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高中数学三轮复习讲义——两年高考一年模拟
第13讲 解答题之解三角形
解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点．但最近一两年解三角形主要一大题的形式为主。
1．（2022年全国新高考II卷数学试题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
2．（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
3．（2022年全国新高考I卷数学试题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
4．（2021年全国新高考II卷数学试题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形 若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
5．（2021年北京市高考数学试题）在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；
6．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
7．（湖南省长沙市长郡中学、长沙一中、雅礼中学、湖南师大附中2023届高三下学期5月“一起考”数学试题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A的值；
(2)若是锐角三角形，求的取值范围．
8．（2023年普通高等学校招生全国统一考试数学押题卷（三））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)当为锐角三角形时，证明：；
(2)若，求的值．
9．（浙江省金华市义乌市2023届高三下学期适应性考试数学试题）在锐角中，内角的对边分别为，已知.
(1)证明：；
(2)求的取值范围.
10．（2023年高三5月大联考（全国乙卷）理科数学试题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)若，求的值；
(2)若，的面积为，求c的值．
11．（湖北省2023届高三下学期5月联考数学试题）已知在中，角的对边分别是，若.
(1)求证：为等腰三角形；
(2)若，且的面积为4，求的周长.
12．（黑龙江省实验中学2023届高三第二次模拟考试数学试卷）在中，以，，分别为内角，，的对边，且
(1)求；
(2)若，，求的面积；
(3)若，，求边上中线长．
13．（浙江省金丽衢十二校2023届高三下学期第二次联考数学试题）在的内角的对边分别为，已知.
(1)证明：；
(2)再从条件① ②这两个条件中选择一个作为已知，求的值.
条件①：的面积取到最大值；
条件②：.
（注：如果选择条件① ②分别解答，那么按照第一个解答计分.）
14．（吉林省长春市东北师范大学附属中学2022-2023学年高三下学期第六次模拟考试数学试题）在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，D为边上一点，平分．
(1)求角A；
(2)求面积的最小值．
15．（江西省南昌市稳派2023届高三二轮复习验收考试（4月联考）数学（理）试题）在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.
已知的内角，，所对的边分别为，，，___________.
(1)求的值；
(2)若的面积为2，，求的周长.
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
16．（四川省成都市2023届高三三诊理科数学试题）在中，角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若是边上一点，且，求．☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
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第13讲 解答题之解三角形
解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点．但最近一两年解三角形主要一大题的形式为主。
1．（2022年全国新高考II卷数学试题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
【详解】（1）由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，则，.
2．（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【答案】(1)；
(2)证明见解析．
【分析】（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
【详解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
3．（2022年全国新高考I卷数学试题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）因为，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
4．（2021年全国新高考II卷数学试题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形 若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，且.
【分析】（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值.
【详解】（1）因为，则，则，故，，
，所以，为锐角，则，
因此，；
（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，
由余弦定理可得，
解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，，故.
5．（2021年北京市高考数学试题）在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；
【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．
【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；
（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；
若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；
若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.
【详解】（1），则由正弦定理可得，
，，，，
，解得；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，
与矛盾，故这样的不存在；
若选择②：由（1）可得，
设的外接圆半径为，
则由正弦定理可得，
，
则周长，
解得，则，
由余弦定理可得边上的中线的长度为：
；
若选择③：由（1）可得，即，
则，解得，
则由余弦定理可得边上的中线的长度为：
.
6．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.
（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值.
【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，
得，
因为，所以，即．
又因为，所以．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为，如图，在中，，①
在中，．②
由①②得，整理得．
又因为，所以，解得或，
当时，（舍去）．
当时，．
所以．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知，则，
即，
而，即，
故有，从而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
则．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化简得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．
故．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作，交于点E，则．
由，得．
在中，．
在中．
因为，
所以，
整理得．
又因为，所以，
即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为，所以．
以向量为基底，有．
所以，
即，
又因为，所以．③
由余弦定理得，
所以④
联立③④，得．
所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，
长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则．
由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设，则．⑤
由知，，
即．⑥
联立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，
由余弦定理得．
【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
7．（湖南省长沙市长郡中学、长沙一中、雅礼中学、湖南师大附中2023届高三下学期5月“一起考”数学试题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A的值；
(2)若是锐角三角形，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同角三角函数关系得出，再应用两角和差公式计算求解即可；
（2）先应用正弦定理边角互化，再结合二倍角公式及辅助角公式化简，最后根据余弦型函数求值域可得.
【详解】（1）因为，
所以，
即，
所以或（舍去）．
所以，结合，得．
（2）由（1）得:
．
因为是锐角三角形，所以B，C均为锐角，
即，，所以，
所以，，
所以的取值范围是．
8．（2023年普通高等学校招生全国统一考试数学押题卷（三））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)当为锐角三角形时，证明：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由变形为 ，利用余弦定理得到 ，再利用正弦定理得到，进而有 ，然后利用三角恒等变换求解；
（2）由，利用余弦定理得到 ，再由，得到 ，即可求解；
【详解】（1）由条件可知，，
由余弦定理得，．
由正弦定理得，，
即，
整理得，，
当时，为直角三角形，
因为为锐角三角形，
所以，即，
所以．
（2）由及余弦定理可知，，
又，所以，则，
所以，所以(负值舍去).
9．（浙江省金华市义乌市2023届高三下学期适应性考试数学试题）在锐角中，内角的对边分别为，已知.
(1)证明：；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由和差角公式化简得，由正弦定理边角化即可求解，
（2）由锐角三角形满足，根据基本不等式即可求解.
【详解】（1），
，
，由正弦定理得：.
（2）锐角，
，
当且仅当时等号成立，
当时，，当时，，
所以.
10．（2023年高三5月大联考（全国乙卷）理科数学试题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)若，求的值；
(2)若，的面积为，求c的值．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）先利用正弦定理化边为角，再结合三角形内角和定理及两角和的正弦公式化简即可；
（2）现根据三角形的面积公式结合（1）求出，再利用余弦定理即可得解.
【详解】（1）由，得，
由正弦定理，得，
所以，
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以，即；
（2）由（1）知，，
因为，的面积为，
所以，
解得，即，
所以，
由余弦定理，得，所以．
11．（湖北省2023届高三下学期5月联考数学试题）已知在中，角的对边分别是，若.
(1)求证：为等腰三角形；
(2)若，且的面积为4，求的周长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)由，用同角的三角函数的关系与和差角公式化简得，即可得到，所以为等腰三角形；
(2)由(1)得，由的面积为得，再由余弦定理得，则可求出，然后求出的值，即为的周长.
【详解】（1）根据已知条件有：，
整理化简可得： ，
，
，
或（舍去），
故为等腰三角形.
（2）由(1)得：，
，且的面积为，解得，
所以，
解得，
故的周长为.
12．（黑龙江省实验中学2023届高三第二次模拟考试数学试卷）在中，以，，分别为内角，，的对边，且
(1)求；
(2)若，，求的面积；
(3)若，，求边上中线长．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）由平方关系及正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（2）首先由余弦定理求出，再由面积公式计算可得；
（3）由正弦定理将边化角，即可求出或，再分别求出中线的长度.
【详解】（1）由得，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
因为，所以．
（2）因为，且，
所以，解得或（舍去），
所以.
（3）因为，由正弦定理可得，
即，因为，所以，则，
所以或，即或，
当时为等边三角形，所以边上中线长为；
当时，则，所以为直角三角形，又，
由正弦定理，即，
所以，，所以边上中线长为；
综上可得边上中线长为或.
13．（浙江省金丽衢十二校2023届高三下学期第二次联考数学试题）在的内角的对边分别为，已知.
(1)证明：；
(2)再从条件① ②这两个条件中选择一个作为已知，求的值.
条件①：的面积取到最大值；
条件②：.
（注：如果选择条件① ②分别解答，那么按照第一个解答计分.）
【答案】(1)证明见解析；
(2)选①或②，都有．
【分析】（1）已知式化为，由正弦定理化边为角，然后由诱导公式，两角和的正弦公式，商数关系变形可证；
（2）选①，由面积得取最大值时，求出，利用二倍角公式，再化为关于的二次齐次式，弦化切代入计算；选②，由正弦定理得出，再代入（1）中结论得，由平方关系求得，然后由二倍角公式计算．
【详解】（1）因为，所以，由正弦定理得，
又，所以，
所以，显然，，所以；
（2）选①，的面积取到最大值，
，
所以时，取得最大值，此时，
由（1），
；
选②，，
由正弦定理得，，
由（1），，所以，，
所以，即，，
．
14．（吉林省长春市东北师范大学附属中学2022-2023学年高三下学期第六次模拟考试数学试题）在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，D为边上一点，平分．
(1)求角A；
(2)求面积的最小值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用题给条件和正弦定理余弦定理即可求得角A；
（2）利用题给条件求得，再利用均值定理求得最小值，进而求得面积的最小值．
【详解】（1）由，可得，
整理得，则，
又，则.
（2）过点D作于E，作于F，
又，则，
则，
则，又（当且仅当时等号成立），
则，则，
则（当且仅当时等号成立），
则面积的最小值为．
15．（江西省南昌市稳派2023届高三二轮复习验收考试（4月联考）数学（理）试题）在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.
已知的内角，，所对的边分别为，，，___________.
(1)求的值；
(2)若的面积为2，，求的周长.
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据所选条件，利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，可求的值；
（2）由面积公式求得，再利用余弦定理求得，可得的周长.
【详解】（1）若选①，由已知得，所以，
由正弦定理得，
又，所以，所以，又，
由，，解得.
若选②，由已知及正弦定理得，
所以，
所以，
所以，
又，所以，所以，又，
由，，解得.
（2）由的面积为2，得，所以，
由（1）可得，
由余弦定理得，
所以，所以，
所以的周长为.
16．（四川省成都市2023届高三三诊理科数学试题）在中，角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若是边上一点，且，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理即两角和的正弦公式即可；
（2）利用余弦定理结合已知条件即可解决问题.
【详解】（1），
由正弦定理有：
，
，
．
．
又．
．
又．
（2）在中，由余弦定理得：
．
在中，由余弦定理得：
．
．
即，
整理得．
在中，由余弦定理得:
．
则．．
，即．
