2022-2023学年高一下学期质量监测试题
数学
注意事项：
1.在作答前，考生务必将自己的姓名 考号涂写在试卷和答题卡规定的地方.考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自已妥善保存.
2.选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整 笔迹清楚.
3.请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸 试卷上答题均无效.
4.保持答题卡清洁，不得折叠 污染 破损等.
第I卷（选择题共60分）
一 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设角终边上的点的坐标为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由任意三角函数的定义即可求解
【详解】设角终边所在圆的半径为，由题意得，，
所以，，，所以D选项正确，
故选：D
2. 在中，下列关系式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形内角和为，结合诱导公式依次判断每个选项得到答案.
【详解】对选项A：，错误；
对选项B：，错误；
对选项C：，错误；
对选项D：，正确；
故选：D.
3 ．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】 由两角差的余弦函数，可得，
故选．
4. 正的边长为1，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据，但要注意向量夹角的定义．
【详解】．
故选：B．
5. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】确定得到，，展开计算得到答案.
【详解】，，，
故，
.
故选：A
6. 平面向量与的夹角为，若，则（ ）
A. B. C. 4 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】确定，计算，得到答案.
【详解】，则，，
故.
故选：B
7. 函数（其中，）的图象如图所示，为了得到的图象，则需将的图象（ ）
A. 横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位
B. 横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位
C. 横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位
D. 横坐标伸长到原来2倍，再向右平移个单位
【答案】D
【解析】
【分析】先根据图象的特点可求出，然后再根据周期变换与相位变换即可得出.
【详解】由图象可知：，则，
由，解得，
则，
∵的图象过点，则，
可得，解得，
又∵，则，
故.
故将函数图象的横坐标伸长到原来的2倍得到的图象，然后再向右平移个单位即可得到的图象.
故选：D.
8. 如图，在平面四边形中，，，，，，若点F为边上的动点，则的最小值为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，设出点坐标，求得的表达式，进而求得的最小值.
【详解】以为原点建立如图所示平面直角.
依题意，，，
在三角形中，由余弦定理得
.
所以，所以.
而，所以.
在三角形中，由余弦定理得.
所以，所以.
在三角形中，，所以三角形是等边三角形，
所以.
所以，设
依题意令，即，
所以，所以，
所以
.
对于二次函数，其对称轴为，开口向上，所以当时，有最小值，也即有最小值为.
故选：B
【点睛】本小题主要考查向量数量积的最值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.
二 多选题，本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 给出下面四个命题，其中是真命题的是（ ）
A.
B. 零向量与任意向量平行
C. 是向量的充分不必要条件
D. 向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上
【答案】AB
【解析】
【分析】根据向量的运算法则得到AB正确，是向量的必要不充分条件，C错误，或点在同一条直线上，D错误，得到答案.
【详解】对选项A：，正确；
对选项B：零向量与任意向量平行，正确；
对选项C：当时，；当，不能得到，
故是向量的必要不充分条件，错误；
对选项D：向量与向量是共线向量，
则或点在同一条直线上，错误；
故选：AB.
10. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于对称
C. 若的图象向右平移个单位后关于原点对称，则的最小值为
D. 在上的值域为
【答案】BD
【解析】
【分析】化简得到，确定周期为，A错误，计算图像关于对称，B正确，满足条件，C错误，计算值域得到D正确，得到答案.
【详解】，
对选项A：的图像是由的图像的轴下方的部分向上翻折形成，
周期减半，故，错误；
对选项B：当时，，故的图像关于对称，正确；
对选项C：平移后的解析式为，
函数为奇函数，则，即，
当时，满足条件，错误；
对选项D：，则，故，正确；
故选：BD
11. 下列说法中正确的有（ ）
A. 若与共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
B. 若向量，，则
C. 若平面上不共线的四点O，A，B，C满足，则
D. 若非零向量，满足，则与的夹角是
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，根据向量共线定义，可得其正误；对于B，利用向量共线定理，可得其正误；
对于C，根据向量减法，结合共线定理，可得其正误；对于D，根据向量模的求解以及夹角公式，可得答案.
【详解】与是共线向量，也可能是，故A错误；
设，∵，，∴解得∴，
又∵，∴，故B正确；
由已知得，∴，∴，故C正确；
由整理可得，设与的夹角是，
则，∴与的夹角是，故D错误．
故选：BC.
12. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，利用正弦函数的单调性即可判断；对于B，利用倍角余弦公式，结合余弦函数的单调性即可判断；对于C， 采用作商比较法，结合三角函数线即可判断；对于D，利用辅助角公式，结合正弦函数的单调性即可判断.
【详解】对于A，因为，所以，则，即，A错；
对于B，，因为，所以，即，B对；
对于C，，根据三角函数线可知，则，即，又，所以，C对；
对于D，，
因为，所以，又，所以，
所以，即，所以，D对.
故选：BCD
第II卷（非选择题共90分）
三 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知点，若向量，则点的坐标是__________.
【答案】
【解析】
【分析】设，根据得到，解得答案.
【详解】设，，即，
故，解得，即点的坐标是.
故答案为：
14. 已知向量的夹角为，则在方向上的投影向量的模为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】直接根据投影向量的公式计算即可.
【详解】在方向上的投影向量的模为.
故答案为：
15. 如图1是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图2是会徽的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则__________.
【答案】15##
【解析】
【分析】根据题意，由可得，再由扇形的面积公式即可得到结果.
【详解】设，由，得，即，
所以
故答案为：15.
16. 设,则__________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出，再计算即得解.
【详解】解：由题得，
所以
故答案为：.
四 解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 求证：．
【答案】见试题解析.
【解析】
【详解】试题分析：本题是一道三角函数的证明题，证明方向可以考虑由繁到简.思路上可以先处理分式部分,化切为弦，分析分母的结构特点，结合两角差的正弦公式约去分母，得到形式，用辅助角公式得证.
试题解析：证明：左边
右边．
考点：同角三角函数的基本关系式，两角和与差的正弦公式及二倍角公式.
18. 已知向量，．
（1）当且时，求；
（2）当，求向量与的夹角．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由向量的坐标运算法则先求出，的坐标，再由条件可得，求出的值，再求的坐标，得出其模长.
（2）由向量的坐标运算法则先求出的坐标，由，求出的值，然后由向量的夹角公式可得答案.
【详解】（1）向量，，则，
由，可得
即，解得或
又，所以，则，则
所以
（2）由，，，则
由，可得，解得
所以，，
又，所以
19. 在中，角的对边分别为，且的面积为
（1）求角的大小；
（2）若是的一条中线，求线段的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据面积公式和余弦定理得到，得到答案；
（2）由，两边平方结合向量的运算法则计算得到答案.
【小问1详解】
由题意，可得的面积，
所以，所以，
又，所以.
【小问2详解】
为的中点，则，又，，
所以，
故，即线段的长度为.
20. 三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心（即外接圆的圆心），三角形的三个顶点在这个外接圆上.已知的外心为点，且为边的中点.
（1）求证：；
（2）若，求的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由圆的几何性质可知，根据题中向量关系可得三点共线，由此证明出结果；
（2）由（1）可得，根据几个关系找出三角形中各个边长之间的关系，再根据三角函数求得所求值.
【小问1详解】
如图，连接.
的外心为点为边的中点，.
注意到三点共线，因此.
【小问2详解】
由（1）及为边的中点，
得，于是.
.
，
，
故.
21. 已知函数的一系列对应值如下表：
-2 0 2 0 -2 0 2
（1）根据表格提供的数据求函数的解析式，并写出其单调增区间；
（2）若函数的最小正周期为，且当时，方程恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围，并求这两个实数根的和.
【答案】（1），单调增区间
（2）或，或
【解析】
【分析】（1）由图表求得，从而求得，代入某一点的坐标求得，则函数解析式可求，进而得出单调增区间.
（2）由函数的最小正周期为，求得的值，结合，求得的范围，再由对称性求得两个实数解的和.
【小问1详解】
由表格可得，
由，得，
求得符合条件的，
则，
令，
解得，
即单调增区间为.
【小问2详解】
由题知，
因其最小正周期为，则，，
当时，即在时有两个不同的实数根，
因为，所以，
所以根据正弦函数图像得，
且，所以.
当时，即在时有两个不同的实数根，
即在时有两个不同的实数根，
因为，所以，
所以根据正弦函数图像得或，
且或，
所以或.
22. 嘉祥教育秉承“为生活美好 社会吉祥而努力”的企业理念及“坚韧不拔 创造第一”的企业精神，经过30年的发展和积累，目前已建设成为具有高度文明素质和良好社会信誉的综合性教育集团.某市有一块三角形地块，因发展所需，当地政府现划拨该地块为教育用地，希望嘉祥集团能帮助打造一所新的教育品牌学校.为更好地利用好这块土地，集团公司决定在高一年级学生中征集解决方案.如图所示，是中点，分别在上，拟建成办公区，四边形拟建成教学区，拟建成生活区，和拟建成专用通道，，记.
（1）若，求教学区所在四边形的面积；
（2）当取何值时，可使快速通道的路程最短？最短路程是多少？
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）在Rt中计算出，再分析出四边形为直角梯形，利用梯形面积公式即可；
（2）利用正弦定理求得，写出的表达式，利用三角恒等变换、换元以及函数单调性即可得到最值.
【小问1详解】
因为，则在Rt中，；
为等边三角形，，
则四边形为直角梯形，.
【小问2详解】
在中，由正弦定理得：.
在中，由正弦定理得：，
所以，
，
设快速通道的长度为，
设，由题得，则，
则，则，
显然在上单调递减，
所以当，即时，取得最小值.2022-2023学年高一下学期质量监测试题
数学
注意事项：
1.在作答前，考生务必将自己的姓名 考号涂写在试卷和答题卡规定的地方.考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自已妥善保存.
2.选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整 笔迹清楚.
3.请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸 试卷上答题均无效.
4.保持答题卡清洁，不得折叠 污染 破损等.
第I卷（选择题共60分）
一 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设角终边上的点的坐标为，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 在中，下列关系式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. ．
A. B. C. D.
4. 正的边长为1，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 平面向量与的夹角为，若，则（ ）
A. B. C. 4 D. 12
7. 函数（其中，）的图象如图所示，为了得到的图象，则需将的图象（ ）
A. 横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位
B. 横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位
C. 横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位
D. 横坐标伸长到原来2倍，再向右平移个单位
8. 如图，在平面四边形中，，，，，，若点F为边上动点，则的最小值为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
二 多选题，本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 给出下面四个命题，其中是真命题的是（ ）
A.
B. 零向量与任意向量平行
C. 是向量的充分不必要条件
D. 向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上
10. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于对称
C. 若的图象向右平移个单位后关于原点对称，则的最小值为
D. 在上的值域为
11. 下列说法中正确的有（ ）
A. 若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
B. 若向量，，则
C. 若平面上不共线的四点O，A，B，C满足，则
D. 若非零向量，满足，则与的夹角是
12. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题共90分）
三 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知点，若向量，则点的坐标是__________.
14. 已知向量夹角为，则在方向上的投影向量的模为__________.
15. 如图1是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图2是会徽的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则__________.
16. 设,则__________．
四 解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 求证：．
18. 已知向量，．
（1）当且时，求；
（2）当，求向量与的夹角．
19. 在中，角的对边分别为，且的面积为
（1）求角的大小；
（2）若是的一条中线，求线段的长.
20. 三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心（即外接圆的圆心），三角形的三个顶点在这个外接圆上.已知的外心为点，且为边的中点.
（1）求证：；
（2）若，求余弦值.
21. 已知函数的一系列对应值如下表：
-2 0 2 0 -2 0 2
（1）根据表格提供的数据求函数的解析式，并写出其单调增区间；
（2）若函数的最小正周期为，且当时，方程恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围，并求这两个实数根的和.
22. 嘉祥教育秉承“为生活美好 社会吉祥而努力”的企业理念及“坚韧不拔 创造第一”的企业精神，经过30年的发展和积累，目前已建设成为具有高度文明素质和良好社会信誉的综合性教育集团.某市有一块三角形地块，因发展所需，当地政府现划拨该地块为教育用地，希望嘉祥集团能帮助打造一所新的教育品牌学校.为更好地利用好这块土地，集团公司决定在高一年级学生中征集解决方案.如图所示，是中点，分别在上，拟建成办公区，四边形拟建成教学区，拟建成生活区，和拟建成专用通道，，记.
（1）若，求教学区所在四边形的面积；
（2）当取何值时，可使快速通道路程最短？最短路程是多少？
