宜宾市部分中学2022-2023学年高二下学期期中考试
数学（理工类）
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某学校有高一、高二、高三三个年级，已知高一、高二、高三的学生数之比为，现用分层抽样抽取一个容量为的样本，从高一学生中用简单随机抽样抽取样本时，学生甲被抽到的概率为，则该学校学生的总数为
A． B． C． D．
2．命题“”的否定是
A． B．
C． D．
3．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于的概率为
A． B． C． D．
5．如图，某系统使用，，三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响．当元件正常工作且，中至少有一个正常工作时系统即可正常工作．若元件，，正常工作的概率分别为0.7，0.9，0.8，则系统正常工作的概率为
A．0.196 B．0.504 C．0.686 D．0.994
6．已知正四棱柱中，，为中点，则异面直线与所形成角的余弦值为
A． B． C． D．
7．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是
A．0.665 B．0.564 C．0.245 D．0.285
8．已知直线l分别与函数和的图象都相切，且切点的横坐标分别为，，则
A．e B． C．1 D．2
9．除以的余数是
A． B． C． D．
10．已知，是焦点在轴的双曲线（，）的上、下焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为
A．3 B． C．2 D．
11．直线和将圆分成4部分，用5种不同颜色给四部分染色，每部分染一种颜色，相邻部分不能染同一种颜色，则不同的染色方案有
A．120种 B．240种 C．260种 D．280种
12．已知定义在上的函数满足，当时，．则的解集为
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设随机变量的分布列为，（，2，3），则a的值为___________.
14．函数的单调递减区间为____________.
15．将4瓶外观相同，品质不同的酒让品酒师品尝，要求按品质优劣将4种酒排序，经过一段时间后，再让其品尝这4瓶酒，并让他重新按品质优劣将4种酒排序．根据测试中两次排序的偏离程度评估品酒师的能力．表示第一次排序为1，2，3，4的四种酒分别在第二次排序中的序号，记为其偏离程度，假设为1，2，3，4的等可能的各种排列．假设每轮测试之间互不影响，表示在1轮测试中的概率，表示在前3轮测试中恰好有一轮的概率，则____________．
16．过点的直线与抛物线交于，两点，线段的垂直平分线经过点，为抛物线的焦点，则的值为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17．（12分）近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（，简称）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照大小分为六级， 为优； 为良； 为轻度污染； 为中度污染； 为重度污染；大于300为严重污染．环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的的茎叶图如下：
（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（）的天数；（按这个月总共30天计算）
（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率；
（3）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为，求的概率分布列和数学期望.
18．（12分）已知函数在处取得极值，
（1）求的值及的单调区间；
（2）若函数在区间上的最大值为，求实数的值.
19．（12分）如图，四棱锥中，，点是的中点，点G在线段DC上，且.
（1）求证：平面；
（2）若平面，，，求二面角的正弦值.
20．（12分）已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，点，点在线段的中垂线上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于两点，直线与的倾斜角分别为，且，求证：直线过定点，并求该定点的坐标．
21．（12分）已知函数.
（1）求在处的切线方程；
（2）若时，不等式恒成立，证明：.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（选修4-4 极坐标与参数方程）
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为.
(1)写出直线和曲线C的直角坐标方程；
(2)已知点，若直线与画线C交于两点，求的值.
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求实数的取值范围.宜宾市部分中学2022-2023学年高二下学期期中考试
数学（理工类）参考答案
1．B 2．A 3．B 4．C 5．C 6．A 7．A 8．C 9．B 10．C 11．C 12．A
13． 14．和 15． 16．6
17．解：（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，
故该样本中空气质量优良的频率为，从而估计该月空气质量优良的天数为
(2)由题意可知，10天中有6天是优良，其中2天优，所以
（3）由（1）估计某天空气质量优良的概率为，的所有可能取值为0,1,2,3
，，，，
故的分布列为：
显然，.
18．解：（1）函数所以，
因为在处取得极值，可得，即，
解得，所以
令，解得或，令，解得
所以函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是.
（2）由（1）知，为递增，递减，
所以的最大值取，中的较大者又由于
所以，即整理得，解得.
19．解：（1）延长交于点连接，
因为所以所以，
，又因为，所以，所以，
又因为平面，又因为，所以平面.
（2）以C为原点，为x轴的正方向，以为y轴的正方向，以
过点且垂直于面为z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
C(0，0，0)，，，，
设为平面的法向量；
，，取则
设为平面的法向量，，，，，取，则.
，
设二面角的平面角为，则所以.
20．解：（1）由椭圆的离心率得，其中，
∴，∴解得，，， ∴椭圆的方程为．
（2）由题意，知直线存在斜率，设其方程为．由
消去，得．设，，
则，即，，.
且 由已知，得,即．
化简，得
∴整理得．
∴直线的方程为，因此直线过定点，该定点的坐标为．
21．解：（1）由题可知，∴，又，
∴在处的切线方程为，即.
（2）由题可知不等式，即在上恒成立.
设，
则.当时，.
令，则，∴在上单调递增.
又，，
∴存在使得，即，∴.
故当时，，此时，
当时，，此时.
故在上单调递增，在上单调递减，
从而，
∴.令，
则当时，，∴在上单调递增，
∴，∴.
22(1)可化为，即
即直线的直角坐标方程为
可化为，，即曲线C的直角坐标方程为
(2)因为在直线上，所以直线的参数方程为（为参数）
将其代入，整理得
设对应的参数为，则
23．解：（1），由，解得，
故不等式的解集是；
（2）的解集包含，即当时不等式恒成立，
当时，，，即，
因为，所以，
令，，易知在上单调递增，
所以的最小值为，因此，即的取值范围为.
