宜宾市翠屏区2022-2023学年高二下学期5月期中考试
数学（文史类）
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知为虚数单位，若复数，则
A． B． C． D．
2．某公司对2022年的营收额进行了统计，并绘制成如图所示的扇形统计图.在华中地区的三省中，湖北省的营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约2156万元.则下列说法错误的是
A．该公司2022年营收总额约为30800万元
B．该公司在华南地区的营收额比河南省营收额的3倍还多
C．该公司在华东地区的营收额比西南地区、东北地区及湖北省的营收额之和还多
D．该公司在湖南省的营收额在华中地区的营收额的占比约为35.6%
3．某同学在只听课不做作业的情况下，数学总不及格后来他终于下定决心要改变这一切，他以一个月为周期，每天都作一定量的题，看每次月考的数学成绩，得到5个月的数据如下表：
一个月内每天做题数x 5 8 6 4 7
数学月考成绩y 82 87 84 81 86
根据上表得到回归直线方程，若该同学数学想达到90分，则估计他每天至少要做的数学题数为
A．8 B．9 C．10 D．11
4．把一根长度为7的铁丝截成3段，如果3段的长度均为正整数，那么能构成三角形的概率为
A． B． C． D．
5．若对任意非零实数，定义的运算规则如图的程序框
图所示，则的值是
A． B．
C． D．9
6．已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中正确的是
A．若，，则 B．若，，则m∥n
C．若，，，则m⊥n D．若，，则m∥n
7．央视热播剧《人世间》，描述了50年蜿蜒曲折中国家的发展和老百姓生活的磅礴变迁，其中良好家风的传承及流淌在人与人之间的良善真义，深深打动并温暖了观众之心，堪称一部当代中国的影像心灵史诗．某高中社团调查了100名观众，将这100名观众对该剧的评分绘制成了如图所示的频率分布直方图，则评分的中位数约为
A．8.15 B．8.24
C．8.33 D．8.42
8．“圆柱容球”是指圆柱形容器里放了一个球，且球与圆柱的侧面及上、下底面均相切，则该圆柱的体积与球的体积之比为
A．2 B． C． D．
9．已知直线：与圆心，半径为5的圆相交于点，，若点为圆上一个动点，则的面积的最大值为
A． B． C． D．
10．若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
11．已知双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为
A． B．
C． D．
12．已知函数，，函数的最小值，则实数的最小值是
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．曲线在点处的切线方程为______．
14．若x，y满足约束条件，则的最大值为____________．
15．已知数据的标准差为，则数据的标准差为________．
16．（2018届安徽省安庆市高三二模考试）设抛物线的焦点为点在抛物线上,且满足若，则的值为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17．（12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如表：
男 女
需要 40 m
不需要 n 270
若该地区老年人中需要志愿者提供帮助的比例为14%.
（1）求m，n的值；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
参考公式：K2＝.
P（K2≥k0） 0.050 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
18．（12分）已知函数
（1）求函数的极值;
（2）设，求函数在区间上的最大值．
19．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，E为的中点，点P在平面内的投影F恰好在直线上.
(1)证明：.
(2)求点B到平面的距离.
20．（12分）已知椭圆C：过点，．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，且，，求直线l的方程．
21．（12分）已知函数有两个零点和．
（1）求实数a的取值范围；
（2）证明：．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（选修4-4 极坐标与参数方程）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，直线过原点，倾斜角为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）求直线和曲线的极坐标方程；
（2）当时，设直线与曲线相交于，两点，求的取值范围．
23．选修4-5：不等式选讲
已知都是实数，，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若对满足条件的所有都成立，求实数的取值范围．宜宾市翠屏区2022-2023学年高二下学期5月期中考试
数学（文史类）参考答案
1．B 2．D 3．C 4．D 5．C 6．C 7．B 8．B 9．D 10．B 11．B 12．C
13． 14．3 15． 16．.
17．解：（1），
（2）
即在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关
18．(1)因为函数的定义域为，且，由得；
由 得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
所以，有极大值，无极小值；
(2)①当，即，函数在区间上单调递增，
所以
②当，即时，函数在区间上单调递增，在上单调递减，
所以
③当时，函数在区间上单调递减，
所以
综上所述，当时，
当时，；当时，
19．（1）∵点P在平面内的投影F恰好在直线上.∴平面ABCD，
∵平面ABCD。∴CD，
∵，E为的中点∴AB=CE，
∴四边形ABCE为矩形，故AE⊥CD，
∵，∴CD⊥平面APF，
∵平面APF，∴
（2）连接BD与AE交于点O，连接PE，则，
因为由（1）知：CD⊥平面APF，平面APF，
所以CD⊥PE，
因为PD=2，DE=1，由勾股定理得：，因为PA=1，AE=BC=2，
所以，由勾股定理逆定理知：PA⊥PE，
所以所以，
由勾股定理得：，
因为PA=1，PD=2，AD=，所以PA⊥PD，
设点B到平面PAD的距离为h，则，解得：，
故点B到平面的距离为.
20．（1）依题意得，解得．故椭圆C的标准方程为．
（2）设直线l的方程为，代入，整理得．
由，得．
设，，则，．
而，，故，所以，
故，
即，即，
即，
整理得，
所以，得，因为，所以，
故直线l的方程为或．
21．（1）解：f(x)的定义域为R，．
①当时，，所以f(x)在R上单调递增，
故f(x)至多有一个零点，不符合题意
②当时，令，得；令，得．
故在上单调递减，在上单调递增，
所以．
（i）若，则，故至多有一个零点，不符合题意；
（ii）若，则，．
由（i）知，∴．
∴，，
又∵，故存在两个零点，分别在，内．
综上，实数a的取值范围为．
（2）证明：由题意得，
两式相除得，变形得，
欲证，即证，即证
记，，
故在上单调递减，从而，即，所以得证．
22．解：（1）直线极坐标方程：
曲线的参数方程为(为参数)，消去，得，
即，将，，代入上式得
曲线的极坐标方程：
（2）将代入曲线的极坐标方程，得．
设，，则，
∴，
∵，∴，∴．
∴的取值范围为．
23．（1），由得或
解得或，故所求实数的取值范围为．
（2）由且，得，
又∵，∴，
∵的解集为，∴的解集为，
∴所求实数的取值范围为．
