2.2.2直线的点斜式方程 教学设计

直线的点斜式方程
1．知道直线方程的概念，会用点斜式和斜截式求直线的方程．
2．明确直线方程的点斜式与斜截式的适用范围．
教学重点：会用直线的点斜式与斜截式求方程．
教学难点：了解直线方程的概念．
环节一：引入新课
在之前的数学学习中，直线应当是大家最熟悉的几何图形之一，我们在上一节中也学习了直线的一些重要几何要素.并且知道，已知直线上的一点和直线的方向，或者已知直线上的两个点，都可以确定一条直线；那么今天我们就来探究，如何利用已知的几何要素来表示直线.
环节二：课堂探究
问题1：如何表示出过已知点，且斜率为k的直线的方程？
追问1：如何建立直线的方程？
答案：利用确定直线位置的几何要素，建立直线上任意一点的横坐标x与纵坐标y所满足的关系式.
如图，直线l经过点，且斜率为k，设是直线l上不同于点P的任意一点，因为直线l斜率为k，由斜率公式得，整理得.
追问2：能否直接表示直线l？为什么要进行变形？
答案：分式表达式中分母，即分式无法表示点；而变形后即可表示直线l上的所有点，即可表示直线l. 并且知道直线上任意点的坐标都满足直线的方程.
追问3：坐标满足该式的每一个点是否都在直线l上？
答案：若点的坐标满足关系式，则；
当时，，这时点与重合，显然有点都在直线l上；
当时，有，这表明过点，的直线的斜率为.
因为直线的斜率都为，且都过点，所以它们重合，点在直线l上.
综上，直线上任意点的坐标都满足直线的方程; 同时坐标满足方程的点都在直线上.
我们将称为过点，斜率为k的直线l的点斜式方程，简称点斜式；
问题2： 直线l经过点，且倾斜角为时，直线l的方程是什么？
答案：如图，此时，则由直线的点斜式方程得：.
问题3：直线l经过点，且倾斜角为时，直线l的方程是什么
答案：如图，此时由于无意义，即直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示.又因为这时直线l上的每一点的横坐标都等于，即它的方程为.
问题4：如何表示过点，斜率为k的直线方程？
答案：已知直线的斜率和直线上一点的坐标，可直接将已知代入点斜式方程,得到，化简后得. 我们将该式称为直线的斜截式方程，简称斜截式.
追问1：如何理解与应用直线的斜截式方程
答案：“斜”表示斜率k；“截”表示直线与y轴交点的纵坐标，称为直线在y轴上的截距；强调截距不是距离，而是交点的坐标；直线的斜截式方程是特殊的点斜式方程，两者都只能表示斜率存在的直线.
追问2：如何从直线方程的角度认识一次函数？
答案：直线方程是直线上任意点的坐标(x，y)所满足的代数关系，由于直线上点的任意性，因此在坐标系中表示变量x，y间的对应关系，而它也就是一次函数对应的图象. 初中学习一次函数y=kx+b时，只知道k，b是常数，但是没有说明它们的几何意义. 现在，从直线方程的角度我们知道了k，b的几何意义为函数对应的直线的斜率和直线在y轴上的截距.
追问3：一次函数，，对应的图象都是直线，这三条直线的斜率和直线在y轴上的截距是什么？
答案：图象对应的直线斜率为2，直线在y轴上的截距为，与y轴交点为；
图象对应的直线斜率为，直线在y轴上的截距为3，与y轴交点为；
图象对应的直线斜率为3，直线在y轴上的截距为0，与y轴交点为.
环节三：知识应用
例1 直线l经过点,且倾斜角，求直线l的点斜式方程，并画出直线l.
解：直线l经过点,且倾斜角，则斜率，代入点斜式方程得：，即.
而若想画出直线l，先确定点的位置，虽然本题的直线是由一点和斜率的确定，但在画直线时并不好操作，实际上，通过直线上的每一个点的坐标都满足直线方程这一本质特征，我们只需找出满足直线方程的直线上的另一点的另一点，即可通过确定两点画出这条直线。例如，取，代入直线的方程，得到，则得到的点，则过，两点的直线即为所求，如图所示.
例2 已知直线，，试讨论：
（1）的条件是什么？
（2）的条件是什么？
解：(1)若，则，此时与y轴的交点不同，即；反之，若，，则.
(2)若，则；反之，若，则.
小结：对于直线,.
，且；.
课时检测
1.写出经过点，斜率是的点斜式方程；
2.写出斜率是，在y轴上的截距是的斜截式方程；
3.直线过两点，，请写出它的斜截式方程.
答案：1. y＋1＝（x－3）；
2. y＝x－2；
3. y=x+1.
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