时，8>0成立．
②当k≠0时，只须?
则0＜k≤1.由①②知0≤k≤1.
【答案】　C
图1
8．某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(如图1所示)，若要使其营运的年平均利润最大，则每辆客车需营运(　　)
A．3年 B．4年
C．5年 D．6年
【解析】　设二次函数为y＝a(x－6)2＋11.又图象过点(4,7)，代入得7＝a(4－6)2＋11，解得a＝－1，
∴y＝－x2＋12x－25.
设年平均利润为m，则m＝＝－x－＋12≤2，
当且仅当x＝，即x＝5时取等号．
【答案】　C
9．已知正实数a，b满足4a＋b＝30，使得＋取最小值时，实数对(a，b)是(　　)
A．(5,10) B．(6,6)
C．(10,5) D．(7,2)
【解析】　∵a，b∈R＋，∴＋＝(4a＋b)(＋)
＝(5＋＋)≥(5＋2)＝，
当且仅当时取“＝”．这时a＝5，b＝10.
【答案】　A
10．设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是(　　)
A．(1,3] B．[2,3]
C．(1,2] D．[3，＋∞)
【解析】　平面区域D如图阴影部分所示：
很明显，指数函数y＝ax的底数必须大于1，
解方程组
得x＝2，y＝9，即A(2,9)．
当指数函数y＝ax的图象经过点A时，a2＝9，
则a＝3，所以a的取值范围是1【答案】　A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分共20分，将答案填在题中的横线上)
11．(2013·合肥高二检测)函数y＝的定义域是______．
【解析】　要使函数有意义，只需6－x－x2>0，
∴x2＋x－6<0，
∴－3∴f(x)的定义域为{x|－3【答案】　{x|－312．若关于x的方程x2＋ax＋a－1＝0有两个异号实根，则a的取值范围是________．
【解析】　由题意有，∴a<1.
【答案】　{a|a<1}
13．不等式(m＋1)x2＋(m2－2m－3)x－m＋3＞0恒成立，则m的取值范围是________．
【解析】　m＋1＝0时，m＝－1，不等式化为4＞0恒成立；m＋1≠0时，要使不等式恒成立须
即
∴－1＜m＜3且m≠1.
综上得－1≤m＜3且m≠1.
【答案】　[－1,1)∪(1,3)
14．(2013·济南高二检测)下列命题：
①设a，b是非零实数，若aa2b；②若a；③函数y＝的最小值是2；④若x，y是正数，且＋＝1，则xy的最小值16.其中正确命题的序号是________．
【解析】　①中ab2－a2b＝ab(b－a)．由于a，b符号不定，故上式符号无法确定，故①不对．②中在a，故②对．③中y＝＝＋≥2，但由＝得x2＋2＝1无解，故③不对．④中，∵＋＝1≥2，
∴xy≥16，即④对．
【答案】　②④
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)设x∈R，比较与1－x的大小．
【解】　作差：－(1－x)＝，
①当x＝0时，∵＝0，∴＝1－x；
②当1＋x<0，即x<－1时，
∵<0，∴<1－x；
③当1＋x>0且x≠0，即－10时，
∵>0，∴>1－x.
16．(本小题满分12分)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)．
(1)若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k的值；
(2)若不等式的解集为R，求k的取值范围．
【解】　(1)∵不等式kx2－2x＋6k<0的解集为{x|x<－3或x>－2}，
∴x1＝－3与x2＝－2是方程kx2－2x＋6k＝0(k≠0)的两根，
∴－＝＝－3－2，∴k＝－.
(2)若不等式的解集为R，即kx2－2x＋6k<0恒成立，
则满足，∴k<－，
∴k∈{k|k<－}．
17．(本小题满分12分)医院用甲、乙两种药片为手术后的病人配营养餐，已知甲种药片每片含5单位的蛋白质和10单位的铁质，售价为3元；乙种药片每片含7单位的蛋白质和4单位的铁质，售价为2元．若病人每餐至少需要35单位的蛋白质和40单位的铁质，使用甲、乙两种药片各几片才能既满足营养要求又使费用最省？
【解】　设使用甲、乙两种药片分别为x片、y片，则有
目标函数为z＝3x＋2y，如图，作出可行域和一组平行直线3x＋2y＝t(t为参数)，经过可行域内的点且和原
点距离最近的直线需经过直线5x＋7y＝35与10x＋4y＝40的交点A(，3)，该直线为3x＋2y＝，但由于x，y∈N，∴A(，3)不是最优解，经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是3x＋2y＝15，过点A′(3,3)，∴A′(3,3)是最优解．
所以，甲、乙两种药片各用3片配餐最好．
18．(本小题满分14分)徐州、苏州两地相距500千米，一辆货车从徐州匀速行驶到苏州，规定速度不得超过100千米/时．已知货车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a元(a>0)．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
【解】　(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，则全程运输成本为
y＝a·＋0.01v2·＝＋5v，
则y＝＋5v，v∈(0,100]．
(2)依题意知a，v都为正数，
则＋5v≥2 ＝100，
当且仅当＝5v，即v＝10时取等号．
若10≤100，即0若10>100，即a>100时，则当v∈(0,100]时，可以证明函数y＝＋5v是减函数，即此时当v＝100时，全程运输成本y最小．
综上所得，当0v＝10千米/时，全程运输成本最小；当a>100时，行驶速度应为v＝100千米/时，全程运输成本最小．

一、选择题
1．(2013·揭阳高二检测)不等式≤0的解集为(　　)
A．(－，1]　　　　　 　 B．[－，1]
C．(－∞，－)∪[1，＋∞) D．(－∞，－]∪[1，＋∞)
【解析】　不等式等价于
∴∴x∈(－，1]．
【答案】　A
2．(2013·枣庄高二检测)集合M＝{x|x2－3x－4≥0}，N＝{x|1A．(1,4) B．(1,4]
C．(－1,5] D．[－1,5]
【解析】　由x2－3x－4≥0得(x＋1)(x－4)≥0，∴x≥4或x≤－1，
∴M＝{x|x≥4或x≤－1}，∴?RM＝{x|－1∴(?RM)∩N＝{x|1【答案】　A
3．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2、3，a＜0，那么ax2＋bx＋c＞0的解集为(　　)
A．{x|x＞3或x＜－2} B．{x|x＞2或x＜－3}
C．{x|－2＜x＜3} D．{x|－3＜x＜2}
【解析】　由已知得a(x＋2)(x－3)＞0，
∵a＜0，∴(x＋2)(x－3)＜0，
∴－2＜x＜3.
【答案】　C
4．(2013·泰安高二检测)已知00的解集为(　　)
A．{x|x} B．{x|x>a}
C．{x|x<或x>a} D．{x|x<}
【解析】　方程两根为x1＝a，x2＝，∵0∴>a.相应的二次函数图象开口向上，故原不等式的解集为{x|x}．
【答案】　A
5．(2013·九江高二检测)不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是(　　)
A．[－4,4] B．(－4,4)
C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
【解析】　由题意，须满足Δ＝a2－16≤0，
即－4≤a≤4.
【答案】　A
二、填空题
6．已知关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－，)，则a＋b＝________.
【解析】　由题意，得a<0，且－，是方程ax2＋bx＋2＝0的两根，故有

故此解得故a＋b＝－14.
【答案】　－14
7．不等式2x2＋2x－4≤的解集为________．
【解析】　原不等式可化为2x2＋2x－4≤2－1，
即x2＋2x－4≤－1，
解得：－3≤x≤1.
【答案】　{x|－3≤x≤1}
8．(2013·宁波高二检测)已知函数f(x)＝，则不等式f(x)－x≤2的解集是________．
【解析】　由题意，(1)，
∴，∴－≤x≤0.
(2)，∴x>0，综上可知x∈[－，＋∞)．
【答案】　[－，＋∞)
三、解答题
9．求下列不等式的解集．
(1)－2x2＋x＋<0；
(2)3x2＋5≤3x.
【解】　(1)原不等式可以化为2x2－x－>0.
∵方程2x2－x－＝0的解是：
x1＝，x2＝，
∴原不等式的解集是{x|x<或x>}．
(2)原不等式变形为3x2－3x＋5≤0.
∵Δ<0，∴方程3x2－3x＋5＝0无解．
∴原不等式的解集是?.
10．已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为(1,2)，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．
【解】　由根与系数的关系，可得
即
∴不等式bx2＋ax＋1>0，就是2x2－3x＋1>0.
由于2x2－3x＋1>0?(2x－1)(x－1)>0
?x<或x>1.
∴bx2＋ax＋1>0的解集为(－∞，)∪(1，＋∞)．
11．解关于x的不等式(x－2)(ax－2)>0.(a<1)
【解】　(1)a＝0时，
原不等式化为x－2<0，
解集为{x|x<2}．
(2)当a<0时，
原不等式化为(x－2)(x－)<0，
这时两根的大小顺序为2>，所以解集为{x|(3)当0原不等式化为(x－2)(x－)>0，
这时两根的大小顺序为2<，
所以原不等式的解集为{x|x>或x<2}．
综上所述：
当a＝0时，解集为{x|x<2}；
当a<0时，解集为{x|当0或x<2}.

一、选择题
1．不等式2x2＋mx＋n>0的解集是{x|x>3或x<－2}，则二次函数y＝2x2＋mx＋n的表达式是(　　)
A．y＝2x2＋2x＋12　　　 B．y＝2x2－2x＋12
C．y＝2x2＋2x－12 D．y＝2x2－2x－12
【解析】　由题意知－2和3是对应方程的两个根，由根与系数的关系，
得－2＋3＝－，－2×3＝.
∴m＝－2，n＝－12.
因此二次函数的表达式是y＝2x2－2x－12，故选D.
【答案】　D
2．如果A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝?，则实数a的集合为(　　)
A．{a|0C．{a|0【解析】　当a＝0时，有1<0，故A＝?成立；当a≠0时，要使A＝?，须满足，∴0【答案】　D
3．(2013·新泰高二期中)已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1A．{x|－1}
C．{x|－21}
【解析】　由题意，∴，故不等式为：2x2＋x－1<0，其解集为{x|－1【答案】　A
4．函数y＝对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m>2 B．m<2
C．m<0或m>2 D．0≤m≤2
【解析】　由题意知x2＋mx＋≥0对一切x∈R恒成立，∴Δ＝m2－2m≤0，∴0≤m≤2.
【答案】　D
5．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3 000＋20x－0.1x2(0A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
【解析】　由3 000＋20x－0.1x2≤25x得x2＋50x－30 000≥0，解得：x≥150或x≤－200(舍去)．
【答案】　C
二、填空题
6．(2013·南阳高二检测)若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集为(1，m)，则实数m的值为________．
【解析】　由题意可知1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的两个根，
∴解得m＝2，
∴m的值为2.
【答案】　2
7．关于x的不等式组有解，则实数a的取值范围是________．
【解析】　不等式组可化为由题意可知a2＋1<2a＋4，即a2－2a－3<0，解得－1【答案】　(－1,3)
8．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
【解析】　设f(x)＝x2＋mx＋4，
要使x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．
则有即
解得m≤－5.
【答案】　(－∞，－5]
三、解答题
9．(2013·厦门高二检测)已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋4x－5<0的解集为B，
(1)求A∪B；
(2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∪B，求ax2＋x＋b<0的解集．
【解】　(1)解不等式x2－2x－3<0，得A＝{x|－1解不等式x2＋4x－5<0，得B＝{x|－5∴A∪B＝{x|－5(2)由x2＋ax＋b<0的解集为{x|－5∴，
解得.
∴2x2＋x－15<0，
∴不等式的解集为{x|－310．(2013·青岛高二检测)设函数f(x)＝x2－ax＋b.
(1)若不等式f(x)<0的解集是{x|20的解集；
(2)当b＝3－a时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
【解】　(1)因为不等式x2－ax＋b<0的解集是{x|2由韦达定理得：a＝5，b＝6，故不等式bx2－ax＋1>0为6x2－5x＋1>0.解不等式6x2－5x＋1>0得其解集为{x|x<，或x>}．
(2)据题意，f(x)＝x2－ax＋3－a≥0恒成立，则Δ＝a2－4(3－a)≤0.解Δ＝a2－4(3－a)≤0，得－6≤a≤2.
11．某地区上年度电价为0.8元/千瓦时，年用电量为a千瓦时．本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间，而用户期望电价为0.4元/千瓦时．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时．
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%？(注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价))
【解】　(1)设下调后的电价为x元/千瓦时，依题意知，用电量增至＋a，电力部门的收益为y＝(＋a)(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．
(2)依题意，有

整理得
解此不等式，得0.6≤x≤0.75.
即当电价最低定为0.6元/千瓦时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.

一、选择题
1．(2013·岳阳高二检测)图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是(　　)
图3－3－1
A．x＋y－1<0　　　　　　　 B．x＋y－1>0
C．x－y－1<0 D．x－y－1>0
【解析】　边界所在的直线为x＋y－1＝0，取点O(0,0)，代入得－1<0，则不等式x＋y－1>0表示图中阴影部分．
【答案】　B
2．(2013·新余高二检测)在平面直角坐标系中，可表示满足不等式x2－y2≤0的点(x，y)的集合(用阴影部分来表示)的是(　　)
【解析】　原不等式等价于(x＋y)(x－y)≤0，即或，故D选项正确．
【答案】　D
3．(2013·福建师大附中高二检测)在平面直角坐标系中，若点(2，t)在直线x－2y＋4＝0的右下方区域包括边界，则t的取值范围是(　　)
A．t<3 B．t>3
C．t≥3 D．t≤3
【解析】　原点(0,0)也在直线x－2y＋4＝0的右下方，代入x－2y＋4得4>0，故点(2，t)使x－2y＋4≥0成立，即2－2t＋4≥0，∴t≤3.
【答案】　D
4．不等式组所表示的平面区域的面积等于(　　)
A.　　　　 B.
C.　　　 D.
【解析】　如图所示为不等式组表示的平面区域，平面区域为一三角形，三个顶点坐标分别为(4,0)，(，0)，(1,1)，所以三角形的面积为S＝×(4－)×1＝.
【答案】　C
5．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是(　　)
A．a<5 B．a≥7
C．5≤a<7 D．a<5或a≥7
【解析】　不等式组表示的平面区域如图所示．
当y＝a过A(0,5)时表示的平面区域为△ABC.
当5综上，当5≤a<7时表示三角形．
【答案】　C
二、填空题
6．点P(m，n)不在不等式5x＋4y－1>0表示的平面区域内，则m，n满足的条件是________．
【解析】　由题意知点P在不等式5x＋4y－1≤0表示的平面区域内，则5m＋4n－1≤0.
【答案】　5m＋4n－1≤0
7．(2013·苏州高二检测)不等式|2x＋y＋m|<3表示的平面区域包含点(0,0)和点(－1,1)，则m的取值范围是________．
【解析】　由题意知，
∴.
∴－2【答案】　(－2,3)
8．定义符合条件的有序数对(x，y)为“和谐格点”，则当a＝3时，和谐格点的个数是________．
【解析】　不等式组表示的平面区域如图所示，
和谐格点有(0,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,2)，(2,3)，(3,3)共7个．
【答案】　7
三、解答题
9．(1)画出不等式x＋2y－4>0表示的平面区域；
(2)画出不等式组表示的平面区域．
【解】　(1)先画出直线x＋2y－4＝0，因为这条直线上的点都不满足x＋2y－4>0，所以画成虚线．取原点(0,0)，代入x＋2y－4得0＋2×0－4＝－4<0，所以原点(0,0)不在x＋2y－4>0所表示的平面区域内，所以不等式x＋2y－4>0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．
(2)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合，x＋y≤0表示直线x＋y＝0上及左下方的点的集合，y≥－3表示直线y＝－3上及上方的点的集合．不等式组表示的平面区域即为图示的三角形区域：
10．某校食堂基本以面食和米食为主，面食每百克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元；米食每百
克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元．学校要求给学生配制成盒饭，每盒至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，请在直角坐标系中画出每份盒饭中面食、米食的含量所满足的范围．
【解】　设每份盒饭中面食为x百克，米食为y百克，则由题意得：

作出不等式组所表示的平面区域如图．
11．画出下列不等式(组)表示的平面区域．
(1)(x－y)(x－y－1)≤0；
(2)|3x＋4y－1|<5；
(3)x≤|y|≤2x.
【解】　(1)由得0≤x－y≤1；
或无解．
故不等式表示的区域如图(1)所示．
(2)由|3x＋4y－1|<5，得－5<3x＋4y－1<5，
得不等式组
故不等式表示的区域如图(2)所示．
　　　(1)　　　　　　　(2)　　　　　　　　(3)
(3)当y≥0时，原不等式可化为点(x，y)在第一象限内两条过原点的射线y＝x(x≥0)与y＝2x(x≥0)所表示的区域内．
当y≤0时，由对称性作出另一半区域，如图(3)所示．


一、选择题
1．图3－3－2中阴影部分的点满足不等式组在这些点中，使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是(　　)
图3－3－2
A．(0,5)　　　　　　 B．(1,4)
C．(2,4) D．(1,5)
【解析】　目标函数可化为y＝－x＋，因为－>－1，
∴当过点(0,5)时，目标函数z＝6x＋8y取得最大值．
【答案】　A
2．现有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，设需x辆载重6吨汽车和y辆载重4吨汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为(　　)
A．z＝6x＋4y B．z＝5x＋4y
C．z＝x＋y D．z＝4x＋5y
【解析】　由题意，要运送最多的货物，先找到两类型汽车运送的总货物量，即z＝6x＋4y.
【答案】　A
3．(2013·济宁高二检测)已知x、y满足约束条件则(x＋3)2＋y2的最小值为(　　)
A.　　　　 B．2
C．8　　　 D．10
【解析】　画出可行域(如图所示)．
(x＋3)2＋y2即点A(－3,0)与可行域上点(x，y)间距离的平方．显然|AC|长度最小，
∴|AC|2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10.
【答案】　D
4．(2013·惠州高二检测)已知x，y满足约束条件则z＝x－y的取值范围为(　　)
A．[－2，－1] B．[－2,1]
C．[－1,2] D．[1,2]
【解析】　画出可行域，如图中的阴影部分所示．
如图知，－z是直线y＝x－z在y轴上的截距，当直线y＝x－z经过点A(2,0)时，－z取最小值，此时x＝2，y＝0，则z的最大值是x－y＝2－0＝2；当直线y＝x－z经过点B(0,1)时，－z取最大值，此时x＝0，y＝1，则z的最小值是x－y＝0－1＝－1，所以z＝x－y的取值范围为－1≤z≤2.
【答案】　C
5．某厂拟用集装箱托运甲，乙两种货物，集装箱的体积、质量、可获利润和托运能力限制等数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各被托运的箱数为(　　)
货物
体积/箱(m3)
质量/箱(50 kg)
利润/箱(百元)
甲
5
2
20
乙
4
5
10
托运限制
24
13
A.4,1　　　　B．3,2 C．1,4　　　D．2,4
【解析】　设托运货物甲x箱，托运货物乙y箱，由题意得：
，利润z＝20x＋10y，由线性规划知识可得，当x＝4，y＝1时，利润最大．
【答案】　A
二、填空题
6．若变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y＋1的最大值为________．
【解析】　画出x，y的可行域，如图阴影部分，直线x＋2y－5＝0与直线x－y－2＝0交于点A(3,1)，当z＝2x＋3y＋1过A点时，使得z＝2x＋3y＋1取得最大值，zmax＝2×3＋3＋1＝10.
【答案】　10
7．已知x、y满足且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数k＝________.
【解析】　由条件作出可行域如图．
根据图象知，目标函数过x＋y＋k＝0与x＝3的交点(3，－3－k)时取最小值，代入目标函数得－6＝2×3＋4×(－3－k)，∴k＝0.
【答案】　0
8．(2013·烟台高二检测)设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则ab的取值范围是________．
【解析】　作出可行域如图．
∵a>0，b>0.
∴当ax＋by＝z经过A时，z取得最大值．
由得A(4,6)．
∴4a＋6b＝12,2a＋3b＝6，
∴ab＝×(2a)×(3b)≤×()2＝，
即ab∈(0，]．
【答案】　(0，]
三、解答题
9．若变量x，y满足约束条件求z＝x＋2y的最小值．
【解】　作出可行域如图阴影部分所示，
由解得A(4，－5)．
当直线z＝x＋2y过A点时z取最小值，将A(4，－5)代入，
得zmin＝4＋2×(－5)＝－6.
10．已知x，y满足设z＝ax＋y(a>0)，若当z取最大值时，对应的点有无数多个，求a的值．
【解】　作出可行域如图所示．
由
得
∴点A的坐标为(5,2)．
由得
∴点C的坐标为C(1,4.4)．
当直线z＝ax＋y(a>0)平行于直线AC，且直线经过线段AC上任意一点时，z均取得最大值，此时有无数多点使z取得最大值，而kAC＝－，
∴－a＝－，即a＝.
11．(2013·厦门高二检测)某工厂用两种不同的原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1 000元，运费500元，可生产产品90千克，若采用乙种原料，每吨成本1 500元，运费400元，可生产产品100千克，若每日预算总成本不得超过6 500元，运费不得超过2 200元，问此工厂如何安排每日可生产产品最多？最多生产多少千克？
【解】　设采用甲种原料x吨、乙种原料y吨，生产产品z千克．
则有：，z＝90x＋100y，
即y＝－x＋.
其可行域为：
由图形知：点A是z取最大值时的最优解．
解，得，
即A(2,3)，
∴zmax＝90×2＋100×3＝480千克．
答：工厂安排采用甲种原料2吨、乙种原料3吨时每日可生产产品最多，最多为480千克．

一、选择题
1．给出下面四个推导过程：
①∵a、b为正实数，∴＋≥2 ＝2；
②∵x、y为正实数，∴lg x＋lg y≥2；
③∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2 ＝4；
④∵x，y∈R，xy<0，∴＋＝－[(－)＋(－)]≤－2 ＝－2.
其中正确的推导为(　　)
A．①②　　　　　 B．②③
C．③④ D．①④
【解析】　①∵a、b为正实数，∴、为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确；
②虽然x、y为正实数，但当x∈(0,1)或y∈(0,1)时，lg x或lg y是负数，∴②的推导过程是错误的；
③∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，
∴＋a≥2 ＝4是错误的；
④由xy<0，得、均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，(－)、(－)均变为正数，符合均值不等式的条件，故④正确．
【答案】　D
2．已知a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值为(　　)
A．6　　　　B．4 C．2　　　D．2
【解析】　2a＋2b≥2＝2＝4.
【答案】　B
3．(2013·西安高二检测)设0A．aC．a<【解析】　由a＝，b＝＝，0【答案】　B
4．(2013·杭州高二检测)已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是(　　)
A．2　　　　 B．2
C．4　　　 D．5
【解析】　∵＋＋2≥＋2≥2＝4，当且仅当时，取“＝”，即a＝b＝1时，原式取得最小值4.
【答案】　C
5．已知x，y>0且x＋y＝1，则p＝x＋＋y＋的最小值为(　　)
A．3　　　　 B．4
C．5　　　 D．6
【解析】　p＝x＋＋y＋＝3＋＋≥3＋2＝5.
当且仅当x＝y＝时，取“＝”．
【答案】　C
二、填空题
6．已知x，y∈R＋，且xy＝100，则x＋y的最小值为________．
【解析】　x＋y≥2＝20，当且仅当x＝y＝10时取“＝”．
【答案】　20
7．设a>1，且m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a＋1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系是________(用“>”连接)．
【解析】　∵a>1，∴a2＋1>2a>a＋1，
∴loga(a2＋1)>loga(2a)>loga(a＋1)，
∴m>p>n.
【答案】　m>p>n
8．在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________．
【解析】　设两数为x，y，即4x＋9y＝60，
＋＝(＋)
＝(13＋＋)
≥×(13＋12)＝，
当且仅当＝，且4x＋9y＝60，即x＝6且y＝4时，等号成立，故应分别填上6、4.
【答案】　6,4
三、解答题
9．设a，b，c是不全相等的正数，求证：＋＋>a＋b＋c.
【证明】　∵a、b、c>0，∴＋≥2c，
＋≥2b，＋≥2a，
∴2(＋＋)≥2(a＋b＋c)．
又∵a、b、c不全相等，
∴＋＋>a＋b＋c.
10．(2013·泰安高二检测)已知不等式ax2－3x＋2<0的解集为A＝{x|1(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)＝(2a＋b)x－(x∈A)的最小值．
【解】　(1)由题意知：解得a＝1，b＝2.
(2)由(1)知a＝1，b＝2，∴A＝{x|1∴f(x)＝4x＋(1而x>0时，4x＋≥2＝2×6＝12.当且仅当4x＝，即x＝时取等号．
而x＝∈A，∴f(x)的最小值为12.
11．已知函数f(x)＝lg x(x∈R＋)，若x1，x2∈R＋，判断[f(x1)＋f(x2)]与f()的大小并加以证明．
【解】　[f(x1)＋f(x2)]≤f()．
证明如下：f(x1)＋f(x2)
＝lg x1＋lg x2＝lg(x1·x2)，
f()＝lg()．
∵x1，x2∈R＋，∴≥ ，
∴lg≤lg()，
即lg(x1·x2)≤lg()，
∴(lg x1＋lg x2)≤lg()．
故[f(x1)＋f(x2)]≤f().

一、选择题
1．下列函数中，最小值为4的函数是(　　)
A．y＝x＋　　　　　　 B．y＝sin x＋
C．y＝ex＋4e－x D．y＝log3x＋logx81
【解析】　A中，x符号不定，排除A；B中，当sin x＝2时取“＝”，不可能，∴排除B；C中，ex＝2时取“＝”，故选C；D中，log3x符号不定，∴排除D.
【答案】　C
2．(2013·长沙高二检测)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　)
A. B．4
C. D．5
【解析】　∵a＋b＝2，∴y＝＋＝＋＝＋＋＋2≥＋2＝，当且仅当＝且a＋b＝2，取“＝”．
【答案】　C
3．(2013·临沂高二检测)某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则(　　)
A．x＝ B．x≤
C．x> D．x≥
【解析】　由条件知A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2，
∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤[]2，
∴1＋x≤1＋，故x≤.
【答案】　B
4．(2013·重庆高二检测)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝(　　)
A．1＋ B．1＋
C．3 D．4
【解析】　f(x)＝x＋＝x－2＋＋2.
∵x>2，∴x－2>0.
∴f(x)＝x－2＋＋2≥2 ＋2＝4，
当且仅当x－2＝，
即x＝3时“＝”成立．
又f(x)在x＝a处取最小值．
∴a＝3.
【答案】　C
5．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是(　　)
A．[6，＋∞) B．[9，＋∞)
C．(0,9] D．(0,6]
【解析】　∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3(当a＝b时取“＝”)，即ab－2－3≥0，∴≥3或≤－1(舍去)，∴ab≥9.
【答案】　B
二、填空题
6．已知0【解析】　当0＝2－[(－log2x)＋]≤2－2.
当且仅当－log2x＝，
即(log2x)2＝5，亦即x＝2－时，等号成立．
【答案】　2－2
7．(2013·苏州高二检测)函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn>0)上，则＋的最小值为________．
【解析】　由题意知A(1,1)，∴m＋n＝1，
∴＋＝(＋)(m＋n)＝2＋＋≥4，
当且仅当m＝n时“＝”成立．
【答案】　4
8．某校要建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，池底和池壁的造价每平方米分别为240元和160元，那么水池的最低总造价为________元．
【解析】　设底面的长为x m，宽为y m，水池总造价为z元，根据题意，有2xy＝8，∴xy＝4，且
z＝240×＋160·(2×2x＋2×2y)
＝120×8＋640(x＋y)
≥120×8＋1 280
＝120×8＋1 280×2
＝3 520.
【答案】　3 520
三、解答题
9．(2013·扶余高二检测)设x>－1，求y＝的最小值．
【解】　∵x>－1，∴x＋1>0，设x＋1＝t>0，则x＝t－1，于是有
y＝＝＝t＋＋5≥2 ＋5＝9.
当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1.
∴当x＝1时，函数取得最小值是9.
10．已知正常数a，b和正变数x，y，满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值是18，求a，b的值．
【解】　x＋y＝(x＋y)(＋)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，
∴(＋)2＝18.
又∵a＋b＝10，
∴a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.
11．(2013·临沂高二检测)某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．
(1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y＝f(x)的表达式(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)；
(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建多少层？
【解】　(1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为：
4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)，
从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多：
100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，
写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列，所以函数表达式为：
y＝f(x)＝800x＋×20＋9 000
＝10x2＋790x＋9 000(x∈N*)．
(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为：
g(x)＝×10 000＝
＝50(x＋＋79)≥50×(2＋79)＝6 950(元)．
当且仅当x＝，即x＝30时等号成立．
∴该写字楼应建30层．