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高中数学三轮复习讲义——两年高考一年模拟
第14讲 解答题之数列
从近三年高考情况来看，等差数列和等比数列一直是高考的热点，尤其是等差数列和等比数列的通项公式及其性质，等差数列和等比数列的前n项和等为考查重点，有时会将等差数列和等比的通项、前n项和及性质综合考查，题型有选择题、填空题，也有解答题，解题时要注意性质的应用，充分结合函数与方程、分类讨论、化归与方程等数学思想的运用.
1．（2022年全国新高考II卷数学试题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
2．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
3．（2022年全国新高考I卷数学试题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
4．（2021年全国新高考II卷数学试题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
5．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
6．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
7．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
8．（吉林省长春市第二中学2022-2023学年高三下学期第七次调研测试数学试卷）已知数列满足，．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项的积为，证明：．
9．（河南省郑州市2023届高三三模文科数学试题）已知数列满足：，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
10．（浙江省金丽衢十二校2023届高三下学期第二次联考数学试题）设数列满足：是的等比中项.
(1)求的值；
(2)求数列的前20项的和.
11．（黑龙江省齐齐哈尔市2023届高三一模数学试题）在①，，②，为的前n项和，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答下列问题．
已知数列满足______．
(1)求数列的通项公式；
(2)对大于1的正整数n，是否存在正整数m，使得，，成等比数列？若存在，求m的最小值；若不存在，请说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
12．（海南省琼海市2023届高三模拟考试数学试题）已知数列 满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和 .
13．（安徽省黄山市2023届三模数学试题）已知数列的前项和为，.
(1)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式;
(2)若 ，求数列的前项和.
从①和②这两个条件中任意选择一个填入上面横线上，并完成解答.注:若选择多个条件作答，则按第一个解答计分.
14．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2023届高三第二次模拟考试数学试题）已知数列中，，，数列的前项和为，，．
(1)求证：数列为等差数列，并求，的通项公式；
(2)若，且数列的前项和为，求．
15．（河北省名校2023届高三5月模拟数学试题）已知数列满足，
(1)记，证明：数列为等比数列；
(2)记，求数列的前项和．
16．（山东省济宁市2023届高三二模拟数学试题）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式;
(2)若，求数列的前项和．☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
高中数学三轮复习讲义——两年高考一年模拟
第14讲 解答题之数列
从近三年高考情况来看，等差数列和等比数列一直是高考的热点，尤其是等差数列和等比数列的通项公式及其性质，等差数列和等比数列的前n项和等为考查重点，有时会将等差数列和等比的通项、前n项和及性质综合考查，题型有选择题、填空题，也有解答题，解题时要注意性质的应用，充分结合函数与方程、分类讨论、化归与方程等数学思想的运用.
1．（2022年全国新高考II卷数学试题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得，即可解出．
【详解】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．
（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．
2．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．
【详解】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
3．（2022年全国新高考I卷数学试题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
【详解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
4．（2021年全国新高考II卷数学试题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
【答案】(1)；(2)7.
【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：.
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为.
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
5．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;
（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.
【详解】（1）[方法一]：
由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 ①
于是． ②
由①②得． ③
又， ④
由③④得．
令，由，得．
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法三]：
由，得，且，，．
又因为，所以，所以．
在中，当时，．
故数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法四]：数学归纳法
由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．
下面用数学归纳法证明．
当时显然成立．
假设当时成立，即．
那么当时， ．
综上，猜想对任意的都成立．
即数列是以为首项，为公差的等差数列．
（2）
由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,
,
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.
【整体点评】（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；
方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解；
方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论．
（2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式；
6．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】证明过程见解析
【分析】选①②作条件证明③时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.
选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证；
选②③作条件证明①时，设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.
【详解】选①②作条件证明③：
[方法一]：待定系数法+与关系式
设，则，
当时，；
当时， ；
因为也是等差数列，所以，解得；
所以，，故.
[方法二] ：待定系数法
设等差数列的公差为d，等差数列的公差为，
则，将代入，
化简得对于恒成立．
则有，解得．所以．
选①③作条件证明②：
因为，是等差数列，
所以公差，
所以，即，
因为，
所以是等差数列.
选②③作条件证明①：
[方法一]：定义法
设，则，
当时，；
当时， ；
因为，所以，解得或；
当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；
当时，，不合题意，舍去.
综上可知为等差数列.
[方法二]【最优解】：求解通项公式
因为，所以，，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，，符合题意.
【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，平方后得到的关系式，利用得到的通项公式，进而得到，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出与的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，，进而得到；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出及，进而由等差数列定义进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；法二：利用是等差数列即前两项的差求出公差，然后求出的通项公式，利用，求出的通项公式，进而证明出结论.
7．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；
（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.
【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设， ⑧
则． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以 ，
所以.
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通过等式左右两边系数比对易得，所以．
则，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设，
由于，
则．
又，
所以
，下同方法二．
【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
8．（吉林省长春市第二中学2022-2023学年高三下学期第七次调研测试数学试卷）已知数列满足，．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项的积为，证明：．
【答案】(1)证明见解析，；
(2)证明见解析.
【分析】（1）把给定的递推公式变形整理，再利用等差数列的定义判断，并求出通项公式作答.
（2）由（1）的结论求出，再利用裂项相消法求和即可作答.
【详解】（1）由，得，显然，，否则，矛盾，
，即，
因此数列是首项为，公差为1的等差数列，
则，整理得，
所以数列是等差数列，数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，，
于是，
所以.
9．（河南省郑州市2023届高三三模文科数学试题）已知数列满足：，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)且
【分析】（1）由，利用累加法求数列通项公式，注意验证；
（2）由题设得，讨论的奇偶性分别求出对应前n项和即可.
【详解】（1） ，
当时
，检验知：当时上式也成立，
故．
（2） ．
当为偶数时，；
当为奇数时，且，
又时满足上式，此时；
且.
10．（浙江省金丽衢十二校2023届高三下学期第二次联考数学试题）设数列满足：是的等比中项.
(1)求的值；
(2)求数列的前20项的和.
【答案】(1)1；
(2)6108.
【分析】（1）由已知求得，然后由等比中项定义求解；
（2）由已知式得出奇数项加2后成等比数列，而偶数项等于它前面的奇数项加1，因此结合分组求和法、等比数列的前项和公式求解．
【详解】（1）由已知，，
又是的比例中项，所以，即，显然且，故解得；
（2）是奇数时，，，
，而，
所以数列是等比数列，
．
11．（黑龙江省齐齐哈尔市2023届高三一模数学试题）在①，，②，为的前n项和，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答下列问题．
已知数列满足______．
(1)求数列的通项公式；
(2)对大于1的正整数n，是否存在正整数m，使得，，成等比数列？若存在，求m的最小值；若不存在，请说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）选择条件①：可得是首项为4，公差为3的等差数列，即可求出数列的通项公式；选择条件②：当时，，两式相减，即可得出答案；
（2）选择条件①：假设存在满足题意的正整数m，则有，即，即，由二次函数的性质即可求出m的最小值；
选择条件②：分和两种情况，再结合二次函数的性质即可求出m的最小值；
【详解】（1）选择条件①：
由，，得是首项为4，公差为3的等差数列，
则，又，所以．
选择条件②：
由，可得当时，，
又当时，不满足上式，所以
（2）选择条件①：
假设存在满足题意的正整数m，使得，，成等比数列，
则有，即，
即
因为且，，
所以当时，．
所以存在正整数m，使得，，成等比数列，m的最小值为8
选择条件②：
假设存在满足题意的正整数m，使得，，成等比数列，则有，
当时，有，即，此时n无正整数解，
当时，，即．
因为，所以不可能为正整数，
所以不存在正整数m，使得，，成等比数列
12．（海南省琼海市2023届高三模拟考试数学试题）已知数列 满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列的首项和公比即可求解；
（2）由等比数列的求和公式以及裂项求和即可.
【详解】（1）由，当时，，得，
因为，所以是首项为4，公比也为4的等比数列，
所以.
（2）由（1）知，
所以
13．（安徽省黄山市2023届三模数学试题）已知数列的前项和为，.
(1)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式;
(2)若 ，求数列的前项和.
从①和②这两个条件中任意选择一个填入上面横线上，并完成解答.注:若选择多个条件作答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)证明见解析，
(2)答案见解析
【分析】（1）通过消去，得到从而得到证明；
（2）若选①，则要运用错位相减法求和，若选②，先化简，然后分奇数偶数，利用分组求和计算.
【详解】（1）依题意可得，
两式相减并化简得，所以
又，，解得.
所以，故
由于，所以，于是.
故数列是首项为3，公比为3的等比数列
，即
（2）选①: 由（1）得，则
两式相减得：
所以
选②: 由（1）得，所以
（i）当为偶数时，
（ii）当为奇数时，
综上所述
14．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2023届高三第二次模拟考试数学试题）已知数列中，，，数列的前项和为，，．
(1)求证：数列为等差数列，并求，的通项公式；
(2)若，且数列的前项和为，求．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）将取倒数，继而整理为，根据等差数列的通项公式可求得；根据数列前n项和和第n项的关系，可得，两式相减可求得；
（2）由（1）的结果可求出的表达式，利用裂项求和的方法即可求得答案.
【详解】（1）因为，所以，
即，故是以为首项，以2为公差的等差数列，
故；
由，可得，
两式相减可得，
又，，可得，
故是以为首项，3为公比的等比数列，故.
（2）由（1）可得
，
.
15．（河北省名校2023届高三5月模拟数学试题）已知数列满足，
(1)记，证明：数列为等比数列；
(2)记，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）根据题意结合等比数列的定义分析运算；
（2）先根据等比数列结合累加法求，再利用错位相减法求和.
【详解】（1）由题意可得：，且，
则，
所以数列是以首项，公比的等比数列.
（2）由（1）可知：，即，
可得：
，
所以，
即，则，
可得，
则，
两式相减得：，
所以.
16．（山东省济宁市2023届高三二模拟数学试题）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式;
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的基本量计算即可求解，
（2）由分组求和，结合等差等比数列的求和公式即可求解.
【详解】（1）由，得
所以数列为等差数列．所以，得．
所以公差．所以．
（2）当为奇数时，．当为偶数时．
所以
