热点3 一次函数与反比例函数 （浙江专版） 中考三轮热点问题专题（含解析）

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浙江专版 中考三轮热点问题专题
热点03 一次函数与反比例函数
一．选择题
1．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝（k﹣1）x+k的图象过点P（2，﹣1），则该函数的图象可能是（　　）
A．B． C．D．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与两坐标轴交点分别为（2，0），（0，3），则不等式kx+b＞0的解为（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞3 D．x＜3
3．如图，直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程ax+b＝0的解为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
4．下列关于反比例函数的描述中，正确的是（　　）
A．图象位于第二、四象限 B．图象过点（1，3）
C．y随x的增大而增大 D．当x＞﹣1时，y＞3
5．已知一次函数y＝（m﹣2023）x+m+2023，其中y的值随x的值增大而减小，则m的取值范围是（　　）
A．m＜2023 B．m＞2023 C．m＝2023 D．m＞0
6．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2（其中k1k2≠0）的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论中一定正确的是（　　）
A．k1+k2＜0 B．k1k2＞0 C．b1+b2＜0 D．b1b2＞0
7．如图，一次函数y1＝x﹣1的图象与反比例函数的图象交于点A（2，m），B（n，﹣2），当y1＞y2时，x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣1或x＞2 B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
8．某商店以每件13元的价格购进某商品100件，售出部分商品后进行了降价销售，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系如图所示，则售完这100件商品可盈利（　　）元．
A．200 B．250 C．400 D．500
9．已知，y2＝k2x+b，三个函数图象都经过M（1，3），N（3，1）两点，当时，对应的函数值y1，y2，y3，下列选项正确的是（　　）
A．y3＜y1＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2
10．关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：“函数图象经过点（﹣1，1）”；乙：“函数图象经过第四象限”；丙：“当x＞0时，y随x的增大而增大”．则这个函数表达式可能是（　　）
A．y＝﹣x B．y＝ C．y＝x2 D．y＝
11．为做好疫情防控工作，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，喷雾完成后y与x成反比例（如图所示）．当每立方米空气中含药量低于1.6mg时，对人体方能无毒害作用，则下列说法中正确的是（　　）
A．每立方米空气中含药量从6mg上升到8mg需要2min
B．每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是y＝
C．为了确保对人体无毒害作用，喷雾完成20min后学生才能进入教室
D．每立方米空气中含药量不低于4mg的持续时间为7.5min
12．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在反比例函数，的图象上，连结AB交y轴于点C，作点B关于x轴的对称点D，连结AD恰好经过坐标原点O，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
13．已知点A（a，b）在一次函数y＝2x﹣1图象上，则a2+b+3的最小值为 　 　．
14．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣2，0）和B（0，﹣1），当函数值y＜0时，x的取值范围为 　 　．
15．已知一次函数y＝3x﹣7与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（2，﹣1），则方程组的解是 　 　．
16．已知点P（x1，y1）Q（x2，y2）在反比例函数图象上．
（1）若，则＝　 　．
（2）若x1＝x2+2，y1＝3y2，则当自变量x＞x1+x2时，函数y的取值范围是 　 　．
17．在平面直角坐标系中，对于任意一个不在坐标轴上的点P（x，y），我们把点P′（x+y，x﹣y）称为点P的“和差点”．若直线y＝﹣2x+1上有两个点A和B，它们的和差点A'和B'均在反比例函数y＝上，则△OAB的面积为 　 　．
18．如图，在平面直角坐标系中，AC＝BC＝5，AB＝8，且AB⊥x轴于点A，反比例函数（x＞0）的图象经过点C，交AB于点D，若BD＝3AD，则点D的坐标为 　 　．
19．在平面直角坐标系xOy中，过一点分别作坐标轴的垂线，若垂线与坐标轴围成矩形的周长的值与面积的值相等，则这个点叫做“和美点”．已知直线y＝﹣2x+k1与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点P（﹣4，m），且点P是“和美点”，则△OAP的面积为 　 　．
20．如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，A点坐标为（﹣5，0），对角线AC和OB相交于点D且AC OB＝40．若反比例函数的图象经过点D，并与BC的延长线交于点E，则S△OCE＝　 　．
三．解答题
21．“冰墩墩”和“雪容融”作为第24届北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱，如图是某文旅店订购情况：
（1）表示出“雪容融”的单价．
（2）若“冰墩墩”的订购单价比“雪容融”的订购单价多20元．
①分别求出这两种吉祥物的数量．
②该文旅店分别以100元和80元的单价销售“冰墩墩”和“雪容融”，在“冰墩墩”售出一半，“雪容融”售完时，文旅店为了尽快卖完，决定对剩余的“冰墩墩”每个降价a元销售，很快全部售完，若要保证文旅店总利润不低于6200元，求a的最大值．
22．小明早晨从家里出发匀速步行去上学，小明的妈妈在小明出发后10min，发现小明的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明，结果与小明同时到达学校，交接课本后立即按原路返回．已知小明距离家的路程s（km）与离开家的时间t（min）之间的函数关系的图象如图所示．
（1）求s（km）与t（min）之间的函数关系；
（2）请在图中画出小明的妈妈距离家的路程s（km）与小明离开家的时间t（min）之间函数关系的图象；（备注：请对画出的图象用数据作适当的标注）
（3）直接写出小明的妈妈在追赶小明及返回家的过程中，距学校0.5km时t的值．
23．甲、乙两地间的直线公路长为600千米，一辆轿车与一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶，1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离y（千米）与轿车所用的时间x（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）货车的速度是　 　千米/时，轿车的速度是 　 　千米/时；
（2）求轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数表达式；
（3）求货车出发多长时间，两车相距120千米？
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）的图象与反比例函数的图象相交于A（3，4），B（﹣4，m）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点P（p，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，请根据图象直接写出n的取值范围．
25．已知反比例函数（k为常数，k≠0）与正比例函数y2＝x的图象有一个交点为P（3，m）．
（1）求k的值；
（2）将点P向下平移6个单位，再向左平移5个单位后，得点P′，试判断点P′是否在函数y1的图象上，并说明理由；
（3）当y1＞y2时，利用函数图象直接写出自变量x的取值范围．
26．设函数y1＝k1x+b，函数（k1，k2，b是常数，k1＞0，k2＞0，b＞0）．已知函数y1的图象与y轴交于点A，与函数y2的图象的一个交点为点B（1，m）．
（1）若k2＝3，m＝b+1．
①求函数y1的表达式．
②当2＜y1＜y2时，直接写出x的取值范围．
（2）设点A关于x轴的对称点为点C，将点C向左平移2个单位得到点D．若点D恰好也是函数y1，y2图象的交点，试写出k1，k2之间的等量关系，并说明理由．
27．已知A是反比例函数y＝（x＞0）图象上一个动点，过点A作x轴的平行线，交直线y＝﹣2x于点B，以线段AB为一条对角线，作 OACB（O为坐标原点）．
（1）如图1，当点C在y轴上时，请证明 OACB是菱形，并求点C的坐标；
（2）如图2，当 OACB是矩形时，求点B，C的坐标．
28．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A的坐标为（2，0），C坐标为（2，m）（m＞0），双曲线上经过点C，直线CD：y2＝k2x+b在经过点C交y轴于点D，与双曲线的另一分支相交于点P（﹣4，﹣1）．
（1）分别求双曲线和直线y2＝k2x+b的函数关系式；
（2）判断点B是否在双曲线上；
（3）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围．
答案与解析
一．选择题
1．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝（k﹣1）x+k的图象过点P（2，﹣1），则该函数的图象可能是（　　）
A．B． C．D．
【点拨】将P（2，﹣1）代入y＝（k﹣1）x+k求出k的值，可得一次函数y＝（k﹣1）x+k，根据一次函数的性质即可判断．
【解析】解：将P（2，﹣1）代入y＝（k﹣1）x+k得，
2（k﹣1）x+k＝﹣1，解得k＝，
∴一次函数y＝﹣x+，
∴一次函数y＝（k﹣1）x+k的图象过点P（2，﹣1），点（0，），
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，关键是掌握一次函数y＝kx+b（k≠0，k、b为常数）的图象和性质．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与两坐标轴交点分别为（2，0），（0，3），则不等式kx+b＞0的解为（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞3 D．x＜3
【点拨】根据直线y＝kx+b与y轴交于点A（2，0），以及函数的增减性，即可求出不等式kx+b＞0的解集．
【解析】解：∵直线y＝kx+b与两坐标轴交点分别为（2，0），（0，3），且y随x的增大而减小，
∴不等式kx+b＞0的解集是x＜2．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
3．如图，直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程ax+b＝0的解为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【点拨】根据一次函数与x轴交点的横坐标即为其相应一元一次方程的解，结合图象即可解答．
【解析】解：∵直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标为1，
∴关于x的方程ax+b＝0的解为x＝1．
故选：A．
【点睛】本题考查已知直线与坐标轴的交点求方程的解．掌握一次函数与x轴交点的横坐标即为其相应一元一次方程的解是解题关键．
4．下列关于反比例函数的描述中，正确的是（　　）
A．图象位于第二、四象限 B．图象过点（1，3）
C．y随x的增大而增大 D．当x＞﹣1时，y＞3
【点拨】根据反比例函数的图象和性质，逐一判断选项，即可得到答案．
【解析】解：A．∵k＝﹣3＜0，即：函数的图象在二，四象限内，∴A正确，
B．∵1×3＝3≠﹣3，函数的图象不经过（1，3），∴B错误，
C．∵k＝﹣3＜0，即：在每个象限内，y随x的增大而增大，∴C错误，
D．∵当x＞﹣1时，则y＞3或y＜0，∴D错误，
故选：A．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握比例系数k的意义与增减性，是解题的关键．
5．已知一次函数y＝（m﹣2023）x+m+2023，其中y的值随x的值增大而减小，则m的取值范围是（　　）
A．m＜2023 B．m＞2023 C．m＝2023 D．m＞0
【点拨】根据一次函数的增减性可知m﹣2023＜0，进一步求解即可．
【解析】解：∵一次函数y＝（m﹣2023）x+m+2023，其中y的值随x的值增大而减小，
∴m﹣2023＜0，
∴m＜2023，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键．
6．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2（其中k1k2≠0）的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论中一定正确的是（　　）
A．k1+k2＜0 B．k1k2＞0 C．b1+b2＜0 D．b1b2＞0
【点拨】根据一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象位置，可得k1＞0，b1＞0，k2＞0，b2＜0，然后逐一判断即可解答．
【解析】解：∵一次函数y＝k1x+b1的图象过第一、二、三象限，
∴k1＞0，b1＞0，
∵一次函数y＝k2x+b2的图象过第一、三、四象限，
∴k2＞0，b2＜0，且|b1|＞|b2|，
∴A、k1+k2＜0，
故A不符合题意；
B、kk2＞0，
故B符合题意；
C、b1+b2＞0，
故C不符合题意；
D、b1 b2＜0，
故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象的位置与系数的关系是解题的关键．
7．如图，一次函数y1＝x﹣1的图象与反比例函数的图象交于点A（2，m），B（n，﹣2），当y1＞y2时，x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣1或x＞2 B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
【点拨】先把B（n，﹣2）代入y1＝x﹣1，求出n值，再根据图象直接求解即可．
【解析】解：把B（n，﹣2）代入y1＝x﹣1，得﹣2＝n﹣1，
解得：n＝﹣1，
∴B（﹣1，﹣2），
∵图象交于A（2，m）、B（﹣1，﹣2）两点，
∴当y1＞y2时，﹣1＜x＜0或x＞2．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，掌握利用图象法求自变量的取值范围是解题的关键．
8．某商店以每件13元的价格购进某商品100件，售出部分商品后进行了降价销售，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系如图所示，则售完这100件商品可盈利（　　）元．
A．200 B．250 C．400 D．500
【点拨】先求出40≤x≤80时，y与x的函数关系式，再将x＝100代入求出总销售额，进一步根据“总销售额﹣总成本＝总盈利”计算即可．
【解析】解：当40≤x≤80时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），
代入点（40，800）和点（80，1300），
得，
解得，
∴y＝x+300（40≤x≤80），
当x＝100时，y＝＝1550，
1550﹣13×100＝250（元），
∴售完这100件商品可盈利250元，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
9．已知，y2＝k2x+b，三个函数图象都经过M（1，3），N（3，1）两点，当时，对应的函数值y1，y2，y3，下列选项正确的是（　　）
A．y3＜y1＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2
【点拨】分别计算得出三个函数的解析式，再求得时，对应的函数值，比较即可得解．
【解析】解：将M（1，3），N（3，1）两点代入，求得，，
∴，
将M（1，3），N（3，1）两点代入y2＝k2x+b，求得k2＝﹣1，b＝4，
∴y2＝﹣x+4，
将M（1，3），代入，求得k3＝3，
∴，
当时，，，，
∵，
∴y3＜y2＜y1，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
10．关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：“函数图象经过点（﹣1，1）”；乙：“函数图象经过第四象限”；丙：“当x＞0时，y随x的增大而增大”．则这个函数表达式可能是（　　）
A．y＝﹣x B．y＝ C．y＝x2 D．y＝
【点拨】结合给出的函数的特征，在四个选项中依次判断即可．
【解析】解：A．函数y＝﹣x的图象过二，四象限，经过点（﹣1，1），当x＞0时，y随x的增大而减小，选项A不符合题意；
B．函数y＝﹣的图象在二，四象限，经过点（﹣1，1），当x＞0时，y随x的增大而增大，选项B符合题意；
C．函数y＝x2的图象过一，二象限，经过点（﹣1，1），当x＞0时，y随x的增大而增大，选项C不符合题意；
D．函数y＝的图象过一，三象限，不经过点（﹣1，1），当x＞0时，y随x的增大而减小，选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查一次函数，反比例函数及二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，排除法是中考常用解题方法．
11．为做好疫情防控工作，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，喷雾完成后y与x成反比例（如图所示）．当每立方米空气中含药量低于1.6mg时，对人体方能无毒害作用，则下列说法中正确的是（　　）
A．每立方米空气中含药量从6mg上升到8mg需要2min
B．每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是y＝
C．为了确保对人体无毒害作用，喷雾完成20min后学生才能进入教室
D．每立方米空气中含药量不低于4mg的持续时间为7.5min
【点拨】首先根据题意，消毒阶段，室内每立方米空气中的含药量y与时间x成正比例；消毒后，y与x成反比例；且其图象都过点（5，8），将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；根据题意可知得＜1.6，再结合y＝4，求出x的值，进一步求解可得答案．
【解析】解：设消毒阶段函数解析式为y＝k1x（k1≠0），由题意得：8＝5k1，
∴k1＝，
∴此阶段函数解析式为y＝x（0≤x≤10），
则当y＝6时，6＝x，解得：x＝，
故立方米空气中含药量从6mg上升到8mg需要5﹣＝（min），故选项A不合题意；
设消毒结束后函数解析式为y＝（k2≠0），由题意得：8＝，
∴k2＝40，
∴此阶段函数解析式为y＝（x≥5），故选项B不合题意；
当y＜1.6时，得＜1.6，
∵x＞0，
∴1.6x＞40，
解得：x＞25．
即从消毒开始经过25分钟学生才可返回教室，故选项C不合题意；
当y＝4时，4＝x，
解得：x＝2.5，
当y＝4时，4＝，
解得：x＝10，
故10﹣2.5＝7.5（min），每立方米空气中含药量不低于4mg的持续时间为7.5min，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在反比例函数，的图象上，连结AB交y轴于点C，作点B关于x轴的对称点D，连结AD恰好经过坐标原点O，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】作AE⊥x轴于E，设A（m，），B（n，），则OE＝m，AE＝，OF＝﹣n，FD＝FB＝，由题意可知BD∥OC，根据平行线分线段成比例定理得出，通过证得△ODF∽△OAE，得出，即可得出，解得＝﹣．
【解析】解：作AE⊥x轴于E，
∵点B、D关于x轴的对称，
∴BD⊥x轴，
∴BD∥OC，
∴，
∵AE∥BD，
∴△ODF∽△OAE，
∴，
设A（m，），B（n，），则OE＝m，AE＝，OF＝﹣n，FD＝FB＝，
∴，
∴＝﹣．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，关于x轴对称的点的坐标，三角形相似的判定和性质，正确表示出线段的长度是解题的关键．
二．填空题
13．已知点A（a，b）在一次函数y＝2x﹣1图象上，则a2+b+3的最小值为 　1　．
【点拨】将点A（a，b）代入一次函数解析式得出，b＝2a﹣1，代入代数式，根据配方法即可求解．
【解析】解：∵点A（a，b）在一次函数y＝2x﹣1图象上，
∴b＝2a﹣1，
∴a2+b+3
＝a2+2a﹣1+3
＝a2+2a+1+1
＝（a+1）2+1，
∵（a+1）2+1≥1，
∴a2+b+3≥1，
∴a2+b+3的最小值为1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，配方法的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
14．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣2，0）和B（0，﹣1），当函数值y＜0时，x的取值范围为 　x＞﹣2　．
【点拨】由点A，B的坐标，利用待定系数法可求出一次函数解析式，再代入y＜0，即可求出x的取值范围．
【解析】解：将A（﹣2，0），B（0，﹣1）代入y＝kx+b（k≠0）得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣1．
当y＜0时，﹣x﹣1＜0，
∴x＞﹣2，
∴当函数值y＜0时，x的取值范围为x＞﹣2．
故答案为：x＞﹣2．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及不等式的性质，根据给定点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
15．已知一次函数y＝3x﹣7与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（2，﹣1），则方程组的解是 　　．
【点拨】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．
【解析】解：∵一次函数y＝3x﹣7与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（2，﹣1），
∴方程组的解是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键．
16．已知点P（x1，y1）Q（x2，y2）在反比例函数图象上．
（1）若，则＝　　．
（2）若x1＝x2+2，y1＝3y2，则当自变量x＞x1+x2时，函数y的取值范围是 　y　．
【点拨】（1）把P、Q代入解析式得到y1＝，y2＝，进一步得到＝＝＝；
（2）由x1＝x2+2，y1＝3y2得到x1＝﹣1，x2＝﹣3，即可得到x1+x2＝﹣4，求得x＝﹣4时的函数值，然后根据反比例函数的性质即可得到函数y的取值范围．
【解析】解：（1）∵点P（x1，y1）Q（x2，y2）在反比例函数图象上，
∴y1＝，y2＝，
∵，
∴＝＝＝，
故答案为：；
（2）∵点P（x1，y1）Q（x2，y2）在反比例函数图象上，
∴y1＝，y2＝，
∵y1＝3y2，
∴＝3×，
∴x2＝3x1，
∵x1＝x2+2，
∴x1＝3x1+2，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣3，
∴x1+x2＝﹣4，
当x＝﹣4时，y＝＝﹣，
∵反比例函数中k＞0，
∴x＜0时，y随x的增大而减小，
∴当自变量x＞x1+x2时，函数y的取值范围是 y，
故答案为：y．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，反比例函数的性质，熟知反比例函数图象和性质是解答此题的关键．
17．在平面直角坐标系中，对于任意一个不在坐标轴上的点P（x，y），我们把点P′（x+y，x﹣y）称为点P的“和差点”．若直线y＝﹣2x+1上有两个点A和B，它们的和差点A'和B'均在反比例函数y＝上，则△OAB的面积为 　　．
【点拨】设A（a，﹣2a+1），则A′（﹣a+1，3a﹣1），根据k＝xy可列方程，根据根与系数的关系得到a1+a2＝，a1a2＝﹣，进一步求得a2﹣a1．利用S△OAB＝S△AOD+S△BOD求得即可．
【解析】解：设A（a，﹣2a+1），则A′（﹣a+1，3a﹣1），
∵点A′在反比例函数y＝上，
∴（﹣a+1）（3a﹣1）＝﹣3，
整理得3a2﹣4a﹣2＝0，
∴a1+a2＝，a1a2＝﹣，
∴a2﹣a1＝＝＝，
在直线y＝﹣2x+1中，令x＝0，则y＝1，
∴D（0，1），
∴OD＝1，
∴S△OAB＝S△AOD+S△BOD＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象点的坐标特征，关键是熟练运用方程的思想解决问题．
18．如图，在平面直角坐标系中，AC＝BC＝5，AB＝8，且AB⊥x轴于点A，反比例函数（x＞0）的图象经过点C，交AB于点D，若BD＝3AD，则点D的坐标为 　（6，2）　．
【点拨】过点C作CE⊥AB于点E，CF⊥OA于F，则CF＝AE．由AB＝8，AC＝BC，CE⊥AB，可得AE＝BE＝CF＝4，可求得CE＝3，由BD＝3AD得出AD＝2，设点C（m，4），则D（m+3，2），由图象上点的坐标特征得到k＝4m＝2（m+3），即可求得m＝3，得到点D的坐标为（6，2）．
【解析】解：过点C作CE⊥AB于点E，CF⊥OA于F，则CF＝AE
∵AC＝BC，AB＝8，CE⊥AB
∴BE＝AE＝CF＝4，
∵AC＝BC＝5，
∴CE＝3，
∵BD＝3AD，
∴AD＝2，
设点C（m，4），则D（m+3，2），
∵点C、D在反比例函数（x＞0）的图象上，
∴k＝4m＝2（m+3），
解得m＝3，
∴点D的坐标为（6，2）．
故答案为：（6，2）．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，关键是正确表示出C、D的坐标．
19．在平面直角坐标系xOy中，过一点分别作坐标轴的垂线，若垂线与坐标轴围成矩形的周长的值与面积的值相等，则这个点叫做“和美点”．已知直线y＝﹣2x+k1与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点P（﹣4，m），且点P是“和美点”，则△OAP的面积为 　8或24　．
【点拨】先根据“和美点”的定义求出m的值，进而可求出点A的坐标，根据三角形的面积可求出△OAP的面积．
【解析】解：∵点P（﹣4，m）是“和美点”，
∴8+2|m|＝4|m|，
解得m＝±4，
当m＝4时，P（﹣4，4），
∴k1＝﹣4，k2＝﹣16，
∴A（0，﹣4），
∴S△OAP＝×4×4＝8．
当m＝﹣4时，P（﹣4，﹣4），
∴k1＝﹣12，k2＝16，
∴A（0，﹣12），
∴S△OAP＝×12×4＝24．
故答案为：8或24．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，读懂题意，明确和谐点的定义是解题的关键．
20．如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，A点坐标为（﹣5，0），对角线AC和OB相交于点D且AC OB＝40．若反比例函数的图象经过点D，并与BC的延长线交于点E，则S△OCE＝　2　．
【点拨】如图所示，过点C作CG⊥AO于G，根据菱形和三角形的面积公式可得，再由OA＝5，求出CG＝4，在Rt△OGC中，根据勾股定理得OG＝3，即C（﹣3，4），根据菱形的性质和两点中点坐标公式求出D（﹣4，2），将D代入反比例函数解析式可得k，进而求出点E坐标，最后根据三角形面积公式分别求得S△OCE即可．
【解析】解：如图所示，过点C作CG⊥AO于G，
∵BO AC＝40，
∴S菱形OABC＝，
∴S△OAC＝S菱形OABC＝10，
∴，
∵（﹣5，0），
∴OA＝5，
∴CG＝4，
在Rt△OGC中，OC＝OA＝5，CG＝4，
∴，
∴C（﹣3，4），
∵四边形OABC是菱形，
∴B（﹣8，4），
∵D为BO的中点，
∴D（﹣4，2），
又∵D在反比例函数上，
∴k＝﹣4×2＝﹣8，
∵C（﹣3，4），
∴E的纵坐标为4，
又∵E在反比例函数上，
∴E的横坐标为，
∴E（﹣2，4），
∴CE＝1，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及菱形性质的运用，解题时注意：菱形的对角线互相垂直平分．
三．解答题
21．“冰墩墩”和“雪容融”作为第24届北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱，如图是某文旅店订购情况：
（1）表示出“雪容融”的单价．
（2）若“冰墩墩”的订购单价比“雪容融”的订购单价多20元．
①分别求出这两种吉祥物的数量．
②该文旅店分别以100元和80元的单价销售“冰墩墩”和“雪容融”，在“冰墩墩”售出一半，“雪容融”售完时，文旅店为了尽快卖完，决定对剩余的“冰墩墩”每个降价a元销售，很快全部售完，若要保证文旅店总利润不低于6200元，求a的最大值．
【点拨】（1）根据总花费及购买的数量即可解答；
（2）①分别表示出“冰墩墩”的订购单价，“雪容融”的订购单价，再根据“冰墩墩”的订购单价比“雪容融”的订购单价多20元列方程即可解答；②根据题意为了保证文旅店总利润不低于6200元，列出不等式求解即可．
【解析】解：（1）∵“雪容融”的总花费为：3200元，购买的数量为x个，
∴“雪容融”的单价：（元）．
（2）①“冰墩墩”的订购单价为：元；“雪容融”的订购单价：元，
∴根据题意可得：，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，
∴1.25×80＝100（个），
答：“冰墩墩”的订购的数量100个，“雪容融”的订购的数量80个；
②根据题意可得80×80+50×100+50×（100﹣a）﹣6000﹣3200≥6200，
∴a≤20，
∴a的最大值为：20元，
答：a的最大值20元．
【点睛】本题考查了分式方程与实际问题，一元一次不等式与实际问题，审清题意，找出等量关系是解题的关键．
22．小明早晨从家里出发匀速步行去上学，小明的妈妈在小明出发后10min，发现小明的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明，结果与小明同时到达学校，交接课本后立即按原路返回．已知小明距离家的路程s（km）与离开家的时间t（min）之间的函数关系的图象如图所示．
（1）求s（km）与t（min）之间的函数关系；
（2）请在图中画出小明的妈妈距离家的路程s（km）与小明离开家的时间t（min）之间函数关系的图象；（备注：请对画出的图象用数据作适当的标注）
（3）直接写出小明的妈妈在追赶小明及返回家的过程中，距学校0.5km时t的值．
【点拨】（1）由图象可知O（0，0），A（20，2），设s＝kt，把A点的坐标代入关系式求得k即可；
（2）由小明出发后10min小明妈妈才出发，所以图象的起点在10min处，同时到达学校即20min到达A点，再原路返回即30min离家距离为0；
（3）根据速度＝路程除以时间，求得小明妈妈来回学校的速度，再由时间＝路程除以速度求解即可．
【解析】解：（1）∵s（km）与t（min）之间的函数关系的图象是线段OA，且O（0，0），∴设s＝kt，
又∵A（20，2），
则有：2＝20k，
解得：，
∴．
（2）解：如图1中折线段BA﹣AC．
（3）解：由（2）可知，家与学校的距离为2km，小明妈妈来回学校的时间为20min，
∴小明妈妈的速度为＝0.2km/min，
∴小明的妈妈在追赶小明，距学校0.5km时：，
小明的妈妈在返回家，距学校0.5km时；．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，从函数图象获取信息，画函数图象，正确理解题意是解题的关键．
23．甲、乙两地间的直线公路长为600千米，一辆轿车与一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶，1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离y（千米）与轿车所用的时间x（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）货车的速度是　60　千米/时，轿车的速度是 　90　千米/时；
（2）求轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数表达式；
（3）求货车出发多长时间，两车相距120千米？
【点拨】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出货车的速度、t的值以及轿车的速度；
（2）根据函数图象中的数据，可以计算出轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数表达式；
（3）根据（1）中的结果和图象，利用分类讨论的方法，可以得到货车出发多长时间两车相距120千米．
【解析】解：（1）由图象可得，
货车的速度为：60÷1＝60（千米/时），
t＝（600÷60﹣1﹣1）÷2＝4，
轿车的速度为：360÷4＝90（千米/时），
故答案为：60，90；
（2）当0≤x≤4时，设轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数表达式是y＝kx，
∵点（4，360）在该函数图象上，
∴4k＝360，
解得k＝90，
即当0≤x≤4时，轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数表达式是y＝90x；
当4＜x≤5时，y＝360；
当5＜x≤9时，设轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数表达式是y＝mx+n，
∵点（5，360），（9，0）在该函数图象上，
∴，
解得，
即当5＜x≤9时，轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数表达式是y＝﹣90x+810，
由上可得，轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数表达式是y＝；
（3）设货车出发a小时时两车相距120千米，
两车相遇之前：60a+90（a﹣1）＝600﹣120，
解得a＝3.8，
∵3.8﹣1＝2.8＜4，
∴a＝3.8时符合题意；
两车相遇之后且轿车维修好之前：60a+90（a﹣1）＝600+120，
解得a＝5.4，
∵5.4﹣1＝4.4＞4，
∴a＝5.4不符合题意，
∴60a+90×4＝600+120，
解得a＝6，
当a＝6时，6﹣1＝5，此时轿车刚刚维修好，符合题意；
轿车维修好之后：由上可知，当货车行驶6小时时，两车相距120千米，又因为轿车速度大于货车速度，故两车越来越近，距离不可能是120千米；
由上可得，货车出发3.8小时或6小时时两车相距120千米．
【点睛】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）的图象与反比例函数的图象相交于A（3，4），B（﹣4，m）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点P（p，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，请根据图象直接写出n的取值范围．
【点拨】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式求出k2值，从而得到反比例函数解析式，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出m的值，然后利用待定系数法求函数解析式求出一次函数解析式；
（2）根据图象写出n的取值范围即可．
【解析】解：（1）∵反比例函数图象与一次函数图象相交于点A（3，4），B（﹣4，m）．
∴4＝，
解得k2＝12，
∴反比例函数解析式为y＝，
∴m＝，
解得m＝﹣3，
∴点B的坐标为（﹣4，﹣3），
∴，
解得，
∴一次函数解析式为y＝x+1；
（2）∵点P（p，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，
∴n＜﹣4或n＞4．
【点睛】本题是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用以及三角形面积，根据交点A的坐标求出反比例函数解析式以及点B的坐标是解题的关键．
25．已知反比例函数（k为常数，k≠0）与正比例函数y2＝x的图象有一个交点为P（3，m）．
（1）求k的值；
（2）将点P向下平移6个单位，再向左平移5个单位后，得点P′，试判断点P′是否在函数y1的图象上，并说明理由；
（3）当y1＞y2时，利用函数图象直接写出自变量x的取值范围．
【点拨】（1）由正比例函数的解析式求得点P的坐标，代入数（k为常数，k≠0）即可求得k的值；
（2）求得P′的坐标为（﹣2，﹣3），由﹣2×（﹣3）＝6≠k，即可判断点P′不在函数y1的图象上；
（3）利用图象即可求解．
【解析】解：（1）∵正比例函数y2＝x的图象过交点为P（3，m），
∴m＝3，
∴P（3，3），
∵点P在反比例函数（k为常数，k≠0）的图象上，
∴k＝3×3＝9；
（2）将点P向下平移6个单位，再向左平移5个单位后，得点P′（﹣2，﹣3），
∵﹣2×（﹣3）＝6≠9，
∴点P′不在函数y1的图象上；
（3）由图象可知，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜3．
【点睛】本题是反比例函数于一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
26．设函数y1＝k1x+b，函数（k1，k2，b是常数，k1＞0，k2＞0，b＞0）．已知函数y1的图象与y轴交于点A，与函数y2的图象的一个交点为点B（1，m）．
（1）若k2＝3，m＝b+1．
①求函数y1的表达式．
②当2＜y1＜y2时，直接写出x的取值范围．
（2）设点A关于x轴的对称点为点C，将点C向左平移2个单位得到点D．若点D恰好也是函数y1，y2图象的交点，试写出k1，k2之间的等量关系，并说明理由．
【点拨】（1）①利用待定系数法求解即可；
②画出图象，根据求2＜y1＜y2时，x的取值范围，即求函数y1的图象位于直线y＝2的图象上方时，位于函数y2的图象下方时x的取值范围，再结合图象即可解答；
（2）利用一次函数解析式求出点A的坐标，再根据轴对称和平移的性质得出点D的坐标．由点D是函数y1，y2图象的交点，即说明点D的坐标满足两个函数的解析式，从而即可解答．
【解析】解：（1）①若k2＝3，则函数．
∵点B（1，m）在函数y2的图象上，
∴，
∴B（1，3），b+1＝3，
∴b＝2，
∴函数y1＝k1x+2．
∵点B（1，3）在函数y1的图象上，
∴3＝k1+2，
解得：k1＝1，
∴函数y1的表达式为y1＝x+2；
②根据两函数解析式可画出图象如下，
∵求2＜y1＜y2时，x的取值范围，即求函数y1的图象位于直线y＝2的图象上方时，位于函数y2的图象下方时x的取值范围，
∵由图象可知当0＜x＜1时，函数y1的图象位于直线y＝2的图象上方，位于函数y2的图象下方，
∴当2＜y1＜y2时，x的取值范围是0＜x＜1；
（2）k2＝2k1．
理由：对于y1＝k1x+b，令x＝0，则y1＝b，
∴A（0，b）．
∵点A关于x轴的对称点为点C，
∴C（0，﹣b）．
∵将点C向左平移2个单位得到点D，
∴D（﹣2，﹣b）．
∵点D恰好也是函数y1，y2图象的交点，
∴﹣b＝﹣2k1+b，，
∴k1＝b，k2＝2b，
∴k2＝2k1．
【点睛】本题考查次函数与反比例函数的交点，掌握函数图象上的点的坐标满足该函数解析式是解题关键．
27．已知A是反比例函数y＝（x＞0）图象上一个动点，过点A作x轴的平行线，交直线y＝﹣2x于点B，以线段AB为一条对角线，作 OACB（O为坐标原点）．
（1）如图1，当点C在y轴上时，请证明 OACB是菱形，并求点C的坐标；
（2）如图2，当 OACB是矩形时，求点B，C的坐标．
【点拨】（1）当点C在y轴上时，设C（0，b）（b＞0）．由直线与双曲线的交点求法得到B（﹣，）．根据菱形的轴对称性质知：＝﹣（﹣）．由此求得b＝4，则C（0，4）；
（2）如图2，当 OACB是矩形时，则OA⊥OB．根据直线与双曲线的交点求法得到A（2，1）．由点A、B的纵坐标相同和直线上点的坐标特征推知B（﹣，1），结合矩形的性质得到：C（﹣+2，1+1），即C（，2）．
【解析】解：（1）当点C在y轴上时，设C（0，b）（b＞0）．
∵AB∥x轴，
∴AB⊥OC，点A、B的纵坐标都是．
当y＝时，由＝得：x＝，
此时A（，）．
当y＝时，由＝﹣2x得：x＝﹣，
此时B（﹣，）．
∵平行四边形ABCD是菱形，
∴点A与点B关于y轴对称，
∴＝﹣（﹣）．
解得b＝4或b＝﹣4（舍去）．
经检验b＝4是原方程的解．
∴C（0，4）；
（2）如图2，当 OACB是矩形时，则OA⊥OB．
则直线OA的解析式为：y＝﹣x，
联立，
解得．
∴A（2，1）．
∵AB∥x轴，
∴点A、B的纵坐标相同，
当y＝1时，1＝﹣2x．
解得x＝﹣．
∴B（﹣，1）．
在矩形OABC中，BC∥OC且BC＝OC．
∴把点B平移到点C与把点O平移到点A的规则相同，
∴C（﹣+2，1+1），即C（，2）．
【点睛】本题主要反比例函数综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式，函数图象上点的坐标特征，直线与双曲线交点的求法，菱形的性质以及矩形的性质，综合性较强，但难度不是很大．
28．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A的坐标为（2，0），C坐标为（2，m）（m＞0），双曲线上经过点C，直线CD：y2＝k2x+b在经过点C交y轴于点D，与双曲线的另一分支相交于点P（﹣4，﹣1）．
（1）分别求双曲线和直线y2＝k2x+b的函数关系式；
（2）判断点B是否在双曲线上；
（3）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围．
【点拨】（1）因为点P（﹣4，﹣1）在双曲线上，所以代入P点坐标即可求出双曲线的函数关系式，又因为点C（2，m）在双曲线上，代入即可求出m的值，得到C的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）先求出点B的坐标，判断即可得出结论；
（3）根据图象直接得出结论．
【解析】解：（1）将点P（﹣4，﹣1）代入中，得k1＝﹣4×（﹣1）＝4，
∴反比例函数的解析式为y1＝，
将点C（2，m）代入y1＝中，得m＝＝2，
∴C（2，2），
把P、C的坐标代入y2＝k2x+b得，
解得，
∴直线的函数关系式为y＝x+1；
（2）因为四边形ABCD是菱形，A（2，0），C（2，2），
∴m＝2，B（4，m），
∴B（4，1），
由（1）知双曲线的解析式为y1＝，
∵4×1＝4，
∴点B在双曲线上；
（3）由（1）知C（2，2），
由图象知，当y1＞y2时的x值的范围为x＜﹣4或0＜x＜2．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，用m表示出点D的坐标是解本题的关键．
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