第三讲 数列通项公式求解
【课前诊断】
1、若数列中，，则 .
2、若数列中，，则 .
3、若数列中，，则的值是 .
4若数列中，，则 .
【教学目标】
进一步地理解等差数列、等比数列性质，能利用公式求解较复杂数列的通项公式；
学会通过递推公式求解数列的通项公式，并能解决较复杂的数列问题。
【知识框架】
【知识要点】
2、通项公式：如果数列的第项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即.
3、递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫做数列的递推公式. 如数列中，，其中是数列的递推公式.
求解数列通项的方法
1.公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
2.已知：已知（即）求，
用作差法：
累加法：求：
4.累乘法：已知求，用累乘法：.
考点一：公式法求通项
【例1】已知等差数列满足，公差．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
【练1】已知：等差数列的前项和为，且满足，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
【例2】已知为等比数列.
（Ⅰ）若，求的通项公式；
【练2】数列{an} .
（Ⅰ）求数列的通项公式;
【例3】已知等比数列的公比为，且，,成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
考点二：已知求
【例4】若，求
【练1】中，已知，求
【例5】设数列的前项和为,且.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
【练1】若，求
【练2】已知数列的前项和为，且．
（Ⅰ）求和
【例6】【变式】若，求
【练1】【变式】若，求
考点三：累加 累乘
【例7】已知数列满足，，求。
【练1】已知数列满足,则.
【例8】:已知数列满足，，求。
【练习1】已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通项
考点四：递推关系
【例9】:已知数列中，，，求.
.
【练习1】: 已知数列满足
【练习2】已知数列满足（），，数列的通项公式为
【例10】已知数列中，且，求的前项和
【练习】已知数列中，且，求的前项和
【小试牛刀】
1. 已知等差数列的前项和为,公差,,且成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
2. 数列的前项和则=
3 设数列满足.
（Ⅰ）求数列的通项;
4. 已知数列满足,且,则
【巩固练习】
1.已知是各项为正数的等差数列，为其前项和，且.
（Ⅰ）求的值及的通项公式;
（Ⅱ）求数列的最小值.
2.已知数列是首项，公比的等比数列.设（）
（Ⅰ）求证：数列为等差数列；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
3．已知数列的前和，．
（1）求数列的通项公式；
4.已知是等差数列，是等比数列，且，，，.
（1）求的通项公式；
5.在数列{an}中，，且对于任意正整数都有，数列满足，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
6 已知数列中，．
（Ⅰ）求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
7设是数列的前n项和，且，，则________．第三讲 数列通项公式求解
【课前诊断】
1、若数列中，，则 .
【答案】
2、若数列中，，则 .
【答案】
3、若数列中，，则的值是 .
【答案】
4若数列中，，则 .
【答案】
【教学目标】
进一步地理解等差数列、等比数列性质，能利用公式求解较复杂数列的通项公式；
学会通过递推公式求解数列的通项公式，并能解决较复杂的数列问题。
【知识框架】
【知识要点】
2、通项公式：如果数列的第项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即.
3、递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫做数列的递推公式. 如数列中，，其中是数列的递推公式.
求解数列通项的方法
1.公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
2.已知：已知（即）求，
用作差法：
累加法：求：
4.累乘法：已知求，用累乘法：.
考点一：公式法求通项
【例1】已知等差数列满足，公差．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
【答案】
【练1】已知：等差数列的前项和为，且满足，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
【答案】
【例2】已知为等比数列.
（Ⅰ）若，求的通项公式；
【答案】
【练2】数列{an} .
（Ⅰ）求数列的通项公式;
【答案】
【例3】已知等比数列的公比为，且，,成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
【答案】
考点二：已知求
【例4】若，求
【答案】
【练1】中，已知，求
【答案】
【例5】设数列的前项和为,且.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
【答案】
【练1】若，求
【答案】
【练2】已知数列的前项和为，且．
（Ⅰ）求和
【答案】
【例6】【变式】若，求
【答案】
【练1】【变式】若，求
【答案】
考点三：累加 累乘
【例7】已知数列满足，，求。
【答案】解：由条件知：
分别令，代入上式得个等式累加之，即
所以
，
【练1】已知数列满足,则.
【答案】
【例8】:已知数列满足，，求。
【答案】解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即
又，
【练习1】已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通项
【答案】解：由已知，得，用此式减去已知式，得
当时，，即，又，
，将以上n个式子相乘，得
考点四：递推关系
【例9】:已知数列中，，，求.
【答案】解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.
【练习1】: 已知数列满足
求数列的通项公式；
【答案】解：
是以为首项，2为公比的等比数列
即
【练习2】已知数列满足（），，数列的通项公式为
【答案】
【例10】已知数列中，且，求的前项和
【答案】构造为公差为1的等差数列，
【练习】已知数列中，且，求的前项和
【答案】构造为公差为的等差数列，
【小试牛刀】
1. 已知等差数列的前项和为,公差,,且成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
【答案】
2. 数列的前项和则=
【答案】
3 设数列满足.
（Ⅰ）求数列的通项;
【答案】
4. 已知数列满足,且,则
【答案】
【巩固练习】
1.已知是各项为正数的等差数列，为其前项和，且.
（Ⅰ）求的值及的通项公式;
（Ⅱ）求数列的最小值.
【解析】（Ⅰ）时，，，
时，
（舍负）
（Ⅱ）因为
所以
或时
取最小值.
2.已知数列是首项，公比的等比数列.设（）
（Ⅰ）求证：数列为等差数列；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
【解析】（Ⅰ）由已知得：.
（）.
则.
所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
则数列是以为首项，为公差的等差数列.
.
则.
即+.
即 ().
3．已知数列的前和，．
（1）求数列的通项公式；
【答案】
4.【2016北京文15】已知是等差数列，是等比数列，且，，，.
（1）求的通项公式；
【答案】（1）；
【解析】（1）等比数列的公比，所以，.
设等差数列的公差为.因为，，所以，即.所以.
5.在数列{an}中，，且对于任意正整数都有，数列满足，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
6 已知数列中，．
（Ⅰ）求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
【解析】
5设是数列的前n项和，且，，则________．
【答案】
【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．则当时，
当时，，所以.
