山东省中学联盟2023届高三下学期5月高考考前热身押题数学试题（Word版含答案）

山东省中学联盟2023届高三下学期5月高考考前热身押题
数学2023.5
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知是方程的两个根，则值为（ ）
A． B．2 C． D．
3．在正六边形中，，若，则（ ）
A． B．3 C． D．
4．物理学中的凸凹透镜的表面一般都是抛物面（抛物线绕着其对称轴旋转所形成的曲面称为拋物面），我国天文学家南仁东先生于1994年提出构想，2016年9月25日落成，2020年1月11日投入正式运行的“中国天眼”——口径射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（如图1），若其上边缘一点距离底部的落差约为，它的一个轴截面是一个开口向上的抛物线的一部分，放入（如图2）所示的平面直角坐标系内．一条平行于对称轴的光线射到点，经抛物面反射后经过焦点射到点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（ ）
A． B．4 C． D．
6．已知，设，则（ ）
A． B． C． D．
7．从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构——故宫：金
黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃瓦的顶……沿着一条子午线对称分布，壮美有序，和谐庄严，映祇着蓝天白云，宛如东方仙境．再往远眺，一线贯穿的对称风格，撑起了整座北京城．某建筑物的外形轮廓部分可用函数的图象来刻画，满足关于的方程恰有三个不同的实数根，且（其中），则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知非零数列，点在函数的图象上，则数列的前2023项的和为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．甲、乙两人6次模拟考试英语成绩（不含听力）的统计折线图如下图所示，下列说法中正确的是（ ）
A．若甲、乙两组成绩的平均数分别为，则
B．若甲、乙两组成绩的方差分别为，则
C．甲成绩的中位数大于乙成绩的第三四分位数
D．甲成绩的极差大于乙成绩的极差
10．设函数向左平移个单位长度得到函数，若在上恰有2个零点，3个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递减
B．的取值范围为
C．若的图象关于直线对称，则
D．在区间上存在最大值
11．已知点，若过点的直线交圆于两点，是圆上的动点，则（ ）
A．的最小值为2
B．的最大值为
C．的最小值为
D．当取最大值时，底边上的高所在的直线方程为
12．已知直四棱柱，底面是边长为4的菱形，且，点分别为的中点．以为球心作半径为的球，下列说法正确的是（ ）
A．点四点共面
B．直线与直线所成角的余弦值为
C．当球与直四棱柱的五个面有交线时，的范围是
D．在直四棱柱内，球外放置一个小球，当小球的体积最大时，球半径的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，则_____________．
14．在铺砌领域，有一座数学家们在半个多世纪里一直追寻的“圣杯”，这座圣杯名为“爱因斯坦”，指的是一个可以填满无限平面，且不会自我重复的“非周期性”铺砌块．2023年3月20日，一个由数学家和计算机科学家组成的研究团队，在论文预印网站arXiv上提交了一篇论文，表示他们找到了这样一种由多个相同的“风筝”粘在一起而形成的十三边形（如右图所示），只用此十三边形就能做到单铺砌块，也就是数学家们寻找的“圣杯”．若已知此十三边形最短的边长为1，则此十三边形的面积为_____________．
15．设，则的最小值为____________．．
16．已知分别为双曲线的左右焦点，过且斜率为的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆半径为的内切圆半径为．若，则__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在中，内角对应的边分别为．
（1）求角的取值范围；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，并求的值．
①；②；③边上的中线长为；
注：如果选择条件①、条件②、条件③分别解答，按第一个解答计分．
18．（12分）根据《“十四五”现代能源体系规划》，国内能源发展主要从三个方面推进：一是增强能源供应链安全性和稳定性；二是推动能源生产消费方式绿色低碳变革；三是提升能源产业链现代化水平．到2025年，国内将提高非化石能源消费比重到左右，像电力、风电、太阳能发电以及清洁能源等，都将在政策布局和调整中获得更大的发展机会．新能源车在构建现代能源体系中占有一定的位置．国家对于新能源车采取了多种政策手段推动．2009年初，科技部、财政部、发改委、工业和信息化部启动了“十城千辆”计划，随后相关政策鼓励私人购买新能源车，并且加大了财政补贴力度，到2019年之后新能源车进入到调整期，国家政策补贴减少，行业竞争加剧．为调查某新能源汽车销售公司五类新能源车型的销售情况，该公司随机收集了一个月销售的有关数据，公司规定同一类新能源汽车销售价格相同，经分类整理得到下表：
汽车类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类
销售总额（万元） 150 250 540 300 80
销售量（台） 5 10 27 20 8
利润率 0.15 0.1 0.08 0.06 0.12
利润率是指：一台车销售价格减去出厂价格得到的利润与该车销售价格的比值．
（1）从该公司本月卖出的车中随机选1台，当已知所抽到的汽车售价不低于15万元时，求这台车的利润率也低于0.1的概率；
（2）从该公司本月卖出的车中随机选取2台，求这两台车的利润之和不低于6万元的概率；
（3）假设每类汽车利润率不变，销售一台第一类汽车获利万元，销售一台第二类汽车获利万元，销售一台第三类汽车获利万元，销售一台第四类汽车获利万元，销售一台第五类汽车获利万元，依据上表统计数据，随机销售一台机器获利的期望为，设，试判断与的大小．
19．（12分）已知数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，且，求的最小值．
20．（12分）如图，圆锥的底面上有四点，且圆弧，点在线段上，若．
（1）证明：平面；
（2）若为等边三角形，点在劣弧上运动，记与平面所成的角为，求的最小值．
21．（12分）已知圆为坐标原点，点在圆上运动，为过点的圆的切线，以为准线的拋物线恒过点，抛物线的焦点为，记焦点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）过动点的两条直线均与曲线相切，切点分别为，且的斜率之积为-1，求四边形面积的取值范围．
22．（12分）设函数，其中是自然常数．
（1）总存在两条直线与曲线和都相切，求的取值范围；
（2）当时，证明：．
山东省中学联盟2023届高三下学期5月高考考前热身押题
数学答案解析2023.5
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．答案：B
解析：由题意知：
由得：，所以，
即，
所以．
故选：B
2．答案：C
解析：，方程有两个虚根，则，，所以．
故选：C
3．答案：D
解析：，
所以．
故选D．
4．答案：B
解析：由题意知：抛物线过点，设抛物线，
所以，解得：，即抛物线的方程为：．焦点
；所以的方程为
联立方程组，消得，
所以，所以．
故选：B
5．答案：A
解析：，，，
在中，，所以．故选：A．
6．答案：B
解析：因为，所以，即，故；
因为，所以，所以，即，故；
综上可知．
故选：B
7．答案：C
解析：因为，则关于对称所以，解方程组得：，所以．
故选：C
8．答案：A
解析：由已知条件知，则．
所以．（*）
因为点在函数的图象上，所以，将（*）带入得．
当时，由，得．所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
所以，
因为，
所以．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．答案：AC
解析：由折线图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学，其他次考试成绩都高于乙同学，所以．故选项A正确；
由折线图的变化趋势可知，甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，由方差的意义可得．故选项B错误；
由折线图可得甲同学的成绩的第3和第4均大于95，乙同学的成绩的第三四分位数小于95，所以甲成绩的中位数大于乙成绩的第三四分位数．故选项C正确；
因为极差为数据样本的最大值与最小值的差，所以甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差，故选项D错误．
故选：AC
10．答案：BCD
解析：由题意知：，
因为在上恰有2个零点，3个极值点，因为，所以
所以，解得，故选项B正确；
当时，，所以在上不单调，故选项A错误；
对于C选项，若的图象关于直线对称，则，所以，因为，所以，故选项C正确；
对于D选项，
令，得，
，当时，，故选项D正确；
故选：BCD
11．答案：ACD
解析：对于A选项，当时，的值最小，，
，故选项A正确；
对于B选项，取的中点的中点，
的轨迹方程为，
，故选项B错误；
对于C选项，设，
，故选项C正确；
对于D选项，当时，的面积最大，
，
所以底边上的高所在的直线方程为，故选项D正确．
故选：ACD．
12．答案：ABD
解析：对于A选项，取的中点分别为，则构成平面六边形，故选项A正确；
对于B选项，把直线与直线的点平移到点，由余弦定理可求直线与直线所成角的余弦值为，故选项B正确；
对于C选项，当球与直四棱柱的上底面和4个侧面有交线时，的取值范围是，
当球与直四棱柱的下底面和4个侧面有交线时，的取值范围是．故选项C错误；
对于D选项，此直四棱柱内切球最大半径为，此时两球心的距离为，
所以球的半径的最大值为．故选项D正确．
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．解析：由题意知：，∴，．
答案：．
14．解析：由图可知：，
，∴，∴，，
∴三边形的面积为．
答案：
15．解析：，
当且仅当取等号，即取等号．
所以的最小值为6．
答案：6
16．解析：如图，记的内切圆圆心为，
内切圆在边上的切点分别为，
易知两点横坐标相等，，
由，即，
得，即，
记点的横坐标为，则，
则，得．
记的内切圆圆心为，同理得内心的横坐标也为，则轴，
设直线的倾斜角为，则，
在中，，同理，在中，，
所以，即，所以．
答案：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解析：（1）在中，，所以，．即，．
又因为，所以，所以，由正弦定理得，，所以为锐角，所以，所以．
（2）选①因为，所以或，
当时，，所以，即，所以由正弦定理得，所以；
当时，，所以，
所以，所以由正弦定理得，所以；
选②，所以，
即，所以由正弦定理得，所以；
选③因为，由（1）知，所以，所以或，且
所以，
又因为，由余弦定理得：
，解得，所以．
18．解：（1）由题意知，本月共卖出70台车，设事件=“售价不低于10万”，包括第一、二、三、四类，共62台车，B事件=“利润率低于”，B包括第三类和第四类，共有47台．
则．
（2）用销售总额除以销售量得到汽车的销售单价，可知第一类到第五类的汽车的利润分别为4.5万元，2.5万元，1.6万元，0.9万元，1.2万元，
设2台车的利润之和不低于6万元为事件，则．
（3）由题意可得，随机变量可能取的值为．
随机变量的分布列为
0.9 1.2 1.6 2.5 4.5
因此；
又，
所以．
19．解：（1）由题意知当时，．
设，则，所以，即．
又．
所以是首项为4，公比为2的等比数列．
所以．即．
（2）当为偶数时，
令．则可解得．即．
又因为
故的最小值为95．
20．解析：（1）∵，∴为等边三角形，，
所以为底面圆的直径．
设，则，
设到底面的距离分别为，
即，所以即．
设的交点为，所以，即，连接，则，
面面，
所以面．
（2）设底面圆的圆心为，过作，
以为坐标原点，的方向为轴建立空间直角坐标系，
设，则设平面的一个法向量为
∴，所以
∴
当且仅当，即与重合时取等号．
所以的最小值为．
21．解析：（1）分别过作的垂线，垂足分别为，连接，由抛物线的定义，可得，则．
因为，所以焦点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，所以抛物线的焦点的轨迹方程为
（1）设点，过点的直线的斜率为，则方程为，
联立方程组，消得，，
整理得，
，即，所以点在方程为的圆上．
设点在椭圆上，则，则，
由知，满足：
则，即，故，从而得切线的方程为
整理得，点满足方程，则，同理可得
即点满足方程，所以的方程为．
消得，，，
．
；
．
所以．
22．解：（1）设函数的切点为，因为，所以．
所以在处的切线方程为，
设函数的切点为，因为，则，
所以在点处的切线方程为，
由题意得，则，
令，则，
当时，；当时，单调递增，
又时，，当时，．
所以当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，，即．
下证当时，存在两个零点．
，又，，所以函数在和内各有一个零点，
故当时，总存在两条直线与曲线与都相切；
（2）因为，由（1）知，取，则函数的切线为，
令，解得，
当时，，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
所以，即，
下证不等式成立．
令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．所以函数在上单调递增，，即对任意，
所以，即不等式得证．
所以成立．