2022-2023学年（下）期半期考试
高二年级数学试题
分值：150分 时间：120分钟
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若集合，集合，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，用列举法写出集合，对集合取并集即可得到答案.
【详解】集合，又集合，
所以.
故选：C.
2. 已知向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据得出，根据充分必要条件的定义可判断.
【详解】解：∵，向量，，
∴，即，
根据充分必要条件的定义可判断：
“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
3. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排3名，乙场馆安排1名，丙场馆安排2名，则不同的安排方法共有（ ）．
A. 120种 B. 90种 C. 80种 D. 60种
【答案】D
【解析】
【分析】根据场馆安排，对6名同学依次分组，利用分步乘法原则即可求得结果.
【详解】首先安排甲场馆的3名同学，即；
再从剩下的3名同学中来安排乙场馆的1名同学，即；
最后安排2名同学到丙场馆，即.
所以不同的安排方法有：种.
故选：D.
4. 我国魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“割圆术——割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”.也就是利用圆的内接多边形逐步逼近圆的方法来近似计算圆的面积.如图的半径为1，用圆的内接正六边形近似估计，则的面积近似为，若我们运用割圆术的思想进一步得到圆的内接正二十四边形，以此估计，的面积近似为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求得圆内接正二十四边形的面积，由此求得的面积的近似值.
【详解】，
圆内接正二十四边形的面积为.
故选：C
5. 函数的部分图象大致形状是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，分析可得函数为奇函数，且在上，，据此排除分析可得答案．
【详解】解：根据题意，，其定义域为，
则有，即函数为奇函数，排除、；
又由当上时，，，，则有，排除；
故选：．
6. 如图所示，在正方体中，点F是棱上的一个动点(不包括顶点)，平面交棱于点E，则下列命题中正确的是( )
A. 存在点F，使得为直角
B. 对于任意点F，都有直线∥平面
C. 对于任意点F，都有平面平面
D. 当点F由向A移动过程中，三棱锥的体积逐渐变大
【答案】C
【解析】
【分析】A：验证是否为零即可；B：根据线面平行的性质即可判断；C：证明⊥平面即可；D：证明∥平面即可．
【详解】对于A，易知，故与不垂直，故A错误；
对于B，连接、AC、EF，则平面平面=EF，
若∥平面，则∥EF，显然仅当F和E为所在棱中点时与EF才平行，故B错误；
对于C，连接、、、、、，
由AB⊥平面得AB⊥，易知⊥，
∵AB∩=A，AB、平面，∴⊥平面，
∴⊥，同理可证⊥，
∵∩=，、平面，∴⊥平面，
∵平面，∴平面⊥平面，故C正确；
对于D，连接、、，
∵∥，平面，平面，
∴∥平面，则F到平面的距离为定值，
又△面积为定值，故三棱锥F-体积为定值，故D错误．
故选：C．
7. 疫情之下，口罩成为家家户户囤货清单中必不可少一项，某新闻记者为调查不同口罩的防护能力，分别在淘宝、京东、拼多多等购物平台购买了7种口罩，安排4人进行相关数据统计，且每人至少统计1种口罩的相关数据（不重复统计），则不同的安排方法有（ ）
A. 6000种 B. 7200种 C. 7800种 D. 8400种
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知安排方法分三类，第一类，3个人统计1种，1个人统计4种，第二类，2个人统计1种，1个人统计2种，1个人统计3种，第三类，1个人统计1种，3个人统计2种，然后利用先分组后排列计算即得.
【详解】由题意可知安排方法分三类：
第一类，3个人统计1种，1个人统计4种，有（种）；
第二类，2个人统计1种，1个人统计2种，1个人统计3种，有（种）；
第三类，1个人统计1种，3个人统计2种，有（种）；
故总的安排方法有（种）．
故选：D．
8. 已知函数，若对于定义域内的任意实数，总存在实数使得，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件将问题转化为求函数没有最小值问题，利用导数法求函数的最值的步骤，但要注意对参数进行分类讨论即可求解.
【详解】由题意可知，的定义域为，
因为对于定义域内的任意实数s，总存在实数t使得，
所以函数在上没有最小值，
，
当时，当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
当时，取得最大值为，
值域为，在内无最小值，因此.
当时，令，，
，当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减.
当时，取得最大值为，显然，
即，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图所示
当时，有两个根，不妨设，
当或时，；
当或时，；
所以在和上单调递减，在和上单调递增.
所以在与处都取得极小值，
所以，不符合题意，
当时，，当且仅当，时取到等号，
当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，取得最小值为，不符合题意，
综上所述，实数a的取值范围为
故选：D.
【点睛】关键点睛：
解决本题的关键是将问题转化为求函数没有最小值，利用导数法求函数的最值步骤，但在研究与的大小关系时，借助函数的图象，得出对分和两种情况讨论即可求解.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分）．
9. 在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则（ ）
A. 二项式系数和为64 B. 各项系数和为64
C. 常数项为 D. 常数项为135
【答案】ABD
【解析】
【分析】先根据题意，分别对四个选项一一验证：
求出n=6，得到二项展开式的通项公式，
对于A: 二项式系数和为,可得；
对于B:赋值法，令，可得；
对于C、D:利用二项展开式的通项公式，可得.
【详解】在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，
令，得各项系数和为，二项式系数和为，则，得，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A、B正确；
展开式的通项为，
令，得，因此，展开式中的常数项为．
故D正确.
故选：ABD.
【点睛】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析．
10. 函数部分图像如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. 直线是函数图像的一条对称轴
B. 函数的图像关于点对称
C. 函数的单调递增区间为
D. 将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再逐项判断作答.
【详解】观察图象知，，函数的周期，有，
由得：，而，则，，
对于A，因，则直线不是函数图象的对称轴，A不正确；
对于B，由得：，则函数的图象关于点对称，B正确；
对于C，由得：，
则函数的单调递增区间为，C正确；
对于D，，D正确.
故选：BCD
11. 若时，关于的不等式恒成立，则实数的值可以为（ ）（附：）
A. B. 3
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】采用参变分离的方法可得恒成立，令，利用导数可求得的单调性，由此可得，进而确定的范围，对比选项可得结果.
【详解】由题意知：当时，恒成立；
令，则，
令，则，
当时，恒成立，单调递增，
所以，即恒成立，
在上单调递增，，
，即实数的取值范围为.
，，，，.
故选：BC.
【点睛】思路点睛：解决本题中的恒成立问题的基本思路是采用参变分离的方法，将恒成立的不等式转化为，由此可将问题转化为最大值的求解问题.
12. 已知在平面直角坐标系中，，，，，，为该平面上一动点，记直线，的斜率分别为和，且，设点运动形成曲线，点，是曲线上位于轴上方的点，且，则下列说法正确的有（ ）
A. 动点的轨迹方程为 B. 面积的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
【答案】CD
【解析】
【分析】设，根据题意和两点求直线斜率公式计算化简求出点的轨迹方程，即可判断；结合三角形的面积计算即可判断；根据椭圆的定义和三角形三边的大小关系即可判断；结合椭圆的焦半径公式可得，当时取得最小值，即可判断.
【详解】对于选项：因为已知在平面直角坐标系中，，，
为该平面上一动点，记直线，的斜率分别为和，且，
设点，则，，
由，得，
整理，得，
即动点的轨迹方程为，故错误；
对于选项：当点运动到椭圆的上顶点时，的面积最大，
此时，故错误；
对于选项：
由椭圆的定义，得，
而，
当且仅当、、三点共线且点位于第四象限时等号成立，
所以，故正确；
对于选项：
如图、为椭圆的准线，由圆锥曲线统一定义得，
得，，
(其中)，有，
当即时，取得最小值，
此时，，得，，
所以，故正确.
故选：.
三、填空题（本大题4个小题，每小题5分，共20分）．
13. 若复数满足（其中是虚数单位），则________．
【答案】
【解析】
【分析】设，再代入，利用复数相等的概念得到，再求.
【详解】设，
则，
因为，
所以，解得，
所以，.
故答案为：.
14. 的展开式中的常数项为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二项展开式的通项公式确定常数项对应项数，再代入得结果.
【详解】，
令得，，
所以的展开式中的常数项为.
故答案为：
15. 7个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有2人．则不同的站法种数为________．
【答案】
【解析】
分析】根据分步乘法计数原理，结合排列与组合知识及捆绑法解决即可.
【详解】分为3步：
①将甲乙2人排成一排，有种情况；
②在其他5人中任选2人，安排在甲乙之间，有种情况；
③将4人看成一个整体，与剩余3人全排列，有种情况，
则不同的站法共有种.
故答案为：.
16. 对于定义在上的函数，若存在距离为的两条直线和，使得对任意都有恒成立，则称函数的，有一个宽度为的通道．给出下列函数：①
；②；③；④．其中在区间上存在通道宽度为1的函数有________．（写出所有正确的序号）
【答案】③④
【解析】
【分析】①根据在区间上单调递减，即可得出的值域，进而判断出结论；②根据，，可得的值域，进而判断出结论；③，，根据图象是双曲线在第一象限的部分，利用渐近线，即可判断出结论；④，，利用导数研究函数的单调性与极值、值域，进而判断出结论.
【详解】
在区间上单调递减，
，因此不存在宽度为的通道；
②，，
，因此不存在宽度为的通道；
③，，
函数图象是双曲线在第一象限的部分，
其渐近线，故可取另一直线为，
满足在上有一个宽度为的通道；
④，，
，，
则函数在上单调递增，在单调递减，
时，函数取得极大值，且，
又，时，，
则，满足，
则函数在区间上存在通道宽度为的函数，
取，，
则对任意都有恒成立.
故答案为：③④
四、解答题（本大题共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程.并答在答题卡相应的位置上）．
17. 函数在处有极值，且其图像在处切线与平行.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数的极大值与极小值的差
【答案】（1）单调递增区间是和函数的单调递减区间是；（2）4
【解析】
【分析】（1）根据极值点是导函数对应方程的根，可知为的根，结合导数的几何意义有，列出关于的方程组，求解可得到函数的解析式，令和，即可求得函数的单调区间；
（2）根据（1）可得的根，再结合单调性，即可得到函数的极大值与极小值，从而求得答案．
【详解】（1）函数，
函数在处有极值当时
① 函数图像在处的切线与直线平行，②
由①②得，，则
令解得或，令解得，
函数的单调递增区间是和函数的单调递减区间是.
（2）由（1）可知 令即解得，
函数上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
函数在处取得极大值c在处取得极小值
极大值与极小值的差为.
【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，属于基础题.
18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
（1）求A；
（2）若的面积为，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理与求出，进而得到；（2）结合第一问求出的和，的面积，得到，，再用余弦定理求出.
【小问1详解】
因为，由正弦定理得：，所以，因为，所以，因为，所以；
【小问2详解】
的面积为，因为，的面积为，所以，解得：，故，所以
19. 已知数列是首项的正项等比数列，是公差d=2的等差数列，且满足，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若___________，求的前n项和.
请在①；②.这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并加以解答.
【答案】（1），
（2）答案见解析
【解析】
【分析】(1)根据题意和等比数列与等差数列的通项公式列出关于q和的方程组，解之即可；
(2)若选①：由(1)可得，利用等差数列与等比数列的前n项和公式计算即可；
若选②：由（1）可得，利用错位相减求和法计算即可得出结果.
【小问1详解】
设正项等比数列的公比为q，则，
根据题意，由，，
可得，
即，解得或（舍）
所以，.
【小问2详解】
选①解析：由（1）可得，
所以
所以
选②解析：由（1）可得，
所以①
则②
①-②得
，
所以.
20. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，为棱的中点．
（1）证明：；
（2）若，，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）连接AC,BD交于O，取AD的中点F，连接EF，利用面面垂直性质定理证得PF⊥AC，然后利用菱形证得BD⊥AC,利用线面垂直的判定定理证得AC⊥面EFP，从而证得结论；（2）利用垂直关系建立空间直角坐标系，写出各点坐标和向量的坐标，设出平面的法向量，利用空间向量数量积求解即可.
【详解】解：（1）连接AC,BD交于O，取AD中点F，连接EF，
∵PA=PD,∴PF⊥AD，
又∵面PAD⊥面ABCD，AD面ABCD，
∴PF⊥面ABCD，∴PF⊥AC，
又∵EF为△ABD中BD边的中位线
∴平行且等于
又菱形的对角线相互垂直平分，则BD⊥AC,
∵PF,EF面EFP，PFEF=F，
∴AC⊥面EFP，又PE面EFP，
∴
（2）连接BF，∵，则△ABD为正三角形，
∵F为AD的中点，则BF⊥AD
又∵面PAD⊥面ABCD，AD平面PAD,
∴BF⊥平面PAD，
又DF平面PAD，∴BF⊥DF
以F为原点如图所示建立空间直角坐标系F-，
设AD=2，则PA=AD=BP=2
则，
∴,
∴,,
设平面EPC的法向量为，
∴,即，令，得，
同理，设平面PCB的法向量为，
∴,即，令，得，
设二面角的平面角为，由图可知为锐角，
，
故二面角的余弦值为.
21. 已知过抛物线的焦点向圆引切线（为切点），切线的长为.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）作圆的切线，直线与抛物线交于两点，求的最小值.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)9.
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）由切线长定理可得，即，
解得：或，结合可得结果；(Ⅱ) 直线方程为，
代入得，根据韦达定理，利用焦半径公式可得，由直线与圆相切，则有，，从而可得，利用二次函数的性质可得结果.
试题解析：（Ⅰ）因为圆的圆心为，，
由切线长定理可得，即，
解得：或，
又，，所以抛物线的方程为.
（Ⅱ）设，直线方程为，
代入得，
，
得，，
由抛物线的性质得：，
.
又直线与圆相切，则有，即，，
因为圆在抛物线内部，所以得：，
此时.
由二次函数的性质可知当时，取最小值，
即的最小值为.
22. 已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求、的值；
（2）如果当，且时，，求的取值范围．
【答案】（1）， （2）（-，0]
【解析】
【详解】（1）
由于直线的斜率为，且过点，故即
解得，．
（2）由（1）知，所以
．
考虑函数，则．
(i)设，由知，当时，，h(x)递减．而故当时，，可得；
当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0
从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.
（ii）设00,故 (x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾．
（iii）设k1.此时，（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0,与题设矛盾．
综合得，k的取值范围为（-，0]
点评：求参数的范围一般用离参法，然后用导数求出最值进行求解．若求导后不易得到极值点，可二次求导，还不行时，就要使用参数讨论法了．即以参数为分类标准，看是否符合题意．求的答案．此题用的便是后者．2022-2023学年（下）期半期考试
高二年级数学试题
分值：150分 时间：120分钟
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若集合，集合，则等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排3名，乙场馆安排1名，丙场馆安排2名，则不同的安排方法共有（ ）．
A 120种 B. 90种 C. 80种 D. 60种
4. 我国魏晋时期著名数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“割圆术——割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”.也就是利用圆的内接多边形逐步逼近圆的方法来近似计算圆的面积.如图的半径为1，用圆的内接正六边形近似估计，则的面积近似为，若我们运用割圆术的思想进一步得到圆的内接正二十四边形，以此估计，的面积近似为（ ）
A. B. C. D.
5. 函数的部分图象大致形状是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图所示，在正方体中，点F是棱上的一个动点(不包括顶点)，平面交棱于点E，则下列命题中正确的是( )
A. 存在点F，使得为直角
B. 对于任意点F，都有直线∥平面
C. 对于任意点F，都有平面平面
D. 当点F由向A移动过程中，三棱锥的体积逐渐变大
7. 疫情之下，口罩成为家家户户囤货清单中必不可少的一项，某新闻记者为调查不同口罩的防护能力，分别在淘宝、京东、拼多多等购物平台购买了7种口罩，安排4人进行相关数据统计，且每人至少统计1种口罩的相关数据（不重复统计），则不同的安排方法有（ ）
A. 6000种 B. 7200种 C. 7800种 D. 8400种
8. 已知函数，若对于定义域内的任意实数，总存在实数使得，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分）．
9. 在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则（ ）
A. 二项式系数和为64 B. 各项系数和为64
C. 常数项为 D. 常数项为135
10. 函数的部分图像如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. 直线是函数图像的一条对称轴
B. 函数图像关于点对称
C. 函数的单调递增区间为
D. 将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像
11. 若时，关于的不等式恒成立，则实数的值可以为（ ）（附：）
A B. 3
C. D.
12. 已知在平面直角坐标系中，，，，，，为该平面上一动点，记直线，的斜率分别为和，且，设点运动形成曲线，点，是曲线上位于轴上方的点，且，则下列说法正确的有（ ）
A. 动点的轨迹方程为 B. 面积的最大值为
C. 最大值为 D. 的最小值为
三、填空题（本大题4个小题，每小题5分，共20分）．
13. 若复数满足（其中是虚数单位），则________．
14. 的展开式中的常数项为________．
15. 7个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有2人．则不同的站法种数为________．
16. 对于定义在上的函数，若存在距离为的两条直线和，使得对任意都有恒成立，则称函数的，有一个宽度为的通道．给出下列函数：①
；②；③；④．其中在区间上存在通道宽度为1的函数有________．（写出所有正确的序号）
四、解答题（本大题共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程.并答在答题卡相应的位置上）．
17. 函数在处有极值，且其图像在处切线与平行.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数的极大值与极小值的差
18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
（1）求A；
（2）若的面积为，求的值．
19. 已知数列是首项的正项等比数列，是公差d=2的等差数列，且满足，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若___________，求的前n项和.
请在①；②.这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并加以解答.
20. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，为棱的中点．
（1）证明：；
（2）若，，求二面角的余弦值．
21. 已知过抛物线的焦点向圆引切线（为切点），切线的长为.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）作圆的切线，直线与抛物线交于两点，求的最小值.
22. 已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求、的值；
（2）如果当，且时，，求的取值范围．
