热点1 数与式 （浙江专版） 中考三轮热点问题专题（含解析）

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浙江专版 中考三轮热点问题专题
热点01 数与式
一．选择题
1．计算（﹣4）+（+2）的结果是（　　）
A．﹣8 B．﹣6 C．﹣2 D．2
2．5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上，用科学记数法表示1300000是（　　）
A．13×105 B．1.3×105 C．13×106 D．1.3×106
3．下列计算正确的是（　　）
A．（a3）2＝a5 B．a6÷a3＝a2 C．2a 3a＝6a2 D．a3+a2＝a5
4．若分式的值为0，则x的值是（　　）
A．﹣2 B．0 C． D．1
5．下列式子：①2+（﹣2）；②2﹣（﹣2）；③2×（﹣2）；④2÷（﹣2）中，其计算结果最大的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
6．已知，则实数a的值为（　　）
A．9 B．3 C． D．±3
7．下列各数中，负数是（　　）
A．﹣（﹣2） B．﹣|﹣2| C．（﹣2）2 D．1﹣（﹣2）
8．植树节，某校需完成一定的植树任务，其中九年级共种了任务数的一半，八年级种了剩下任务数的，七年级共种了a棵树苗．则该校植树的任务数为（　　）颗．
A．6a B．5a C．4a D．3a
9．化简的结果为（　　）
A．a B．a﹣1 C． D．a2﹣a
10．使有意义的x的取值，在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题
11．分解因式：2x2﹣8＝　 　．
12．设M＝2x+y，N＝2x﹣y，P＝xy，若M＝4，N＝2，则P＝　 　．
13．若商品的买入价为a，售出价为b，则毛利率．已知b，p，则a＝　 　．
14．若，则（a+b）2023的值是 　 　．
15．对于任意不相等的两个实数a，b（a＞b）定义一种新运算a※b＝，如3※2＝，那么12※3＝　 　．
16．计算：（﹣） ＝　 　．
17．若a，b都是实数，b＝+﹣2，则ab的值为　 　．
三．解答题
18．以下是小明化简整式3x﹣2（x+y）的解答过程：
解：3x﹣2（x+y）＝3x﹣2x+y＝1+y，
小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
19．婷婷对“化简：”的解答过程如下：
解：原式＝．
试问婷婷的解答过程是否正确？若正确，请再写出一种解答过程；若有错误，请写出正确的解答过程．
20．小红解答下题“先化简，再求值：，其中x＝1”的过程如下：
解：原式＝x2﹣5﹣4＝x2﹣9，当x＝1时，原式＝12﹣9＝﹣8．
小红的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的答案．
21．计算：
（1）；
（2）（2x+5）（2x﹣5）﹣4（x﹣1）2．
22．（1）计算．
（2）先化简，再求值：3（2a2﹣2b）﹣（a2﹣6b+1），其中a＝1，b＝2023．
23．先化简，再求值：÷（﹣x﹣1）﹣，然后从﹣1，0，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
24．观察下列各式：①＝2，②＝3；③＝4，…
（1）请观察规律，并写出第④个等式：　 　；
（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：　 　；
（3）请证明（2）中的结论．
答案与解析
一．选择题
1．计算（﹣4）+（+2）的结果是（　　）
A．﹣8 B．﹣6 C．﹣2 D．2
【点拨】直接利用有理数的加法运算法则计算得出答案．
【解析】解：（﹣4）+（2）＝﹣2．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了有理数的加法，正确掌握运算法则是解题关键．
2．5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上，用科学记数法表示1300000是（　　）
A．13×105 B．1.3×105 C．13×106 D．1.3×106
【点拨】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．
【解析】解：1300000＝1.3×106．
故选：D．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原来的数，变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数，确定a与n的值是解题的关键．
3．下列计算正确的是（　　）
A．（a3）2＝a5 B．a6÷a3＝a2 C．2a 3a＝6a2 D．a3+a2＝a5
【点拨】先根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方，以及合并同类项得方法计算，再判断即可．
【解析】解：A、（a3）2＝a6，故本选项错误，不符合题意；
B、a6÷a3＝a3，故本选项错误，不符合题意；
C、2a 3a＝6a2，故本选项正确，符合题意；
D、a3与a2不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法法则，幂的乘方，掌握计算方法是解决问题的关键．
4．若分式的值为0，则x的值是（　　）
A．﹣2 B．0 C． D．1
【点拨】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可．
【解析】解：由题意得：x+2＝0且2x﹣1≠0，
解得：x＝﹣2，
故选：A．
【点睛】本题考查的是分式值为零的条件，熟记分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
5．下列式子：①2+（﹣2）；②2﹣（﹣2）；③2×（﹣2）；④2÷（﹣2）中，其计算结果最大的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【点拨】利用有理数的相应的法则对各式进行运算，再比较即可．
【解析】解：①2+（﹣2）
＝2﹣2
＝0；
②2﹣（﹣2）
＝2+2
＝4；
③2×（﹣2）
＝﹣2×2
＝﹣4；
④2÷（﹣2）
＝﹣2÷2
＝﹣1，
则﹣4＜﹣1＜0＜4．
故选：B．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6．已知，则实数a的值为（　　）
A．9 B．3 C． D．±3
【点拨】利用二次根式的化简的法则进行求解即可．
【解析】解：∵，
∴a2＝9，
∴a＝±3．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
7．下列各数中，负数是（　　）
A．﹣（﹣2） B．﹣|﹣2| C．（﹣2）2 D．1﹣（﹣2）
【点拨】把各数进行化简，再判断即可．
【解析】解：A、﹣（﹣2）＝2，故A不符合题意；
B、﹣|﹣2|＝﹣2，故B符合题意；
C、（﹣2）2＝4，故C不符合题意；
D、1﹣（﹣2）＝1+2＝3，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
8．植树节，某校需完成一定的植树任务，其中九年级共种了任务数的一半，八年级种了剩下任务数的，七年级共种了a棵树苗．则该校植树的任务数为（　　）颗．
A．6a B．5a C．4a D．3a
【点拨】该校植树的任务数为a÷（1﹣﹣×），据此求解即可．
【解析】解：该校植树的任务数为a÷（1﹣﹣×）＝a÷＝6a，
故选：A．
【点睛】本题主要考查列代数式，解题关键是根据题意列出植树任务的总棵数的算式．
9．化简的结果为（　　）
A．a B．a﹣1 C． D．a2﹣a
【点拨】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解析】解：原式＝＝a，
故选：A．
【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
10．使有意义的x的取值，在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【点拨】直接利用二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数是负数，进而得出答案．
【解析】解：使有意义，
则x+1≥0，
解得：x≥﹣1，
在数轴上表示为：
．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
二．填空题
11．分解因式：2x2﹣8＝　2（x+2）（x﹣2）　．
【点拨】先提公因式，再运用平方差公式．
【解析】解：2x2﹣8
＝2（x2﹣4）
＝2（x+2）（x﹣2）．
故答案为：2（x+2）（x﹣2）．
【点睛】本题考查因式分解，掌握基本方法是关键．
12．设M＝2x+y，N＝2x﹣y，P＝xy，若M＝4，N＝2，则P＝　1.5　．
【点拨】先分别计算M，N的平方，再根据完全平方公式展开，相减后可求xy，从而求解．
【解析】解：∵M＝2x+y，N＝2x﹣y，M＝4，N＝2，
∴（2x+y）2＝16，（2x﹣y）2＝4，
∴4x2+4xy+y2＝16，4x2﹣4xy+y2＝4，
∴8xy＝16﹣4，
解得xy＝1.5，
∴P＝xy＝1.5．
故答案为：1.5．
【点睛】本题考查了完全平方公式，关键是熟练掌握完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
13．若商品的买入价为a，售出价为b，则毛利率．已知b，p，则a＝　　．
【点拨】把p，b看作已知数求出a即可．
【解析】解：由p＝，变形得：pa＝b﹣a，
解得：a＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．若，则（a+b）2023的值是 　﹣1　．
【点拨】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解析】解：由题意得，a﹣2＝0，b+3＝0，
解得a＝2，b＝﹣3，
所以，（a+b）2023＝（2﹣3）2023＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
15．对于任意不相等的两个实数a，b（a＞b）定义一种新运算a※b＝，如3※2＝，那么12※3＝　　．
【点拨】直接利用新定义代入计算得出答案．
【解析】解：12※3＝＝．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确运用新定义计算是解题关键．
16．计算：（﹣） ＝　1　．
【点拨】根据分式的运算法则进行化简即可求出答案．
【解析】解：原式＝
＝
＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
17．若a，b都是实数，b＝+﹣2，则ab的值为　4　．
【点拨】直接利用二次根式有意义的条件得出a的值，进而利用负指数幂的性质得出答案．
【解析】解：∵b＝+﹣2，
∴1﹣2a＝0，
解得：a＝，
则b＝﹣2，
故ab＝（）﹣2＝4．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及负指数幂的性质，正确得出a的值是解题关键．
三．解答题
18．以下是小明化简整式3x﹣2（x+y）的解答过程：
解：3x﹣2（x+y）＝3x﹣2x+y＝1+y，
小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【点拨】观察小明的解答过程，发现去括号出现了错误，运用去括号法则即可计算．
【解析】解：小明的解答过程有误，
正确的解答为：
3x﹣2（x+y）
＝3x﹣2x﹣2y
＝x﹣2y．
【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握去括号要注意符号的变化是解题的关键．
19．婷婷对“化简：”的解答过程如下：
解：原式＝．
试问婷婷的解答过程是否正确？若正确，请再写出一种解答过程；若有错误，请写出正确的解答过程．
【点拨】根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则即可得出婷婷的解答过程正确，先根据二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的性质进行计算即可．
【解析】解：婷婷的解答过程正确，另一种解答过程如下：
×
＝
＝
＝12．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除和二次根式的性质与化简，能灵活运用二次根式的乘法法则和二次根式的性质进行计算是接此题的关键．
20．小红解答下题“先化简，再求值：，其中x＝1”的过程如下：
解：原式＝x2﹣5﹣4＝x2﹣9，当x＝1时，原式＝12﹣9＝﹣8．
小红的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的答案．
【点拨】根据分式的加减运算进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解析】解：小红的解答错误．
原式＝
＝
＝
＝x+3，
当x＝1时，
原式＝1+3＝4．
故正确答案是4
【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
21．计算：
（1）；
（2）（2x+5）（2x﹣5）﹣4（x﹣1）2．
【点拨】（1）原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及二次根式的性质计算即可得到结果；
（2）原式利用完全平方公式，以及平方差公式计算，去括号合并即可得到结果．
【解析】解：（1）原式＝
＝
＝2；
（2）原式＝4x2﹣25﹣4（x2﹣2x+1）
＝4x2﹣25﹣4x2+8x﹣4
＝8x﹣29．
【点睛】此题考查了实数的运算，以及整式的混合运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（1）计算．
（2）先化简，再求值：3（2a2﹣2b）﹣（a2﹣6b+1），其中a＝1，b＝2023．
【点拨】（1）直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别代入化简，进而利用有理数的加减运算法则计算得出答案；
（2）先去括号，再合并同类项，再根据a的值计算即可．
【解析】解：（1）
＝
＝3﹣1
＝2；
（2）3（2a2﹣2b）﹣（a2﹣6b+1）
＝6a2﹣6b﹣a2+6b﹣1
＝5a2﹣1，
当a＝1时，
原式＝5﹣1＝4．
【点睛】此题考查了实数的运算和整式的加减—化简求值，涉及的知识有：零指数幂、负整数指数幂，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．先化简，再求值：÷（﹣x﹣1）﹣，然后从﹣1，0，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
【点拨】原式第一项括号中两项通分并利用通分分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后与第二项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解析】解：原式＝÷﹣
＝ ﹣
＝﹣
＝
＝
∵x≠2，且x≠0，x≠1，
∴取x＝﹣1时，原式＝﹣．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．观察下列各式：①＝2，②＝3；③＝4，…
（1）请观察规律，并写出第④个等式：　＝5　；
（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：　＝（n+1）　；
（3）请证明（2）中的结论．
【点拨】（1）认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第④个等式；
（2）根据规律写出含n的式子即可；
（3）结合二次根式的性质进行化简求解验证即可．
【解析】解：（1）＝5；
（2）＝（n+1）；
（3）
＝
＝
＝
＝（n+1）．
故答案为：（1）＝5；
（2））＝（n+1）．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键在于认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律进行求解即可．
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