江西省吉安市安福县2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（含解析）

安福县2022-2023学年高一下学期期中考试
数学
一、单选题（每题5分，共40分）
1．在中，“”是“是钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知，且，其中为实数，则（ ）
A． B．
C． D．
3．函数在区间上的值域为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知向量，那么下列结论正确的是
A． B． C． D．
5．已知为锐角，为钝角，，则（ ）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．在中，已知，，若为中点，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．在非直角中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，是角的内角平分线，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．在△ABC中，有以下四个说法：
①若△ABC锐角三角形，则；
②存在三边为连续自然数的三角形，使得最大角是最小角的两倍；
③存在三边为连续自然数的三角形，使得最大角是最小角的三倍；
④若，则．
其中正确的说法有（ ）
A．① B．② C．③ D．④
10．已知函数，则（ ）
A．若函数的图象关于直线对称，则的值可能为3
B．若关于x的方程在上恰有四个实根，则的取值范围为
C．若函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移B个单位长度，得到的函数为奇函数，则的最小值是1
D．若函数在区间上单调，则
11．设函数，则关于函数说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数，且函数的对称轴是y轴
B．函数的最大值为2
C．函数在单调递减
D．函数图象关于点对称
12．在中，，且，是所在平面内的一点，设，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．若，则的最小值为2
C．若，设，则的最大值为
D．若在内部（不含边界），且，则的取值范围是
三、填空题（共20分）
13．已知向量与的夹角为，且，，则__________．
14．已知，是方程的两根，则__________．
15．已知，则的值是________.
16．若函数的图象在上与直线只有两个公共点，则的取值范围是___________.
四、解答题（共70分）
17．设是实数，复数，（是虚数单位）．
(1)若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围；
(2)求的最小值．
18．已知，．
（）求的值．
（）求的值．
19．已知关于的方程的两根为、，.
（1）求的值；
（2）求的值.
20．已知函数
(1)求的最小正周期及单调递减区间；
(2)求在区间上的最值；
(3)函数在区间内有三个零点，求的取值范围．
21．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称．
（1）求f(x)的解析式；
（2）求f(x)的单调区间；
（3）求不等式－1≤f(x)≤的解集．
22．在四边形中，.
(1)若，，，求四边形面积的最小值；
(2)若四边形的外接圆半径为，，求的最大值.
1．A
设与的夹角为，因为，即，所以，，又为内角的补角，所以，是钝角三角形；当为钝角三角形时，不一定是钝角．所以“”是“是钝角三角形”的充分不必要条件.
故选：A.
2．A
因为，则，
又因为，即
化简可得：，
即，解得.
故选:A
3．D
， ,
函数值域为
故选：D
4．B
根据向量加法的三角形法则，向量首尾顺次相连，所以根据图形可知，与向量反向且相等，所以.故选择B.
5．C
因为为锐角，为钝角，，
所以，
，
则
.
故选：C.
6．D
，
所以.
故选：D
7．B
，，
即，解得：或（舍），
.
故选：B.
8．B
由及正弦定理，得.
由余弦定理，得，
因为为非直角三角形，
所以，
所以，
因为是角的内角平分线，且，
所以由三角形的面积公式得，
所以，即，
因为，
所以，
所以,
所以，
,
.
故选：B.
9．ABD
对于①：由为锐角三角形，则，即，
所以，故①正确；
对于②：设三边长为为大于1的正整数，对角分别为A、B、C，若，则
，
∴，解得（舍去），
所以存在三边为连续自然数4，5，6的三角形，使得最大角是最小角的两倍，故②正确；
对于③：若，由正弦定理得，
，
由此两式消去得，
又由余弦定理得，
所以，而该方程无正整数解，
所以这样的三角形不存在，故③不正确；
对于④：由，可知，
∴，
∴，即，故④正确.
故选：ABD.
10．BC
对于A，因为函数的图象关于直线对称，所以，则，因为，则的值不可能为3，故A错误；
对于B，当时，，若在上恰有四个实根，则，解得，故B正确；
对于C，由已知得，因为函数为奇函数，所以，即，因为，所以的最小值是1，故C正确；
对于D，当时，，因为，
所以，所以函数在区间上不单调，故D错误．
故选：BC．
11．BD
对于A，∴，∵，为偶函数，
由，得函数的对称轴为，，
所以y轴（即）为其中一条对称轴，故A不正确；
对于B，的最大值是，故选项B正确．
对于C，求的递减区间，相当于的递增区间，
令，解得，
所以的递减区间为，无论k取何整数，不包含区间，所以C不正确；
由，，解得，，所以函数的对称中心为，
可得当时，其图象关于点对称，故D正确；
故选：BD．
12．BC
A选项，因为，所以，
解得，
又，故，
所以，由勾股定理得，所以，故A错误；
B选项，取中点，因为，，
两式平方后相减得到则，
当时，，即，所以点在以为圆心，为半径的圆上，因为，所以的最小值为，故正确；
C选项，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，设，则
当时，，整理，
所以点在以为圆心，3为半径的圆上，可设，
由得，，
则，
所以，其中，
故当时，取得最大值，最大值为，故C正确；
对于D选项，在取点，使得，过作交于，
由可得，在线段上（不含），
因为，则最小值为，又，
故，故，所以的取值范围是，故D错误.
故选：BC
13．2
∵向量与的夹角为，且，
∴，即+
∴，即
∴
故答案为2
14．/
解：因为，是方程的两根，
所以，
所以，
故答案为：.
15．
因为，
所以，
即，
即，因此，.
故答案为：.
16．
因为，所以，
令，由已知得在上有两个解，
可知在上有两个解，
由题意得，解得
当时，，不等式组无解.
当时，，得.
当时，，得.
当时，，不等式组无解.
综上，的取值范围是.
故答案为：
17．(1)
(2)
（1）由已知可得，.
因为在复平面内对应的点在第二象限，所以有，
解得.
（2）由已知可得，，
所以，
所以，，
所以，当时，有最小值为.
18．（1）；（2）
（）∵，
∴．
（）由，，
得，，
∴．
19．（1）；（2）.
由题意知：，则；
且由根与系数的关系可知①，
（1）；
（2）由①式平方，得
∴，即有，
经检验，满足题意。
20．(1)，
(2)，
(3)
（1）因为
．
所以的最小正周期，
，
，
所以的单调递减区间为；
（2）
，
在单调递增，在上单调递减，
当时，，，
当时，，；
（3）因为当时，
所以，化简得．
21．（1）f(x)＝tan；（2）单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间；（3）.
（1）由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝，
即，
因为ω>0，所以ω＝2，
从而f(x)＝tan(2x＋φ)．
因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称，
所以2×＋φ＝，k∈Z，
即φ＝＋，k∈Z.
因为0<φ<，所以φ＝，
故f(x)＝tan.
（2）令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，
得，
即
所以函数的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间．
（3）由（1）知，f(x)＝tan.
由－1≤tan≤，
得
即
所以不等式－1≤f(x)≤的解集为.
22．(1)；
(2).
延长，相较于点，
如图所示：
，，
是边长为的正三角形，
的面积为.
在中，，，
由余弦定理得，，
即，
则，（当且仅当时，等号成立）
的面积,
的面积的最大值为，
四边形面积的最小值为.
（2）
四边形存在外接圆，
，
，
.
，
四边形为等腰梯形.
连接，设，，，
如图所示：
的外接圆半径为，
在中，由正弦定理得，，
，.
同理可得，在中，由正弦定理可得，
，，
设，得，
，，
，（当且仅当时，等号成立）
，，（当且仅当时，等号成立）
当，时，取得最大值.