宜宾市翠屏区2022-2023学年高二下学期5月期中考试
数学（理工类）
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知为虚数单位，若复数，则
A． B． C． D．
2．把长为的铁丝随机截成三段，则每段铁丝长度都不小于的概率是
A． B． C． D．
3．某公司对2022年的营收额进行了统计，并绘制成如图所示的扇形统计图.在华中地区的三省中，湖北省的营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约2156万元.则下列说法错误的是
A．该公司2022年营收总额约为30800万元
B．该公司在华南地区的营收额比河南省营收额的3倍还多
C．该公司在华东地区的营收额比西南地区、东北地区及湖北省的营收额之和还多
D．该公司在湖南省的营收额在华中地区的营收额的占比约为35.6%
4．某同学在只听课不做作业的情况下，数学总不及格后来他终于下定决心要改变这一切，他以一个月为周期，每天都作一定量的题，看每次月考的数学成绩，得到5个月的数据如下表：
一个月内每天做题数x 5 8 6 4 7
数学月考成绩y 82 87 84 81 86
根据上表得到回归直线方程，若该同学数学想达到90分，则估计他每天至少要做的数学题数为
A．8 B．9 C．10 D．11
5．已知随机变量服从正态分布，且，则
A． B． C． D．
6．已知的展开式中所有项的系数和为192，则展开式中的常数项为
A．4 B．8 C．6 D．10
7.若对任意非零实数，定义的运算规则如图的程序框
图所示，则的值是
A． B．
C． D．9
8．已知双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
9．将6枚硬币放入如图所示的9个方格中，要求每个方格中至多放一枚硬币，并且每行每列都有2枚硬币，则放置硬币的方法共有（ ）种．
A．6 B．12 C．18 D．36
10．由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是
A． B． C． D．
11．如图，已知正方体，则下列结论中正确的是
A．与三条直线所成的角都相等的直线有且仅有一条
B．与三条直线所成的角都相等的平面有且仅有一个
C．到三条直线的距离都相等的点恰有两个
D．到三条直线的距离都相等的点有无数个
12．已知函数，，函数的最小值，则实数的最小值是
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知数据的标准差为，则数据的标准差为________．
14．根据调查，某城市司机的酒后驾驶率为5%，交警部门使用的某型号酒精测试仪的误报率为1%，即饮酒的人有1%的概率被检测出酒精未超标，没饮酒的人有1%的概率被检测出酒精超标，则任意抽取该城市一名司机，其被检测出酒精超标的概率为___________.
15．（2018届安徽省安庆市高三二模考试）设抛物线的焦点为点在抛物线上,且满足若，则的值为__________.
16．已知函数，若在上恒成立，则正实数的取值范围为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17．（12分）某校在高二下学期的5月份举办了全年级的排球比赛，共21支队伍，其中包括20支学生队伍，以及一支教师队伍，其比赛规则为：20支学生队伍，进行两轮淘汰赛，选出5支学生队伍直接进入八强，再从被淘汰的15支学生队伍中，用随机抽样的抽签方法选出2支学生队伍，这7学生支队伍与教师队伍一起参加后面的八强淘汰赛，经过三轮淘汰赛产生最后的冠军.若学生队伍间的比赛双方获胜的概率均为，教师队伍与学生队伍之间的比赛，教师队伍获胜的概率为.
（1）求A班在前两轮淘汰赛直接晋级（不通过抽签）八强的概率；
（2）设教师队伍参加比赛的轮次为X，求X的分布列和期望.
18．（12分）已知函数
（1）求函数的极值;
（2）设，求函数在区间上的最大值．
19．（12分）如图在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，.
(1)求证：；
(2)若四棱锥的体积为，求二面角的正弦值.
20．（12分）已知函数.
（1）是否存在实数，使得为的极值点？若存在，求出实数的值；否则，请说明理由；
（2）若，且，求证：.
21．（12分）是椭圆的右焦点，其中．点A、B分别为椭圆C的左、右顶点，是以OB为直径的圆，P是椭圆上异于A、B的动点，且△PBF的周长小于8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)连接BP与交于点Q，若OQ与AP交于点M，求的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（选修4-4 极坐标与参数方程）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，直线过原点，倾斜角为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）求直线和曲线的极坐标方程；
（2）当时，设直线与曲线相交于，两点，求的取值范围．
23．选修4-5：不等式选讲
已知都是实数，，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若对满足条件的所有都成立，求实数的取值范围．宜宾市翠屏区2022-2023学年高二下学期5月期中考试
数学（理工类）参考答案
1．B 2．A 3．D 4．C 5．B 6．B 7．C 8．B 9．A 10．A 11．D 12．C
13． 14．0.059 15．. 16．
17．解：（1）A班在前两轮淘汰赛直接晋级（不通过抽签）八强，则A班连胜两局，
则A班在前两轮淘汰赛直接晋级（不通过抽签）八强的概率为；
（2）X可取1，2，3，
，，，
1 2 3
.
18．解：(1)因为函数的定义域为，且，
由得；由 得
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
所以，有极大值，无极小值；
(2)①当，即，函数在区间上单调递增，
所以
②当，即时，函数在区间上单调递增，在上单调递减，
所以
③当时，函数在区间上单调递减，
所以
综上所述，当时，，当时，；
当时，
19．（1）证明：取的中点为，连接，
因为，所以，
因为平面平面，平面平面
平面，所以平面，
因为平面，所以 ,
又因为底面为正方形，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以
（2）由（1）知，平面，
因为平面，所以平面平面
过点作，可得平面，即为四棱锥的高，
因为四棱锥的体积为，所以，
解得，又因为，所以，所以为中点，
取中点为点，连接，
以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系
所以，，，,
所以，，,
设平面的法向量为，则，即，
令，解得，，所以，
同理设平面的法向量，则，即，
解得，所以二面角的余弦值为，
所以二面角的正弦值为.
20．解：（1）由可得，
若是的极值点，则，即，.
当时，，.
令，则，
由可得，当时，，当时，.
在上单调递减，在上单调递增，在处取极小值，
，即，在上单调递增，
没有极值，即不存在实数，使得为的极值点；
（2）由（1）可知，当时，在上单调递增.
当时，，即，即.
，即，(当且仅当时，取等号)
令可得，
，，，……，
，把以上各式相加可得
，即.
21．(1)∵过点与坐标原点，∴．
设的左焦点为，则的周长，
∴，∴，且，故，∴，．故的标准方程为．
(2)设，其中，则直线，，
又，∴直线．
联立直线:，解得．
联立直线：，
解得．∴，
由于，故．
22．解：（1）直线极坐标方程：
曲线的参数方程为(为参数)，消去，得，
即，将，，代入上式得
曲线的极坐标方程：
（2）将代入曲线的极坐标方程，得．
设，，则，
∴，
∵，∴，∴．
∴的取值范围为．
23．（1），由得或
解得或，故所求实数的取值范围为．
（2）由且，得，
又∵，∴，
∵的解集为，∴的解集为，
∴所求实数的取值范围为．
